120 đề ôn tập vào lớp 10 môn Toán

120 Đề ÔN TậP VàO LớP 10 
I, một số đề có đáp án
đề 1
Bài 1 : (2 điểm) 
a) Tớnh : 
b) Giải hệ phương trỡnh : 
Bài 2 : (2 điểm) 
Cho biểu thức : 
a) Rỳt gọn A. 
b) Tỡm x nguyờn để A nhận giỏ trị nguyờn. 
Bài 3 : (2 điểm) 
Một ca nụ xuụi dũng từ bến sụng A đến bến sụng B cỏch nhau 24 km ; cựng lỳc đú, cũng từ A về B một bố nứa trụi với vận tốc dũng nước là 4 km/h. Khi đến B ca nụ quay lại ngay và gặp bố nứa tại địa điểm C cỏch A là 8 km. Tớnh vận tốc thực của ca nụ. 
Bài 4 : (3 điểm) 
Cho đường trũn tõm O bỏn kớnh R, hai điểm C và D thuộc đường trũn, B là trung điểm của cung nhỏ CD. Kẻ đường kớnh BA ; trờn tia đối của tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) tại M ; MD cắt AB tại K ; MB cắt AC tại H. 
a) Chứng minh Đ BMD = Đ BAC, từ đú => tứ giỏc AMHK nội tiếp. 
b) Chứng minh : HK // CD. 
c) Chứng minh : OK.OS = R2. 
Bài 5 : (1 điểm) 
Cho hai số a và b khỏc 0 thỏa món : 1/a + 1/b = 1/2 
Chứng minh phương trỡnh ẩn x sau luụn cú nghiệm : 
(x2 + ax + b)(x2 + bx + a) = 0. 
Bài 3:
Do ca nô xuất phát từ A cùng với bè nứa nên thời gian của ca nô bằng thời gian bè nứa: (h)
Gọi vận tốc của ca nô là x (km/h) (x>4)
Theo bài ta có: 
Vởy vận tốc thực của ca nô là 20 km/h
Bài 4:
a) Ta có (GT) (2 góc nội tiếp chắn 2 cung băng nhau)
* Do A, M nhìn HK dười 1 góc bằng nhau MHKA nội tiếp.
b) Do BC = BD (do ), OC = OD (bán kính) OB là đường trung trực của CD
 CDAB (1)
Xet MHKA: là tứ giác nội tiếp, (góc nt chắn nửa đường tròn) (đl)
 HKAB (2)
Từ 1,2 HK // CD
Bài 5: 
(*) , Để PT có nghiệm (3)
(**) Để PT có nghiệm thì (4)
Cộng 3 với 4 ta có: 
 (luôn luôn đúng với mọi a, b)
De 2
Đề thi gồm cú hai trang.
PHẦN 1. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN : 	(4 điểm)
1. Tam giỏc ABC vuụng tại A cú . Giỏ trị cosC bằng :
a). ; 	b). ; 	c). ; 	d). 
2. Cho một hỡnh lập phương cú diện tớch toàn phần S1 ; thể tớch V1 và một hỡnh cầu cú diện tớch S2 ; thể tớch V2. Nếu S1 = S2 thỡ tỷ số thể tớch bằng :
a). ; 	b). ;	c). ;	d). 
3. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :
a). x ³ 2 ;	b). x ≤ –2 ;	c). x ³ –2 và x ≤ 2 ; 	d). x ³ 2 hoặc x ≤ –2
4. Cho hai phương trỡnh x2 – 2x + a = 0 và x2 + x + 2a = 0. Để hai phương trỡnh cựng vụ nghiệm thỡ :
a). a > 1 ;	b). a < 1 ;	c). ;	d). 
5. Điều kiện để phương trỡnh cú hai nghiệm đối nhau là :
a). m < 0 ; 	b). m = –1 ; 	c). m = 1 ; 	d). m = – 4
6. Cho phương trỡnh cú nghiệm x1 , x2. Biểu thức cú giỏ trị :
a). A = 28 ;	b). A = –13 ;	c). A = 13 ; 	d). A = 18
7. Cho gúc a nhọn, hệ phương trỡnh cú nghiệm :
a). ; 	b). ; 	c). ; 	d). 
8. Diện tớch hỡnh trũn ngoại tiếp một tam giỏc đều cạnh a là :
a). ;	b). ;	c). ;	d). 
PHẦN 2. TỰ LUẬN : 	(16 điểm)
Cõu 1 : 	(4,5 điểm)
Cho phương trỡnh . Định m để phương trỡnh cú 4 nghiệm phõn biệt và tổng bỡnh phương tất cả cỏc nghiệm bằng 10.
Giải phương trỡnh: 
Cõu 2 : 	(3,5 điểm)
Cho gúc nhọn a. Rỳt gọn khụng cũn dấu căn biểu thức :
Chứng minh: 
Cõu 3 : 	(2 điểm)
Với ba số khụng õm a, b, c, chứng minh bất đẳng thức :
Khi nào đẳng thức xảy ra ?
Cõu 4 : 	(6 điểm)
Cho 2 đường trũn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B phõn biệt. Đường thẳng OA cắt (O), (O’) lần lượt tại điểm thứ hai C, D. Đường thẳng O’A cắt (O), (O’) lần lượt tại điểm thứ hai E, F.
Chứng minh 3 đường thẳng AB, CE và DF đồng quy tại một điểm I.
Chứng minh tứ giỏc BEIF nội tiếp được trong một đường trũn.
Cho PQ là tiếp tuyến chung của (O) và (O’) (P ẻ (O), Q ẻ (O’)). Chứng minh đường thẳng AB đi qua trung điểm của đoạn thẳng PQ.
-----HẾT-----
ĐÁP ÁN 
PHẦN 1. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN : 	(4 điểm) 	0,5đ ´ 8
Cõu
1
2
3
4
5
6
7
8
a).
x
x
b).
x
x
c).
x
x
d).
x
x
PHẦN 2. TỰ LUẬN :
Cõu 1 : 	(4,5 điểm)
1. 
Đặt X = x2 (X ³ 0)
Phương trỡnh trở thành (1)
Phương trỡnh cú 4 nghiệm phõn biệt Û (1) cú 2 nghiệm phõn biệt dương 	+
 	(I)	+
Với điều kiện (I), (1) cú 2 nghiệm phõn biệt dương X1 , X2.
ị phương trỡnh đó cho cú 4 nghiệm x1, 2 = ; x3, 4 = 	
	+
Vậy ta cú 	+
Với m = 1, (I) được thỏa món	+
Với m = –5, (I) khụng thỏa món.	+
Vậy m = 1.
2. 
Đặt (t ³ 1)	
Được phương trỡnh 	+
	3t2 – 8t – 3 = 0
	ị t = 3 ; (loại)	+
Vậy 
ị x = ± 1.	+
Cõu 2 : 	(3,5 điểm)
1.
 (vỡ cosa > 0)	+
	+
	(vỡ cosa < 1)	+
2. 
	+
	 = 
 = 	+
 = 	+
 = 	+
Cõu 3 : 	(2 điểm)
	+
Tương tự, 	
	+
Cộng vế với vế cỏc bất đẳng thức cựng chiều ở trờn ta được điều phải chứng minh. 	+
Đẳng thức xảy ra Û a = b = c = 1	+
Cõu 4 : 	(6 điểm)
O
O’
B
A
C
D
E
F
I
P
Q
H
+
1.
Ta cú : 	ABC = 1v 
	 	ABF = 1v
ị B, C, F thẳng hàng.	+
AB, CE và DF là 3 đường cao của tam giỏc ACF nờn chỳng đồng quy.	++
2.
ECA = EBA (cựng chắn cung AE của (O)	+
Mà ECA = AFD (cựng phụ với hai gúc đối đỉnh)	+
ị EBA = AFD hay EBI = EFI	+
ị Tứ giỏc BEIF nội tiếp.	+
3.
Gọi H là giao điểm của AB và PQ
Chứng minh được cỏc tam giỏc AHP và PHB đồng dạng	+
ị ị HP2 = HA.HB	+
Tương tự, HQ2 = HA.HB	+
ị HP = HQ ị H là trung điểm PQ.	+
Lưu ý :
Mỗi dấu “+” tương ứng với 0,5 điểm.
Cỏc cỏch giải khỏc được hưởng điểm tối đa của phần đú.
Điểm từng phần, điểm toàn bài khụng làm trũn.
 luôn luôn có nghiệm.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------đề 3--
I.Trắc nghiệm:(2 điểm)
Hãy ghi lại một chữ cái đứng trước khẳng định đúng nhất.
Câu 1: Kết quả của phép tính là : 
A . 4
B . 
C . 16
D . 44
Câu 2 : Giá trị nào của m thì phương trình mx2 +2 x + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt :
A. 
B. 
C. và 
D. và 
Câu 3 :Cho nội tiếp đường tròn (O) có . Sđ là:
A . 750
B . 1050
C . 1350
D . 1500
Câu 4 : Một hình nón có bán kính đường tròn đáy là 3cm, chiều cao là 4cm thì diện tích xung quanh hình nón là:
A 9(cm2)
B. 12(cm2) 
C . 15(cm2)
D. 18(cm2)
II. Tự Luận: (8 điểm)
Câu 5 : Cho biểu thức A=
 a) Tìm x để biểu thức A có nghĩa.
 b) Rút gọn biểu thức A.
 c) Với giá trị nào của x thì A<1.
Câu 6 : Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì đầy bể sau 2 giờ 24 phút. Nếu chảy riêng từng vòi thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì mỗi vòi chảy bao lâu thì đầy bể?
Câu 7 : Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm C (AB>BC). Vẽ đường tròn tâm (O') đường kính BC.Gọi I là trung điểm của AC. Vẽ dây MN vuông góc với AC tại I, MC cắt đường tròn tâm O' tại D.
 a) Tứ giác AMCN là hình gì? Tại sao? b) Chứng minh tứ giác NIDC nội tiếp?	 
	c) Xác định vị trí tương đối của ID và đường tròn tâm (O) với đường tròn tâm (O'). 
Đáp án 
Câu
Nội dung
Điểm
1
C
0.5
2
D
0.5
3
D
0.5
4
C
0.5
5
a) A có nghĩa 
0.5
b) A=
0.5
=
0.25
=2
0.25
c) A<1 2<1
0.25
0.25
 x<1
0.25
Kết hợp điều kiện câu a) Vậy với thì A<1
0.25
6
2giờ 24 phút= giờ
Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x (giờ) ( Đk x>0)
0.25
Thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là: x+2 (giờ)
Trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy được : (bể)
0.5
Trong 1 giờ vòi thứ hai chảy được : (bể)
Trong 1 giờ cả hai vòi chảy được : +(bể)
Theo bài ra ta có phương trình: +=
0.25
Giaỉ phương trình ta được x1=4; x2=-(loại)
0.75
Vậy: Thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là:4 giờ
 Thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là: 4+2 =6(giờ)
0.25
7
Vẽ hình và ghi gt, kl đúng 
0.5
a) Đường kính ABMN (gt) I là trung điểm của MN (Đường kính và dây cung)
0.5
IA=IC (gt) Tứ giác AMCN có đương chéo AC và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và vuông góc với nhau nên là hình thoi.
0.5
b) (góc nội tiếp chắn 1/2 đường tròn tâm (O) )
BN AN.
AN// MC (cạnh đối hình thoi AMCN).
BN MC (1)
(góc nội tiếp chắn 1/2 đường tròn tâm (O') )
BD MC (2)
Từ (1) và (2) N,B,D thẳng hàng do đó (3).
(vì ACMN) (4)
0.5
Từ (3) và (4) N,I,D,C cùng nằm trên đường tròn đường kính NC
 Tứ giác NIDC nội tiếp
0.5
c) OBA. O'BC mà BA vafBC là hai tia đối nhau B nằm giữa O và O' do đó ta có OO'=OB + O'B đường tròn (O) và đường tròn (O') tiếp xúc ngoài tại B
0.5
MDN vuông tại D nên trung tuyến DI =MN =MI MDI cân .
Tương tự ta có mà (vì )
0.25
 mà 
do đó IDDO ID là tiếp tuyến của đường tròn (O').
0.25
Chú ý: Nếu thí sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
Đề 4
Câu1 : Cho biểu thức 
 A=Với xạ;±1
 .a, Ruý gọn biểu thức A
 .b , Tính giá trị của biểu thức khi cho x=
 c. Tìm giá trị của x để A=3
 Câu2.a, Giải hệ phương trình:
 b. Giải bất phương trình: 
 <0
 Câu3. Cho phương trình (2m-1)x2-2mx+1=0
Xác định m để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1,0)
Câu 4. Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính BC .Điểm A thuộc nửa đường tròn đó Dưng hình vuông ABCD thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa đỉnh C. Gọi Flà giao điểm của Aevà nửa đường tròn (O) . Gọi Klà giao điểm của CFvà ED 
chứng minh rằng 4 điểm E,B,F,K. nằm trên một đường tròn 
Tam giác BKC là tam giác gì ? Vì sao. ? 
đáp án
Câu 1: a. Rút gọn A=
b.Thay x= vào A ta được A= 
c.A=3 x2-3x-2=0=> x=
Câu 2 : a)Đặt x-y=a ta được pt: a2+3a=4 => a=-1;a=-4
Từ đó ta có
* (1)
 *(2)
Giải hệ (1) ta được x=3, y=2 
Giải hệ (2) ta được x=0, y=4 
Vậy hệ phương trình có nghiệm là x=3, y=2 hoặc x=0; y=4
 Ta có x3-4x2-2x-15=(x-5)(x2+x+3) 
mà x2+x+3=(x+1/2)2+11/4>0 với mọi x 
Vậy bất phương trình tương đương với x-5>0 =>x>5 
Câu 3: Phương trình: ( 2m-1)x2-2mx+1=0
Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành –x+1=0=> x=1 
Xét 2m-1ạ0=> mạ 1/2 khi đó ta có
	= m2-2m+1= (m-1)2³0 mọi m=> pt có nghiệm với mọi m
ta thấy nghiệm x=1 không thuộc (-1,0) 
với mạ 1/2 pt còn có nghiệm x== 
pt có nghiệm trong khoảng (-1,0)=> -1<<0 
=>=>m<0 
Vậy Pt có nghiệm trong khoảng (-1,0) khi và chỉ khi m<0
Câu 4: 
a. Ta có KEB= 900 
mặt khác BFC= 900( góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)
do CF kéo dài cắt ED tại D 
=> BFK= 900 => E,F thuộc đường tròn đường kính BK
hay 4 điểm E,F,B,K thuộc đường tròn đường kính BK.
b. BCF= BAF 
Mà BAF= BAE=450=> BCF= 450
Ta có BKF= BEF
Mà BEF= BEA=450(EA là đường chéo của hình vuông ABED)=> BKF=450
Vì BKC= BCK= 450=> tam giác BCK vuông cân tại B
Đề 5
Bài 1: Cho biểu thức: P = 
a,Rút gọn P
b,Tìm x nguyên để P có giá trị nguyên.
Bài 2: Cho phương trình: x2-( 2m + 1)x + m2 + m - 6= 0 (*)
a.Tìm m để phương trình (*) có 2 nghiệm âm.
b.Tìm m để phương trình (*) có 2 nghiệm x1; x2 thoả mãn =50
Bài 3: Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm dương phân biệt x1, x2Chứng minh:
a,Phương trình ct2 + bt + a =0 cũng có hai nghiệm dương phân biệt t1 và t2.
b,Chứng minh: x1 + x2 + t1 + t2 4
Bài 4: Cho tam giác có các góc nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O . H là trực tâm của tam giác. D là một điểm trên cung BC không chứa điểm A.
a, Xác định vị trí của điẻm D để tứ giác BHCD là hình bình hành.
b, Gọi P và Q lần lượt là các điểm đối xứng của điểm D qua các đường thẳng AB và AC . Chứng minh rằng 3 điểm P; H; Q thẳng hàng.
c, Tìm vị trí của điểm D để PQ có độ dài lớn nhất.
Bài 5: Cho hai số dương x; y thoả mãn: x + y 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = 
Đáp án
Bài 1: (2 điểm). ĐK: x 
a, Rút gọn: P = P = 
b. P = 
Để P nguyên thì
Vậy với x= thì P có giá trị nguyên.
Bài 2: Để phương trình có hai nghiệm âm thì:
b. Giải phương trình: 
Bài 3: a. Vì x1 là nghiệm của phương trình: ax2 + bx + c = 0 nên ax12 + bx1 + c =0. .
Vì x1> 0 => c. Chứng tỏ là một nghiệm dương của phương trình: ct2 + bt + a = 0; t1 = Vì x2 là nghiệm của phương trình: 
ax2 + bx + c = 0 => ax22 + bx2 + c =0
vì x2> 0 nên c. điều này chứng tỏ là một nghiệm dương của phương trình ct2 + bt + a = 0 ; t2 = 
Vậy nếu phương trình: ax2 + bx + c =0 có hai nghiẹm dương phân biệt x1; x2 thì phương trình : ct2 + bt + a =0 cũng có hai nghiệm dương phân biệt t1 ; t2 . t1 = ; t2 =
b. Do x1; x1; t1; t2 đều là những nghiệm dương nên 
 t1+ x1 = + x1 2 t2 + x2 = + x2 2
 Do đó x1 + x2 + t1 + t2 4 
Bài 4
a. Giả sử đã tìm được điểm D trên cung BC sao cho tứ giác BHCD là hình bình hành . Khi đó: BD//HC; CD//HB vì H là trực tâm tam giác ABC nên 
CH và BH => BD và CD.
 Do đó: ABD = 900 và ACD = 900 . 
Vậy AD là đường kính của đường tròn tâm O 
 Ngược lại nếu D là đầu đường kính AD 
của đường tròn tâm O thì 
tứ giác BHCD là hình bình hành.
Vì P đối xứng với D qua AB nên APB = ADB 
nhưng ADB =ACB nhưng ADB = ACB 
Do đó: APB = ACB Mặt khác: 
AHB + ACB = 1800 => APB + AHB = 1800 
Tứ giác APBH nội tiếp được đường tròn nên PAB = PHB
Mà PAB = DAB do đó: PHB = DAB
Chứng minh tương tự ta có: CHQ = DAC 
Vậy PHQ = PHB + BHC + CHQ = BAC + BHC = 1800
Ba điểm P; H; Q thẳng hàng 
c). Ta thấy APQ là tam giác cân đỉnh A 
Có AP = AQ = AD và PAQ = 2BAC không đổi nên cạnh đáy PQ 
đạt giá trị lớn nhất ú AP và AQ là lớn nhất hay ú AD là lớn nhất 
ú D là đầu đường kính kẻ từ A của đường tròn tâm O 
Đề 6
Bài 1: Cho biểu thức: 
a). Tìm điều kiện của x và y để P xác định . Rút gọn P.
b). Tìm x,y nguyên thỏa mãn phơng trình P = 2.
Bài 2: Cho parabol (P) : y = -x2 và đờng thẳng (d) có hệ số góc m đi qua điểm M(-1 ; -2) .
a). Chứng minh rằng với mọi giá trị của m (d) luôn cắt (P) tại hai điểm A , B phân biệt
b). Xác định m để A,B nằm về hai phía của trục tung.
Bài 3: Giải hệ phơng trình :
Bài 4: Cho đường tròn (O) đờng kính AB = 2R và C là một điểm thuộc đường tròn . Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C , kẻ tia Ax tiếp xúc với đờng tròn (O), gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC . Tia BC cắt Ax tại Q , tia AM cắt BC tại N.
a). Chứng minh các tam giác BAN và MCN cân .
b). Khi MB = MQ , tính BC theo R.
Bài 5: Cho thỏa mãn : 
 Hãy tính giá trị của biểu thức : M = + (x8 – y8)(y9 + z9)(z10 – x10) .
Đáp án 
Bài 1: a). Điều kiện để P xác định là :; .
*). Rút gọn P:
 Vậy P = 
b). P = 2 = 2
Ta có: 1 + ị ị x = 0; 1; 2; 3 ; 4
Thay vào ta cócác cặp giá trị (4; 0) và (2 ; 2) thoả mãn
Bài 2: a). Đường thẳng (d) có hệ số góc m và đi qua điểm M(-1 ; -2) . Nên phơng trình đờng thẳng (d) là : y = mx + m – 2.
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phơng trình:
 - x2 = mx + m – 2 
 x2 + mx + m – 2 = 0 (*)
 Vì phơng trình (*) có nên phơng trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt , do đó (d) và (P) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B.
b). A và B nằm về hai phía của trục tung phơng trình : x2 + mx + m – 2 = 0 có hai nghiệm trái dấu m – 2 < 0 m < 2.
Bài 3 : 
 ĐKXĐ : 
Thay vào (1) => x = y = z = 3 .
Ta thấy x = y = z = 3 thõa mãn hệ phơng trình . Vậy hệ phơng trình có nghiệm duy nhất x = y = z = 3.
Bài 4:
a). Xét và . 
Ta có: AB là đờng kính của đờng tròn (O) 
nên :AMB = NMB = 90o .
M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC 
nên ABM = MBN => BAM = BNM
 => cân đỉnh B.
Tứ giác AMCB nội tiếp 
=> BAM = MCN ( cùng bù với góc MCB).
=> MCN = MNC ( cùng bằng góc BAM). 
=> Tam giác MCN cân đỉnh M
b). Xét và có :
 MC = MN (theo cm trên MNC cân ) ; MB = MQ ( theo gt)
 BMC = MNQ ( vì : MCB = MNC ; MBC = MQN ).
=> => BC = NQ .
Xét tam giác vuông ABQ có AB2 = BC . BQ = BC(BN + NQ)
=> AB2 = BC .( AB + BC) = BC( BC + 2R)
=> 4R2 = BC( BC + 2R) => BC = 
Bài 5:
Từ : =>
=> 
Ta có : x8 – y8 = (x + y)(x-y)(x2+y2)(x4 + y4).= 
 y9 + z9 = (y + z)(y8 – y7z + y6z2 - .......... + z8)
 z10- x10 = (z + x)(z4 – z3x + z2x2 – zx3 + x4)(z5 - x5)
Vậy M = + (x + y) (y + z) (z + x).A = 
Đề 7
Bài 1: 1) Cho đường thẳng d xác định bởi y = 2x + 4. Đường thẳng d/ đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng y = x là: 
A.y = x + 2 ; B.y = x - 2 ; C.y = x - 2 ; D.y = - 2x - 4
Hãy chọn câu trả lời đúng.
2) Một hình trụ có chiều cao gấp đôi đường kính đáy đựng đầy nước, nhúng chìm vào bình một hình cầu khi lấy ra mực nước trong bình còn lại bình. Tỉ số giữa bán kính hình trụ và bán kính hình cầu là A.2 ; B. ; C. ; D. một kết quả khác.
Bìa2: 	1) Giải phương trình: 2x4 - 11 x3 + 19x2 - 11 x + 2 = 0
2) 	Cho x + y = 1 (x > 0; y > 0) Tìm giá trị lớn nhất của A = + 
Bài 3: 1) 	Tìm các số nguyên a, b, c sao cho đa thức : (x + a)(x - 4) - 7
	Phân tích thành thừa số được : (x + b).(x + c)
2) Cho tam giác nhọn xây, B, C lần lượt là các điểm cố định trên tia Ax, Ay sao cho AB < AC, điểm M di động trong góc xAy sao cho = 
	Xác định vị trí điểm M để MB + 2 MC đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 4: Cho đường tròn tâm O đường kính AB và CD vuông góc với nhau, lấy điểm I bất kỳ trên đoan CD.
	a) Tìm điểm M trên tia AD, điểm N trên tia AC sao cho I lag trung điểm của MN.
	b) Chứng minh tổng MA + NA không đổi.
	c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN đi qua hai điểm cố định.
Hướng dẫn 
Bài 1: 1) Chọn C. Trả lời đúng.	
	2) Chọn D. Kết quả khác: Đáp số là: 1	 
Bài 2 : 1)A = (n + 1)4 + n4 + 1 = (n2 + 2n + 1)2 - n2 + (n4 + n2 + 1)	
	 = (n2 + 3n + 1)(n2 + n + 1) + (n2 + n + 1)(n2 - n + 1)	
	 = (n2 + n + 1)(2n2 + 2n + 2) = 2(n2 + n + 1)2	
	Vậy A chia hết cho 1 số chính phương khác 1 với mọi số nguyên dương n.	
 2) Do A > 0 nên A lớn nhất A2 lớn nhất.	
	Xét A2 = (+ )2 = x + y + 2 = 1 + 2 (1)	
	Ta có: (Bất đẳng thức Cô si)	
	=> 1 > 2 (2)	
	Từ (1) và (2) suy ra: A2 = 1 + 2 < 1 + 2 = 2	
	Max A2 = 2 x = y = , max A = x = y = 	
Bài3 	Câu 1Với mọi x ta có (x + a)(x - 4) - 7 = (x + b)(x + c)
	Nên với x = 4 thì - 7 = (4 + b)(4 + c)	
	Có 2 trường hợp: 4 + b = 1 và 4 + b = 7	
	 4 + c = - 7 4 + c = - 1
	Trường hợp thứ nhất cho b = - 3, c = - 11, a = - 10	
	Ta có (x - 10)(x - 4) - 7 = (x - 3)(x - 11)	
	Trường hợp thứ hai cho b = 3, c = - 5, a = 2	
	Ta có (x + 2)(x - 4) - 7 = (x + 3)(x - 5)	
Câu2 (1,5điểm)
	Gọi D là điểm trên cạnh AB sao cho: 	AD = AB. Ta có D là điểm cố định 
Mà = (gt) do đó = 	 
Xét tam giác AMB và tam giác ADM có MâB (chung)
	 	 = = 	
Do đó Δ AMB ~ Δ ADM => = = 2 
=> MD = 2MD (0,25 điểm)
Xét ba điểm M, D, C : MD + MC > DC (không đổi) 	 
Do đó MB + 2MC = 2(MD + MC) > 2DC	
Dấu "=" xảy ra M thuộc đoạn thẳng DC
Giá trị nhỏ nhất của MB + 2 MC là 2 DC	
* Cách dựng điểm M.
	- Dựng đường tròn tâm A bán kính AB
	- Dựng D trên tia Ax sao cho AD = AB	 
	M là giao điểm của DC và đường tròn (A; AB) 
Bài 4: a) Dựng (I, IA) cắt AD tại M cắt tia AC tại N 
	 Do MâN = 900 nên MN là đường kính
	Vậy I là trung điểm của MN	 
b) Kẻ MK // AC ta có : ΔINC = ΔIMK (g.c.g) 
 => CN = MK = MD (vì ΔMKD vuông cân) 
Vậy AM+AN=AM+CN+CA=AM+MD+CA 
=> AM = AN = AD + AC không đổi	 
	c) Ta có IA = IB = IM = IN	 
Vậy đường tròn ngoại tiếp ΔAMN đi qua hai điểm A, B cố định	.	 
Đề 8
Bài 1. Cho ba số x, y, z thoã mãn đồng thời :
Tính giá trị của biểu thức :.
Bài 2). Cho biểu thức :.
Với giá trị nào của x, y thì M đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Bài 3. Giải hệ phương trình : 
Bài 4. Cho đường tròn tâm O đường kính AB bán kính R. Tiếp tuyến tại điểm M bbất kỳ trên đường tròn (O) cắt các tiếp tuyến tại A và B lần lượt tại C và D.
a.Chứng minh : AC . BD = R2.
b.Tìm vị trí của điểm M để chu vi tam giác COD là nhỏ nhất .
Bài 5.Cho a, b là các số thực dương. Chứng minh rằng :
Bài 6).Cho tam giác ABC có phân giác AD. Chứng minh : AD2 = AB . AC - BD . DC.
Hướng dẫn giải
Bài 1. Từ giả thiết ta có : 
Cộng từng vế các đẳng thức ta có : 
 Vậy : A = -3. 
Bài 2.(1,5 điểm) Ta có : 
Do và 
 Bài 3. Đặt : Ta có : u ; v là nghiệm của phương trình :
 ; 
 ; 
Giải hai hệ trên ta được : Nghiệm của hệ là : 
(3 ; 2) ; (-4 ; 2) ; (3 ; -3) ; (-4 ; -3) và các hoán vị. 
 Bài 4. a.Ta có CA = CM; DB = DM 
Các tia OC và OD là phân giác của hai góc AOM và MOB nên OC OD
Tam giác COD vuông đỉnh O, OM là đường cao thuộc cạnh huyền CD nên :
o
h
d
c
m
b
a
MO2 = CM . MD 
R2 = AC . BD 
b.Các tứ giác ACMO ; BDMO nội tiếp 
 (0,25đ)
Do đó : (MH1 AB) 
Do MH1 OM nên 
 Chu vi chu vi 
Dấu = xảy ra MH1 = OM MO M là điểm chính giữa của cung 
Bài 5 (1,5 điểm) Ta có : a , b > 0 
 a , b > 0
 Mặt khác 
Nhân từng vế ta có : 
Bài 6. (1 điểm) Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp 
d
e
c
b
a
Gọi E là giao điểm của AD và (O)
Ta có: (g.g)
Lại có : 
Đè 9
Câu 1: Cho hàm số f(x) = 
a) Tính f(-1); f(5)
b) Tìm x để f(x) = 10
c) Rút gọn A = khi x ạ 
Câu 2: Giải hệ phương trình
Câu 3: Cho biểu thứcA = với x > 0 và x ạ 1
a) Rút gọn A
b) Tìm giá trị của x để A = 3
Câu 4: Từ điểm P nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA; PB. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A đến đường kính BC.
a) Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm E của AH
b) Giả sử PO = d. Tính AH theo R và d.
Câu 5: Cho phương trình 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0
Không giải phương trình, tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn: 3x1 - 4x2 = 11
đáp án
Câu 1a)	f(x) = 	
	Suy ra f(-1) = 3; f(5) = 3	
b) 	
c) 	
	Với x > 2 suy ra x - 2 > 0 suy ra 	
	Với x < 2 suy ra x - 2 < 0 suy ra 	
Câu 2
Câu 3 a)	Ta có: 	 A = = 	 = = = = = 	
b) A = 3 => = 3 => 3x + - 2 = 0 => x = 2/3 	
Câu 4
O
B
C
H
E
A
P
Do HA // PB (Cùng vuông góc với BC)
 nên theo định lý Ta let áp dụng cho CPB ta có 
 ;	(1)	 
Mặt khác, do PO // AC (cùng vuông góc với AB)
	=>	POB = ACB (hai góc đồng vị)
=>	D AHC D POB
Do đó: 	(2)	 
Do CB = 2OB, kết hợp (1) và (2) ta suy ra AH = 2EH hay E là trung điểm của AH.
b) Xét tam giác vuông BAC, đường cao AH ta có AH2 = BH.CH = (2R - CH).CH
	Theo (1) và do AH = 2EH ta có
	 AH2.4PB2 = (4R.PB - AH.CB).AH.CB
	 4AH.PB2 = 4R.PB.CB - AH.CB2
	 AH (4PB2 +CB2) = 4R.PB.CB	
Câu 5 Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 thì D > 0
	 (2m - 1)2 - 4. 2. (m - 1) > 0
	Từ đó suy ra m ạ 1,5	(1)	
Mặt khác, theo định lý Viét và giả thiết ta có:
Giải phương trình 	
ta được m = - 2 và m = 4,125	(2)	
Đối chiếu điều kiện (1) và (2) ta có: Với m = - 2 hoặc m = 4,125 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: x1 + x2 = 11	
Đề 10
Câu 1: Cho P = + - 
a/. Rút gọn P.
b/. Chứng minh: P < với x 0 và x 1.
Câu 2: Cho phương trình : x2 – 2(m - 1)x + m2 – 3 = 0 ( 1 ) ; m là tham số.
a/. Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
b/. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia.
Câu 3: a/. Giải phương trình : + = 2
b/. Cho a, b, c là các số thực thõa mãn :
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất của Q = 6 a + 7 b + 2006 c.
Câu 4: Cho cân tại A với AB > BC. Điểm D di động trên cạnh AB, ( D không trùng với A, B). Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp . Tiếp tuyến của (O) tại C và D cắt nhau ở K .
a/. Chứng minh tứ giác ADCK nội tiếp.
b/. Tứ giác ABCK là hình gì? Vì sao?
c/. Xác định vị trí điểm D sao cho tứ giác ABCK là hình bình hành.
Đáp án
Câu 1: Điều kiện: x 0 và x 1. (0,25 điểm)
P = + - 
 = + - 
 = 
 = = 	
b/. Với x 0 và x 1 .Ta có: P < < 
 3 0 )
 x - 2 + 1 > 0
 ( - 1)2 > 0. ( Đúng vì x 0 và x 1)
Câu 2:a/. Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi ’ 0.
 (m - 1)2 – m2 – 3 0
 4 – 2m 0
 m 2.
	b/. Với m 2 thì (1) có 2 nghiệm.
	Gọi một nghiệm của (1) là a thì nghiệm kia là 3a . Theo Viet ,ta có:
	 a= 3()2 = m2 – 3
	 m2 + 6m – 15 = 0
	 m = –32 ( thõa mãn điều kiện).
Câu 3:
	Điều kiện x 0 ; 2 – x2 > 0 x 0 ; < .
	Đặt y = > 0
	Ta có: 
Từ (2) có : x + y = 2xy. Thay vào (1) có : xy = 1 hoặc xy = -
 * Nếu xy = 1 thì x+ y = 2. Khi đó x, y là nghiệm của phương trình:
 X2 – 2X + 1 = 0 X = 1 x = y = 1.
 * Nếu xy = - thì x+ y = -1. Khi đó x, y là nghiệm của phương trình:
 	X2 + X - = 0 X = 
 Vì y > 0 nên: y = x = 
	Vậy phương trình có hai nghiệm: x1 = 1 ; x2 = 
Câu 4: c/. Theo câu b, tứ giác ABCK là hình thang. 
Do đó, tứ giác ABCK là hình bình hành AB // CK 
Mà sđ = sđ = 
Nên 
Dựng tia Cy sao cho .Khi đó, D là giao điểm của và Cy.
Với giả thiết > thì > > .
 D AB .
	Vậy điểm D xác định như trên là điểm cần tìm.
Đề 11
Câu 1: a) Xác định x R để biểu thức :A = Là một số tự nhiên
b. Cho biểu thức: P = Biết x.y.z = 4 , tính .
Câu 2:Cho các điểm A(-2;0) ; B(0;4) ; C(1;1) ; D(-3;2)
Chứng minh 3 điểm A, B ,D thẳng hàng; 3 điểm A, B, C không thẳng hàng.
Tính diện tích tam giác ABC.
Câu3 Giải phương trình: 
Câu 4 Cho đường tròn (O;R) và một điểm A sao cho OA = R. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn. Một góc éxOy = 450 cắt đoạn thẳng AB và AC lần lượt tại D và E.
	Chứng minh rằng:
	a.DE là tiếp tuyến của đường tròn ( O ).
	b. 
đáp án 
Câu 1:	 a.
A =
	A là số tự nhiên -2x là số tự nhiên x = 
	(trong đó k Z và k 0 )
	b.Điều kiện xác định: x,y,z 0, kết hpọ với x.y.z = 4 ta được x, y, z > 0 và 
Nhân cả tử và mẫu của hạng tử thứ 2 với ; thay 2 ở mẫu của hạng tử thứ 3 bởi ta được:
 P = 	(1đ)
 vì P > 0	
Câu 2:	a.Đường thẳng đi qua 2 điểm A và B có dạng y = ax + b
Điểm A(-2;0) và B(0;4) thuộc đường thẳng AB nên b = 4; a = 2
Vậy đường thẳng AB là y = 2x + 4.	
Điểm C(1;1) có toạ độ không thoả mãn y = 2x + 4 nên C không thuộc đường thẳng AB A, B, C không thẳng hàng.	
Điểm D(-3;2) có toạ độ thoả mãn y = 2x + 4 nên điểm D thuộc đường thẳng AB A,B,D thẳng hàn
	b.Ta có :
	AB2 = (-2 – 0)2 + (0 – 4)2 =20
	AC2 = (-2 – 1)2 + (0 –1)2 =10
	BC2 = (0 – 1)2 + (4 – 1)2 = 10
 AB2 = AC2 + BC2 DABC vuông tại C
Vậy SDABC = 1/2AC.BC = ( đơn vị diện tích )
Câu 3:	Đkxđ x1, đặt ta có hệ phương trình:
B
M
A
O
C
D
E
 Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế ta được: v = 2 	
	 x = 10.	
Câu 4
a.áp dụng định lí Pitago tính được 	
AB = AC = R ABOC là hình 
vuông (0.5đ)
Kẻ bán kính OM sao cho 
éBOD = éMOD
éMOE = éEOC (0.5đ)
Chứng minh DBOD = DMOD
	éOMD = éOBD = 900
Tương tự: éOME = 900
D, M, E thẳng hàng. Do đó DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).	
	b.Xét DADE có DE < AD +AE mà DE = DB + EC 
2ED < AD +AE +DB + EC hay 2DE < AB + AC = 2RDE < R	
Ta có DE > AD; DE > AE ; DE = DB + EC
 Cộng từng vế ta được: 3DE > 2R DE > R
	Vậy R > DE > R	
Đề 12
Câu 1: Cho hàm số f(x) = 
a) Tính f(-1); f(5)
b) Tìm x để f(x) = 10
c) Rút gọn A = khi x ạ 
Câu 2: Giải hệ phương trình
Câu 3: Cho biểu thức
	A = với x > 0 và x ạ 1
a) Rút gọn A
2) Tìm giá trị của x để A = 3
Câu 4: Từ điểm P nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA; PB. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A đến đường kính BC.
a) Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm E của AH
b) Giả sử PO = d. Tính AH theo R và d.
Câu 5: Cho phương trình 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0
Không giải phương trình, tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn: 3x1 - 4x2 = 11
đáp án 
Câu 1
a)	f(x) = 	
	Suy ra f(-1) = 3; f(5) = 3	
b) 	
c) 	
	Với x > 2 suy ra x - 2 > 0 suy ra 	
	Với x < 2 suy ra x - 2 < 0 suy ra 
Câu 2
Câu 3a)	Ta có: 	 A = 
	 	 = 	
	 = 
	 = 
	 = = = 	
O
B
C
H
E
A
P
b) A = 3 => = 3 => 3x + - 2 = 0 => x = 2/3 	
Câu 4
Do HA // PB (Cùng vuông góc với BC) 
nên theo định lý Ta let áp dụng cho tam giác CPB ta có 
 ;	(1)	 
Mặt khác, do PO // AC (cùng vuông góc với AB)
	=>	POB = ACB (hai góc đồng vị)
=>	D AHC D POB
Do đó: 	(2)	 
Do CB = 2OB, kết hợp (1) và (2) ta suy ra AH = 2EH hay E là trug điểm của AH.	 
b) Xét tam giác vuông BAC, đường cao AH ta có AH2 = BH.CH = (2R - CH).CH
	Theo (1) và do AH = 2EH ta có
	 AH2.4PB2 = (4R.PB - AH.CB).AH.CB
	 4AH.PB2 = 4R.PB.CB - AH.CB2
	 AH (4PB2 +CB2) = 4R.PB.CB	
Câu 5 (1đ)
	Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 thì D > 0
	 (2m - 1)2 - 4. 2. (m - 1) > 0
	Từ đó suy ra m ạ 1,5	(1)	
Mặt khác, theo định lý Viét và giả thiết ta có:
Giải phương trình 	
ta được m = - 2 và m = 4,125	(2)
Đối chiếu điều kiện (1) và (2) ta có: Với m = - 2 hoặc m = 4,125 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt t
Đề 13
Câu I : Tính giá trị của biểu thức:
A = + ++ .....+ 
B = 35 + 335 + 3335 + ..... + 
Câu II :Phân tích thành nhân tử :
X2 -7X -18 
(x+1) (x+2)(x+3)(x+4)
1+ a5 + a10
Câu III : 
Chứng minh : (ab+cd)2 (a2+c2)( b2 +d2)
áp dụng : cho x+4y = 5 . Tìm GTNN của biểu thức : M= 4x2 + 4y2 
Câu 4 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), I là trung điểm của BC, M là một điểm trên đoạn CI ( M khác C và I ). Đường thẳng AM cắt (O) tại D, tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AIM tại M cắt BD và DC tại P và Q.
Chứng minh DM.AI= MP.IB
Tính tỉ số : 
Câu 5: 
 Cho P = 
Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa, rút gọn biểu thức.
đáp án
Câu 1 : 
1) A = + ++ .....+ 
 = (+ + + .....+ ) = () 
2) B = 35 + 335 + 3335 + ..... + = 
=33 +2 +333+2 +3333+2+.......+ 333....33+2 
= 2.99 + ( 33+333+3333+...+333...33)
= 198 + ( 99+999+9999+.....+999...99) 
198 + ( 102 -1 +103 - 1+104 - 1+ ....+10100 – 1) = 198 – 33 +
B = +165 
Câu 2: 1)x2 -7x -18 = x2 -4 – 7x-14 = (x-2)(x+2) - 7(x+2) = (x+2)(x-9) (1đ)
2)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) -3= (x+1)(x+4)(x+2)(x+3)-3
= (x2+5x +4)(x2 + 5x+6)-3= [x2+5x +4][(x2 + 5x+4)+2]-3
= (x2+5x +4)2 + 2(x2+5x +4)-3=(x2+5x +4)2 - 1+ 2(x2+5x +4)-2
 = [(x2+5x +4)-1][(x2+5x +4)+1] +2[(x2+5x +4)-1]
 = (x2+5x +3)(x2+5x +7) 
 3) a10+a5+1
 = a10+a9+a8+a7+a6 + a5 +a5+a4+a3+a2+a +1
 - (a9+a8+a7 )- (a6 + a5 +a4)- ( a3+a2+a )
 = a8(a2 +a+1) +a5(a2 +a+1)+ a3(a2 +a+1)+ (a2 +a+1)-a7(a2 +a+1)
 -a4(a2 +a+1)-a(a2 +a+1)
 =(a2 +a+1)( a8-a7+ a5 -a4+a3 - a +1) 
Câu 3: 4đ
1) Ta có : (ab+cd)2 (a2+c2)( b2 +d2) 
 a2b2+2abcd+c2d2 a2b2+ a2d2 +c2b2 +c2d2 
 0 a2d2 - 2cbcd+c2b2 
 0 (ad - bc)2 (đpcm ) 
Dấu = xãy ra khi ad=bc. 
2) áp dụng hằng đẳng thức trên ta có :
 52 = (x+4y)2 = (x. + 4y) (x2 + y2)=>
x2 + y2 => 4x2 + 4y2 dấu = xãy ra khi x= , y = (2đ)
Câu 4 : 5đ
 Ta có : góc DMP= góc AMQ = góc AIC. Mặt khác góc ADB = góc BCA=> 
 MPD đồng dạng với ICA => => DM.IA=MP.CI hay DM.IA=MP.IB (1).
 Ta có góc ADC = góc CBA,
Góc DMQ = 1800 - AMQ=1800 - góc AIM = góc BIA.
Do đó DMQ đồng dạng với BIA =>
=> DM.IA=MQ.IB (2)
 Từ (1) và (2) ta suy ra = 1 
Câu 5 
 Để P xác định thì : x2-4x+3 0 và 1-x >0
Từ 1-x > 0 => x < 1 
Mặt khác : x2-4x+3 = (x-1)(x-3), Vì x < 1 nên ta có :
(x-1) 0 
Vậy với x < 1 thì biểu thức có nghĩa.
 Với x < 1 Ta có : 
 P = = 
Đề 14
Câu 1 : a. Rút gọn biểu thức . 	Với a > 0.
	b. Tính giá trị của tổng. 
Câu 2 : Cho pt 
	a. Chứng minh rằng pt luôn luôn có nghiệm với .
	b. Gọi là hai nghiệm của pt. Tìm GTLN, GTNN của bt.
Câu 3 : Cho Chứng minh.
Câu 4 Cho đường tròn tâm o và dây AB. M là điểm chuyển động trên đường tròn, từM kẻ MH ^ AB (H ẻ AB). Gọi E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên MA và MB. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với è cắt dây AB tại D.
1. Chứng minh rằng đường thẳng MD luôn đi q