Ôn tập Tổ hợp – xác suất

Trần Sĩ Tùng www.mathvn.com 
 Trang 21- www.mathvn.com 
I. Qui tắc đếm 
1. Qui tắc cộng: 
 Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc B. Nếu 
phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện và không trùng với bất 
kì cách nào trong phương án A thì công việc đó có m + n cách thực hiện. 
2. Qui tắc nhân: 
 Một công việc nào đó có thể bao gồm hai công đoạn A và B. Nếu công đoạn A có m cách 
thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn B thì công việc đó có m.n 
cách thực hiện. 
Bài 1: Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ thành phố A đến thành phố C có 2 
con đường, từ thành phố B đến thành phố D có 2 con đường, từ thành phố C đến thành 
phố D có 3 con đường. Không có con đường nào nối thành phố B với thành phố C. Hỏi có 
tất cả bao nhiêu đường đi từ thành phố A đến thành phố D? 
 ĐS: có 12 cách. 
Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhau nhỏ hơn 2.108, chia hết cho 3, có thể được viết bởi 
các chữ số 0, 1, 2? 
 ĐS: Có 2.37 – 1 = 4374 – 1 = 4373 (số) 
Bài 3: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thoả: 
 a) gồm 6 chữ số. 
 b) gồm 6 chữ số khác nhau. 
 c) gồm 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 2. 
 ĐS: a) 66 b) 6! c) 3.5! = 360 
Bài 4: Có 25 đội bóng đá tham gia tranh cúp. Cứ 2 đội phải đấu với nhau 2 trận (đi và về). 
Hỏi có bao nhiêu trận đấu? 
 ĐS: có 25.24 = 600 trận 
Bài 5: Có bao nhiêu số palindrom gồm 5 chữ số (số palindrom là số mà nếu ta viết các chữ số 
theo thứ tự ngược lại thì giá trị của nó không thay đổi). 
 ĐS: Số cần tìm có dạng: abcba  có 9.10.10 = 900 (số) 
Bài 6: a/ Một bó hoa gồm có: 5 bông hồng trắng, 6 bông hồng đỏ và 7 bông hồng vàng. Hỏi 
có mấy cách chọn lấy 1 bông hoa? 
 b/ Từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau có những chữ số khác 
nhau? 
 ĐS: a/ 18. b/ 15. 
A. TỔ HỢP 
CHƯƠNG II 
TỔ HỢP – XÁC SUẤT 
www.mathvn.com Trần Sĩ Tùng 
 Trang 22 – www.mathvn.com 
Bài 7: a/ Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số? 
 b/ Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số? 
 c/ Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều là số chẵn? 
 d/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa 
thì giống nhau? 
 e/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số và chia hết cho 5? 
 ĐS: a/ 3125. b/ 168. c/ 20 d/ 900. e/ 180000. 
Bài 8: Một đội văn nghệ chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài hát. Tại hội diễn, mỗi 
đội chỉ được trình diễn 1 vở kịch, 1 điệu múa và 1 bài hát. Hỏi đội văn nghệ trên có bao 
nhiêu cách chọn chương trình biểu diễn, biết rằng chất lượng các vở kịch, điệu múa, các 
bài hát là như nhau? 
 ĐS: 36. 
Bài 9: Một người có 7 cái áo trong đó có 3 áo trắng và 5 cái cà vạt trong đó có hai cà vạt màu 
vàng. Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn áo – cà vạt nếu: 
 a/ Chọn áo nào cũng được và cà vạt nào cũng được? 
 b/ Đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt màu vàng? 
 ĐS: a/ 35. b/ 29. 
Bài 10: Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5}. Có bao nhiêu cặp sắp thứ tự (x, y) biết rằng: 
 a/ ,x A y A  b/ { , }x y A c/ , 6x A y A và x y    . 
 ĐS: a/ 25. b/ 20. c/ 5 cặp. 
Bài 11: Cho tập hợp A = {1, 2, 3,  , n} trong đó n là số nguyên dương lớn hơn 1. Có bao 
nhiêu cặp sắp thứ tự (x, y), biết rằng: , ,x A y A x y   . 
 ĐS: 
( 1)
.
2
n n 
Bài 12: Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số: 
 a/ Gồm 2 chữ số? b/ Gồm 2 chữ số khác nhau? c/ Số lẻ gồm 2 chữ số? 
 d/ Số chẵn gồm 2 chữ số khác nhau? e/ Gồm 5 chữ số viết không lặp lại? 
 f/ Gồm 5 chữ số viết không lặp lại chia hết cho 5? 
 ĐS: a/ 25. b/ 20. c/ 15 d/ 8. e/ 120. f/ 24. 
Bài 13: Từ 6 số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số: 
 a/ Khác nhau? 
 b/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lớn hơn 300? 
 c/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chia hết cho 5? 
 d/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chẵn? 
 e/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lẻ? 
 ĐS: a/ 100. b/ 60. c/ 36 d/ 52. e/ 48. 
Bài 14: a/ Từ các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 3 chữ số khác nhau 
nhỏ hơn 400? 
 b/ Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau nằm 
trong khoảng (300 , 500). 
 ĐS: a/ 35. b/ 24. 
Bài 15: Một trường phổ thông có 12 học sinh chuyên tin và 18 học sinh chuyên toán. Thành 
lập một đoàn gồm hai người sao cho có một học sinh chuyên toán và một học sinh chuyên 
tin. Hỏi có bao nhiêu cách lập một đoàn như trên? 
Bài 16: Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 người đàn ông và 2 người đàn bà ngồi trên một chiếc 
ghế dài sao cho 2 người cùng phái phải ngồi gần nhau. 
Trần Sĩ Tùng www.mathvn.com 
 Trang 23- www.mathvn.com 
Bài 17: Có bao nhiêu cách sắp xếp 8 viên bi đỏ và 8 viên bi đen xếp thành một dãy sao cho 
hai viên bi cùng màu không được ở gần nhau. 
II. Hoán vị 
1. Giai thừa: 
 n! = 1.2.3n Qui ước: 0! = 1 
 n! = (n–1)!n 
!
!
n
p
= (p+1).(p+2)n (với n>p) 
!
( )!
n
n p
= (n–p+1).(n–p+2)n (với n>p) 
2. Hoán vị (không lặp): 
 Một tập hợp gồm n phần tử (n  1). Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào đó 
được gọi là một hoán vị của n phần tử. 
 Số các hoán vị của n phần tử là: Pn = n! 
3. Hoán vị lặp: 
 Cho k phần tử khác nhau: a1, a2, , ak. Một cách sắp xếp n phần tử trong đó gồm n1 phần 
tử a1, n2 phần tử a2, , nk phần tử ak (n1+n2+ + nk = n) theo một thứ tự nào đó được gọi là 
một hoán vị lặp cấp n và kiểu (n1, n2, , nk) của k phần tử. 
 Số các hoán vị lặp cấp n, kiểu (n1, n2, , nk) của k phần tử là: 
Pn(n1, n2, , nk) = 
1 2
!
! !... !k
n
n n n
4. Hoán vị vòng quanh: 
 Cho tập A gồm n phần tử. Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành một dãy kín được 
gọi là một hoán vị vòng quanh của n phần tử. 
 Số các hoán vị vòng quanh của n phần tử là: Qn = (n – 1)! 
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau: 
 A = 
6! 1 ( 1)! .( 1)!
. .
( 2)( 3) ( 1)( 4) ( 5)!5! 12.( 4)!3!
m m m
m m m m m m
  
       
 (với m  5) 
 B = 
7!4! 8! 9!
10! 3!5! 2!7!
 
 
 
 C = 
5! ( 1)!
.
( 1) ( 1)!3!
m
m m m

 
 ĐS: A = – 4(m–1)m; B = 
2
3
; C = 20 
Bài 2: Chứng minh rằng: 
a) Pn – Pn–1 = (n–1)Pn–1 b) 1 2 2 1( 1) ( 2) ... 2 1n n nP n P n P P P         
c) 
1 1 1 1
1 ... 3
1! 2! 3! !n
      d) 
2 1 1
! ( 1)! ( 2)!
n
n n n
 
 
Bài 3: Giải phương trình: 
! ( 1)! 1
( 1)! 6
x x
x
 


 ĐS: x = 2; x = 3 
Bài 4: Giải bất phương trình: 
1 5 ( 1)! .( 1)!
. 5
2 1 ( 3)!4! 12( 3).( 4)!2!
n n n
n n n n n
  
  
     
 (1) 
www.mathvn.com Trần Sĩ Tùng 
 Trang 24 – www.mathvn.com 
 ĐS: (1)  
( 1)
5
6
n n
  n = 4, n = 5, n = 6 
Bài 5: Giải các phương trình: 
 a) P2.x
2 – P3.x = 8 b) 1
1
1
6
x x
x
P P
P



 
 ĐS: a) x = –1; x = 4 b) x = 2; x = 3 
Bài 6: Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi trong 
các số đó có bao nhiêu số: 
 a) Bắt đầu bằng chữ số 5? b) Không bắt đầu bằng chữ số 1? 
 c) Bắt đầu bằng 23? d) Không bắt đầu bằng 345? 
 ĐS: a) 4! b) 5! – 4! c) 3! d) 5! – 2! 
Bài 7: Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 3, 5, 7, 9. Hỏi trong 
các số đó có bao nhiêu số: 
 a/ Bắt đầu bởi chữ số 9? b/ Không bắt đầu bởi chữ số 1? 
 c/ Bắt đầu bởi 19? d/ Không bắt đầu bởi 135? 
 ĐS: a/ 24. b/ 96. c/ 6 d/ 118. 
Bài 8: Với mỗi hoán vị của các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ta được một số tự nhiên. Tìm tổng tất cả 
các số tự nhiên có được từ các hoán vị của 7 phần tử trên? 
 ĐS: Với mọi i, j   1,2,3,4,5,6,7 , số các số mà chữ số j ở hàng thứ i là 6!. 
  Tổng tất cả các số là: (6!1++6!7) + (6!1++6!7).10 ++ (6!1++6!7).106 
 = 6! (1+2++7).(1+10++106) 
Bài 9: Tìm tổng S của tất cả các số tự nhiên, mỗi số được tạo thành bởi hoán vị của 6 chữ số 
1, 2, 3, 4, 5, 6. 
 ĐS: 279999720. 
Bài 10: Trên một kệ sách có 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lí, 3 quyển sách Văn. Các 
quyển sách đều khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách trên: 
 a) Một cách tuỳ ý? b) Theo từng môn? 
 c) Theo từng môn và sách Toán nằm ở giữa? 
 ĐS: a) P12 b) 3!(5!4!3!) c) 2!(5!4!3!) 
Bài 11: Có 5 học sinh nam là A1, A2, A3, A4, A5 và 3 học sinh nữ B1, B2, B3 được xếp ngồi 
xung quanh một bàn tròn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu: 
 a) Một cách tuỳ ý? b) A1 không ngồi cạnh B1? 
 c) Các học sinh nữ không ngồi cạnh nhau? 
 ĐS: a) Q8 = 7! b) Q7 = 6! c) Có 4!5.4.3 cách sắp xếp 
Bài 12: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ 
số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần? 
 ĐS: 
8! 7
3! 3!
 
Bài 13: Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và khác 0 biết rằng tổng của 3 chữ số 
này bằng 9. 
 ĐS: 18. 
Bài 14: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau. Hỏi trong 
các số đã thiết lập được, có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau? 
 ĐS: 480. 
Bài 15: Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn học sinh A, B, C, D, E ngồi vào một chiếc ghế dài 
sao cho: 
Trần Sĩ Tùng www.mathvn.com 
 Trang 25- www.mathvn.com 
 a/ Bạn C ngồi chính giữa? 
 b/ Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế? 
 ĐS: a/ 24. b/ 12. 
Bài 16: Một hội nghị bàn tròn có phái đoàn của các nước: Mỹ 5 người, Nga 5 người, Anh 4 
người, Pháp 6 người, Đức 4 người. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp cho mọi thành viên sao 
cho người cùng quốc tịch ngồi gần nhau? 
 ĐS: 143327232000. 
Bài 17: Sắp xếp 10 người vào một dãy ghế. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu: 
 a/ Có 5 người trong nhóm muốn ngồi kề nhau? 
 b/ Có 2 người trong nhóm không muốn ngồi kề nhau? 
 ĐS: a/ 86400. b/ 2903040. 
Bài 18: Sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 
chỗ ngồi nếu: 
 a/ Nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau? 
 b/ Chỉ có nữ ngồi kề nhau? 
 ĐS: a/ 34560. b/ 120960. 
Bài 19: Có bao nhiêu cách sắp xếp 12 học sinh đứng thành 1 hàng để chụp ảnh lưu niệm, biết 
rằng trong đó phải có 5 em định trước đứng kề nhau? 
 ĐS: 4838400. 
Bài 20: Có 2 đề kiểm tra toán để chọn đội học sinh giỏi được phát cho 10 học sinh khối 11 và 
10 học sinh khối 12. Có bao nhiêu cách sắp xếp 20 học sinh trên vào 1 phòng thi có 5 dãy 
ghế sao cho hai em ngồi cạnh nhau có đề khác nhau, còn các em ngồi nối đuôi nhau có 
cùng một đề? 
 ĐS: 26336378880000. 
Bài 21: Có 3 viên bi đen (khác nhau), 4 viên bi đỏ (khác nhau), 5 viên bi vàng (khác nhau), 6 
viên bi xanh (khác nhau). Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các viên bi trên thành một dãy 
sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau? 
 ĐS: 298598400. 
Bài 22: Trên giá sách có 30 tập sách. Có thể sắp xếp theo bao nhiêu cách khác nhau để có: 
 a/ Tập 1 và tập 2 đứng cạnh nhau? 
 b/ Tập 5 và tập 6 không đứng cạnh nhau? 
 ĐS: a/ 2.29!. b/ 28.29!. 
Bài 23: Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 
1 có mặt đúng 3 lần, chữ số 2 có mặt đúng 2 lần và mỗi chữ số còn lại có mặt đúng một 
lần? 
 ĐS: 3360. 
Bài 24: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ 
số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng 1 lần. 
 ĐS: 5880. 
Bài 25: Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5. 
Hỏi có bao nhiêu số như thế nếu: 
 a/ 5 chữ số 1 được xếp kề nhau? 
 b/ Các chữ số được xếp tuỳ ý? 
 ĐS: a/ 120. b/ 3024. 
www.mathvn.com Trần Sĩ Tùng 
 Trang 26 – www.mathvn.com 
III. Chỉnh hợp 
1. Chỉnh hợp (không lặp): 
 Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A (1  k  n) theo một thứ tự 
nào đóđược gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A. 
 Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: 
!
( 1)( 2)...( 1)
( )!
k
n
n
A n n n n k
n k
     

  Công thức trên cũng đúng cho trường hợp k = 0 hoặc k = n. 
  Khi k = n thì nnA = Pn = n! 
2. Chỉnh hợp lặp: 
 Cho tập A gồm n phần tử. Một dãy gồm k phần tử của A, trong đó mỗi phần tử có thể được 
lặp lại nhiều lần, được sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp 
chập k của n phần tử của tập A. 
 Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử: k knA n 
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau: 
A = 
2 5
5 10
2 57
A A
P P
 B = 1 2 3 41 2 2 3 3 4 4 5 1 2 3 4P A P A P A P A P P P P    
C = 
12 11 10 9
49 49 17 17
10 8
49 17
A A A A
A A
 
 D = 25 4 3 2 54 3 2 1
5 5 5 5
P P P P
A
A A A A
 
   
 
 
 ĐS: A = 46; B = 2750; C = 1440; D = 42 
Bài 2: Chứng minh rằng: 
 a/ 
2 2 2
2 3
1 1 1 1
... , , 2.
n
n
với n N n
nA A A

      
 b/ 11 1.
k k k
n n nA A k A

   c/ 
2 1 2.n n nn k n k n kA A k A
 
    
Bài 3: Giải các phương trình sau: 
 a) 3 20nA n b) 
3 25n nA A = 2(n + 15) c) 
2 2
23 42 0.n nA A   
 ĐS: a) n = 6 b) n = 3 c) n = 6 
Bài 4: Tìm n  N sao cho: 
 a) 2
4
1 3
210
.
n
n
n
P
A P



 b) 2( 3 23n nA A ) = Pn+1 c) 
2 22 6 12n n n nP A P A   
 ĐS: a) n = 5 b) n = 4 c) n = 2; 3 
Bài 5: Giải các phương trình: 
 a/ 10 9 89 .x x xA A A  b/ 
2 2. 72 6( 2 )x x x xP A A P   
 c/ 2 222 50x xA A  d/ 
1
1
1
.
72.
y
x x y
x
A P
P

 

 
Trần Sĩ Tùng www.mathvn.com 
 Trang 27- www.mathvn.com 
 ĐS: a/ x = 11. b/ x = 3; 4. c/ x = 5. d/ x = 8, 7, .y y N  
Bài 6: Giải các bất phương trình: 
 a) 
4
4 15
( 2)! ( 1)!
nA
n n
 
 
 b) 
4
2
2 1
143
0
4
n
n n
A
P P

 
  
 ĐS: a) n = 3; 4; 5 b) 2  n  36 
Bài 7: Tìm các số âm trong dãy số 1 2 3, , ,... , nx x x x với: 
4
4
2
143
( 1, 2, 3, ...)
4.
n
n
n n
A
x n
P P


   
 ĐS: 1 1 2 2
63 23
1, ; 2, .
4 8
n x n x      
Bài 8: Một cuộc khiêu vũ có 10 nam và 6 nữ. Người ta chọn có thứ tự 3 nam và 3 nữ để ghép 
thành 3 cặp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? 
 ĐS: Có 3 310 6.A A cách 
Bài 9: Trong không gian cho 4 điểm A, B, C, D. Từ các điểm trên ta lập các vectơ khác 
vectơ – không. Hỏi có thể có được bao nhiêu vectơ? 
 ĐS: 24A = 12 vectơ 
Bài 10: Một lớp học chỉ có các bàn đôi (2 chỗ ngồi). Hỏi lớp này có bao nhiêu học sinh, biết 
rằng chỉ có thể sắp xếp chỗ ngồi cho học sinh của lớp này theo 132 sơ đồ khác nhau? (Số 
chỗ ngồi vừa đủ số học sinh) 
 ĐS: 2nA = 132  n = 12 
Bài 11: Từ các chữ số 0, 1, 2, , 9, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số: 
 a) Các chữ số khác nhau? 
 b) Hai chữ số kề nhau phải khác nhau? 
 ĐS: a) 499.A b) Có 9
5 số 
Bài 12: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu: 
 a) Số gồm 5 chữ số khác nhau? 
 b) Số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau? 
 c) Số gồm 5 chữ số khác nhau và phải có mặt chữ số 5? 
 ĐS: a) 6. 46A b) 
3 3
5 56. 3.5A A 
 c) Số gồm 5 chữ số có dạng: abcde 
  Nếu a = 5 thì có 46A số 
  Nếu a  5 thì a có 5 cách chọn. Số 5 có thể đặt vào 1 trong các vị trí b, c, d, e  có 4 
cách chọn vị trí cho số 5. 3 vị trí còn lại có thể chọn từ 5 chữ số còn lại  có 35A cách 
chọn. 
  Có 4 36 54.5.A A = 1560 số 
Bài 13: Từ các chữ số 0, 1, 2, , 9 có thể lập bao nhiêu biển số xe gồm 3 chữ số (trừ số 000)? 
 ĐS: 310 1A  = 999 
Bài 14: Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số với: 
 a) Chữ số đầu và chữ số cuối giống nhau? 
 b) Chữ số đầu và cuối khác nhau? 
 c) Hai chữ số đầu giống nhau và hai chữ số cuối giống nhau? 
www.mathvn.com Trần Sĩ Tùng 
 Trang 28 – www.mathvn.com 
 ĐS: a) 9. 410A = 9.10
4 số 
 b) Có tất cả: 6 510 10A A = 9.10
5 số gồm 6 chữ số  Có 9.105 – 9.104 số 
 c) Có 9.10.10.10 = 9000 số 
Bài 15: Có bao nhiêu số điện thoại có 6 chữ số? Trong đó có bao nhiêu số điện thoại có 6 chữ 
số khác nhau? 
 ĐS: a) 610A = 10
6 b) 610A = 15120 
Bài 16: Một biển số xe gồm 2 chữ cái đứng trước và 4 chữ số đứng sau. Các chữ cái được lấy 
từ 26 chữ cái A, B, C, , Z. Các chữ số được lấy từ 10 chữ số 0, 1, 2, , 9. Hỏi: 
 a) Có bao nhiêu biển số xe trong đó có ít nhất một chữ cái khác chữ cái O và các chữ số 
đôi một khác nhau? 
 b) Có bao nhiêu biển số xe có hai chữ cái khác nhau và có đúng 2 chữ số lẻ giống nhau? 
 ĐS: a) Số cách chọn 2 chữ cái: 26  26 – 1 = 675 cách 
 Số cách chọn 4 chữ số: 410A = 5040 cách 
  Số biển số xe: 675  5040 = 3.402.000 số 
 b)  Chữ cái thứ nhất: có 26 cách chọn 
 Chữ cái thứ hai: có 25 cách chọn 
  Các cặp số lẻ giống nhau có thể là: (1;1), (3;3), (5;5), (7;7), (9;9) 
  Có 5 cách chọn 1 cặp số lẻ. 
 Xếp một cặp số lẻ vào 4 vị trí  có 24C cách 
  Có 5. 24C cách sắp xếp cặp số lẻ. 
  Còn lại 2 vị trí là các chữ số chẵn: 
 Chữ số chẵn thứ nhất: có 5 cách chọn 
 Chữ số chẵn thứ hai: có 5 cách chọn 
  Có 26  25  5  24C  5  5 = 487500 cách 
Bài 17: a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau mà tổng các chữ số đó bằng 18? 
 b) Hỏi có bao nhiêu số lẻ thoả mãn điều kiện đó? 
 ĐS: Chú ý: 18 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 8 
 18 = 0 + 1 + 2 + 3 + 5 + 7 
 18 = 0 + 1 + 2 + 4 + 5 + 6 
 a) 3  5  5! b) 192 + 384 + 192 = 768 số 
Bài 18: Từ 20 học sinh cần chọn ra một ban đại diện lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó và 1 thư 
ký. Hỏi có mấy cách chọn? 
 ĐS: 6840. 
Bài 19: Huấn luyện viên một đội bóng muốn chọn 5 cầu thủ để đá quả luân lưu 11 mét. Có 
bao nhiêu cách chọn nếu: 
 a/ Cả 11 cầu thủ có khả năng như nhau? (kể cả thủ môn). 
 b/ Có 3 cầu thủ bị chấn thương và nhất thiết phải bố trí cầu thủ A đá quả số 1 và cầu thủ 
B đá quả số 4. 
 ĐS: a/ 55440. b/ 120. 
Bài 20: Một người muốn xếp đặt một số pho tượng vào một dãy 6 chỗ trống trên một kệ trang 
trí. Có bao nhiêu cách sắp xếp nếu: 
 a/ Người đó có 6 pho tượng khác nhau? 
 b/ Người đó có 4 pho tượng khác nhau? 
Trần Sĩ Tùng www.mathvn.com 
 Trang 29- www.mathvn.com 
 c/ Người đó có 8 pho tượng khác nhau? 
 ĐS: a/ 6!. b/ 360. c/ 20160. 
Bài 21: Với 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau và 
thoả: 
 a/ Số chẵn. b/ Bắt đầu bằng số 24. c/ Bắt đầu bằng số 345. 
 d/ Bắt đầu bằng số 1? Từ đó suy ra các số không bắt đầu bằng số 1? 
 ĐS: a/ 312. b/ 24. c/ 6. d/ 120 ; 480. 
Bài 22: Cho tập hợp X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Có thể lập được bao nhiêu số n gồm 5 chữ số 
khác nhau đôi một lấy từ X trong mỗi trường hợp sau: 
 a/ n là số chẵn? 
 b/ Một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1? 
 (ĐHQG TP.HCM, 99, khối D, đợt 2) 
 ĐS: a/ 3000. b/ 2280. 
Bài 23: a/ Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 6, 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và 
chia hết cho 3. 
 b/ Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau sao cho 
trong các chữ số đó có mặt số 0 và số 1. 
(HVCN Bưu chính Viễn thông, 1999) 
 c/ Từ 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau 
trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4. 
 ĐS: a/ 18. b/ 42000. c/ 13320. 
Bài 24: a/ Tính tổng của tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một được tạo 
thành từ 6 chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8. 
 b/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được tạo thành từ 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 
4. Tính tổng của các số này. 
 ĐS: a/ 37332960. b/ 96 ; 259980. 
Bài 25: a/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 10 (chữ số hàng 
vạn khác 0). 
 (ĐH Đà Nẵng, 2000, khối A, đợt 1) 
 b/ Cho 10 chữ số 0, 1, 2, ..., 9. Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số khác nhau nhỏ hơn 600000 
xây dựng từ 10 chữ số đã cho. 
(ĐH Y khoa Hà Nội, 1997) 
 ĐS: a/ 3024. b/ 36960. 
www.mathvn.com Trần Sĩ Tùng 
 Trang 30 – www.mathvn.com 
IV. Tổ hợp 
1. Tổ hợp (không lặp): 
 Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k (1  k  n) phần tử của A được gọi là một tổ 
hợp chập k của n phần tử. 
 Số các tổ hợp chập k của n phần tử: 
!
!( )!
k
n
n
C
k n k


  Qui ước: 0nC = 1 
 Tính chất: 
0
1
1 1
1
1
1
n
n n
k n k
n n
k k k
n n n
k k
n n
C C
C C
C C C
n k
C C
k


 

 

 
 

2. Tổ hợp lặp: 
 Cho tập A =  1 2; ;...; na a a và số tự nhiên k bất kì. Một tổ hợp lặp chập k của n phần tử là 
một hợp gồm k phần tử, trong đó mỗi phần tử là một trong n phần tử của A. 
 Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử: 11 1
k k m
n n k n kC C C

     
3. Phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp: 
  Chỉnh hợp và tổ hợp liên hệ nhau bởi công thức: !k kn nA k C 
  Chỉnh hợp: có thứ tự. Tổ hợp: không có thứ tự. 
  Những bài toán mà kết quả phụ thuộc vào vị trí các phần tử –> chỉnh hợp 
 Ngược lại, là tổ hợp. 
  Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử (k  n): 
 + Không thứ tự, không hoàn lại: knC 
 + Có thứ tự, không hoàn lại: knA 
 + Có thứ tự, có hoàn lại: knA 
Dạng 1: Tính giá trị biểu thức tổ hợp 
Bài 1: Tính: A = 23 13 725 15 103C C C  B = 
4 3 4 2
7 7 8 3
5 6 6
210 10 11
1
1
C C C A
PC C C
  

  
 ĐS: A = – 165, B = 4 
Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau: 
 S = 2 3. .
n n n
n n nC C C P = 
8 9 10
2 15 15 15
10
17
2
.
n
k
n n k
P C C C
A P C


 
 
 Q = 
2
1
1 1 1
2 ... ...
k n
n n n
n k n
n n n
C C C
C k n
C C C 
     
Trần Sĩ Tùng www.mathvn.com 
 Trang 31- www.mathvn.com 
 ĐS: S = 
3
(3 )!
( !)
n
n
 P = (n+1)(n+2) + 1 Q = 
( 1)
2
n n 
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức tổ hợp 
Bài 1: Chứng minh các hệ thức sau: 
 a) . .k p k p kn n k n pC C C C

  (k  p  n) b) 
1
1
r r
n n
n
C C
r

 
Bài 2: Chứng minh các hệ thức sau: 
 a) 1 1 122
m m m m
n n n nC C C C
  
   b) 
1 2 3
33 3
k k k k k
n n n n nC C C C C
  
    (3  k  n) 
 ĐS: Sử dụng tính chất: 1 1
k k k
n n nC C C

  
Bài 3: Chứng minh các hệ thức sau: 
 a) 1 2 3 4 44 6 4
k k k k k
n n n n n nC C C C C C k
   
     (4  k  n) 
 b) 11
1p p
n n
n
C C
p



 c) 22( 1) ( 1)
k k
n nk k C n n C

   ( 2 < k < n) 
Bài 4: Chứng minh các hệ thức sau: 
 a) 0 1 1 0. . ... .p p p pr q r q r q r qC C C C C C C

    b) 
0 2 1 2 2
2( ) ( ) ... ( )
n n
n n n nC C C C    
 c) 0 2 4 2 1 3 2 1 2 12 2 2 2 2 2 2... ...
p p p
p p p p p p pC C C C C C C c
          
 d) 1 2 3 11 ... ( 1) ( 1)
p p p p
n n n n nC C C C C         
 ĐS: a) Sử dụng khai triển: (1+x)r.(1+x)q = (1+x)r+q. So sánh hệ số của xp ở 2 vế. 
 b) Sử dụng câu a) với p = q = r = n 
 c) Sử dụng (x+y)2p và (x–y)2p 
 d) Sử dụng 11 1
r r r
n n nC C C

   , với r lẻ thì nhân 2 vế với –1. 
Dạng 3 : Chứng minh bất đẳng thức tổ hợp 
Bài 1: Chứng minh rằng: 22
1 1
.
2 12
n
nn
C
n


 ( n  N, n  1) 
 HD: Biến đổi vế trái: 22 2
1 (2 )! 1.3.5...(2 1)
.
2.4.6...(2 )2 2 . ! !
n
nn n
n n
C
nn n

  
 Vậy ta phải chứng minh: 
1.3.5...(2 1) 1
2.4.6...(2 ) 2 1
n
n n



 Ta có: 
2 2
2 2
2 1 ( 2 1) ( 2 1) 2 1
2 2 14 4 1
k k k k
k kk k
   
  

 Cho k lần lượt từ 1, 2, , n. Rồi nhân các BĐT vế theo vế, ta được đpcm. 
Bài 2: Chứng minh rằng: 22 2 2. ( )
n n n
n k n k nC C C   (với k, n  N, 0  k  n) 
 HD:  Đặt uk = 2 2.
n n
n k n kC C  (k = 0;1;;n) 
 Ta chứng minh: uk > uk+1 (*) 
 Thật vậy, (*)  2 2 2 1 2 1. .
n n n n
n k n k n k n kC C C C       n + 2nk > 0 
 Điều này luôn luôn đúng  đpcm. 
Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức tổ hợp 
www.mathvn.com Trần Sĩ Tùng 
 Trang 32 – www.mathvn.com 
Bài 1: a) Chứng minh: 1k kn nC C
  với n = 2m, k  m. Từ đó suy ra mnC là lớn nhất. 
 b) Chứng minh: 1k kn nC C
  với n = 2m + 1, k  m. 
 Từ đó suy ra 1;m mn nC C
 là lớn nhất. 
 HD: a) Theo tính chất: 1
1
.k kn n
n k
C C
k
   
1
1
1
k
n
k
n
C n
kC 

  
 Với k  m  2k  n  
1
1 1
n
k

   1k kn nC C
 
 Vì k n kn nC C
 nên knC lớn nhất. 
 b) Tương tự 
Bài 2: Cho n > 2, p  [1; n]. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của pnC . 
 HD: Vì p n pn nC C
 nên ta chi cần xét 1  p  
2
n
 Ta có: 1p pn nC C
  
1
1
p
n
p
n
C n p
pC 
 
 > 1  p < 
1
2
n 
 Vậy pnC nhỏ nhất khi p = 1 hoặc p = n – 1, ứng với 
1 1n
n nC C
 = n 
 pnC lớn nhất khi p = 
1
2
n
 (nếu n lẻ) hoặc p = 
2
n
 (nếu n chẵn) 
Bài 3: Với giá trị nào của p thì pnC lớn nhất. 
 HD: Ta có: 
1
1 1
1
p
m
p
m
C m p m
p pC 
  
   . Tỉ số này giảm khi p tăng. 
  1p pm mC C
  
1
1
m p
p
 
 , do đó: p  
1
2
m
  Nếu m chẵn: m = 2k  p  k + 
1
2
 Để 1p pm mC C
 ta phải có: p  k + 
1
2
, vì p, k  N nên chọn p = k 
  Nếu m lẻ: m = 2k + 1  p  k + 1, ta sẽ có: 
1
1
p
m
p
m
C
C 
 khi p = k + 1  12 1
(2 1)!
( 1)! !
p k
m k
k
C C
k k



 

 * Áp dụng bài toán này ta có thể giải nhiều bài toán khác. Ví dụ: 
 Có 25 học sinh. Muốn lập thành những nhóm gồm p học sinh. Tìm giá trị của p để được số 
cách chia nhóm là lớn nhất? Tìm số cách chia nhóm đó. 
 * Vì có 25 học sinh, chọn p em nên số nhóm có thể lập là 25
pC . 
 Theo trên, ta có m = 25 (lẻ) với k = 12 do đó 25
pC lớn nhất khi p = k + 1 = 13. 
 Vậy p = 13, khi đó: số nhóm tối đa có thể lập: 1325C = 5200300. 
Dạng 5 : Giải phương trình, bất phương trình có chứa tổ hợp 
Bài 1: Giải các phương trình sau: 
Trần Sĩ Tùng www.mathvn.com 
 Trang 33- www.mathvn.com 
 a) 
4
3 4
1
24
23
n
n
n n
A
A C 


 b) 
4 5 6
1 1 1
x x xC C C
  c) 1 2 3 10... 1023x x x xx x x xC C C C
        
 ĐS: a) n = 5 b) x = 2 c) x = 10 
Bài 2: Giải các phương trình sau: 
 a) 4 2 1010 10
x x
x xC C
 
  b) 
2 2 1
4 3 3. . 0
xx C x C C   c) 2 22 101
x
x xA C

   
 d) 3 38 65
x
x xC A

  e) 
1 2 3 26 6 9 14x x xC C C x    
 ĐS: a) x = 14 b) x = 3 c) x = 10 d) x = 17 e) x = 7 
Bài 3: Giải các bất phương trình: 
 a) 
3
1
4
31
1
14
n
n
n
C
PA



 b) 25 360( )!
kn
n
P
A
n k


 c) 4 3 21 1 2
5
0
4n n n
C C A     
 ĐS: a) đk: n  3, n2 + n – 42 > 0  n  6 
 b) 
( 5)( 4)( 1) 0
k n
n n n k
 

    
  Xét với n  4: bpt vô nghiệm 
  Xét n  {0,1,2,3} ta được các nghiệm là: (0;0), (1;0), (1;1), (2;2), (3,3) 
 c) đk: n  5, n2 – 9n – 22 < 0  n = 6; 7; 8; 9; 10 
Bài 4: Giải các phương trình và bất phương trình: 
 a/ 2 31 12 7( 1)
x
x xC C x

    b/ 
3 2 14 .xx xA C x
  
 c/ 
5
5
2
336.x
x
x
A
C 
 d/ 
2
28
2 4
24
225
.
52
x
x
C
C 
 
 e/ 4 3 21 1 2
5
0.
4n n n
C C A     f/ 
3
1
4
31
1
14
n
n
n
C
PA



 . 
 g/ 2 212 3 30.x xC A   h/ 
2 2 3
2
1 6
10.
2 x x x
A A C
x
   
 ĐS: a/ x = 5. b/ x = 5. c/ x = 8. d/ x = 7. 
 e/ 5 10, .n n N   f/ 6, .x n N  g/ x = 2. h/ x = 3, x = 4. 
Bài 5: Giải các hệ phương trình: 
 a) 
1
1
126
720
x
y y x
y
x
x
A
C
P
P




  

 
 b) 1 11 : : 6 : 5 : 2
y y y
x x xC C C
 
  c) 
1
1
0
4 5 0
y y
x x
y y
x x
C C
C C


  

 
 ĐS: a) 
5
7
x
y
 


 b) 
8
3
x
y
 


 c) 
17
8
x
y
 


Bài 6: Giải các phương trình và hệ bất phương trình: 
 a/ 
2 5 90
5 2 80
y y
x x
y y
x x
A C
A C
  

 
 b/ 
2
1
:
3
1
:
24
x x
y y
x x
y y
C C
C A




 

 c/ 
3 1lg(3 ) lg 1
3 6
x xC C
x y
  

 
 ĐS: a/ x = 5, y = 2. b/ x = 4, y = 8. c/ 3 6; , .x x y Z   
Bài 7: Tìm số tự nhiên k sao cho 1 214 1