Thi khảo sát chất lượng năm học 2015 - 2016 môn thi : Toán thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG IV 
THANH HÓA 
(Đề thi gồm 01 trang) 
THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG NĂM HỌC 2015-2016 
Môn thi : Toán 
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề 
 Câu 1 (1,0 điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 3 2
1 9
6 4
4 4
y x x x    . 
 Câu 2 (1,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 
3
( ) 2f x x
x
  trên đoạn  2;5 . 
 Câu 3 (1,0 điểm). 
a) Cho số phức z thỏa mãn (2 ) 5 6 0i z i    . Tìm phần thực và phần ảo của z 
b) Giải phương trình 23log ( 1) 2x x   
 Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân 
1
0
(2 1) xI x e dx  
 Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm (1; 1; 2), (3;1;1)A B  và mặt 
phẳng (P) : 2 3 5 0x y z    . Viết phương trình đường thẳng AB, tìm góc giữa đường thẳng AB với 
mặt phẳng (P), và tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng (P). 
 Câu 6 (1,0 điểm). 
a) Tính giá trị của biểu thức (3 2 )(1 2 2 )P cos cos    , biết 
2
sin
3
  . 
b) Có hai thùng đựng một loại nước mắm Cự Nham - Xã Quảng Nham - Huyện Quảng Xương nổi tiếng 
Tỉnh Thanh Hóa. Thùng thứ nhất đựng 10 chai (6 chai nước mắm Cự Nham thật và 4 chai nước mắm Cự 
Nham rởm do kẻ gian bỏ vào ). Thùng thứ hai đựng 8 chai (5 chai nước mắm Cự Nham thật và 3 chai 
nước mắm Cự Nham rởm do kẻ gian bỏ vào ). Lấy ngẫu nhiên mỗi thùng một chai. Tính xác suất để hai 
chai lấy được có ít nhất một chai là nước mắm Cự Nham thật. 
 Câu 7 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=2a, 60BAC  , cạnh 
bên SA vuông góc với đáy và 3SA a . Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Tính thể tích khối chóp 
S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CM theo a . 
 Câu 8 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có AD là phân giác trong của 
góc A. Các điểm M và N tương ứng thuộc các cạnh AB và AC sao cho BM=BD, CN=CD. Biết 
1 3 5
( 1; ) , ( ;2), ( ;4),
2 2 2
D M N

  hãy viết phương trình của các cạnh tam giác ABC. 
 Câu 9 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình sau trên tập số thực 
3 2
2
( 3) (2 3) y 1 0
6 6 ( 1) 14 13 10 9
y x y x x
y y y y x
       

      
 Câu 10 (1,0 điểm). Giả sử , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn x y và 2( ) 1xy x y z z    . Tìm giá 
trị nhỏ nhất của biểu thức 
2 2 2
1 1 1
4( ) ( ) ( )
P
x y x z y z
  
  
-------------Hết------------- ww
w.
MA
TH
VN
.co
m
 1 
TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG IV 
THANH HÓA 
ĐÁP ÁN-THANG ĐIỂM 
 ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG NĂM HỌC 2015-2016 
Môn thi : Toán 
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề 
Câu Đáp án Điểm 
1 1) Tập xác định : D=R 
2) Sự biến thiên 
a) Chiều biến thiên 
 Ta có 2
3 9
' 6
4 2
y x x   
 2
23 9
' 0 6 0
44 2
x
y x x
x

       
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ;2) và (4; ) , nghịch biến trên khoảng (2;4) 
b) Cực trị 
 Hàm số đạt cực đại tại (2;1) , đạt cực tiểu tại (4;0) 
c) Giới hạn 
 lim
x
  và lim
x
  
d) Bảng biến thiên 
x  2 4  
'y + 0 - 0 + 
y 1  
 0 
3) Đồ thị 
f(x)=(1/4)*x^3-(9/4)*x^2+6*x-4
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
0.25 
0.25 
0.25 
0.25 
2 Ta có hàm số ( )f x xác định và liên tục trên đoạn  2;5 
Đạo hàm 
2
2 2
3 2 3
'( ) 2
x
f x
x x

   
  
6
'( ) 0 2;5
2
f x x     ,
11
(2)
2
f  , 
53
(5)
5
f  
Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn  2;5 lần lượt là 
53
5
 và 
11
2
0.25 
0.25 
0.25 
0.25 
3a Ta có (2 ) 5 6 0i z i    
ww
w.
MA
TH
VN
.co
m
 2 
 (2 ) 5 6i z i     
5 6 4 17
2 5 5
i
z i
i
  
   

Vậy số phức z có phần thực là 
4
5

, phần ảo là 
17
5
0.25 
0.25 
3b Phương trình đã cho tương đương với 2 1 9x x   
2 8 0x x    

1 33
2
1 33
2
x
x
 


 


Vậy nghiệm của phương trình là 
1 33
2
x

 và 
1 33
2
x

 
0.25 
0.25 
4 
Tính tích phân 
1
0
(2 1) xI x e dx  
Đặt 
2 1 2
x x
u x du dx
dv e dx v e
   
 
  
Do đó 
1
0
(2 1) xI x e dx 
1
0
1
(2 1) 2
0
x xx e e dx    
1
[(2 1) 2 ] 1
0
x xx e e e     
0.25 
0.5 
0.25 
5 Ta có (2;2;3)AB  và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là (1; 2;3)n   
Phương trình đường thẳng AB là 
3 1 1
2 2 3
x y z  
  
Gọi  là góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (P) ta có 
2 2 2 2 2 2
2.1 2.( 2) 3.3 238
sin
342 2 3 . 1 ( 2) 3

  
 
    
Gọi M là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (P), tọa độ điểm M là nghiệm của hệ 
phương trình 
3 2
1 2
1 3
2 3 5 0
x t
y t
z t
x y z
 
  

 
    
1
7
t  
23
7
9
7
10
7
x
y
z




 




Vậy tọa độ giao điểm là 
23 9 10
( ; ; )
7 7 7
M 
0.25 
0.25 
0.25 
0.25 
6a 
Ta có 
2 22 12 1 2sin 1 2( )
3 9
cos       
Vậy 
1 1 286
(3 )(1 2. )
9 9 81
P     
0.25 
0.25 
6b Gọi A là biến cố " Có ít nhất một chai thật ", suy ra A là biến cố " Cả 2 chai đều là giả" 
Số biến cố cùng khả năng là : 10.8=80 
Số cách chọn được 2 chai giả : 1 14 3. 4.3 12C C   
Xác suất biến cố A là : 
12 3
( )
80 20
p A   
0.25 
ww
w.
MA
TH
VN
.co
m
 3 
Suy ra xác suất của biến cố A là : 
3 17
( ) 1 ( ) 1
20 20
p A p A     
0.25 
7 Tam giác ABC có 0 2.tan60 2 3. 2 3.ABCBC AB a S a    
Do đó 
.
2
3
1
. .
3
1
.2 3 . 3
3
2
S ABC ABCV S SA
a a
a



Gọi N là trung điểm cạnh SA do / /( )SB CMN 
nên 
( , ) ( , ( ))
( , ( )) ( , ( ))
d SB CM d SB CMN
d B CMN d A CMN

 
Kẻ AE vuông góc với MC và AH vuông với NE ta được 
( ) ( , ( ))AH CMN d A CNM AH   
Ta có 
1 1
. . .sin . .4 . 3
2 2
AMCS AM AC CAM a a  
Và 13MC a nên 
2 2 3
13
AMCS aAE
MC
  và 
2 3
29
a
AH  
Vậy 
2 3 2 87
( , )
2929
a a
d SB CM   
0.25 
0.25 
0.25 
0.25 
8 Từ tính chất đường phân giác trong tam giác 
ta có / /
DB AB BM AB
MN BC
DC AC CN AC
    
Đường thẳng BC đi qua D và nhận 
( 4;2)MN   làm vectơ chỉ phương 
có phương trình là 2 2 0x y   
Gọi F, E lần lượt là trung điểm của DN và DM, do CD=CN nên đường thẳng trung trực của đoạn 
thẳng DN là CF. Phương trình CF đi qua 
7 7
( ; )
4 4
F

và nhận 
3 7
( ; )
2 2
DN

 làm vectơ pháp tuyến 
có phương trình là 3 7 0x y   . 
Tọa độ điểm C là nghiệm hệ phương trình 
3 7 0 4
( 4;1)
2 2 0 1
x y x
C
x y y
     
   
    
Đường thẳng AC (đi qua C và N) phương trình là 2 9 0x y   
Tương tự BE là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng DM có phương trình là 1 0x y   , tọa 
độ điểm B là nghiệm hệ phương trình 
1 0 4
(4; 3)
2 2 0 3
x y x
B
x y y
    
   
     
. Đường thẳng AB 
(đi qua B và M) phương trình là 2 5 0x y   
Vậy phương trình các cạnh của tam giác là: 
 AB: 2 5 0x y   ; BC: 2 2 0x y   ; CA: 2 9 0x y   
0.25 
0.25 
0.25 
0.25 
9 Giải hệ phương trình 
2
2
2 2 3 (1)
6 6 ( 1) 14 13 10 9 (2)
xy x y y
y y y y x
    

      
M
N
A
B
C
S
E
H
FE
N(-5/2;4)M(3/2;2)
D(-1;-1/2)
A
B
C
ww
w.
MA
TH
VN
.co
m
 4 
ĐK 
9
10
 (*)
13
14
x
y



 

Phương trình (1) của hệ tương đương với 
2( 1) ( 1) 0y x y    
1 0 1
1 0 1
y y
x y x y
    
       
+Với 1y   loại do đk 
13
14
y

 
+Với 1x y  phương trình (2) của hệ trở thành 2 6 6 ( 1) 14 13 10 1y y y y y       
2 6 6 ( 1) 14 13 10 1 0y y y y y         
( 1) ( 4) 14 13 ( 2) 10 1 0y y y y y            
   
2 2( 4) (14 13) ( 2) (10 1)
( 1) 0
( 4) 14 13 ( 2) 10 1
y y y y
y
y y y y
     
   
     
2 26 3 6 3
( 1) 0
( 4) 14 13 ( 2) 10 1
y y y y
y
y y y y
   
   
     
2 1 1( 6 3) 0
( 4) 14 13 ( 2) 10 1
y
y y
y y y y
 
            
2 6 3 0y y    (Vì với 
1
10
y

 thì 
1 1
0
( 4) 14 13 ( 2) 10 1
y
y y y y

 
     
 ) 
3 6
3 6
y
y
  
 
 
 Vậy hệ đã cho có nghiệm là  ( ; ) (4 6;3 6), (4 6;3 6)x y      
0.25 
0.25 
0.25 
0.25 
10 
Đặt x z a  . Từ giả thiết bài toán ta có ( )( ) 1x z y z   , hay 
1
y z
a
  
Do x y nên x z y z   . Suy ra 1a  
Ta có 
21 1
( )
a
x y x z y z a
a a

        
Ta được 
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 3 1 3
( ) 1
4( 1) 4( 1) 4 4 4( 1) 4
a a a a a a
P a
a a a a a
         
  
 (1) 
Đặt 2 1a t  . Xét hàm số 
2
3
( ) 1
4( 1) 4
t t
f t
t
  

Ta có 
3
1 3
'( )
4( 1) 4
t
f t
t
 
 

, 2'( ) 0 ( 2)(3 3 2) 0 2f t t t t t        
Bảng biến thiên 
t 1 2  
f'(t) - 0 + 
f(t) 
 3 
Từ bảng biến thiên suy ra ( ) 3f t  với mọi 1t  (2) 
0.25 
0.25 
0.25 
ww
w.
MA
TH
VN
.co
m
 5 
Từ (1) và (2) suy ra 3P  , dấu bằng đạt được tại 
2
2
2
x z
y z
  


 

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 3. 
0.25 
ww
w.
MA
TH
VN
.co
m