Sáng kiến kinh nghiệm “Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp 5 giải các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ”

MỘT SỐ GIẢI PHÁP HƯỚNG DẪN HỌC SINH NĂNG KHIẾU TOÁN LỚP 5 
GIẢI CÁC BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG CỦA KIM ĐỒNG HỒ
----------------------***--------------------
A/ ĐẶT VẤN ĐỀ:
 Toán học có một vai trò hết sức quan trọng trong đời sống thực tế của nhân loại. Chính vì thế, môn Toán luôn được chú trọng và được dành một thời lượng rất lớn trong việc giảng dạy chương trình Giáo dục phổ thông. Theo yêu cầu của Bộ Giáo dục và Đào tạo về đổi mới nội dung và phương pháp dạy học ở Tiểu học, ngoài việc tổ chức các hoạt động dạy học để học sinh nắm được kiến thức chuẩn thì tùy vào năng lực của học sinh, giáo viên cần phải phát triển, khai thác, mở rộng thêm kiến thức một cách phù hợp để đáp ứng nhu cầu học tập của các em. 
 Trong những năm học gần đây, Quỳnh Lưu là một trong những huyện đã triển khai và tổ chức có hiệu quả việc dạy học 2buổi/ngày theo hướng phân hóa đối tượng học sinh. Đây là điều kiện để giáo viên có thể lựa chọn, phân nhóm đối tượng học sinh theo nguyện vọng, năng lực của các em để vừa phụ đạo, ôn tập củng cố lại kiến thức chuẩn (đối với đối tượng học sinh yếu, trung bình) và nâng cao kiến thức bồi dưỡng học sinh năng khiếu (đối với học sinh giỏi theo từng bộ môn), góp phần đào tạo nhân tài cho đất nước.
 Trong những năm học vừa qua, được Ban giám hiệu nhà trường phân công đảm nhận công tác bồi dưỡng học sinh năng khiếu Toán, khi nghiên cứu mở rộng, phát triển kiến thức để bồi dưỡng cho các em, chúng tôi nhận thấy ở chương trình Toán 5, có nhiều mảng, nhiều dạng toán phong phú, đa dạng, trong đó toán về chuyển động của kim đồng hồ là dạng khó. Nhưng đây là những bài toán rất lý thú, hoàn toàn có thể hướng dẫn học sinh giải theo phương pháp Tiểu học. Giáo viên cần cho học sinh tiếp cận để mở mang kiến thức, rèn luyện tư duy và khả năng nhanh nhạy cho các em khi học toán. Xuất phát từ vấn đề đó, chúng tôi đã lựa chọn và dày công nghiên cứu tìm ra những giải pháp tốt nhất để giúp học sinh học tốt dạng toán này.
B/ THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ:
 Trong hai năm học này, cuộc thi giải toán qua mạng Violympic được đông đảo học sinh trong toàn tỉnh hưởng ứng. Riêng với lớp 5, một số vòng cuối (vòng 27, vòng 28, vòng 33...) các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ xuất hiện khá nhiều. Khi gặp những bài toán này, các em học sinh thực sự lúng túng, hay nhầm lẫn, tốn mất nhiều thời gian làm ảnh hưởng đến kết quả chung cả vòng thi...Vậy nguyên nhân là do đâu? Qua thực tế giảng dạy và ý kiến trao đổi của một số đồng nghiệp, chúng tôi rút ra được một số nguyên nhân cơ bản sau:
1) Về vấn đề tài liệu tham khảo: Thường ở các mảng toán khác, tài liệu nâng cao để giáo viên và học sinh tham khảo khá phong phú, nhưng các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ lại ít được chú ý đến. Qua nghiên cứu rất nhiều tài liệu, chúng tôi thấy cuốn “ Toán chuyên đề số đo thời gian & chuyển động” của tác giả Phạm Đình Thực cho đến nay là cuốn duy nhất có chuyên đề dành riêng cho phần “Các bài toán về kim đồng hồ” nhưng phần này lại viết quá ít chỉ có duy nhất 1 bài mẫu liên quan đến sự chuyển động của các kim (các bài khác viết về đồng hồ điện tử và sự xuất hiện các số trên màn hình) và 4 bài luyện tập không cùng dạng với bài mẫu, trong đó có những bài phần hướng dẫn giải rất phức tạp, khó hiểu đối với cả giáo viên và học sinh. Ngoài ra, cuốn “Toán nâng cao lớp 5- Tập 2” của Vũ Dương Thụy, Đỗ Trung Hiệu có một số bài nữa, còn các cuốn khác hầu như không đề cập đến. Nguồn kiến thức để giáo viên tham khảo quá nghèo nàn.
2) Về phía giáo viên: Vì đây là dạng khó nên trong thực tế giảng dạy thông thường các giáo viên chỉ dựa vào một số bài ở tài liệu ra bài rồi hướng dẫn học sinh giải, chưa chịu khó trong việc khai thác, phát triển thêm kiến thức, chưa biết cách phân chia thành các dạng bài, xây dựng cách thức tính thời gian cho mỗi dạng bài để cung cấp cho học sinh..
3) Đối với học sinh: Đây là dạng toán khó, trừu tượng đối với tư duy của học sinh Tiểu học, lại chưa được giáo viên chú trọng khắc sâu kiến thức. Vì vậy khi giải những bài toán này, các em thường gặp những khó khăn sau:
- Không nhận diện được các bài toán đã cho thuộc dạng toán nào trong mảng toán chuyển động đều.
- Cách hiểu vận tốc, hiệu vận tốc giữa kim phút và kim giờ còn mơ hồ.
- Lúng túng trong việc xác định khoảng cách ban đầu giữa hai kim.
- Nhầm lẫn cách tính thời gian giữa các dạng bài và các bài trong cùng dạng (hai kim chuyển động để trùng khít lên nhau; để tạo với nhau thành một góc vuông; tạo với nhau thành một đường thẳng;) 
 Từ những nguyên nhân trên, chúng tôi đã cố gắng nghiên cứu tìm ra những giải pháp tốt nhất để các giáo viên có thể tự tin khi lên lớp bồi dưỡng và học sinh tiếp cận dạng toán này một cách hứng thú có hiệu quả.
C/ GIẢI PHÁP THỰC HIỆN: 
I/ Xây dựng các công thức của dạng toán “Chuyển động cùng chiều đuổi nhau”: 
 Dựa vào quan hệ chuyển động giữa các kim (được coi như là các động tử chuyển động trên mặt số của đồng hồ), phần lớn các bài toán về kim đồng hồ được xếp vào dạng “Chuyển động cùng chiều”. Giáo viên phải giúp học sinh xây dựng, nắm vững và vận dụng các công thức thuộc dạng toán này một cách thành thạo trước khi cho học sinh tiếp cận với các bài toán về kim đồng hồ. Việc xây dựng các công thức chỉ cần thông qua một bài toán đơn giản. 
* Ví dụ: Một người đi xe đạp từ B đến C với vận tốc 12km/giờ. Cùng lúc đó một người đi xe đạp từ A cách B 48 km với vận tốc 36km/giờ và đuổi theo xe đạp. Hỏi sau bao lâu xe máy đuổi kịp xe đạp? (B nằm trên AC)
* GV vẽ sơ đồ tóm tắt nội dung bài toán:
 Giả sử N là điểm hai xe gặp nhau, ta có sơ đồ:
Xe máy Xe đạp Chỗ gặp nhau
 A 48 km B N C
* Hướng dẫn tìm hiểu: Cho học sinh quan sát sơ đồ:
- Khi xe máy đuổi kịp xe đạp tại C thì mỗi xe đã đi được đoạn đường nào?
 (Xe máy đi được đoạn AN, xe đạp đi được đoạn BN)
- Như vậy xe máy đã đi được hơn xe đạp đoạn đường nào?
(Đoạn đường AB .Đó chính là khoảng cách lúc đầu giữa hai xe)
- Mỗi giờ xe máy đi hơn xe đạp bao nhiêu km? (36 – 12 = 24 km)
- Vậy thời gian cần thiết để xe máy đi hơn xe đạp 48 km (và cũng chính là thời gian để xe máy đuổi kịp xe đạp) là bao nhiêu?
 ( 48 : 24 = 2 giờ.)
*Giáo viên viết gộp hai bước tính để có biểu thức: 
 48 : ( 36 – 12 ) = 2 ( giờ )
 Cho học sinh nêu vai trò của mỗi sối liệu trên biểu thức, giáo viên ghi bảng;
 48 : ( 36 – 12 ) = 2 ( giờ )
 Khoảng cách giữa 2 động tử Hiệu vận tốc Thời gian đuổi kịp nhau
Từ đây, GV cho HS quan sát biểu thức để rút ra kết luận: Hai động tử có khoảng cách AB cùng khởi hành một lúc để đuổi kịp nhau thì thời gian đuổi kịp được tính như sau:
 + Thời gian = Khoảng cách : Hiệu hai vận tốc(1).
Từ công thức (1) các em có thể dễ dàng suy ra được hai công thức tiếp theo:
 + Khoảng cách = Hiệu vận tốc x Thời gian đuổi kịp(2).
 + Thời gian đuổi kịp = Khoảng cách : Hiệu hai vận tốc(3).
* Giáo viên cho Hs đọc thuộc 3 công thức để áp dụng giải các bài toán “Chuyển động cùng chiều đuổi nhau”, trong đó có các bài toán về kim đồng hồ. 
II/ Hướng dẫn HS tìm hiểu vận tốc; hiệu vận tốc giữa kim phút và kim giờ:
 Thông thường các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ chỉ liên quan đến quan hệ chuyển động giữa kim phút và kim giờ. Gv hướng dẫn HS xác định vận tốc của kim phút, kim giờ và hiệu vận tốc giữa hai kim như sau:
* Vẽ một hình tròn tượng trưng cho bề mặt của đồng hồ.
 12 * GV nêu câu hỏi dẫn dắt tìm hiểu:
 Chia đường tròn bao quanh mặt đồng hồ 
 thành 12 phần bằng nhau (như hình vẽ).
9 3 - Trong 1 giờ, kim giờ di chuyển được quãng 
 đường bằng bao nhiêu phần của vòng đồng hồ? 
 (1 giờ, kim giờ di chuyển từ một vạch này 
 đến một vạch tiếp theo => Kim giờ đi được 
 6 đoạn đường bằng 1/12 vòng đồng hồ)
 - Trong 1 giờ, kim phút đi được đoạn đường nào?
(1 giờ, kim phút quay đúng 1 vòng trên bề mặt đồng hồ) 
- Trong 1 giờ kim phút đi hơn kim giờ đoạn đường bằng bao nhiêu?
 ( 1 giờ kim phút đi hơn kim giờ là: 1 – = (vòng đồng hồ) )
* Gv chốt: Ta xem:
 - Vận tốc của kim giờ là vòng đồng hồ/giờ.
 - Vận tốc của kim phút là 1 vòng đồng hồ/giờ.
 - Hiệu vận tốc hai kim là vòng đồng hồ/giờ.
 Vì tốc độ của kim giờ, kim phút (khi đồng hồ chạy chuẩn) là không thay đổi nên vận tốc của kim phút, kim giờ và hiệu vận tốc hai kim là những đại lượng không thay đổi. Các em cần nắm chắc điều này để áp dụng giải toán.
III/ Hướng dẫn học sinh xác định khoảng cách ban đầu giữa kim phút và kim giờ: 
* GV vẽ hình minh họa một số trường hợp như sau:
 12 12 12
 9 3 9 3 9 3
 6 6 6 
 Hình 1 Hình 2 Hình 3 
Ví dụ: 
- Ở hình 1: Đồng hồ chỉ 3 giờ đúng. Lúc đó kim phút ở vị trí số 12, kim giờ ở vị trí số 3. Vậy khoảng cách ban đầu (KCBĐ) giữa kim phút và kim giờ là 3/12 (hay 1/4) vòng đồng hồ.
- Ở hình 2: Đồng hồ chỉ 9 giờ đúng. Lúc đó kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 9. Vậy KCBĐ giữa kim phút và kim giờ là 9/12 (hay 3/4) vòng đồng hồ.
- Ở hình 3: Đồng hồ chỉ 5 giờ 15 phút. Lúc 5 giờ đúng, kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 5; thêm 15 phút nữa ( tức là 1/4 giờ) thì kim phút sẽ đi thêm 1/4 vòng đồng hồ và nó sẽ chỉ vị trí số 3. Còn kim giờ sẽ đi thêm 1/4 khoảng cách từ số 5 đến số 6 và 1/4 khoảng cách này ứng với 1/12 x 1/4 = 1/48 vòng đồng hồ. Từ số 3 đến só 5 ứng với 1/6 vòng đồng hồ. Như vậy KCBĐ giữa kim phút và kim giờ là 1/6 + 1/48 = 9/48 vòng đồng hồ. 
* Vấn đề cần lưu ý: 
- Cả hai kim chuyển động cùng chiều xoay vòng trên đường khép kín nhưng vì kim phút có vận tốc lớn hơn kim giờ nên ta xem như kim phút chuyển động để đuổi theo kim giờ. Vì thế ta quy ước khoảng cách ban đầu (KCBĐ) luôn luôn được tính từ vị trí của kim phút đến vị trí kim giờ theo chiều quay của kim đồng hồ. Cách xác định KCBĐ này được áp dụng cho tất cả các bài toán về kim đồng hồ trình bày trong bản sáng kiến này.
- Có một số tài liệu, một số bài xác định KCBĐ như trên, một số bài lại xác định KCBĐ là phần còn lại của vòng đồng hồ.Chính sự không đồng nhất đó đã gây khó khăn cho HS trong quá trình làm bài tập.Vì vậy khi bồi dưỡng, chúng tôi đã thống nhất xác định KCBĐ như trên để dễ dàng hơn cho HS khi giải toán. 
 - Hiểu được vận tốc, hiệu vận tốc giữa kim phút, kim giờ và nắm vững cách xác định KCBĐ sẽ trợ giúp đắc lực cho các em trong quá trình giải các bài toán về kim đồng hồ. Vì vậy, hai bước này GV cần tách riêng và hướng dẫn thật kĩ trước khi ra những đề toán cụ thể cho HS. 
III/ Áp dụng kiến thức mục I, II,III để giải các bài toán về chuyển động của kim đồng hồ:
 Để giúp HS phân biệt rạch ròi, nắm vững công thức và phương pháp giải một cách chính xác, nhanh nhạy, chúng tôi đã chia các bài toán chuyển động của kim đồng hồ thành các dạng sau để bồi dưỡng cho các em:
1) Dạng 1: Hai kim chuyển động để chồng khít lên nhau.
 Ở dạng này chia làm hai trường hợp: 	
a) Trường hợp đề toán cho thời điểm ban đầu.
* Bài toán mẫu: Hiện nay là 1 giờ. Hỏi kim phút sẽ đuổi kịp kim giờ sau bao lâu thời gian nữa? 
 * Gv cho HS quan sát vị trí kim phút, kim giờ để 
 12 trả lời câu hỏi:
 - Vào lúc 1 giờ đúng, kim phút, kim giờ nằm ở vị trí 
 nào? (Kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 1)
 - Khoảng cách giữa kim phút và kim giờ là bao nhiêu?
9 3 ( 1/12 vòng đồng hồ)
 - Khi kim phút đuổi kịp kim giờ (hai kim trùng nhau) thì 
 kim phút đã đi hơn kim giờ đoạn đường bằng bao nhiêu? 
 (1/12 vòng đồng hồ, tức là bằng KCBĐ giữa kim 
 6 phút và kim giờ.) 
 Từ đây, GV cho HS vận dụng kiến thức mục I, II, III để xác định vận tốc kim phút, kim giờ, áp dụng công thức tìm thời gian đuổi kịp nhau và giải bài toán.
Bài giải:
 Lúc 1 giờ, kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 1 => Khoảng cách ban đầu giữa kim phút và kim giờ là vòng đồng hồ. Đến khi kim phút và kim giờ trùng nhau giữa 1 và 2 giờ thì kǩm phút đã đi hơn kim giờ đoạn đường đúng bằng vòng đồng hồ. 
 Vận tốc của kim giờ là vòng đồng hồ/giờ.
 Vận tốc của kim phút là 1 vòng đồng hồ/giờ.
 Hiệu vận tốc giữa kim phút và kim giờ là:
 1 - = (vòng đồng hồ/giờ)
 Thời gian để kim phút đuổi kịp kim giờ là:
 : = (giờ)
 Đáp số: giờ.
Kết luận: Thời gian để kim phút đuổi kịp kim giờ được tính như sau:
 t = KCBĐ : Hiệu vận tốc.
* Các bài toán để luyện tập: 
 1/ Hiện nay là 2 giờ (3 giờ; 4 giờ; ....;11 giờ; 12 giờ). Hỏi sau bao lâu nữa thì hai kim trùng khít lên nhau?
2/ Hiện nay là 5 giờ 15 phút. Hỏi sau bao lâu nữa thì kim phút đuổi kịp kim giờ? Lúc đó là mấy giờ?
 Cách giải các bài toán trên hoàn toàn tương tự bài toán mẫu. Chỉ cần HS xác định đúng KCBĐ giữa hai kim sau đó lấy KCBĐ chia hiệu vận tốc (Hiệu vận tốc luôn bằng vòng đồng hồ/ giờ) là tìm được thời gian hai kim trùng khít lên nhau (tức là thời gia cần thiết để kim phút đuổi kịp kim giờ). Chú ý trường hợp 12 giờ đúng, lúc đó cả kim phút và kim giờ đã trùng nhau ở vị trí số 12 => KCBĐ bằng 0. Sau đó kim phút chạy vượt lên và đến khi cả hai kim trùng khít lên nhau một lần nữa thì kim phút đã đi hơn kim giờ đúng 1 vòng đồng hồ. Ta lấy 1chia 11/12 là tìm được thời gian để hai kim trùng khít lên nhau một lần nữa... Với bài số 2, HS vận dụng cách tính KCBĐ đã hướng dẫn ở phần III khi thời điểm ban đầu không phải là giờ đúng, sau đó áp dụng công thức để tìm đáp số. 
b) Trường hợp đề toán không cho thời điểm ban đầu: 
* Bài toán mẫu: Khi kim phút và kim giờ trùng nhau giữa 1 giờ và 2 giờ thì đồng hồ chỉ mấy giờ?
* Hướng dẫn giải: Đưa về 1giờ đúng để suy luận sau đó hoàn toàn áp dụng cách giải như bài toán mẫu của trường hợp a. Cụ thể như sau:
 Bài giải:
Vào lúc 1 giờ đúng, kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 1 => Khoảng cách ban đầu giữa kim phút và kim giờ là vòng đồng hồ. Đến khi kim phút và kim giờ trùng
nhau giữa 1 và 2 giờ thì kim phút đã đi hơn kim giờ đoạn đường đúng bằng vòng đồng hồ. 
(Bước tiếp theo giải hoàn toàn tương tự bài toán mẫu ở trường hợp 1). 
 Đáp số: 1 giờ. 
* Mẹo giải các bài toán mẫu này: Khi đề toán cho kim phút và kim giờ trùng nhau giữa a và b giờ (0 < a < b < 12) thì đưa về a giờ đúng để suy luận và giải bài toán như bài toán mẫu ở mục a.
 * Các bài toán khác để luyện tập:
 1/ Khi kim phút và kim giờ trùng nhau ở vị trí 2 và 3 giờ (3 và 4 giờ; 4 và 5 giờ;........; 10 và 11 giờ; 11 và 12 giờ) thì lúc đó là mấy giờ?
 2/ Trong một ngày có bao nhiêu lần hai kim đồng hồ trùng khít lên nhau?
2) Dạng 2: Hai kim đồng hồ tạo với nhau thành một góc vuông. 
 Dạng này chia làm hai trường hợp sau:
a) Trường hợp 1: Để khoảng cánh giữa hai kim tạo với nhau thành một góc vuông (tính theo chiều kim đồng hồ từ kim phút đến kim giờ hoặc từ kim giờ đến kim phút) thì kim phút phải chuyển động vượt qua kim giờ.
 Trường hợp này tương ứng với các bài toán cho thời điểm lúc đầu tạo nên:
 KCBĐ < 1/4 vòng đồng hồ.
 * Bài toán mẫu: Hiện nay là 1 giờ . Hỏi sau bao lâu nữa thì kim phút và kim giờ tạo với nhau thành một góc vuông?
 * Giáo viên dẫn dắt học sinh tìm hiểu:
 12 - Vào lúc 1 giờ đúng, kim phút, kim giờ nằm ở vị trí 
	 nào?
 (Kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 1)
 3 - Khoảng cách giữa kim phút và kim giờ là bao nhiêu?
 9 3 ( 1/12 vòng đồng hồ.)
 - Đến khi kim phút và kim giờ tạo với nhau thành một 
	 góc vuông thì khoảng cách từ kim phút đến kim giờ
	 là bao nhiêu?
 6 ( bằng 1/4 vòng đồng hồ)
 - Lúc đó, kim phút đã đi hơn kim giờ đoạn đường 
	bằng bao nhiêu?
 ( Đây là câu hỏi khó, giáo viên cần hướng dẫn các em quan sát hình vẽ để nhận thấy: khi kim phút và kim giờ tạo với nhau thành một góc vuông thì kim phút đã chạy vượt lên gặp kim giờ ( như bài toán mẫu ở dạng 1). Tại thời điểm đó, kim phút đã đi hơn kim giờ đoạn đường bằng KCBĐ là 1/12 vòng đồng hồ. Sau đó kim phút tiếp tục vượt lên, đến khi khoảng cách giữa nó và kim giờ tạo với nhau thành một góc vuông thì nó tiếp tục đi hơn kim giờ 1/4 vòng đồng hồ nữa. Như vậy nó đã đi hơn kim giờ đoạn đường là: ( vòng đồng hồ). )
Từ đây, áp dụng bài toán mẫu ở dạng 1, mục a, học sinh đã có thể dễ dàng tìm ra đáp số của bài toán bằng cách lấy tổng quãng đường kim phút đi hơn kim giờ (1/3 vòng đồng hồ) chia cho hiệu vận tốc hai kim (11/12 vòng đồng hồ).
 Bài giải:
 Lúc 1 giờ, kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 1. Khoảng cách giữa kim phút và kim giờ là vòng đồng hồ. Khi kim phút và kim giờ tạo với nhau thành một góc vuông thì kim phút đã đi hơn kim giờ là:
 + = (vòng đồng hồ).
 Trong 1 giờ, kim giờ đi được vòng đồng hồ. kim phút đi được 1 vòng đồng hồ.
 Vậy trong 1 giờ, kim phút đi hơn kim giờ là:
 1 – = ( vòng đồng hồ)
Thời gian để hai kim tạo với nhau thành một góc vuông là:
 (giờ )
Đáp số : giờ
* Giáo viên gộp 3 bước giải cuối để có biểu thức:
 ( + ) : = ( giờ )
 ( KCBĐ + 1/4 ) : Hiệu vt = Thời gian.
Kết luận: Thời gian hai kim tạo với nhau thành một góc vuông được tính 
 như sau: t = (KCBĐ + 1/4) : 11/12. 
 *Chú ý thêm là vào lúc 12 giờ đúng thì KCBĐ bằng 0. Muốn tìm thời gian hai kim tạo với nhau thành một góc vuông, ta chỉ việc lấy 1/4 chia hiệu vận tốc.
 * Các bài toán để luyện tâp: 
 Bài 1: Hiện nay là 12 giờ (hoặc 2 giờ; 3 giờ). Hỏi sau bao lâu nữa khoảng cách giữa hai kim tạo thành một góc vuông?
 Bài 2:Đức bắt đầu từ nhà mình để đi đến nhà Tài lúc 7 giờ 20 phút.Khi Đức đến nơi thì vừa lúc hai kim đồng hồ tạo với nhau thành một góc vuông. Hỏi Đức đến nhà Tài lúc mấy giờ?
 Bài 3: Trong một ngày đêm có bao nhiêu lần hai kim đồng hồ vuông góc với nhau?
 b) Trường hợp 2: Để khoảng cánh giữa hai kim tạo với nhau thành một góc vuông (tính theo chiều kim đồng hồ từ kim phút đến kim giờ hoặc từ kim giờ đến kim phút) thì kim phút chuyển động không phải vượt qua kim giờ.
 Trường hợp này lại chia thành hai nhóm nhỏ:
Nhóm 1: Nhóm các bài toán có thời điểm lúc đầu tạo nên:
 1/4vòng đồng hồ < KCBĐ < 3/4 vòng đồng hồ
 * Bài toán mẫu: Hiện nay là 9 giờ. Hỏi sau bao nhiêu thời gian thì khoảng cách giữa hai kim tạo thành một góc vuông?
 12 
 * Gv vẽ hình, cho HS quan sát hình và nhận xét:Vào 
	 lúc 9 giờ đúng, kim phút nằm ở vị trí số 12, kim giờ 
 9 3 nằm ở vị trí số 9. Khoảng cách từ kim phút đến kim 
 6 giờ (tính theo chiều kim đồng hồ) là 3/4 vòng đồng 
 hồ. Đến khi khoảng cách giữa hai kim tạo với nhau
 thành một góc vuông thì khoảng cách này được rút 
 6 ngắn còn 1/4 vòng đồng hồ.
 Như vậy, trong khoảng thời gian đó, kim phút đã đi hơn kim giờ đoạn đường bằng KCBĐ trừ đi 1/4 ( vòng đồng hồ). Từ đó, muốn tìm thời gian để khoảng cách hai kim tạo với nhau thành một góc vuông ta chỉ việc lấy quãng đường kim phút đi hơn kim giờ chia hiệu vận tốc hai kim. 
 Bài giải hoàn chỉnh như sau:
 Bài giải: 
 Lúc 9 giờ, kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 9. Khoảng cách giữa kim phút và kim giờ (tính theo chiều kim đồng hồ) là vòng đồng hồ. Khi kim phút và kim giờ tạo với nhau thành một góc vuông thì khoảng cách này được rút ngắn lại còn vòng đồng hồ => Trong khoảng thời gian đó, kim phút đã đi hơn kim giờ là:
 (vòng đồng hồ).
 Trong 1 giờ, kim giờ đi được vòng đồng hồ. Kim phút đi được 1 vòng đồng hồ.
 Vậy trong 1 giờ, kim phút đi hơn kim giờ là:
 1 – = ( vòng đồng hồ)
Thời gian để hai kim tạo với nhau thành một góc vuông là:
 ( giờ )
 Đáp số : giờ
* Giáo viên gộp 3 bước giải cuối để có biểu thức:
 ( - ) : = ( giờ )
 ( KCBĐ - 1/4 ) : Hiệu vt = Thời gian.
 Kết luận: Thời gian hai kim tạo với nhau thành một góc vuông được tính 
 như sau: t = (KCBĐ – 1/4): 11/12. 
 * Các bài toán để luyện tập: 
1/ Hiện nay là 4 giờ ( hoặc5 giờ; 6 giờ; 7 giờ; 8 giờ). Hỏi sau bao lâu nữa khoảng cách giữa hai kim tạo thành một góc vuông?
2/ Khi Thông bắt đầu ngồi vào bàn làm bài tập Toán cô giáo ra về nhà thì bạn xem giờ và thấy đồng hồ chỉ 2 giờ 45 phút. Thông dự định làm bài trong 30 phút. Đến khi Thông giải xong thì thấy vừa lúc hai kim đồng hồ vuông góc với nhau. Hỏi với thời gian dự định Thông có làm xong bài tập không?
Nhóm 2: Nhóm các bài toán có thời điểm lúc đầu tạo nên:
 KCBĐ > 3/4 vòng đồng hồ.
 * Bài toán mẫu: Hiện nay là 10 giờ. Hỏi sau bao lâu nữa thì khoảng cách giữa hai kim tạo với nhau thành một góc vuông?
 12 * Gv vẽ hình, cho HS quan sát hình và nhận xét:Vào 
	 lúc 10 giờ đúng, kim phút nằm ở vị trí số 12, kim giờ 
 nằm ở vị trí số 10. KCBĐ từ kim phút đến kim giờ 
 6 (tính theo chiều kim đồng hồ) là 5/6 vòng đồng hồ. 
 9 3 Đến khi hai kim tạo với nhau thành một góc vuông
 thì khoảng cách tính từ kim giờ đến kim phút
 (tính theo chiều quay của kim đồng hồ) 
 đúng bằng 1/4 vòng đồng hồ => KCBĐ từ kim 
 6 phút đến kim giờ (tính theo chiều quay của kim đồng hồ) là 3/4 vòng đồng hồ. (1 - ). 
 Như vậy, trong khoảng thời gian đó kim phút đã đi hơn kim giờ đoạn đường bằng KCBĐ trừ đi 3/4 ( vòng đồng hồ). Từ đó, tương tự các bài toán như trên, muốn tìm thời gian để khoảng cách hai kim tạo với nhau thành một góc vuông ta chỉ việc lấy quãng đường kim phút đi hơn kim giờ chia hiệu vận tốc hai kim.
 Bài giải:
 Lúc 10 giờ, kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 10. Khoảng cách giữa kim phút và kim giờ (tính theo chiều kim đồng hồ) là vòng đồng hồ. Khi kim phút và kim giờ tạo với nhau thành một góc vuông thì khoảng cách tính từ kim giờ đến kim phút (tính theo chiều quay của kim đồng hồ) đúng bằng 1/4 vòng đồng hồ => Khoảng cách từ kim phút đến kim giờ (tính theo chiều quay của kim đồng hồ) lúc này là:
 1 - (vòng đồng hồ).
 Vậy trong khoảng thời gian đó, kim phút đã đi hơn kim giờ là:
 (vòng đồng hồ).
 Trong 1 giờ, kim giờ đi được vòng đồng hồ. kim phút đi được 1 vòng đồng hồ.
 => Trong 1 giờ, kim phút đi hơn kim giờ là:
 1 – = ( vòng đồng hồ)
Thời gian để hai kim tạo với nhau thành một góc vuông là:
 ( giờ )
 Đáp số : giờ
* Giáo viên gộp 3 bước giải cuối để có biểu thức:
 ( - ) : = ( giờ )
( KCBĐ - 3/4 ) : Hiệu vt = Thời gian.
 Kết luận: Thời gian hai kim tạo với nhau thành một góc vuông được tính 
 như sau: t = (KCBĐ – 3/4) : 11/12. 
*Các bài toán để luyện tập:
 1/ Hiện nay là 11 giờ. Hỏi sau bao lâu nữa khoảng cách giữa hai kim tạo thành một góc vuông?
 2/ Hiện nay là 12 giờ 50 phút. Hỏi khi hai kim tạo với nhau thành một góc vuông thì lúc đó là mấy giờ?
3) Dạng 3: Hai kim đồng hồ tạo với nhau thành một đường thẳng. 
 Dạng này chia làm hai trường hợp sau:
a) Trường hợp 1: Để khoảng cánh giữa hai kim tạo với nhau thành một đường thẳng thì kim phút phải chuyển động vượt qua kim giờ.
 Trường hợp này tương ứng với các bài toán cho thời điểm ban đầu tạo nên:
 KCBĐ < 1/2 vòng đồng hồ
 * Bài toán mẫu: Hiện nay là 4 giờ. Hỏi sau bao lâu nữa kim phút và kim giờ sẽ tạo với nhau thành một đường thẳng?Lúc đó là mấy giờ?
* Gv hướng dẫn HS quan sát hình, nêu câu hỏi dẫn dắt để giúp các em giải bài toán:
 - Vào lúc 4 giờ đúng, kim phút; kim giờ ở vị trí nào?
 (kim phút ở vị trí số 12, kim giờ ở vị trí số 4) 
 12 - Khoảng cách ban đầu tính từ kim phút đến kim giờ 
 (theo chiều quay của kim đồng hồ) là bao nhiêu?
 (1/3 vòng đồng hồ)
 9 3 - Đến khi hai kim tạo với nhau thành một đường thẳng 
 thì kim phút đã đi hơn kim giờ đoạn đường bằng bao 
 nhiêu phần của vòng đồng hồ?
 (Đây là câu hỏi khó, GV cần cho HS định hình 
 6 cách di chuyển của hai kim để thấy rõ: 
khi kim phút và kim giờ tạo với nhau thành một đường thẳng thì kim phút đã chạy vượt lên gặp kim giờ (như bài toán mẫu ở dạng 1). Tại thời điểm đó, kim phút đã đi hơn kim giờ đoạn đường bằng khoảng cách ban đầu là 1/3 vòng đồng hồ. Sau đó kim phút tiếp tục vượt lên, đến khi khoảng cách giữa nó và kim giờ tạo với nhau thành một đường thẳng thì nó tiếp tục đi hơn kim giờ 1/2 vòng đồng hồ nữa. Như vậy nó đã đi hơn kim giờ đoạn đường là: 1/3 + 1/2 = 5/6 ( vòng đồng hồ). ) 
 Từ đây, áp dụng bài toán mẫu ở dạng 1, mục a, học sinh đã có thể dễ dàng tìm ra đáp số của bài toán bằng cách lấy tổng quãng đường kim phút đi hơn kim giờ (5/6 vòng đồng hồ) chia cho hiệu vận tốc hai kim (11/12 vòng đồng hồ).
Bài giải:
 Lúc 4 giờ, kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 4. Khoảng cách giữa kim phút và kim giờ (tính theo chiều kim đồng hồ) là vòng đồng hồ.
 Đến khi kim phút và kim giờ tạo với nhau thành một đường thẳng thì kim phút đã đi hơn kim giờ là: 
 (vòng đồng hồ).
 Trong 1 giờ, kim giờ đi được vòng đồng hồ. Kim phút đi được 1 vòng đồng hồ.
 Vậy trong 1 giờ, kim phút đi hơn kim giờ là:
 1 – = ( vòng đồng hồ)
 Thời gian để hai kim tạo với nhau thành một đường thẳng là:
 ( giờ )
 Lúc đó là: 4 + (giờ)
 Đáp số: giờ; 4 giờ.
* Giáo viên gộp 3 bước giải cuối để có biểu thức:
 ( + ) : = ( giờ )
 ( KCBĐ + 1/2 ) : Hiệu vt = Thời gian.
 Kết luận: Thời gian hai kim tạo với nhau thành một đường thẳng được tính 
 như sau: t = (KCBĐ + 1/2) : 11/12. 
* Các bài toán để luyện tập: 
1/ Hiện nay là 1 giờ (hoặc 2 giờ; 3 giờ;5 giờ; 6 giờ; 12 giờ). Hỏi sau bao lâu nữa khoảng cách giữa hai kim tạo thành một tạo thành một đường thẳng?
2/ Bạn Lan gấp thuyền giấy làm đồ chơi, cứ 5 phút Lan gấp được một chiếc thuyền . Khi bắt đầu gấp, Lan xem giờ thì thấy đồng hồ chỉ 2 giờ 45 phút. Đến khi Lan dừng tay thì thấy vừa lúc hai kim đồng hồ tạo với nhau thành một đường thẳng. Hỏi lúc đó Lan đã gấp hoàn thành bao nhiêu chiếc thuyền?
b) Trường hợp 2: Để khoảng cánh giữa hai kim tạo với nhau thành một đường thẳng thì kim phút không phải chuyển động vượt qua kim giờ.
Trường hợp này tương ứng với các bài toán cho thời điểm ban đầu tạo nên: 
 KCBĐ > 1/2 vòng đồng hồ
* Bài toán mẫu: Hiện nay là 8 giờ. Hỏi khi hai kim tạo với nhau thành một đường thẳng thì lúc đó là mấy giờ?
 12 Tương tự các bài toán trên HS sẽ nhanh chóng xác
 định được KCBĐ giữa kim phút và kim giờ là 8/12
 (hay 2/3) vòng đồng hồ. Đến khi hai kim tạo 
 9 3 với nhau thành một đường thẳng thì khoảng cách 
 9 3 được rút ngắn lại còn 1/2 vòng đồng hồ. Khi đó 
 kim phút đã đi hơn kim giờ là 1/6 vòng đồng hồ
 6 (2/3 – 1/2 = 1/6). Sau đó lấy 1/6 chia hiệu vận tốc 
 là tìm được thời gian để hai kim thẳng hàng với 
 6 nhau.
Bài giải:
 Lúc 8 giờ, kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 8. Khoảng cách giữa kim phút và kim giờ (tính theo chiều kim đồng hồ) là vòng đồng hồ.
 Đến khi kim phút và kim giờ tạo với nhau thành một đường thẳng thì kim phút đã đi hơn kim giờ là: 
 (vòng đồng hồ).
 Trong 1 giờ, kim giờ đi được vòng đồng hồ. kim phút đi được 1 vòng đồng hồ.
 Vậy trong 1 giờ, kim phút đi hơn kim giờ là:
 1 – = ( vòng đồng hồ)
 Thời gian để hai kim tạo với nhau thành một đường thẳng là:
 ( giờ )
 Lúc đó là: 8 + (giờ)
Đáp số: 8 giờ.
* Giáo viên gộp 3 bước giải cuối để có biểu thức:
 ( - ) : = ( giờ )
 (KCBĐ - 1/2 ) : Hiệu vt = Thời gian.
 Kết luận: Thời gian hai kim tạo với nhau thành một đường thẳng được tính 
 như sau: t = (KCBĐ - 1/2) : 11/12. 
 * Các bài toán sau:
 1/ Hiện nay là 7 giờ (hoặc 9 giờ; 10 giờ;11 giờ). Hỏi sau bao lâu nữa khoảng cách giữa hai kim tạo thành một tạo thành một đường thẳng?
 2/ Hiện nay là 12 giờ 40 phút. Hỏi đến khi hai kim tạo với nhau thành một đường thẳng thì lúc đó là mấy giờ?
*3/ Nam bắt đầu giải một bài toán trong khoảng từ 4 đến 5 giờ chiều, khi kim phút và kim giờ trùng nhau. Khi giải xong bài toán thì vừa lúc kim phút và kim giờ thẳng hàng với nhau. Hỏi Nam đã giải bài toán mất bao nhiêu thời gian và giải xong lúc mấy giờ?
* Điểm lưu ý: 
- Cả 3 dạng trên, bài toán mẫu chúng tôi chỉ đề cập đến những bài toán mà thời điểm ban đầu là giờ đúng (VD: Hiện nay là 1 giờ, 2 giờ, 3 giờ, ...). Trong tất cả các bài đó, vị trí ban đầu của kim phút luôn cố định ở số 12 trên bề mặt đồng hồ. Trên cơ sở đó, ở phần luyện tập chúng tôi có sáng tác thêm một số bài toán mà thời điểm ban đầu là giờ hơn hoặc giờ kém. Ở những bài toán đó, việc xác định quãng đường mà kim phút đi hơn kim giờ phức tạp hơn nhưng chỉ cần vận dụng kiến thức đã được hướng dẫn ở mục III nhiều em vẫn giải tốt. Các bài tập này khuyến khích những HS học khá hơn để phát triển thêm tư duy và sự sáng tạo của các em. Khi sáng tác đề để luyện tập sau mỗi dạng bài, giáo viên cần nhẩm tính thật chuẩn xác KCBĐ sao cho phù hợp dạng đang cung cấp cho học sinh để giúp các em thực hành tốt.
- Khi học sinh làm bài không nhất thiết phải vẽ hình, chỉ cần các em vẽ phác ở ngoài nháp, xác định KCBĐ, lấy số liệu phục vụ cho bài giải là được.
* Cách định hướng để tìm nhanh đáp số các bài toán thuộc 3 dạng trên khi tham gia giải toán qua mạng: 
Bước 1: Xác định vị trí ban đầu của kim phút, kim giờ.
Bước 2: Tìm KCBĐ giữa kim phút và kim giờ.
Bước 3: Đối chiếu với phần kết luận về cách tính thời gian của từng dạng bài để bấm máy tính tìm nhanh đáp số.
4) Dạng 4: Hai kim chuyển động và đổi chỗ cho nhau (tham khảo thêm).
 Ngoài 3 dạng đã trình bày ở trên, toán chuyển động của kim đồng hồ còn có dạng bài hai kim chuyển động và đổi chỗ cho nhau. Ở dạng bài này hướng giải hoàn toàn khác với 3 dạng trên. Cách xác định quãng đường đi đơn giản hơn, chúng tôi xin được nêu một ví dụ sau:
 Bài toán: Tuấn ngồi làm văn cô giáo cho về nhà. Khi Tuấn làm bài xong thì thấy vừa lúc hai kim đồng hồ đã đổi chỗ cho nhau. Hỏi Tuấn làm bài văn hết bao nhiêu phút? 
 * Phân tích: Khi hai kim đồng hồ đổi chỗ cho nhau thì kim phút đã đi được một quãng đường từ vị trí kim phút đến vị trí của kim giờ, còn kim giờ thì đi một quãng đường từ vị trí kim giờ đến vị trí của kim phút. Như vậy, tổng quãng đường mà hai kim đồng hồ đã đi là đúng bằng một vòng đồng hồ. Lấy tổng quãng đường của hai kim đã đi chia cho quãng đường hai kim đi được trong một giờ là tính được thời gian để hai kim đổi chỗ cho nhau
Bài giải:
Từ khi Tuấn bắt đầu làm bài cho đến khi hai kim đồng hồ đổi chỗ cho nhau thì:
Kim phút đi được quãng đường từ vị trí kim phút đến vị trí kim giờ lúc đầu.
Kim giờ đi được quãng đường từ vị trí kim giờ đến vị trí kim phút lúc đầu.
=> Tổng quãng đường hai kim đã đi đúng bằng một vòng đồng hồ.
- Tron