Tuyển tập các bài toán Hình 7

Tuyển tập các bài toán hình 7
1.Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cùng một nửa mặt phẳng chứa điểm A, bờ là BC vẽ các tia Bx và Cy cùng vuông góc với BC. Lấy M thuộc cạnh BC ( M khác A và B); đường thẳng vuông góc với AM tại A cắt Bx, Cy lần lượt tại H và K.
 a, Chứng minh: BM = CK
 b, Chứng minh A là trung điểm của HK 
 c, Gọi P là giao điểm của AB và MN, Q là giao điểm của AC và MK. 
 Chứng minh: PQ song song với BC.
2.Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của AB và DC. 
	a) Chứng minh rằng: DADC = DABE.
	b) Chứng minh rằng: = 600.
	c) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Chứng minh rằng DAMN đều.
	d) Chứng minh rằng IA là phân giác của góc DIE. 
3. Cho =600 có tia phân giác Az . Từ điểm B trên Ax kẻ BH vuông góc với Ay tại H, kẻ BK vuông góc với Az và Bt song song với Ay, Bt cắt Az tại C. Từ C kẻ CM 
vuông góc với Ay tại M . Chứng minh :
 a ) K là trung điểm của AC.
 b ) KMC là tam giác đều.
 c)	Cho BK = 2cm. Tính các cạnh AKM.
4.Cho tam giác ABC ( AB AC). Đường trung trực của đoạn BC tai H cắt tia phân giác Ax của góc A tại K. Kẻ KE, KF theo thứ tự vuông góc với AB và AC
a) Chứng minh rằng BE = CF
b) Nối EF cắt BC tại M. Chứng minh rằng M là trung điểm của BC
5.Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A , trên cạnh BC lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho BM = MN = NC . Gọi H là trung điểm của BC .
	a) Chứng minh AM = AN và AH ^ BC
	b) Tính độ dài đoạn thẳng AM khi AB = 5cm , BC = 6cm
	c) Chứng minh MAN > BAM = CAN
Đáp án
1. 
Ta có: AD = AB; và AC = AE
Suy ra DADC = DABE (c.g.c)
Từ DADC = DABE (câu a), 
mà (đối đỉnh). 
Khi đó xét DBIK và DDAK suy ra = 600 (đpcm)
Từ DADC = DABE (câu a) Þ CM = EN và 
ÞDACM = DAEN (c.g.c) Þ AM = AN và 
 = 600. Do đó DAMN đều.
Trên tia ID lấy điểm J sao cho IJ = IB Þ DBIJ đều Þ BJ = BI và = 600 suy ra , kết hợp BA = BD 
ÞDIBA = DJBD (c.g.c) = 1200 mà = 600 
 = 600. Từ đó suy ra IA là phân giác của góc DIE
2.
V ẽ h ình , GT _ KL 
a, ABC cân tại B do và BK là đường cao BK là đường trung tuyến
 K là trung điểm của AC 
b, ABH = BAK ( cạnh huyền + góc nhọn )
 BH = AK ( hai cạnh t. ư ) mà AK = AC
 BH = AC
 Ta có : BH = CM ( t/c cặp đoạn chắn ) mà CK = BH = AC CM = CK MKC là tam giác cân ( 1 )
Mặt khác : = 900 và = 300
 = 600 (2)
Từ (1) và (2) MKC là tam giác đều
c) Vì ABK vuông tại K mà góc KAB = 300 => AB = 2BK =2.2 = 4cm
Vì ABK vuông tại K nên theo Pitago ta có:
 AK = 
Mà KC = AC => KC = AK = 
KCM đều => KC = KM = 
Theo phần b) AB = BC = 4
 AH = BK = 2
 HM = BC ( HBCM là hình chữ nhật)
=> AM = AH + HM = 6 
Chứng minh 
 DM = EN
 Chứng minh 
 IM = IN
Hay I là trung điểm của MN
Gọi O là giao điểm của đường trung trực của BC với đường thẳng vuông góc với MN tại I.
Vì AB = AC AO là đường trung trực của BC OB=OC
Vì I là trung điểm của MN OI là đường trung trực của MN
 OM = ON
Vì BM = CN
Xét và có
OB = OC, OM = ON, BM = CN
= (C.C.C)
 (1)
Vì AO là đường trung trực của BC (2)
Từ (1) và (2) 
Vì vậy O là giao điểm của đường trung trực của cạnh BC với đường thẳng vuông góc với AC tại C nên điểm O cố định
Suy ra điều phải chứng minh