260 hệ phương trình trong các đề thi

260 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG CÁC ĐỀ THI 
1/ Giải phương trình: x x x x x22 3 1 3 2 2 5 3 16        . 
Giải: Đặt t x x2 3 1    > 0. (2)  x 3 
2/ Giải bất phương trình: 
x x
x
1
2 2 1
0
2 1
  


Giải: x0 1  
 3/ Giải phương trình: x x x8
4 82
1 1
log ( 3) log ( 1) 3log (4 )
2 4
    . 
Giải: (1)  x x x( 3) 1 4    x = 3; x = 3 2 3  
 4/ Tìm m để phương trình sau có nghiệm x 0; 1 3  
 
: 
  m x x x x2 2 2 1 (2 ) 0      (2) 
 Giải: Đặt 2t x 2x 2   . (2)  

    

2
t 2
m (1 t 2),dox [0;1 3]
t 1
 Khảo sát 
2
t 2
g(t)
t 1



 với 1  t  2. g'(t) 
2
2
t 2t 2
0
(t 1)
 
 

. Vậy g tăng trên [1,2] 
 Do đó, ycbt  bpt 
2
t 2
m
t 1



 có nghiệm t  [1,2]  
 t
m g t g
1;2
2
max ( ) (2)
3
   
 5/ Giải hệ phương trình : 
x x y y
x y x y
4 2 2
2 2
4 6 9 0
2 22 0
     

   
 (2) 
Giải: (2)  
2 2 2
2 2
( 2) ( 3) 4
( 2 4)( 3 3) 2 20 0
    

       
x y
x y x
. Đặt 
2 2
3
  

 
x u
y v
 Khi đó (2)  
2 2 4
. 4( ) 8
  

  
u v
u v u v
  
2
0



u
v
 hoặc 
0
2



u
v
  
2
3



x
y
;
2
3
 


x
y
;
2
5
 


x
y
;
2
5
  


x
y
 6/ 1) Giải phương trình: 2 1 1 15.3 7.3 1 6.3 9 0x x x x       (1) 
 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt: 
x x
x x a
x x m b2
33 3
2
2 ( 2 5)
log ( 1) log ( 1) log 4 ( )
log ( 2 5) log 2 5 ( )
 
    

   
 Giải: 1) Đặt 3 0xt   . (1)  25 7 3 3 1 0   t t t  
3 3
3
log ; log 5
5
  x x 
 2) 
2
33 3
2
2 ( 2 5)
log ( 1) log ( 1) log 4 ( )
log ( 2 5) log 2 5 ( )
 
   

    x x
x x a
x x m b
  Giải (a)  1 < x < 3. 
  Xét (b): Đặt 2
2log ( 2 5)  t x x . Từ x  (1; 3)  t  (2; 3). 
 (b)  2 5 t t m . Xét hàm 2( ) 5 f t t t , từ BBT  
25
; 6
4
 
   
 
m 
 7/ Giải hệ phương trình: 
3 3 3
2 2
8 27 18
4 6
  

 
x y y
x y x y
Giải: (2)  
x
y
x x
y y
3
3 3
(2 ) 18
3 3
2 . 2 3
  
     
    
 
. Đặt a = 2x; b = 
y
3
. (2)  
a b
ab
3
1
  


 Hệ đã cho có nghiệm: 
3 5 6 3 5 6
; , ;
4 43 5 3 5
    
   
       
 8/ Giải bất phương trình sau trên tập số thực: 
1 1
2 3 5 2

   x x x
 (1) 
Giải:  Với 
1
2
2
  x : 2 3 0, 5 2 0     x x x , nên (1) luôn đúng 
  Với 
1 5
2 2
 x : (1)  2 3 5 2    x x x  
5
2
2
 x 
 Tập nghiệm của (1) là 
1 5
2; 2;
2 2
   
    
   
S 
 9/ Giải hệ phương trình: 
2
2
1 ( ) 4
( 1)( 2)
    

   
x y y x y
x y x y
 (x, y  ) 
Giải: (2)  
2
2
2
1
2 2 1
1
1
( 2) 1 2 1
 
     
 
 
      
x
y x x
y
y
x
y x y x
y
 
1
2



x
y
hoặc 
2
5
 


x
y
 10/ Giải bất phương trình: )3(log53loglog 24
2
2
2
2  xxx 
Giải: BPT  2 22 2 2log log 3 5(log 3) (1)   x x x 
 Đặt t = log2x. (1) 
2 2 3 5( 3) ( 3)( 1) 5( 3)        t t t t t t 
2
22
1
log 11
3
3 4 3 log 4
( 1)( 3) 5( 3)
 
   
             
t
xt
t
t x
t t t
  
1
0
2
8 16

 

 
x
x
 11/Giải phương trình: 2 2 2 2 2log ( 1) ( 5)log( 1) 5 0     x x x x 
Giải: Đặt 2log( 1) x y . PT  2 2 2 2( 5) 5 0 5        y x y x y y x ; Nghiệm: 99999 x ; x = 0 
 12/ Giải phương trình: 3 18 1 2 2 1  x x 
 Giải: Đặt 3 12 0; 2 1   x xu v . 
 PT  
3 3
33 2 2
01 2 1 2
2 1 01 2 ( )( 2) 0
       
   
           
u vu v u v
u uv u u v u uv v
  
2
0
1 5
log
2


  

x
x
 13/ Tìm m để hệ phương trình: 
 
2 2
2 2
2
4
   

  
x y x y
m x y x y
 có ba nghiệm phân biệt 
Giải: Hệ PT  
4 2
2
2
( 1) 2( 3) 2 4 0 (1)
2
1
      

 


m x m x m
x
y
x
. 
  Khi m = 1: Hệ PT  
2
2
2
2 1 0
( )2
1
  

 


x
VNx
y
x
  Khi m ≠ 1. Đặt t = x2 , 0t . Xét 2( ) ( 1) 2( 3) 2 4 0 (2)      f t m t m t m 
 Hệ PT có 3 nghiệm phân biệt  (1) có ba nghiệm x phân biệt 
  (2) có một nghiệm t = 0 và 1 nghiệm t > 0   
(0) 0
... 22 3
0
1


  
 

f
mm
S
m
. 
 14/ Tìm m để hệ phương trình có nghiệm: 
1
1 3
  

  
x y
x x y y m
. 
Giải: Đặt , ( 0, 0)   u x v y u v . Hệ PT  
3 3
1 1
1 3
    
 
   
u v u v
uv mu v m
. ĐS: 
1
0
4
 m . 
 15/ Tìm m để phương trình sau có nghiệm: ( 1) 4( 1)
1
   

x
x x x m
x
Giải: Đặt ( 1)
1
x
t x
x
 

. PT có nghiệm khi 2 4 0t t m   có nghiệm, suy ra 4m   . 
 16/ Giải phương trình: 3x.2x = 3x + 2x + 1 
Giải: Nhận xét; x =  1 là các nghiệm của PT. PT 
2 1
3
2 1

 

x x
x
. 
 Dựa vào tính đơn điệu  PT chỉ có các nghiệm x =  1. 
 17/ Giải hệ phương trình: 
2 2
2 2
3 ( )
1 1 4 ( )
   

   
x y xy a
x y b
Giải (b)  2 2 2 2 22 ( 1).( 1) 14 2 ( ) 4 11         x y x y xy xy xy (c) 
 Đặt xy = p. 2
2
3
11
( ) 2 4 11 35
3 26 105 0
3
        
    
p
p
c p p p
pp p
 (a)   
2
3 3  x y xy  p = xy = 
35
3
 (loại)  p = xy = 3  2 3  x y 
 1/ Với 
3
3
2 3

  
 
xy
x y
x y
 2/ Với 
3
3
2 3

   
  
xy
x y
x y
 Vậy hệ có hai nghiệm là:    3; 3 , 3; 3  
 18/ Giải bất phương trình: 2
2 1
2
1
log (4 4 1) 2 2 ( 2)log
2
 
       
 
x x x x x 
Giải: BPT   01)x21(logx 2  
1
2
 
 
 
x  
2
1
x
4
1
 hoặc x < 0 
 19/ Giải hệ phương trình: 
2
2
1 ( ) 4
( 1)( 2)
    

   
x y x y y
x x y y
 (x, y R ) 
Giải: y = 0 không phải là nghiệm. Hệ PT  
2
2
1
2 2
1
( 2) 1
 
   


   

x
x y
y
x
x y
y
 Đặt 
2 1
, 2

   
x
u v x y
y
. Ta có hệ 
2
1
1
 
  

u v
u v
uv
  
2 1
1
2 1
 


   
x
y
x y
 Nghiệm của hpt đã cho là (1; 2), (–2; 5). 
 20/ Tìm m sao cho phương trình sau có nghiệm duy nhất: ln( ) 2ln( 1) mx x 
Giải: 1) ĐKXĐ: 1, 0  x mx . Như vậy trước hết phải có 0m . 
 Khi đó, PT  2 2( 1) (2 ) 1 0      mx x x m x (1) 
 Phương trình này có: 2 4  m m . 
  Với (0;4)m   < 0  (1) vô nghiệm. 
  Với 0m , (1) có nghiệm duy nhất 1 x < 0  loại. 
  Với 4m , (1) có nghiệm duy nhất x = 1 thoả ĐKXĐ nên PT đã cho có nghiệm duy nhất. 
  Với 0m , ĐKXĐ trở thành 1 0  x . Khi đó 0  nên (1) có hai nghiệm phân biệt  1 2 1 2, x x x x . 
Mặt khác, ( 1) 0, (0) 1 0    f m f nên 
1 21 0   x x , tức là chỉ có 2x là nghiệm của phương trình 
đã cho. Như vậy, các giá trị 0m thoả điều kiện bài toán. 
  Với 4m . Khi đó, điều kiện xác định trở thành x > 0 và (1) cũng có hai nghiệm phân biệt 
 1 2 1 2, x x x x . Áp dụng định lý Viet, ta thấy cả hai nghiệm này đều dương nên các giá trị 4m cũng 
bị loại. 
 Tóm lại, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi:  ( ;0) 4  m . 
 21/ Giải hệ phương trình: 
2 2
2 2
91 2 (1)
91 2 (2)
    

   
x y y
y x x
Giải: Điều kiện: x ≥ 2 và y ≥ 2 : Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được: 
2 2 2 291 91 2 2        x y y x y x 
2 2
2 2
( )( )
2 291 91
 
    
    
x y y x
y x y x
y xx y 
2 2
1
( ) 0
2 291 91
 
      
      
x y
x y x y
x yx y
  x = y (trong ngoặc luôn dương và x và y đều lớn hơn 2) 
 Vậy từ hệ trên ta có: 
2 291 2   x x x 
2 291 10 2 1 9       x x x 
2
2
9 3
( 3)( 3)
2 191 10
 
    
  
x x
x x
xx
2
1 1
( 3) ( 3) 1 0
2 191 10
  
            
x x
xx  x = 3 
 Vậy nghiệm của hệ x = y = 3 
 22/ Giải bất phương trình: 
2 2log ( 3 1 6) 1 log (7 10 )     x x 
Giải: Điều kiện: 
1
10
3
  x
 BPT  
2 2
3 1 6
log log (7 10 )
2
 
  
x
x
 
3 1 6
7 10
2
 
  
x
x
  3 1 6 2(7 10 )    x x  3 1 2 10 8   x x  49x2 – 418x + 369 ≤ 0 
  1 ≤ x ≤ 
369
49 (thoả) 
 23/ Giải phương trình: 2 22 1 2 ( 1) 2 3 0       x x x x x x 
Giải: 
 Đặt: 
2 2
2 2 2
2 2
2 2 22
2 1
2, 0 2
1
2 32 3, 0
2
          
     
        
v u x
u x u u x
v u
v x x xv x x v
 PT  
0 ( )
1
( ) ( ) 1 0 1
( ) 1 0 ( )2 2
2 2
 
                       
v u b
v u
v u v u v u
v u c
 Vì u > 0, v > 0, nên (c) vô nghiệm. 
 Do đó: PT 
2 2 10 2 3 2
2
           v u v u x x x x
 24/ Giải bất phương trình: 2 23 2 2 3 1 1      x x x x x 
Giải: Tập xác định: D = 
   
1
; 1 2;
2
 
       x = 1 là nghiệm 
  x 2: BPT  2 1 2 1    x x x vô nghiệm 
  x
1
2

: BPT  2 1 1 2    x x x có nghiệm x
1
2

  BPT có tập nghiệm S= 
 
1
; 1
2
 
    
 25/ Giải phương trình: 2 22( 1) 3 1 2 2 5 2 8 5       x x x x x x . 
Giải: 
 Điều kiện: 
1
3
 x
. 
 PT  
     
2 2 2
2 2( 1) 2( 1) 3 1 3 1 2 2 2 5 2 2 1 0                  x x x x x x x x 
 26/ Giải hệ phương trình: 
x x y xy y
x y x y
3 2 2 3
6 9 4 0
2
    

   
Giải: 
x x y xy y
x y x y
3 2 2 3
6 9 4 0 (1)
2 (2)
    

    . Ta có: (1)  x y x y
2
( ) ( 4 ) 0    
x y
x y4
 
  
  Với x = y: (2)  x = y = 2 
  Với x = 4y: (2)  x y32 8 15; 8 2 15    
 27/ Giải phương trình: x x x x2 2 23 1 tan 1
6

      
Giải: 
 PT  
x x x x
2 4 23
3 1 1
3
     
 (1) 
 Chú ý: x x x x x x
4 2 2 2
1 ( 1)( 1)       , x x x x x x
2 2 2
3 1 2( 1) ( 1)        
 Do đó: (1)  
x x x x x x x x
2 2 2 23
2( 1) ( 1) ( 1)( 1)
3
          
. 
 Chia 2 vế cho 
 x x x x
2
2 2
1 1     và đặt 
x x
t t
x x
2
2
1
, 0
1
 
 
  
 Ta được: (1)  
t t
2 3
2 1 0
3
  
  
t
t
3
0
2 3
1
3
 
 

 

  
x x
x x
2
2
1 1
31
 

   x 1 . 
 28/ Giải hệ phương trình: 
   

   
x x y
x x y xy x
2
3 2 2
5 9
3 2 6 18
Giải: Hệ PT  
y x x
x x x x+
2
4 3 2
9 5
4 5 18 18 0
   

     
  
x y
x y
x y
x y
1; 3
3; 15
1 7; 6 3 7
1 7; 6 3 7
  
   

    
      
 29/ Giải bất phương trình: x x x3 12 2 1     
Giải: BPT  x3 4  . 
 30/ Giải hệ phương trình: 
x y xy
x y
2 0
1 4 1 2
   

   
. 
Giải : Hệ PT  
  x y x y
x y
2 0
1 4 1 2
   

     
x y
x y
2 0
1 4 1 2
  

     
x y
y
4
4 1 1
 

  
y x x
x
x
x
2
9 5
1
3
1 7
   

 
  
   
  
x
y
2
1
2
 


 
 31/ Giải hệ phương trình: 
x y y
x y x y
3 3 3
2 2
8 27 7 (1)
4 6 (2)
  

  
Giải: 
 Từ (1)  y  0. Khi đó Hệ PT  x y y
x y xy y
3 3 3
2 2 3
8 27 7
4 6
  

 
  
t xy
t t t
3 2
8 27 4 6
 

  
  
t xy
t t t
3 1 9
; ;
2 2 2
 


   
  Với t
3
2
  : Từ (1)  y = 0 (loại).  Với t
1
2
 : Từ (1)  x y 3
3
1
; 4
2 4
 
  
 
  Với t
9
2
 : Từ (1)  x y 3
3
3
; 3 4
2 4
 
  
 
 32/ Giải phương trình: x xx x3 .2 3 2 1   
Giải 
 PT  x x x3 (2 1) 2 1   (1). Ta thấy x
1
2
 không phải là nghiệm của (1). 
 Với x
1
2
 , ta có: (1)  x
x
x
2 1
3
2 1



  x
x
x
2 1
3 0
2 1

 

 Đặt x x
x
f x
x x
2 1 3
( ) 3 3 2
2 1 2 1

    
 
. Ta có: 
x
f x x
x
2
6 1
( ) 3 ln3 0,
2(2 1)
     

 Do đó f(x) đồng biến trên các khoảng 
1
;
2
 
 
 
 và 
1
;
2
 
 
 
  Phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất 1 
nghiệm trên từng khoảng 
1 1
; , ;
2 2
   
    
   
. 
 Ta thấy x x1, 1   là các nghiệm của f(x) = 0. Vậy PT có 2 nghiệm x x1, 1   . 
 33/ Giải phương trình: x x x x
4 2 2
1 1 2      
Giải: 
 Điều kiện: 
x
x x
2
2
1 0
1
  

 
  x  1. 
 Khi đó: x x x x x x
42 2 2
1 1 1        (do x  1) 
  VT >   
Coâ Si
x x x x x x x x
4 4 82 2 2 2
1 1 2 1 1

          = 2  PT vô nghiệm. 
 34/ Giải hệ phương trình: 
xy
x y
x y
x y x y
2 2
2
2
1

  

   
Giải: 
xy
x y
x y
x y x y
2 2
2
2
1 (1)
(2)

  

   
. Điều kiện: x y 0  . 
 (1)  x y xy
x y
2 1
( ) 1 2 1 0
 
     
 
  x y x y x y2 2( 1)( ) 0       x y 1 0   
 (vì x y 0  nên x y x y2 2 0    ) 
 Thay x y1  vào (2) ta được: x x21 (1 )    x x2 2 0    
x y
x y
1 ( 0)
2 ( 3)
  
   
 Vậy hệ có 2 nghiệm: (1; 0), (–2; 3). 
 35/ Giải hệ phương trình: x x32 3 2 3 6 5 8 0     
Giải: Điều kiện: x
6
5
 . Đặt 
u x
v x
3
3 2
6 5
  

 
  u x
v x
3
2
3 2
6 5
  

 
. 
 Ta có hệ PT: 
u v
u v
3 2
2 3 8
5 3 8
  

 
. Giải hệ này ta được 
u
v
2
4
  


  
x
x
3 2 2
6 5 16
   

 
  x 2  . 
 Thử lại, ta thấy x 2  là nghiệm của PT. Vậy PT có nghiệm x 2  . 
 36/ Giải hệ phương trình: 
2 2
3 3
2 1
2 2
y x
x y y x
  

  
Giải: Ta có:   3 3 2 2 3 2 2 32 2 2 2 2 5 0x y y x y x x x y xy y         
 Khi 0y  thì hệ VN. 
 Khi 0y  , chia 2 vế cho 3 0y  ta được: 
3 2
2 2 5 0
x x x
y y y
     
        
     
 Đặt 
x
t
y
 , ta có : 
3 22 2 5 0 1t t t t     
2
1, 1
1
y x
x y x y
y

      

 37/ Tìm các giá trị của tham số m sao cho hệ phương trình 
  

 
y x m
y xy
2
1
có nghiệm duy nhất. 
Giải: 
  

 
y x m
y xy
2 (1)
1 (2)
. 
 Từ (1)   x y m2 , nên (2)    y my y
2
2 1
 

    

y
m y
y
1
1
2
 (vì y  0) 
 Xét          f y y f y
y y
2
1 1
2 ' 1 0 
 Dựa vào BTT ta kết luận được hệ có nghiệm duy nhất  m 2 . 
 38/ Giải hệ phương trình: 
 x y xy
x y
3 3
2 2
3 4
9
  


Giải: Ta có : 2 2 9 3x y xy    . 
  Khi: 3xy  , ta có: 3 3 4x y  và  3 3. 27  x y 
 Suy ra:  3 3; x y là các nghiệm của phương trình: 2 4 27 0 2 31X X X      
 Vậy nghiệm của Hệ PT là: 
 3 32 31, 2 31x y     hoặc 3 32 31, 2 31x y     . 
  Khi: 3xy   , ta có: 3 3 4x y   và  3 3. 27 x y 
 Suy ra:  3 3;x y là nghiệm của phương trình: 2 4 27 0 ( )  X X PTVN 
 39/ Giải hệ phương trình: 
y
xx y
x
x y
y
2 2
2 2
3
2 1
1
4 22

 
  

   

Giải: Điều kiện: x y x y2 20, 0, 1 0     
 Đặt 
x
u x y v
y
2 2
1;    . Hệ PT trở thành: u v u v
u v u v
3 2 3 2
1 1 (1)
1 4 22 21 4 (2)
 
    
 
      
 Thay (2) vào (1) ta được: 
v
v v
vv v
2
3
3 2
1 2 13 21 0 7
21 4
2
 
      


  Nếu v = 3 thì u = 9, ta có Hệ PT: 
x y
x xx y
x
y yx y
y
2 2
2 2
1 9
3 310
1 13 3
              
     

  Nếu v
7
2
 thì u = 7, ta có Hệ PT: 
y yx y x y
x
x y
y x x
2 2 2 2
2 2
4 41 7 8
53 53
7 7
2 2
2 14 142
53 53
 
            
     
         
 So sánh điều kiện ta được 4 nghiệm của Hệ PT. 
 40/ Giải hệ phương trình: 
 
2
3 2
2 8
x y xy
x y
  

 
 Giải: 
 
2
3 2 (1)
2 8 (2)
  

 
x y xy
x y
. Điều kiện : . 0 ;x y x y  
 Ta có: (1)  23( ) 4 (3 )( 3 ) 0     x y xy x y x y 3
3
y
x y hay x   
  Với 3x y , thế vào (2) ta được : 2 6 8 0 2 ; 4y y y y      
  Hệ có nghiệm 
6 12
;
2 4
x x
y y
  
 
  
  Với 
3
y
x  , thế vào (2) ta được : 23 2 24 0y y   Vô nghiệm. 
 Kết luận: hệ phương trình có 2 nghiệm là: 
6 12
;
2 4
x x
y y
  
 
  
 41/ Giải hệ phương trình: 
2 2
2 2
1 4
( ) 2 7 2
x y xy y
y x y x y
    

   
 Giải: Từ hệ PT  0y  . Khi đó ta có: 
2
2 2
2 2 2
2
1
4
1 4
.
( ) 2 7 2 1
( ) 2 7
x
x y
yx y xy y
y x y x y x
x y
y
 
  
     
 
        

 Đặt 
2 1
,
x
u v x y
y

   ta có hệ: 
2 2
4 4 3, 1
2 7 2 15 0 5, 9
u v u v v u
v u v v v u
       
            
  Với 3, 1v u  ta có hệ:
2 2 2 1, 21 1 2 0
2, 53 3 3
x yx y x y x x
x yx y y x y x
          
                
. 
  Với 5, 9v u   ta có hệ: 
2 2 21 9 1 9 9 46 0
5 5 5
x y x y x x
x y y x y x
        
   
          
, hệ này vô nghiệm. 
 Kết luận: Hệ đã cho có hai nghiệm: (1; 2), ( 2; 5) . 
 42/ Giải phương trình: x x x21 1 4 3    
Giải: Điều kiện x 0 . 
 PT  x x x
2
4 1 3 1 0      
x
x x
x x
2 1
(2 1)(2 1) 0
3 1

   
 
  x x
x x
1
(2 1) 2 1 0
3 1
 
    
  
  x2 1 0   x
1
2
 . 
 43 / Giải hệ phương trình: 
2
1 2
1 2
2log ( 2 2) log ( 2 1) 6
log ( 5) log ( 4) = 1
x y
x y
xy x y x x
y x
 
 
        

  
Giải: Điều kiện: 
22 2 0, 2 1 0, 5 0, 4 0
(*)
0 1 1, 0 2 1
           

     
xy x y x x y x
x y
 Hệ PT  
1 2 1 2
1 2 1 2
2log [(1 )( 2)] 2log (1 ) 6 log ( 2) log (1 ) 2 0 (1)
log ( 5) log ( 4) = 1 log ( 5) log ( 4) = 1 (2)
   
   
           
 
       
x y x y
x y x y
x y x y x
y x y x
 Đặt 2log (1 )y x t   thì (1) trở thành: 
21 2 0 ( 1) 0 1.t t t
t
        
 Với 1t  ta có: 1 2 1 (3)      x y y x . Thế vào (2) ta có: 
 21 1 1
4 4
log ( 4) log ( 4) = 1 log 1 1 2 0
4 4
x x x
x x
x x x x x
x x
  
   
           
 
0
2
x
x

   
  Với x 0  y 1  (không thoả (*)). 
  Với x 2   y 1 (thoả (*)). 
 Vậy hệ có nghiệm duy nhất 2, 1x y   . 
 44/ Giải bất phương trình:  
x
x x x
x 
1
2
2
4 – 2.2 – 3 .log – 3 4 4

  
Giải:BPT  x x x xx 1
2
(4 2.2 3).log 3 2 4
      x x x
2
(4 2.2 3).(log 1) 0    
  
x x
x x
x
x
2
2
2
2
2
2
2.2 3 0
log 1 0
2.2 3 0
log 1 0






  
 
  
 
  
x
x
x
x
2
2
2 3
log 1
2 3
log 1
 

 
 

 
  
x
x
x
x
2
2
log 3
1
2
log 3
1
0
2
 

 
 

  
  
x
x
2
log 3
1
0
2
 

  

 45/ Tìm tất cả các giá trị của tham số a để phương trình sau có nghiệm duy nhất: 
 x a x
5 5
log (25 – log )  
Giải: PT  x xa
5
25 log 5   x x a2
5
5 5 log 0    
x
t t
t t a
2
5
5 , 0
log 0 (*)
  

  
 PT đã cho có nghiệm duy nhất  (*) có đúng 1 nghiệm dương  t t a2
5
log  có đúng 1 nghiệm 
dương. 
 Xét hàm số f t t t2( )   với t  [0; +∞). Ta có: f t t( ) 2 1    f t t
1
( ) 0
2
    . f
1 1
2 4
 
  
 
, f (0) 0 . 
 Dựa vào BBT ta suy ra phương trình f t a
5
( ) log có đúng 1 nghiệm dương 
  
a
a
5
5
log 0
1
log
4
 

  

  
a
a
4
1
1
5
 



. 
 46/ Giải hệ phương trình:  x x x2 2 2
3 3 3
2 log – 4 3 log ( 2)    log ( – 2) 4    
Giải: Điều kiện: 
x
x
2
2
3
4 0
log ( 2) 0
  

 
  
x
x
2
2
4 0
( 2) 1
  

 

x
x
2
3
 
  
 (**) 
 PT   x x x
2
2 2 2
3 3 3
log – 4 3 log ( 2)    log ( – 2) 4    
  x x2 2
3 3
log ( 2) 3 log ( 2) 4 0        x x2 2
3 3
log ( 2) 4 log ( 2) 1 0     
  x 2
3
log ( 2) 1   x 2( 2) 3   x 2 3   
 Kiểm tra điều kiện (**) chỉ có x 2 3   thỏa mãn. 
 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là: x 2 3   
 47 / Giải hệ phương trình: 
x y y x
y x
3 3
2 2
4 16
1 5(1 )
   

  
. 
Giải: 
x y y x
y x
3 3
2 2
4 16 (1)
1 5(1 ) (2)
   

  
 Từ (2) suy ra y x2 2– 5 4 (3). 
 Thế vào (1) được:  yx x y y x2 23 3– 5 . 16    x x y x3 2– 5 –16 0 
  x 0 hoặc x xy2 – 5 –16 0 
  Với x 0  y2 4  y 2  . 
  Với x xy2 – 5 –16 0  
x
y
x
2
16
5

 (4). Thế vào (3) được: 
x
x
x
2
2
216
5 4
5
 
  
 
  x x x x4 2 4 2– 32 256 –125 100   x x4 2124 132 – 256 0   x2 1  x y
x y
1 ( 3)
1 ( 3)



  
  
. 
 Vậy hệ có 4 nghiệm: (x; y) = (0; 2) ; (0; –2); (1; –3); (–1; 3) 
 48/ Giải hệ phương trình: 
x y x y
x y x y
2 8
2 2 2 2
log 3log ( 2)
1 3
    

     
Giải: Điều kiện: x y x y0, 0    
 Hệ PT  
x y x y
x y x y
2 2 2 2
2
1 3
    

     
. 
 Đặt: 
u x y
v x y
  

 
 ta có hệ: 
u v u v u v uv
u v u v
uv uv
2 2 2 2
2 ( ) 2 4
2 2
3 3
2 2
      
 
    
    
  
u v uv
u v uv
uv
2
2 4 (1)
( ) 2 2
3 (2)
2
   

    
  

. 
 Thế (1) vào (2) ta có: uv uv uv uv uv uv uv28 9 3 8 9 (3 ) 0           . 
 Kết hợp (1) ta có: 
uv
u v
u v
0
4, 0
4
 
  
 
 (với u > v). Từ đó ta có: x = 2; y = 2.(thoả đk) 
 Kết luận: Vậy nghiệm của hệ là: (x; y) = (2; 2). 
 49/ Giải phương trình: 25x – 6.5x + 5 = 0 
Giải: Câu 2: 1) 25x – 6.5x + 5 = 0  2(5 ) 6.5 5 0x x    5x = 1 hay 5x = 5 
  x = 0 hay x = 1. 
 50/ Giải hệ phương trình: 
2 0
1 4 1 2
x y xy
x y
   

   
Giải: 
2 0 (1)
1 4 1 2 (2)
x y xy
x y
   

   
 Điều kiện: 
1
1
4
x
y




 Từ (1) 2 0
x x
y y
     x = 4y 
 Nghiệm của hệ (2;
1
2
) 
 51/ Tìm m để bất phương trình: 52x – 5x+1 – 2m5x + m2 + 5m > 0 thỏa với mọi số thực x. 
Giải: Đặt X = 5x  X > 0 
 Bất phương trình đã cho trở thành: X2 + (5 + 2m)X + m2 + 5m > 0 (*) 
 Bpt đã cho có nghiệm với mọi x khi và chỉ khi (*) có nghiệm với mọi X > 0 
  < 0 hoặc (*) có hai nghiệm X1 ≤ X2 ≤ 0 
 Từ đó suy ra m 
 52/ Giải bất phương trình:  23 1 1
3 3
1
log 5 6 log 2 log 3
2
x x x x      
Giải: Điều kiện: 3x  ; Phương trình đã cho tương đương: 
     1 123 3 3
1 1 1
log 5 6 log 2 log 3
2 2 2
x x x x            23 3 3
1 1 1
log 5 6 log 2 log 3
2 2 2
x x x x        
      3 3 3log 2 3 log 2 log 3x x x x           3 3
2
log 2 3 log
3
x
x x
x
 
         
  
2
2 3
3
x
x x
x

   

2
10
9 1
10
x
x
x
  
    

Giao với điều kiện, ta được nghiệm của phương trình đã cho là 10x  
 53/ Cho phương trình     341 2 1 2 1x x m x x x x m       
Tìm m để phương trình có một nghiệm duy nhất. 
Giải: Phương trình     341 2 1 2 1x x m x x x x m       (1) 
Điều kiện : 0 1x  
Nếu  0;1x thỏa mãn (1) thì 1 – x cũng thỏa mãn (1) nên để (1) có nghiệm duy nhất thì cần có điều kiện 
1
1
2
x x x    . Thay 
1
2
x  vào (1) ta được: 3
01 1
2. 2.
12 2
m
m m
m

    
 
*Với m = 0; (1) trở thành:  
2
4 4 11 0
2
x x x     Phương trình có nghiệm duy nhất. 
* Với m = -1; (1) trở thành 
   
     
   
4
4
2 2
4 4
1 2 1 2 1 1
1 2 1 1 2 1 0
1 1 0
x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
       
          
      
 + Với 4 4
1
1 0
2
x x x     + Với 
1
1 0
2
x x x     
Trường hợp này, (1) cũng có nghiệm duy nhất. 
* Với m = 1 thì (1) trở thành: 
       
2 2
4 441 2 1 1 2 1 1 1x x x x x x x x x x             
Ta thấy phương trình (1) có 2 nghiệm 
1
0,
2
x x  nên trong trường hợp này (1) không có nghiệm duy nhất. 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất khi m = 0 và m = -1. 
 54/ Giải phương trình :    
2 3
4 82
log 1 2 log 4 log 4x x x      
Giải:    
2 3
4 82
log 1 2 log 4 log 4x x x      (2) 
Điều kiện: 
1 0
4 4
4 0
1
4 0
x
x
x
x
x
 
  
   
   
     
 
2
2 2 2 2 2
2 2
2 2
(2) log 1 2 log 4 log 4 log 1 2 log 16
log 4 1 log 16 4 1 16
x x x x x
x x x x
           
       
+ Với 1 4x   ta có phương trình 2 4 12 0 (3)x x   ; 
 
2
(3)
6
x
x

 
  lo¹i
 + Với 4 1x    ta có phương trình 2 4 20 0x x   (4); 
 
 
2 24
4
2 24
x
x
  
 
  lo¹i
; Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 2x  hoặc  2 1 6x   
 55/ 1). Giải phương trình: 2x +1 +x  2 22 1 2x 3 0x x x      
 2) Giải phương trình:    14 2 2 2 1 sin 2 1 2 0x x x x y       . 
 3) Giải bất phương trình: 
2 2
1 2
9 1 10.3
x x x x     . 
Giải 
1) Giải phương trình : 2x +1 +x  2 22 1 2x 3 0x x x      . (a) 
* Đặt: 
          
     
         
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
2
v u 2x 1
u x 2, u 0 u x 2
v u 1
v x 2x 3 xv x 2x 3, v 0
2
 Ta có: 
            
                          
       
  
   
                      
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
v u 1 v u 1 v u u v u v
(a) v u .u 1 .v 0 v u .u .v 0
2 2 2 2 2 2
v u 0 (b)
v u 1
(v u) (v u) 1 0 v u 1
(v u) 1 0 (c)2 2
2 2
 Vì u > 0, v > 0, nên (c) vô nghiệm. 
 Do đó: 
                  
2 2 2 2
1
(a) v u 0 v u x 2x 3 x 2 x 2x 3 x 2 x
2
Kết luận, phương trình có nghiệm duy nhất: x = 
1
2
 . 
 2) Giải phương trình    14 2 2 2 1 sin 2 1 2 0x x x x y       (*) 
Ta có: (*)      
 
 
2
2
2 1 sin 2 1 0(1)
2 1 sin 2 1 os 2 1 0
os 2 1 0(2)
x x
x x x
x
y
y c y
c y
     
         
  
Từ (2)   sin 2 1 1x y    . 
Khi  sin 2 1 1x y   , thay vào (1), ta được: 2x = 0 (VN) 
 Khi  sin 2 1 1x y    , thay vào (1), ta được: 2x = 2  x = 1. 
Thay x = 1 vào (1)  sin(y +1) = -1  1 ,
2
y k k Z

     . 
Kết luận: Phương trình có nghiệm: 1; 1 ,
2
k k Z


 
    
 
. 
3) Giải bất phương trình: 
2 2
1 2
9 1 10.3
x x x x     . Đặt 
2
3x xt  , t > 0. 
Bất phương trình trở thành: t2 – 10t + 9  0  ( t  1 hoặc t  9) 
 Khi t  1  
2 23 1 0 1 0x xt x x x        .(i) 
 Khi t  9  
2 2
2
3 9 2 0
1
x x
x
t x x
x
          
(2i) 
Kết hợp (i) và (2i) ta có tập nghiệm của bpt là: S = (- ; -2][-1;0][1; + ). 
56/ Giải phương trình, hệ phương trình: 
 1. 
 
3log1
2 2
2
x
x x x
 
    
  ; 2. 
2 2
2 2
12
12
x y x y
y x y
    

  
Giải: 1) Phương trình đã cho tương đương: 
33
loglog
3
2 0 22 0
111 log ln 0ln 01
222
222 0
xx
x xx
x xxx
xxx
     
  
                                  
3
2 2 2
log 0 1 1
21 1 3
ln 0 1
2 2 2
2 22
x x x
x x x
x
x x x
x xx
   
                                       
       
 Điều kiện: | | | |x y 
Đặt 
2 2 ; 0u x y u
v x y
   

 
; x y  không thỏa hệ nên xét x y  ta có 
21
2
u
y v
v
 
  
 
. 
 2) Hệ phương trình đã cho có dạng: 
 2
12
12
2
u v
u u
v
v
 

 
  
 
4
8
u
v

 

 hoặc 
3
9
u
v



+ 
2 24 4
8 8
u x y
v x y
  
 
   
(I) 
+ 
2 23 3
9 9
u x y
v x y
  
 
   
(II) Giải hệ (I), (II). Sau đó hợp các kết quả lại, ta được tập nghiệm của hệ 
phương trình ban đầu là     5;3 , 5;4S  Sau đó hợp các kết quả lại, ta được tập nghiệm của hệ phương 
trình ban đầu là     5;3 , 5;4S  
 57/ Giải hệ phương trình: 




yyxx
yyxyx
)2)(1(
4)(1
2
2
 (x, y R ) 
Giải: 
2) Hệ phương trình tương đương với
2
2
1
( 2) 2
1
( 2) 1
x
x y
y
x
x y
y
 
   


   

 Đặt 2yxv,
y
1x
u
2


 
 Ta có hệ 1vu
1uv
2vu






 Suy ra 








12yx
1
y
1x2
. 
 Giải hệ trên ta được nghiệm của hệ phưng trình đã cho là (1; 2), (-2; 5) 
 58 / Tìm các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình sau có nghiệm thực: 
2 2
1 1 1 1
9 ( 2)3 2 1 0
x x
m m
        (1) 
Giải: * Đk [-1;1]x , đặt t = 
2
1 1
3
x  ; [-1;1]x  [3;9]t 
Ta có: (1) viết lại 
2
2 2
2 1
( 2) 2 1 0 ( 2) 2 1
2
t t
t m t m t m t t m
t
 
           

Xét hàm số f(t) = 
2
2 1
2
t t
t
 

 , với [3;9]t . Ta có: 
2
/ /
14 3
( ) , ( ) 0
3( 2)
tt t
f t f t
tt
 
     
Lập bảng biến thiên 
t 3 9 
f/(t) + 
f(t) 
48
7
4 
Căn cứ bảng biến thiêng, (1) có nghiệm [-1;1]x  (2) có nghiệm [3;9]t  484
7
m  
 59/ Giải phương trình: 
( ) ( ) ( )
2 3 3
1 1 1
4 4 4
3
log x 2 3 log 4 x log x 6
2
+ - = - + +
Giải: bất phương trình: 
)
7
1
(log)54(log
2
1
2
1
2
2


x
xx (1) 
 Đk: 











7
);1()5;(
07
0542
x
x
x
xx
 )1()5;7(  x 
Từ (1) 
7
1
log2)54(log 2
2
2


x
xx 
2 2 2 2
2 2log ( 4 5) log ( 7) 4 5 14 49
27
10 54
5
x x x x x x x
x x
          

    
Kết hợp điều kiện: Vậy BPT có nghiệm: )
5
27
;7(

x 
 60/ Giải hệ phương trình :






22
1
322
33
yxyyx
yx
Giải: 













)2(022
)1(1
22
1
2233
33
322
33
xyyxyx
yx
yxyyx
yx
 y 0 . Ta có: 
























)4(0122
)3(1
23
33
y
x
y
x
y
x
yx
Đặt : t
y
x
 (4) có dạng : 2t
3 – t2 – 2t + 1 = 0  t = ,1 t = 
2
1
. 
a) Nếu t = 1 ta có hệ 
3
33
2
11


