Ôn thi thpt quốc gia năm 2015 môn toán thời gian làm bài 180 phút

trang 1 
TRƯỜNG THPT MẠC ĐỈNH CHI 
ễN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 
Mụn TOÁN 
Thời gian làm bài 180 phỳt 
ưưưưưưưưưưưư***ưưưưưưưưưưưư 
Cõu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số:  4 2 2 2( 1) 1    (1) y x m x = - + + 
a)  Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị  hàm số (1) khi m = 0. 
b) Tỡm cỏc giỏ trị của tham số m  để  hàm số (1) cú  3 điểm cực trị  thỏa món giỏ 
trị cực tiểu đạt giỏ trị lớn nhất. 
Cõu 2 (1,0 điểm). 
a)  Giải phương trỡnh : sin 2 cos sin 1  ( ) x x x x R - + = ẻ 
b)  Giải bất phương trỡnh :  2 1  2 
2 
log log (2 ) 0   ( ) x x R ộ ự - > ẻ ở ỷ  . 
Cõu 3  (1,0 điểm). Tớnh tớch phõn 
2 
3 1  1 
dx 
I 
x x 
= 
+ 
ũ  . 
Cõu 4  (0,5 điểm).  Cho số phức  z  thỏa món điều kiện 
11 
1 
2 
z 
z 
z 
- 
= - 
- 
. Hóy tớnh 
4 
2 
z i 
z i 
- 
+ 
. 
Cõu 5 (1,0 điểm). Cho hỡnh lăng trụ  . ' ' ' ABC A B C  ,  ABC D  đều cú cạnh bằng a ,  ' AA a = 
và đỉnh  ' A  cỏch đều  , , A B C . Gọi  M , N  lần lượt là trung điểm của cạnh BC và  ' A B  . 
Tớnh  theo  a  thể  tớch  khối  lăng  trụ  . ' ' ' ABC A B C  và  khoảng cỏch  từ  C đến mặt phẳng 
( ) AMN  . 
Cõu 6 (1,0 điểm). Trong khụng gian với hệ tọa độ  Oxyz  , cho mặt cầu  ( ) S  cú phương 
trỡnh  2 2 2  4 6 2 2 0 x y z x y z + + - + - - =  . Lập phương trỡnh mặt phẳng  ( ) P  chứa truc Oy 
và cắt mặt cầu  ( ) S  theo một đường trũn cú bỏn kớnh  2 3 r =  . 
Cõu 7 (0,5 điểm). Giải búng chuyền VTV Cup gồm 12 đội búng tham dự, trong đú cú 9 
đội nước ngoài và 3 đội của Việt Nam. Ban tổ chức cho bốc  thăm ngẫu nhiờn để chia 
thành 3 bảng A, B, C mỗi bảng 4 đội. Tớnh xỏc suất để 3 đội búng của Việt Nam ở ba 
bảng khỏc nhau. 
Cõu 8  (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ  Oxy, cho  tam giỏc  ABC  với đường 
cao  AH cú phương trỡnh  3 4 10 0 x y + + =  và đường phõn giỏc trong  BE  cú phương trỡnh 
1 0 x y - + =  . Điểm  (0;2) M  thuộc đường  thẳng  AB  và cỏch đỉnh  C  một khoảng bằng 
2 . Tớnh diện tớch tam giỏc  ABC . 
Cõu 9  (1,0 điểm). Giải bất phương trỡnh: ( ) 2 2 5 4 1 ( 2 4) x x x x x + < + + -  (xẻ R). 
Cõu10 (1,0 điểm). Cho cỏc số thực  ; x y  thay đổi. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 
2 2 2 2 2 1 2 1 2 P x y x x y x y = + + + + + - + + -  . 
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưư Hết ưưưưưưưưưưưưưưưưưưư 
Cảm ơn thầy Nguyễn Thành Hiển( https://www.facebook.com/HIEN.0905112810) đó chia sẻ 
đờn www.laisac.page.tl
trang 2 
ĐÁP ÁN 
Cõu 1. 
(2 đ) 
a) (Tự khảo sỏt) 
b) y’ = 4x 3 – 4(m 2 +1)x 
y’ = 0 Û 
2 
0 
1 
x 
x m 
= ộ 
ờ 
= ± + ờ ở 
ị hàm số (1) luụn cú 3 điểm cực trị với mọi m 
2  1 CT x m = ± + ị giỏ trị cực tiểu 
2 2 ( 1) 1 CT y m = - + + 
2 2 ỡ ( 1) 1 0 CT V m y + ³ ị Ê 
2 max( ) 0 1 1 0 CT y m m = Û + = Û = 
Cõu 2. 
(1 đ) 
a) sin2 cos sin 1 x x x - + =  (1) 
(1) Û  (sin cos )(1 sin cos ) 0 x x x x - + - = 
sin cos 0 
1 sin cos 0 
x x 
x x 
- = ộ 
Û ờ + - = ở 
4  ( ) 
3 
2 2 
2 
x k 
k Z 
x k x k 
p ộ = + p ờ 
Û ẻ ờ 
p ờ = p Ú = + p 
ờ ở 
b)  2 1  2 
2 
og log (2 ) 0   ( ) x x R ộ ự - > ẻ ở ỷ  (2). 
Điều kiện:  2 2 2 log (2 ) 0 2 1 1 1 x x x - > Û - > Û - < < 
Khi đú (2) Û  2 2  2 2 
1 1 1 1  1 1 
log (2 ) 1 
0 2 2 0 
x x  x 
x 
x x x 
- < < - < < ỡ ỡ - < < ỡ 
- < Û Û Û ớ ớ ớ 
ạ - ợ ợ ợ 
Vậy tập nghiệm bpt là  ( 1;0) (0;1) S = - ẩ 
Cõu 3. 
(1 đ) 
2 2 2 
3 3 3 1 1 1 1 
dx x dx 
I 
x x x x 
= = 
+ + 
ũ ũ  . 
Đặt  3 3 2 2 
2 
1 1 . 
3 
t x x t x dx t dt = + ị = - ị =  . 
1 2 ;    2 3 x t x t = ị = = ị = 
3 3 
2 2 2 
2 . 1 1 1 
3 3 1 1 ( 1) 
t dt 
I dt 
t t t t 
ổ ử = = - ỗ ữ - + - ố ứ ũ ũ 
3 
2 
1 1 1 1 2 1 1 3 2 2 
ln ln ln ln 
3 1 3 2 3 2 2 1 
x 
I 
x 
ổ ử - - + 
= = - = ỗ ữ 
+ + ố ứ 
Cõu 4. 
(0,5 đ) 
11 
1 
2 
z 
z 
z 
- 
= - 
- 
Û  2  4 13 0 z z - + =  ,  2 ' 9 9i D = - = ị 
2 3 
2 3 
z i 
z i 
= + ộ 
ờ = - ở 
l  2 3 z i = + ị  4 
2 
z i 
z i 
- 
+ 
= 
2 
1 
2 
i 
i 
- 
= 
- 
l  2 3 z i = - ị  4 
2 
z i 
z i 
- 
+ 
= 
2 7 53 
2 5  29 
i 
i 
- 
= 
+ 
Cõu 5. 
(1 đ) 
l Gọi O là tõm tam giỏc đều ABC ị A’O ^ (ABC) 
Ta cú 
3 2 3 
, 
2 3 3 
a a 
AM AO AM = = = 
2 
2 2 2  6 ' ' 
3 3 
a a 
A O AA AO a = - = - =  ; 
2  3 
4 ABC 
a 
S D =
trang 3 
Thể  tớch  khối  lăng  trụ  . ' ' ' ABC A B C  : 
2 2 3 6 2 
. ' . 
4 3 4 ABC 
a a a 
V S A O D = = = 
l Ta cú [ ] 1  . , ( ) 
3 NAMC AMC 
V S d N ABC D = [ ] 
3 
,( )  NAMC 
AMC 
V 
d C AMN 
S D 
ị = 
[ ] 
2 1 3 1 6 
;   ,( ) ' 
2 8 2 6 AMC ABC 
a a 
S S d N ABC A O = = = = 
Suy ra: 
2 2 1 3 6 2 
. 
3 8 6 48 NAMC 
a a a 
V = = 
lại cú : 
3
2 
a 
AM AN = =  , nờn  AMN D  cõn tại A 
Gọi E là trung điểm AM  suy ra  AE MN ^  ,  ' 
2 2 
A C a 
MN = = 
2 2 
2 2  3 11 
4 16 4 
a a a 
AE AN NE ị = - = - =  ; 
2 1 11 
. 
2 16 AMN 
a 
S MN AE = = 
[ ] 
2 3 2 11 22 
,( ) : 
48 16 11 
a a a 
d C AMN ị = =  (đvđd) 
Cõu 6. 
(1 đ) 
2 2 2 2 2 2 ( ) : 4 6 2 2 0 ( 2) ( 3) ( 1) 16 S x y z x y z x y z + + - + - - = Û - + + + - = 
ị  ( ) S  cú tõm  (2; 3;1) I -  bỏn kớnh  4 R =  ; trục Oy cú VTCP  (0;1;0) j = 
r 
Gọi  ( ; ; ) n a b c = 
r 
là VTPT mp(P) , 
( ) P  chứa Oy ị  2 2 0   ( ;0; )  ( 0) n j b n a c a c ^ ị = ị = + ạ 
r r r 
Phương trỡnh mp(P):  0 ax cz + = 
(P) cắt mặt cầu (S) theo đường trũn cú bỏn kinh  2 3 r = 
ị [ ]  2 2 , ( ) 2 d I P R r = - = Û 
2 2 2 2 
2 2 
2 
2 4 4 4 4 
a c 
a ac c a c 
a c 
+ 
= Û + + = + 
+ 
E 
A 
B 
C 
C' 
B' 
A' 
M 
O 
N
trang 4 
2  0 3 4 0 
3 4 
c 
c ac 
c a 
= ộ 
Û - = Û ờ = ở 
Vậy phương trỡnh mp(P) :  0 x =  hoặc 3 4 0 x z + =  . 
Cõu 7. 
(0,5 đ) 
Số phần tử khụng gian mẫu là  4 
4 4 4 
12 8 ( ) . . 34.650 n C C C W = = 
Gọi A là biến cố “3 đội bong của Việt nam ở ba bảng khỏc nhau” 
Số cỏc kết quả thuận lợi của A là  3 3 3 9 6 3 ( ) 3 .2 .1. 1080 n A C C C = = 
Xỏc xuất của biến cố A là 
( ) 1080 54 
( ) 0,31 
( 34650 173 
n A 
P A 
n 
= = = 
W 
; 
Cõu 8. 
(1 đ) 
Gọi N là điểm đối xứng của M qua phõn giỏc BE thỡ N thuộc BC 
Tớnh được N(1; 1). Đường thẳng BC qua N và vuụng gúc với AH nờn cú 
phương trỡnh 4x − 3y – 1 = 0 
B là giao điểm của BC và BE. Suy ra tọa độ B là nghiệm của hệ pt: 
4 3 1 0 
(4;5) 
1 0 
x y 
B 
x y 
- - = ỡ 
Û ớ - + = ợ 
Đường thẳng AB qua B và M nờn cú phương trỡnh : 3x – 4y + 8 = 0 
A là giao điểm của AB và AH, suy ra tọa độ A là nghiệm hệ pt: 
3 4 8 0  1 
( 3; ) 
3 4 10 0  4 
x y 
A 
x y 
- - = ỡ 
Û - - ớ + + = ợ 
Điểm C thuộc BC va MC = 2  suy ra tọa độ C là nghiệm hệ pt: 
2 2 
(1;1) 1; 1 4 3 1 0 
31 33 31 33 
; ; ( 2) 2 
25 25 25 25 
C x y x y 
C x y x y 
ộ = = ộ - - = ỡ ù ờ ờ Û ị ớ ổ ử ờ ờ = = + - = ỗ ữ ù ợ ờ ở ố ứ ở 
Thế tọa độ A và C(1; 1) vào phương trỡnh BE thỡ hai giỏ trị trỏi dấu, suy ra 
A, C khỏc phớa đối với BE, do đú BE là phõn giỏc trong tam giỏc ABC. 
Tương tự A và 
31 33 
; 
25 25 
C ổ ử ỗ ữ 
ố ứ 
thỡ A, C cựng phớa với BE nờn BE là phõn giỏc 
ngoài của tam giỏc ABC. 
BC = 5, 
49 
( , ) 
20 
AH d A BC = =  . Do đú 
49 
8 ABC 
S =  (đvdt). 
Cõu 9. 
(1 đ) 
( ) 2 2 5 4 1 ( 2 4) x x x x x + < + + -  (*) 
A 
B 
C 
H 
E 
M(0;2) 
N 
I
trang 5 
ĐK: x(x 2 + 2x − 4) ≥ 0 Û 
1 5 0 
1 5 
x 
x 
ộ- - Ê Ê 
ờ 
³ - + ờ ở 
Khi đú (*) Û  2 2 4 ( 2 4) 5 4 x x x x x + - > + - 
Û  2 2 4 ( 2 4) ( 2 4) 3 x x x x x x + - > + - +  (**) 
TH 1:  1 5 x ³ - +  , chia hai vế cho x > 0, ta cú: 
(**) ị 
2 2 2 4 2 4 
4 3 
x x x x 
x x 
+ - + - 
> + 
Đặt 
2  2 4 
,   0 
x x 
t t 
x 
+ - 
= ³  , ta cú bpt:  2  4 3 0 t t - + <  1 3 t Û < < 
2 2 
2 
7 4 0 2 4 
1 3 
4 0 
x x x x
x  x x 
ỡ - - < + - ù < < Û ớ 
+ - > ù ợ 
Û 
1 17 7 65 
2 2 
x 
- + + 
< < 
TH 2:  1 5 0 x - - Ê Ê  ,  2  5 4 0 x x + - <  , (**) luụn thỏa 
Vậy tập nghiệm bpt (*) là 
1 17 7 65 
1 5;0 ; 
2 2 
S 
ổ ử - + + ộ ự = - - ẩ ỗ ữ ở ỷ 
ố ứ 
Cõu10. 
(1 đ) 
2 2 2 2 2 1 2 1 2 P x y x x y x y = + + + + + - + + - 
Xột cỏc điểm M(x−1; −y) , N(x+1; y). Ta cú OM + ON ≥ MN 
Û  2 2 2 2 2 ( 1) ( 1) 4 4 x y x y y - + + + + ³ + 
ị  2 2 1 2 ( ) P y y f y ³ + + - = 
TH1: y ≤ 2:  2 ( ) 2 1 2 f y y y = + + - ị 
2 
2 
'( ) 1 
1 
y 
f y 
y 
= - 
+ 
2 
2 
0  3 
'( ) 0 2 1 
3 3 1 
y 
f y y y y 
y 
³ ỡ 
= Û = + Û Û = ớ 
= ợ 
Lập bảng biến thiờn  f(y) ị 
( .2] 
3 
min ( ) 2 3 
3 x 
f y f 
ẻ -Ơ 
ổ ử 
= = + ỗ ữ 
ố ứ 
TH2: y ≥ 2:  2 ( ) 2 1 2 f y y y = + + -  ≥  2 5 2 3 > + 
Vậy  2 3   ; P x y ³ + "  . 
Do đú  2 3 MinP = +  khi x = 0 ; y = 
3 
3 
ưưưưưưưưưưưưưưưưưưư Hết ưưưưưưưưưưưưưưưưưưư 
Cảm ơn thầy Nguyễn Thành Hiển( https://www.facebook.com/HIEN.0905112810) đó chia sẻ 
đờn www.laisac.page.tl