Ôn tập môn Toán lớp 8 - Tam giác đồng dạng

TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
Bài 1. Cho tam giác ABC vuơng ở A, điểm M thuộc cạnh AC. Vẽ MD vuơng gĩc BC tại D. Gọi E là giao điểm AB và MD.
a)  Chứng minh rằng:  ∆ABC≅∆DBE    
b)  Chứng minh rằng: MA.MC = MD.ME
c)  Chứng minh rằng: ∆MAD≅∆MEC  
d)  Chứng minh rằng: AB.AE = AM.AC
 Bài 2.  Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD và CE 
cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:
a) ∆BAD∽∆CAE     
b)  HB.HD = HC.HE
c)  ∆BHC~∆DHE    
d)  DH.DB = DA.DC
 Bài 3.  Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BD và CE cắt nhau ở H. Chứng minh rằng:
a)  Tam giác EHB đồng dạng tam giác DHC
b)  Tam giác HED đồng dạng tam giác HBC
c)  Tam giác ADE đồng dạng tam giác ABC
Bài 4.  Cho tam giác ABC cĩ ba gĩc nhọn (AB < AC). Vẽ hai đường cao BD và CE.
a)  Chứng minh:  ΔABD đồng dạng ΔACE. Suy ra : AB.AE = CA.AD
b)  Chứng minh:  ΔADE đồng dạng ΔABC
c)  Tia DE và CB cắt nhau tại I. Chứng minh:  ΔIBE đồng dạng ΔIDC 
Bài 5. Cho hình thoi ABCD cĩ gĩc A bằng 600. 
Qua C kẻ đường thẳng d khơng cắt hình thoi nhưng 
cắt đường thẳng AB tại E và đường thẳng AD tại F.
a) Chứng minh: ∆BEC~∆AEF
b) Chứng minh: ∆DCF~∆AEF 
c) Chứng minh:  BE.DF = DB2.
d) Chứng minh: ∆BDE~∆DBF 
Bài 6. Cho tam giác ABC cĩ gĩc A = 900, AB = 30cm, AC = 40cm, đường cao AE và BD là phân giác. Gọi F là giao điểm của AE và BD.
a) Chứng minh : Tam giác ABC đồng dạng tam giác EAC. Tính AE
b) Chứng minh : BD.EF = BF.AD
c) Chứng minh : AF = AD.
d) Tính AF.
 Bài 7.  Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M. Vẽ BH vuông góc với CM. Nối DH. Vẽ HN vuông góc với DH (N thuộc BC). Chứng minh rằng :a) DHC ≅ DNHB                 b) DMBH ≅DBCH                 
  c) AM.NB = NC.MB
Bài 8.  Cho DABC có 3 đường cao AA', BB', CC' cắt nhau tại H . Chứng minh :
a)  DAB'B đồng dạng  DAC'C
b)  DABC đồng dạng DAB'C'
c)  HA'AA' + HB'BB' +HC'CC' = 1
Bài 9.  Cho ABC vuơng tại A cĩ AB = 15, AC = 20 và đường cao AH
a)  Chứng minh: ABC DdHAC. Suy ra: AC2 = BC.HC
b)  Chứng minh: AH2 = BH.CH                                         
c)  Tính độ dài trung tuyến AM và đường cao AH của ∆ABC
Bài 10.  Cho ABC vuông tại A có AB = 12cm , AC = 16cm. Vẽ đường cao AH, đường phân giác AD.
a)  Tính độ dài BC
b)  Chứng minh hai tam giác ABH và ABC đồng dạng. Tính độ dài AH.
c)  Tính dộ dài BD và CD.
d)  Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ABD và ACD
 Bài 11. Cho rABC vuơng tại A, đường cao AH, AB = 8cm, AC = 6cm.
a)  Tính BC.
b)  Chứng minh rABC ≅ rHBA ; rHAC ≅ rHBA
c)  Gọi M, N là trung điểm của BH, AH. Chứng minh AM ^ CN.
d)  Lấy điểm D thuộc tia đối của tia AC, vẽ AK ^ BD (K Ỵ BD). CM:  rKBH rDBC.
e)  Biết thêm AD =  3cm. Tính diện tích ∆KBH.
 Bài 12.  Cho ∆ABC  có AB = 9 cm, AC = 6 cm. Điểm D nằm trên cạnh AB sao cho AD = 2cm. Gọi E là trung điểm của AC
a)  Chứng minh ∆AED đồng dạng ∆ABC
b)  Chứng minh AE.DC = AD.EB
c)  Tia  DE  cắt  tia  BC  tại  M.  Chứng  minh:  MD.ME  =  MB.MC
d)  Vẽ  MK // AB , MH // AC  (KAC , HBA). Chứng  minh:  .
Bài 13.  Cho hình chữ nhật ABCD, có AB = 8 cm, BC = 6 cm. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với BD tại H và cắt CD tại M.
a)  Tính độ dài BD.
b)  Chứng minh hai tam giác AHB và MHD đồng dạng
c)  Chứng minh MD.DC  = HD.BD
d)  Tính diện tích tam giác MDB
e)  Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB, DM. Chứng minh: I, H, K thẳng hàng.
Bài 14.  Cho rABC cĩ đường cao AH và đường phân giác AD biết AB = 8 cm, BC = 9 cm, AC = 10 cm.
a)  Tính BD và CD.
b)  Đường trung trực của BC tại M cắt AD tại K và cắt AC tại E. CM:  rDBK ≅rDAC
c)  Gọi S là trung điểm của AK. Chứng minh BS là tia phân giác của 
d)  Gọi F là giao điểm của BE và AD. Chứng minh F là trung điểm của AD
 Bài 15. Cho tam giác ABC cĩ ba gĩc nhọn,đường cao BE và CF cắt nhau tại H
          a)  Chứng minh rằng :AE.AC = AF.AB
          b)  Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC.
          c)  AH cắt BC tại D,ED cắt FC tại I.Chứng minh rằng: HI.CF = HF.IC.
 Bài 16.  Cho hình bình hành ABCD (AB>CD).Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của C lên các đường thẳng AB và CD.
          a)  Chứng minh rằng : CECF=CBCD
          b) Chứng minh rằng :AE.AB + AF.AD = AC2.
 Bài 17. Cho  tABC cĩ đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
a)  Chứng minh: ∆AFC≅∆AEB
Suy ra: AF.FB=AE.EC 
b)  Chứng minh:  ∆ABC≅∆AEF
c)  Chứng minh:  HA.HD=HB.HE=HC.HF
d)  Chứng minh:  BC2 = BH.BE+ CH.CF
 Bài 18. Cho ABC vuơng tại A, AB= 15 cm, AC =20 cm. Kẻ đường cao AH.
a)  Chứng minh   AB2= BH.HC 
b)  Kẻ HM vuơng gĩc với AB (M thuộc AB), HN vuơng gĩc với AC (N trên AC).
CM:  . ∆ANH?∆AHC
c)  Chứng minh AM. AB= AN. AC
d)  Chứng minh 
e)  Cho HN =9,6 cm. Tính diện tích tứ giác ANHM?
 Bài 19. Cho rABC vuơng tại B. Đường phân giác AD. Biết AB = 6 cm, AC = 10 cm.
a)  Tính BD và CD.
b)  Qua D kẻ đường thẳng vuơng gĩc với BC cắt AC tại K. Qua K kẻ đường thẳng vuơng gĩc với AD cắt AD, AB, BC lần lượt tại E, F, H. Chứng minh rABD ≅ rHDK.
e)  Chứng minh AK // DF.
f)  Chứng minh rCHA vuơng tại A.
g)  Chứng minh CHAH=KDBF
Bài 20. Cho ABC cĩ AB = 6cm, AC = 9cm, BC = 12cm và MNP cĩ MN = 24cm, NP = 18cm, MP = 12cm
a)  Chứng minh∆ ABC≅ ∆MNP
b)  Tính tỉ số diện tích của hai tam giác trên
Bài 21. Cho ABC vuơng tại A cĩ AB = 20cm, BC = 25cm. Gọi M là điểm thuộc cạnh AB.
a)  Tính AC
b) Qua B vẽ đường thẳng vuơng gĩc với CM tại H, cắt AC tại D. Chứng minh: ∆ AMC≅ ∆MHB
c)  Chứng minh: AC.AD = AM.AB
f)  Chứng minh: DM ⊥BC