Ôn tập môn Toán lớp 8 - Chủ đề 1: Nhân đa thức

Chủ đề 1: Nhõn đa thức.
A. Mục tiờu:
- Nắm được quy tắc nhõn đơn thức với đa thức, nhõn đa thức với đa thức.
- Học sinh biết trỡnh bày phộp nhõn đa thức theo cỏc cỏch khỏc nhau.
B. Thời lượng: 3 tiết (từ 1 đến 3)
C. Thực hiện: 
Tiết 1:
Cõu hỏi 
1: Phỏt biểu quy tắc nhõn đơn thức với đa thức.
2: Phỏt biểu quy tắc nhõn đa thức với đa thức.
* Bài tập về nhõn đơn thức với đa thức.
Bài 1: Thực hiện phộp nhõn.
a. 
b. 
Giải:
a. = 
b. = 
Bài 2: Chứng tỏ rằng cỏc đa thức khụng phụ thuộc vào biến.
a. 
b. 
Giải:
a. = 
 = 
	Vậy đa thức khụng phụ thuộc vào biến x.
b. =
 = 
	Vậy đa thức khụng phụ thuộc vào biến x.
Bài 3: Tớnh giỏ trị của biểu thức sau khi thực hiện cỏc phộp toỏn.
a. với x = 15
b. với 
c. với 
Giải:
a. =
 =
Thay x = 15 ta cú: 
b. 
 = 
 = 
 	Thay ta cú: 
c. =
 = =
 = 
Thay ta cú: 
Tiết 2:
Bài 4: Điền vào chỗ dấu * để được đẳng thức đỳng.
a. 
b. 
Giải:
a. Vỡ nờn dấu * ở vỊ phải là 9xy3
 Vỡ * ở vế trỏi là tớch của 9xy3 với 2y3 nờn phải điền vào dấu * này biểu thức
 vậy ta cú đẳng thức đỳng.
b. Lý luận tương tự cõu a.
 Đẳng thức đỳng là: 
Bài 5: Chứng minh cỏc đẳng thức sau:
a. a.(b - c) - b.(a + c) + c.(a - b) = -2ac.
b. a(1 - b) + a(a2 - 1) = a.(a2 - b)
c. a.(b - x) + x.(a + b) = b.(a + x)
Giải:
a. VT = a.(b - c) - b.(a + c) + c.(a - b)
= ab - ac - ab - bc + ac - bc 
= -2bc = VP đpcm
b. VT = a.(1 - b) + a.(a2 - 1)
= a - ab + a3 - a
= a3 - ab = a.(a2 - b) = VP đpcm.
c. VT = a.(b - x) + x.(a + b)
= ab - ax + ax + xb
= ab + xb = b(x + a) = VP đpcm
Bài 6: Tỡm x biết
a. 5x.(12x + 7) - 3x(20x - 5) = - 100
b. 0,6x(x - 0,5) - 0,3x(2x + 1,3) = 0,138
Giải:
a. 5x.(12x + 7) - 3x(20x - 5) = - 100
	60x2 + 35x - 60x2 + 15x = - 100
	50x = - 100
 x = - 2
b. 0,6x(x - 0,5) - 0,3x(2x + 1,3) = 0,138
	0,6x2 - 0,3x - 0,6x2 - 0,39x = 0,138
	- 0,6x = 0,138
 x = 0,138 : (- 0,6)
 - 0,2
* Bài tập về nhõn đa thức với đa thức
Bài 1: Làm tớnh nhõn.
a. (x2 + 2)(x2 + x+ 1)
b. (2a3 - 1 + 3a)(a2 - 5 + 2a)
Giải:
a. (x2 + 2)(x2 + x+ 1)
 = x4 + x3 + x2 + 2x2 + 2x + 2
 = x4 + x3 + 3x2 + 2x + 2
b. (2a3 - 1 + 3a)(a2 - 5 + 2a)
 = 2a5 - 10a3 + 4a4 - a2 + 5 - 2a + 3a3 - 15a + 6a2
 = 2a5 + 4a4 - 7a3 + 5a2 - 17a + 5
Tiết 3:
Bài 2: Chứng tỏ rằng đa thức sau khụng phụ thuộc vào biến.
	(x2 + 2x + 3)(3x2 - 2x + 1) - 3x2(x2 + 2) - 4x(x2 - 1)
Giải: (x2 + 2x + 3)(3x2 - 2x + 1) - 3x2(x2 + 2) - 4x(x2 - 1)
= 3x4 - 2x3 + x2 + 6x3 - 4x2 + 2x + 9x2 - 6x + 3 - 3x4 - 6x2 - 4x3 + 4x = 3
	Kết quả là một hằng số. Vậy đa thức trờn khụng phụ thuộc vào biến.
Bài 3: Cho x = y + 5. Tớnh
a. x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy + 65
b. x2 + y(y - 2x) + 75
Giải: 
a. x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy + 65
Từ giả thiết x = y + 5 x - y = 5
Ta cú: x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy + 65
 	= x2 + 2x + y2 - 2y - 2xy + 65
= x2- xy + y2 - xy + 2x - 2y + 65
=x(x - y) - y(x - y) + 2(x - y) + 65
= (x - y)(x - y) + 2(x - y) + 65
= (x - y)2 + 2(x - y) + 65
= 52 - 2.5 + 65 = 100
b. x2 + y(y - 2x) + 75
= x2 + y2 - 2xy + 75
= x(x - y) - y(x - y) + 75
= (x - y) (x - y) + 75
= 5.5 + 75 = 100
Bài 4: Tớnh giỏ trị của biểu thức.
a. A = x3 - 30x2 - 31x + 1 tại x = 31
b. B = x5 - 15x4 + 16x3 - 29x2 + 13x tại x = 14
Giải:
a. Với x = 31 thỡ 
A = x3 - 30x2 - 31x + 1 = x3 - (x - 1)x2 - x.x +1
 = x3 - x3 + x2 + 1 = 1
b. Với x = 14 thỡ
B = x5 - 15x4 + 16x3 - 29x2 + 13
 = x5 - (x + 1)x4 + (x + 2)x3 - (2x + 1)x2 + x(x - 1)
 = x5 - x5 - x4 + x4 + 2x3 - 2x3 - x2 + x2 - x = -x = - 14
Bài 5: CMR với mọi số nguyờn n thỡ
a. (n2 + 3n - 1)(n + 2) - n3 + 2 chia hết cho 5.
b. (6n + 1)(n + 5) - (3n + 5)(2n - 1) chia hết cho 2.
Giải:
a. Ta cú: (n2 + 3n - 1)(n + 2) - n3 + 2
= n3 + 3n2 - n + 2n2 + 6n - 2 - n3 + 2
= 5n2+ 5n = 5(n2 + n) n n
b. (6n + 1)(n + 5) - (3n + 5)(2n - 1)
= 6n2 + n + 30n + 5 - 6n2 - 10n + 3n + 5
= 24n + 10 = 2(12n + 5) n
Chủ đề 2: Tứ giỏc.
A. Mục tiờu:
- Học sinh nắm được định nghĩa tứ giỏc, tứ giỏc lồi, tổng cỏc gúc của tứ giỏc lồi.
- Biết vẽ, gọi tờn cỏc yếu tố, biết tớnh số đo cỏc gúc của tứ giỏc lồi.
B. Thời lượng: 1 tiết (tiết 4)
Tiết 4:
C. Thực hiện:
Cõu hỏi 
1: Thế nào là một tứ giỏc, tứ giỏc lồi?
2: Tổng cỏc gúc của một tứ giỏc bằng?
Bài 1: Cho tứ giỏc ABCD, đường chộo AC bằng cạnh AD. Chứng minh cạnh BC nhỏ hơn đường chộo BD.
Giải:	 C
Gọi O là giao điểm của hai đường chộo	 B
Trong tam giỏc AOD ta cú: 
AD < AO + OD (1)	 O	 
Trong tam giỏc BOC ta cú 
BC < OC + BO (2)	 A	 D
Cộng từng vỊ của (1) và (2) ta cú: 
AD + BC < AC + BD (3)	
Theo đề ra: AC = AD nờn từ (3) BC < BD (đpcm)
Bài 2: Tứ giỏc ABCD cú AB = BC, CD = DA
a. CMR: BD là đường trung trực của AC
b. Chó biết gúc B = 1000, gúc D = 700.
Tớnh gúc A và gúc C.	
 	A
Giải:	
a. BA = BC (gt)
DA = DC (gt)	 B	 D
	BD là đường trung trực của AC
 C
b. (c.c.c)	 
	Gúc <BAD = <BCD (hai gúc tương ứng)	
ta lại cú: Gúc <BAD + <BCD = 3600 - <B - <D
= 3600 - 1000 - 70 0 = 1900
Do đú: Gúc <A = <C = 1900 : 2 = 95 0
Bài 3: Tớnh cỏc gúc của tứ giỏc: ABCD biết rằng 
	Gúc <A : <B : <C : <D = 1 : 2 : 3 : 4
Giải:
	Theo tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau và tổng cỏc gúc của tứ giỏc ta cú:
	Do đú: gúc <A = 360; < B= 720; <C = 1080 ; <D = 1440
Chủ đề 3: Hỡnh thang
A. Mục tiờu:
- Nắm được định nghĩa hỡnh thang, hỡnh thang vuụng, hỡnh thang cõn.
- Biết vẽ và tớnh số đo cỏc gúc của hỡnh thang.
B. Thời lượng: 4 tiết (Tiết 5, 6, 7, 8)
C. Thực hiện:
Tiết 5:
Cõu hỏi: 
1. Thế nào là hỡnh thang, hỡnh thang vuụng, hỡnh thang cõn.
2. Hỡnh thang cú những tớnh chất nào?
3. Dấu hiệu nhận biết hỡnh thang cõn.
4. Định nghĩa đường trung bỡnh của tam giỏc, đường trung bỡnh của hỡnh thang và tớnh chất của nú.
Bài 1: Tớnh cỏc gúc của hỡnh thang ABCD (AB//CD) biết rằng gúc <A = 3<D;
 <C = 300.
Giải: 
	Từ <A + <D = 1800, <A = 3<D <D = 450, <A = 1350
	Từ <B + <C = 1800, <B - <C = 300
	Ta tớnh được: <C = 
	<B = 1800 - 750 = 1050
Bài 2: Tứ giỏc ABCD cú BC = CD và DB là tia gica của gúc D. CMR ABCD là hỡnh thang.
Giải:	
cú BC = CD là tam giỏc cõn	B	 C
	 <D1 = <B1
Theo gt <D1 = <D2 <B1 = <D2. Do đú BC // AD
Vậy ABCD là hỡnh thang	 
 A D 
Bài 3: Chứng minh rằng trong hỡnh thang cỏc tia phõn giỏc của hai gúc kè một cạnh bờn vuụng gúc với nhau.
Giải:	 Xột hỡnh thang ABCD cú AB // CD A B
Ta cú: <A1 = <A2 = <A
<D1 = <D2 = <D	 E
mà <A + <D = 1800	 D	 C
Nờn <A1 + <D1 = 900 
Trong cú <A1+ <D1 = 900 
	 <AED = 900. Vậy AE DE
Tiết 6:
Bài 4: Cho hỡnh thang vuụng ABCD cú <A = <D = 900; AB = AD = 2cm, 
DC = 4cm. Tớnh cỏc gúc của hỡnh thang.
Giải:	 A	 B
Kẻ BH vuụng gúc với CD. Hỡnh thang ABHD 
cú hai cạnh bờn AD// BH AD = BH, AB = DH
Do đú: HB = HD = 2cm HC = 2cm
	BHC vuụng tại H <C = 450 D C
 	<ABC = 1350	 
Bài 5: Hỡnh thang cõn ABCD cú AB // CD. O là gia điểm của hai đường chộo. CMR: OA = OB, OC = OD	 A	 B
Giải:
Vỡ ABCD là hỡnh thang cõn nờn 
AD = BC, <ADC = <BCD 
 (c.g.c)	 D C	 
	<C1 = <D1 cõn OC = OD	 
Ta lại cú: AC = BD nờn OA = OB
Bài 6: Cho tam giỏc ABC cõn tại A. trờn cỏc cạnh bờn AB, AC lấy cỏc điểm M, N sao cho BM = CN.
a. Tứ giỏc BMNC là hỡnh gỡ? Vỡ sao?
b. Tớnh cỏc gúc của tứ giỏc BMNC biết rằng <A = 400.
Giải:
a. Tam giỏc ABCD cõn tại A 	 A
	<B = <C = 
Lại cú BM = CN (gt) AM = AN M N 
	 cõn tại A
 <M1 = <N1 = 
 <B = <M1 do đú: MN //BC	B	 C
 Vậy tứ giỏc BMNC là hỡnh thang 
 Lại cú: <B = <C nờn BMNC là hỡnh thang cõn.
b. <B = <C = 700, <M2 = <N2 = 1100
Tiết 7:
Bài 7: Cho hỡnh thang cõn ABCD cú O là giao điểm của hai đường thẳng chứa cạnh bờn AD, BC và E là giao điểm của hai đường chộo. CMR OE là đường trung trực của hai đỏy.	 
Giải:	O
ABCD là hỡnh thang cõn <D = <C
 cõn OD = OC	 
mà AD = BC (gt) OA = OB	 A	 B
Vậy O thuộc đường trung trực của hai đỏy	 E
 (c.c.c) 
<C1 = <D1 ED = EC (1)	 D	 C
Lại cú: AC = BD nờn EA = EB (2) 
Từ (1) và (2) E thuộc đường trung trực của hai đỏy.
	Vậy OE là đường trung trực của hai đỏy.
Bài 8: 
a. Hỡnh thang cõn ABCD cú đỏy nhỏ AB = b, đỏy lớn CD = a. Đường cao AH. 
CMR: HD = , HC = (a, b cú cựng đơn vị đo)
b.Tớnh đường cao của hỡnh thang cõn cú hai đỏy 10cm, 26cm, cạnh bờn 17cm
Giải:
a. KỴ đường cao BK
 (cạnh huyền gúc nhọn)
HD = KC	 A	 B
Hỡnh thang ABKH cú cỏc cạnh bờn 
AH, BK song song nờn AB = HK
Ta cú: a - b = DC - AB = DC - HK
	 = HD + KC = 2HD	 D H	 K C
	Vậy HD = , 
	HC = DC - HD = = 
b. Xột hỡnh thang cõn ABCD cú đỏy AB = 10cm, đỏy CD = 26cm, cạnh bờn 
AD = 17cm.
Trước hết ta cú: HD = 8cm
 AH2 = 172 - 82 = 289 - 64 = 225 = 152
	Vậy AH = 15cm
Bài 9: Cho tam giỏc ABC, điểm D thuộc cạnh AC sao cho AD = DC. Gọi M là trung điểm của BC, I là gia điểm của BD và AM. CMR: AI = IM
Giải:	 	 A 
Gọi E là trung điểm của DC.	 D
Vỡ cú BM = MC, DE = EC. 	 I 
Nờn BD // ME DI // EM	 E
Do cú AD = DE, DI // EM 
Nờn AI = IM 	 B	M	 C 
Tiết 8:
Bài 10: Cho tứ giỏc ABCD. Gọi E, F, I theo thứ thự là trung điểm của AD, BC, AC. CMR
EI // CD, IF // AB	 	 
b. EF < 	 	 
Giải:
 Xột cú: AE = ED	 
 AI = IC nờn EI // DC, EI = 	 
 Tương tự cú: AI = IC, BF = FC	 
 B	
Nờn IF // AB, IF = AB	 A
b. Trong ta cú: EF EI + IF	 K
 EF 	 E	 F	
Vậy EF D C
Dấu “=” xảy ra khi E, I, F thẳng hàng, tức AB // DC
Bài 11: Cho hỡnh thang ABCD (AB // CD). M là trung điểm của AD, N là trung điểm của BC. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN và BD, MN và AC. Cho biết AB = 6cm, AD = 14cm. Tớnh cỏc độ dài MI, IK, KN.
Giải:
 Vỡ MN là đường trung bỡnh của 
hỡnh thang ABCD nờn MN // AB // DC A B
Xột cú AM = MD, MK // DC 
 KA = KC 	 	 
Do đú: MK = I K 
Tương tự: cú AM = MD, MI // AB D	 C
nờn BI = ID 
Do đú: MI = 
Từ đú ta cú: IK = MK - MI = 7 - 3 = 4cm
Xột cú BN = NC, NK // AB
 AK = KC Vậy KN = 
Bài 12: Dựng hỡnh thang ABCD (AB // CD), biết <D = 900, AD = 2cm, CD = 4cm, BC = 3cm.
Giải: B B/ x
* Cỏch dựng:	 A 
- Dựng tam giỏc ABC, biết hai cạnh và gúc 
xen giữa.
AD = 2cm, CD = 4cm, <D = 900
- Dựng tia Ax AD (Ax và C thuộc cựng D	 C
một nửa mặt phẳng bờ AD)
- Dựng cung trũn tõm C cú bỏn kớnh 3cm, cắt tia Ax ở B.
- KỴ đoạn thẳng BC.
* Chứng minh:
 Tứ giỏc ABCD là hỡnh thang vỡ: AB // CD
 Hỡnh thang ABCD cú <D = 900, AD = 2cm, 
 CD = 4cm, Cb = 3cm.
 Vậy hỡnh thang ABCD thoả món yờu cầu bài toỏn.
* Biện luận:
Ta dựng được hai hỡnh thang thoả món điều kiện bài toỏn: ABCD, AB/CD
Bài 13: Dựng hỡnh thang ABCD, biết hai đỏy AB = 2cm, CD = 4cm, <C = 500, 
<D = 700 A B B x
Giải:
* Phõn tớch
	Giả sử dựng được hỡnh thang ABCD 
thoả món yờu cầu của bài toỏn. Qua A kẻ 
đường thẳng song song với BC cắt CD ở E.	 D E	 C
Hỡnh thang ABCD cú hai cạnh bờn AE, BC
Song song nờn EC = AB = 2cm. 
Do đú: DE = 2cm
Tam giỏc ADE dựng được vỡ biết một cạnh và 2 gúc kè
Từ đú dựng được cỏc điểm C và B.
* Cỏch dựng:
- Dựng tam giỏc ADE biết DE = 2cm, <D = 700, <E = 500
- Trờn tia DE dựng điểm C sao cho DC = 4cm
- Dựng cỏc tia Ax // EC, Cy // EA. Chúng cắt nhau tại B.
* Chứng minh:
ABCD là hỡnh thang vỡ: AB // CD
Ta cú: <D = 700, DC = 4cm, <C = <ABD <C = 500
Hỡnh thang ABCE cú hai cạnh bờn AE, BC song song 
Nờn AB = EC = 4 - 2 = 2cm
Chủ đề 4: Cỏc hằng đẳng thức đỏng nhớ.
A. Mục tiờu:
- Học sinh nắm được 7 hằng đẳng thức đỏng nhớ.
- Biết vận dụng cỏc hằng đẳng thức đú vào việc giải toỏn.
B. Thời lượng: 3 tiết (tiết 9, 10, 11)
C. Thực hiện:
Tiết 9:
Bài 1: Biểu diễn cỏc đa thức sau dưới dạng bỡnh phương của một tổng.
a. x2 + 2x(y + 1) + y2 + 2y + 1
b. u2 + v2 + 2u + 2v + 2(u + 1)(v + 1) + 2
Giải: 
a. x2 + 2x(y + 1) + y2 + 2y + 1
 = x2 +2x(y + 1) + (y + 1)2
 = (x + y + 1)2
b. u2 + v2 + 2u + 2v + 2(u + 1)(v + 1) + 2
 = (u2 + 2u + 1) + (v2 + 2v + 1) + 2(u + 1)(v + 1)
 = (u + 1)2 + (v + 1)2 + 2(u + 1)(v + 1)
 = (u + 1 + v + 1)2
 = (u + v + 2)2
Bài 2: Điền đơn thức thớch hợp vào cỏc dấu *
a. 8x3 + * + * + 27y3 = (* + *)3
b. 8x3 + 12x2y + * + * = ( * + *)3
c. x3 - * + * - * = (* - 2y)3
Giải:
a. 8x3 + * + * + 27y3 = (* + *)3
	(2x)3 + * + * + (3y)3
	8x3 + 3(2x)2.3y + 3(2x).(3y)2 + (3y)2 = (2x + 3y)3
8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3 = (2x + 3y)3
b. 8x3 + 12x2y + * + * = ( * + *)3
 (2x)3 + 3(2x)2y + 3.2x (y)2 + y3 = (2x + y)3
 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x + y)3
c. x3 - * + * - * = (* - 2y)3
 x3 - 3x2 .2y + 3x(2y)2 - (2y)3 = (x - 2y)3
 x3 - 6x2y + 12xy2 - 8y3 = (x - 2y)3
Bài 3: Rỳt gọn biểu thức:
a. (a - b + c + d)(a - b - c - d)
b. (x + 2y + 3z)(x - 2y + 3z)
c. (x - 1)(x2 - x - 1)(x + 1)(x2 + x + 1)
d. (x + y)3 - (x - y)3 
e. (x2 + 3x + 1)2 + (3x + 1)2 - 2(x2 + 3x + 1)(3x - 1)
Giải: 
a. (a - b + c + d)(a - b - c - d)
 = 
 = (a - b)2 - (c + d)2
 = a2 - 2ab + b2 - c2 - 2cd - d2
 = a2 + b2 - c2 - d2 - 2ab - 2cd
b. (x + 2y + 3z)(x - 2y + 3z)
 = 
 = (x + 2z)2 - (2y)2
 = x2 + 6xz + 9z2 - 4y2
c. (x - 1)(x2 - x - 1)(x + 1)(x2 + x + 1)
 = (x3 - 1) (x3 + 1) = x6 - 1
d. (x + y)3 - (x - y)3
 = (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) - (x3 - 3x2y + 3xy2 - y3)
 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 - x3 + 3x2y - 3xy2 + y3
 = 6x2y + 2y3 = 2y(3x2 + y2)
e. (x2 + 3x + 1)2 + (3x + 1)2 - 2(x2 + 3x + 1)(3x - 1)
 = 
 = (x2 + 3x + 1 - 3x + 1)2 = (x2 + 2)2
Tiết 10:
Bài 4: Chứng minh rằng
a. (a2 + b2) (x2 + y2) = (ay - bx)2 + (ã + by)2
b. (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2
c. (x + y)4 + x4 + y4 = 2(x2 + xy + y2)2
Giải:
a. (a2 + b2) (x2 + y2) = (ay - bx)2 + (ã + by)2
VP = (ay - bx)2 + (ã + by)2
= ay2 - 2abxy + b2x2 + a2x2 + 2abxy + b2y2
= a2y2 + a2x2 + b2x2 + b2y2
= a2(x2 + y2) + b2(x2 + y2)
= (a2 + b2) (x2 + y2) = VT đpcm
b. (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2
VP = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2
= a2 + 2ab + b2 + b2 + 2bc + c2 + c2 + 2ac + a2
= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc + a2 + b2 + c2
= (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = VT đpcm
c. (x + y)4 + x4 + y4 = 2(x2 + xy + y2)2
VT = (x + y)4 + x4 + y4
= x2 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4 + x4 + y4
= 2(x4 + y4 + x2y2 + 2x3y + 2xy3 + 2x2y2)
= 2(x2 + y2 + xy)2 = VP đpcm
Bài 5: Trong hai số sau, số nào lớn hơn.
a. A = 1632 + 74. 163 + 372 bà B = 1472 - 94. 147 + 472
b. C = (22 + 42 + .... + 1002) - (12 + 32 + .... + 992) và 
c. D = 38. 78 - (214 + 1)
d. E = và H = với x > y > 0
Giải:
a. A = (163 + 37)2 = 2002 = 40000
 B = (147 - 47)2 = 1002 = 10000
Vậy A > B
b. C = (22 - 12) + (42 - 32) + .... + (1002 - 992)
= 3 + 7 + .... + 199 = 
 D = (3 . 7)8 - (218 - 1) = 1
Vậy D < C
c. E = = H
(Vỡ x > y > 0)
Tiết 11:
Bài 6: Xỏc định cỏc hệ số a, b sao cho đa thức sau viết dưới dạng bỡnh phương của một đa thức nào đú.
a. x4 + 2x3 + 3x2 + ax + b b. x4 + ax3 + bx2 - 8x + 1
Giải:
a. Giả thiết rằng: x4 + 2x3 + 3x2 + ax + b = (x2 + cx + d)2 
Xột trường hợp: x4 + c2x2 + d2 + 2cx3 + 2dx2 + 2cdx
= x4 + 2cx3 + x2(c2 + 2d) + 2cdx + d2
 Sử dụng phương phỏp đồng nhất hệ số ta cú:
Xột trường hợp x4 + 2x3 + 3x2 + ax + b = (- x2 + cx + d)2
Ta được: a = 2; b = 1; c = d = 1
Vậy x4 + 2x3 + 2x + 1 = (x2 + x + 1)2 = (- x2 - x - 1)2
Bài 7: Tỡm giỏ trị lớn nhất của đa thức:
a. C = 5 - 8x - x2
b. D = - 3x(x + 3) - 7
Giải:
a. C = 5 - 8x - x2 = - x2 - 8x - 16 + 16 + 5
= - (x2 + 8x + 16) + 21 = - (x + 4)2 + 21
 Vỡ (x + 4)2 0 x - (x + 4)2 
 Do đú: - (x + 4)2 + 21 
Vậy giỏ trị lớn nhất của C là 21 khi x + 4 = 0 x = - 4
b. D = - 3x(x + 3) - 7 = - 3x2 - 9x - 7
 = - 3(x2 + 2x. ) - 7
= - 3
= - 3
Vỡ 
 Do đú: 
	Vậy giỏ trị lớn nhất của D là khi 
Bài 8: Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của đa thức.
a. A = x2 + 5x + 8
b. B = x(x - 6)
Giải: A = x2 + 5x + 8 = x2 + 2. x. 
 = 
Vỡ nờn 
Vậy A cú giỏ trị nhỏ nhất là khi 
b. B = x(x - 6) = x2 - 6x
= x2 + 6x + 9 - 9 = (x - 3)2 - 9
 Vỡ (x - 3)2 nờn (x - 2)2 - 9 
	Vậy B cú giỏ trị nhỏ nhất là - 9 khi x - 3 = 0 x = 3
Chủ đề 5: Phõn tớch đa thức thành nhõn tư.
A. Mục tiờu:
- ễn tập cho học sinh tớnh chất phõn phối của phộp nhõn đối với phộp cộng: 
a(b + c) = ab + ac
- ễn tập cho học sinh nắm vững cỏc phương phỏp phõn tớch đa thức thành nhõn tư.
+ Đặt nhõn tư chung
+ Dựng cỏc hằng đẳng thức đỏng nhớ.
+ Nhúm cỏc hạng tư
+ Phối hợp nhiều phương phỏp.
Ngoài ra cho học sinh làm quen với nhiều phương phỏp khỏc như:
+ Tỏch một hạng tư thành nhiều hạng tư
+ Thờm bớt cựng một hạng tư thớch hợp.
+ Phương phỏp đặt biến phụ.
B. Thời lượng: 3 tiết (tiết 12, 13, 14)
C. Thực hiện:
Tiết 12:
Bài 1: Phõn tớch đa thức thành nhõn tư bằng phương phỏp đặt nhõn tư chung.
a. 12xy - 4x2y + 8xy2
b. 4x(x - 2y) - 8y(x - 2y)
c. 25x2(y - 1) - 5x3(1 - y)
d. 3x(a - x) + 4a(a - x)
Giải:
a. 12xy - 4x2y + 8xy2 = 4xy(3 - x + 2y)
b. 4x(x - 2y) - 8y(x - 2y)
 = (x - 2y) (4x - 8y) = 4(x - 2y) (x - 2y)
 = 4(x - 2y)2
c. 25x2(y - 1) - 5x3(1 - y)
 = 25x2(y - 1) + 5x3(y - 1)
 = (y - 1) (25x2 + 5x3) = 5x2(y - 1) (5 - x)
d. 3x(a - x) + 4a(a - x) = (a - x) (3x + 4a)
Bài 2: Phõn tớch đa thức thành nhõn tư bằng phương phỏp dựng hằng đẳng thức.
a. 
b. (x + a)2 - 25
c. x2 + 2x + 1 - y2 + 2y - 1
d. - 125a3 + 75a2 - 15a + 1
Giải:
a. = 
b. (x + a)2 - 25 = (x + a)2 - 52 = (x + a + 5) (x + a - 5)
c. x2 + 2x + 1 - y2 + 2y - 1 = (x + 2x + 1) - (y2 - 2y + 1)
 = (x + 1)2 - (y - 1)2 = (x + 1 + y - 1) (x + 1 - y + 1)
 = (x + y) (x - y + 2)
d. - 125a3 + 75a2 - 15a + 1 = (1 - 5a)3
Tiết 13:
Bài 3: Phõn tớch đa thức thành nhõn tư bằng phương phỏp nhúm hạng tư.
a. 4x2 - 9y2 + 4x - 6y
b. x3 + y(1 - 3x2) + x(3y2 - 1) - y3
c. a2x + a2y - 7x - 7y
d. x(x + 1)2 + x(x - 5) - 5(x + 1)2
Giải:
a. 4x2 - 9y2 + 4x - 6y
 = (4x2 - 9y2) + (4x - 6y) = (2x + 3y) (2x - 3y) + 2(2x - 3y)
 = (2x - 3y) (2x + 3y + 2)
b. x3 + y(1 - 3x2) + x(3y2 - 1) - y3
 = x3 + y - 3x2y + 3xy2 - x - y3
 = (x3 - 3x2y + 3xy2 - y3) - (x - y)
 = (x - y)3 - (x - y)
 = (x - y) = (x - y) (x - y + 1) (x - y - 1)
c. a2x + a2y - 7x - 7y
 = (a2x + a2y) - (7x + 7y) = a2(x + y) - 7(x + y)
 = (x + y) (a2 - 7)
d. x(x + 1)2 + x(x - 5) - 5(x + 1)2
 = = (x + 1)2 (x - 5) + x(x - 5)
 = (x - 5) = (x - 5) (x2 + 3x + 1)
Bài 4: Phõn tớch đa thức thnàh nhõn tư bằng cỏch phối hợp nhiều phương phỏp.
a. x4 + x2y2 + y4
b. x3 + 3x - 4
c. x3 - 3x2 + 2
d. 2x3 + x2 - 4x - 12
Giải:
a. x4 + x2y2 + y4 = x4 + 2x2y2 + y4 - x2y2
 = (x2 + y2)2 - x2y2 = (x2 + y2 )2 - (xy)2 
 = (x2 + y2 + xy) (x2 + y2 - xy)
b. x3 + 3x - 4 = x3 - 3x2 + 3x - 1 + 3x2 - 3
 = (x - 1)3 + 3(x2 - 1) = (x - 1)3 + 3(x + 1) (x - 1)
 = (x - 1) = (x - 1) (x2 + x + 4)
c. x3 - 3x2 + 2 = x3 - 3x2 + 3x - 1 - 3x + 3
 = (x - 1)3 - 3(x - 1) = (x - 1)
 = (x - 1) (x2 - 2x - 2)
d. 2x3 + x2 - 4x - 12 = (x2 - 4x + 4) + (2x3 - 16)
 = (x - 2)2 + 2(x3 - 8) = (x- 2)2 + 2(x - 2) (x2 + 2x + 4)
 = (x - 2) = (x - 2) (2x2 + 5x + 6)
Tiết 14:
Bài 5: Tớnh bằng cỏch hợp lí nhất giỏ trị cỏc biểu thức
a. 
b. a2 - 86a + 13 với a = 87
c. a2 + 32a - 300 với a = 68
d. a3 - b 3 - 3ab(a - b) với a = - 27, b = - 33
Giải:
a. = 
b. a2 - 86a + 13 = 87(87 - 86) + 13 = 87 + 13 = 100
c. a2 + 32a - 300 = 68(68 + 32) - 300 = 68. 100 - 300 = 6500
d. a3 - b 3 - 3ab(a - b) = (a - b) (a2 + ab + b2 - 3ab)
 = (a - b)3 = (- 27 + 33)3 = 63 = 216
Bài 6: Tỡm x biết:
a. (x - 2) (x - 3) + (x - 2) - 1 = 0
b. (x + 2)2 - 2x(2x + 3) = (x + 1)2
Giải:
a. (x - 2) (x - 3) + (x - 2) - 1 = 0
	(x - 2) (x - 3 + 1) - 1 = 0
 (x - 2)2 - 1 = 0
(x - 2 + 1) (x - 2 - 1) = 0
(x - 1) (x - 3) = 0
x = 1 hoặc x = 3
Vậy nghiệm của phương trỡnh: x1 = 1, x2 = 3
b. (x + 2)2 - 2x(2x + 3) = (x + 1)2
 (x + 2)2 - (x + 1)2 - 2x(2x + 3) = 0
 (x + 2 + x + 1) (x + 2 - x - 1) - 2x(2x + 3) = 0
 (2x + 3) - 2x(2x + 3) = 0
 (2x + 3) (1 - 2x) = 0
 x = - hoặc x = 
Vậy nghiệm của PT: x1 = - , x2 = 
Chủ đề 6: Hỡnh chữ nhật
A. Mục tiờu:
- ễn tập cho học sinh cỏc tớnh chất của hỡnh chữ nhật.
- Dấu hiệu nhận biết hỡnh chữ nhật
- Rốn luyện khả năng vẽ hỡnh, chứng minh một bài toỏn.
B. Thời lượng: 3 tiết (tiết 15, 16, 17)	 
C. Thực hiện: A B
Tiết 15: 
Bài 1: Tỡm x trờn hỡnh bờn (đv đo: cm)
Giải:
 KỴ BH CD. Tứ giỏc ABHD cú 3 
gúc vuụng nờn là hỡnh chữ nhật, do đú:	 D	 H	 C
 DH = AB = 16cm 
	HC = DC - DH = 24 - 16 = 8cm
Xột vuụng theo định lý Pitago
BH = 
Vậy x = 15cm
Bài 2: Tứ giỏc ABCD cú hai đường chộo vuụng gúc với nhau. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của cỏc cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giỏc EFGH kà hỡnh gỡ? Vỡ sao?
Giải:
Tam giỏc ABC cú AE = EB, BF = FC B
	EF = AC (1)	 E	 F
Chứng minh tương tự: HG // AC (2) 
Từ (1), (2) EF // HG (*) 	 A	 C 
Chứng minh tương tự: EH // FG (**) 	 H	 G 
Từ (*) và (**) EFGH là hỡnh bỡnh hành.
EF // AC, BD AC EF BD 	 D	 
EF BD, EH // BD EF EH
Hỡnh bỡnh hành EFGH cú gúc E = 900 
 là hỡnh chữ nhật
Bài 3: Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A, AC = 4cm, Điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là chõn cỏc đường vuụng gúc kẻ từ M đến AB, AC.
a. Tứ giỏc EDME là hỡnh gỡ? tớnh chu vi tứ giỏc đú.
b. Điểm M ở vị trớ nào trờn cạnh BC thỡ đoạn thẳng DE cú độ dài nhỏ nhất.
Giải:
a. Tứ giỏc ADME cú gúc <A = <D = <E = 900 B
Vậy tứ giỏc ADME là hỡnh chữ nhật.	 D	 M
- Chu vi của hỡnh chữ nhật ADME bằng: 
2(AD + DM) = 2(AD + DB) = 2AB 
 	= 2 . 4 = 8cm	 A	 	 C
b. Gọi H là trung điểm của BC, ta cú AH BC
 ADME là hỡnh chữ nhật DE = AM 
 Ta cú: DE = AM > AH.
 Dấu “=” xảy ra khi M H
 	Vậy DE cú độ dài nhỏ nhất là AH khi M là trung điểm của BC 
Tiết 16:
Bài 4: Cho tam giỏc ABC cõn tại A, cỏc đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G. Gọi D là điểm đối xứng với G qua M. Gọi E là điểm đối xứng với G qua N. Tứ giỏc BEDC là hỡnh gỡ? Vỡ sao?	 	 A	 
Giải:	 E	 D
D đối xứng với G qua M GD = 2GM
G là trọng tõm của tam giỏc ABC 	 
 	BG = 2GM BG = GD
chứng minh tương tự: CG = GE 	 B C Tứ giỏc BEDC cú hai đường chộo cắt nhau tại 	
trung điểm của mỗi đường nờn là hỡnh bỡnh hành 	 
 (c.g.c) <B1 = <C1 
	BG = CG BD = CE	 
Hỡnh bỡnh hành BEDC cú hai đường chộo bằng nhau nờn là hỡnh chữ nhật.
Bài 5: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A . Điểm D thuộc cạnh AC. Gọi E, F, G theo thứ tự là trung điểm của BD , BC, DC. Chứng minh rằng tứ giỏc EFEG là hỡnh thang cõn.	 B
Giải:	 	 
 Vỡ EF là đường trung bỡnh của tam giỏc BDC
 nờn EF // DC	
 Do đú: AEFG là hỡnh thang 
 Do FG là đường trung bỡnh của tam giỏc BDC A D G C
 Nờn FG // BD gúc <G1 = <D1 (đồng vị)
 Vỡ tam giỏc ABD vuụng tại A, AE là đường 
trung tuyến nờn AE = 
Do đú: tam giỏc AED cõn tại E gúc <A1 = <D1
Từ đú gúc <G1 = <A1
Hỡnh thang AEFG cú hai gúc kè một đỏy bằng nhau nờn là hỡnh thang cõn.
Tiết 17:
Bài 6: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đường cao AH, đường trung tuyến AM
a. CMR: Gúc <HAB = <MAC
b. Gọi D, E thứ tự là chõn đường vuụng gúc kẻ từ H đến AB, AC. CMR AM vuụng gúc với DE	 A
Giải:	
a. Ta cú gúc <A1 = <C (cựng phụ với <HAC) E
 AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền 	
 của tam giỏc ABC AM = MC 	 D O 	 
	gúc <C = <A2 gúc <A1 = <A2
b. Gọi O là giao điểm của AH và DE	 B	 H	 M	 C
 I là giao điểm của AM và DE
Tứ giỏc ADHE là hỡnh chữ nhật (cú 3 gúc vuụng) 
	OA = OE gúc <E1 = <OAE (1)
Ta lại cú: AHC vuụng
	gúc <C + <OAE = 900 (2)
 ta cú: gúc <C = <A2 (3) (cm ở cõu a)
 Từ (1), (2), (3) gúc <E1 + <A2 = 900
	Gúc <AIE = 900 tức AM DE
Bài 7: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đường cao AH. Gọi D, E theo thứ tự là chõn đường vuụng gúc kẻ từ H đến AB, AC.
a. CMR: AH = DE
b. Gọi I là trung điểm của HB, K là trung điểm của HC
CMR: DI // EK
Giải:
a. Tứ giỏc ADHE cú 3 gúc vuụng nờn là hỡnh chữ nhật A
Do đú: AH = DE
b. Gọi O là giao điểm của AH và DE	 E
 ADHE là hỡnh chữ nhật	 	 
	OH = OE gúc <E1 = <H1 (1)	 D
Tam giỏc EHC vuụng cú EK là đường B	 C
trung tuyến ứng với cạnh huyền 
	HK = EK gúc <E2 = <H2 (2) 
Từ (1), (2) gúc <E1 + <E2 = <H1 + <H2 = <AHC = 900
Do đú: gúc DEK = 900
Chứng minh tương tự ta cú: gúc EDI = 900
Vậy DI // EK (đpcm)
Chủ đề 7: Hỡnh thoi
A. Mục tiờu: Giỳp học sinh
- Hiểu rừ định nghĩa hỡnh thoi, cỏc tớnh chất của hỡnh thoi, cỏc dấu hiệu nhận biết một tứ giỏc là hỡnh thoi.
- Rốn luyện khả năng tớnh toỏn, khả năng chứng minh cỏc bài toỏn.
B. Thời lượng: 3 tiết (tiết 18, 19, 20)
C. Thực hiện:
Tiết 18:
Cõu hỏi:
1. Thế nào là một hỡnh thoi?
2. Nờu cỏc tớnh chất của hỡnh thoi.
3. Nờu cỏc dấu hiệu nhận biết hỡnh thoi.
Bài 1: 
a. Cho hỡnh thoi ABCD, kỴ đường cao AH, AK. CMR: AH = AK
b. Hỡnh bỡnh hành ABCD cú hai đường cao AH, AK bằng nhau. CMR: ABCD là hỡnh thoi	 A
Giải:	 	 	
a. Xột AHB và AKD cú:
AB = AD (vỡ ABCD là hỡnh thoi)
Gúc <B = <D (t/c hỡnh thoi) 	 B	 D vuụng AHB = AKD (cạnh huyền gúc nhọn)	 H	 K
AH = AK (2 cạnh tương ứng)	 C	
b. Xột tam giỏc vuụng AHB và AKD cú: 
 AH = AK (gt)	
 Gúc <B = <D (t/c hỡnh bỡnh hành)
	tam giỏc (cạnh gúc vuụng- gúc nhọn kè)
Vậy AB = AD (2 cạnh tương ứng)
 Hỡnh bỡnh hành ABCD cú 2 cạnh kè bằng nhau nờn là hỡnh thoi.
Bài 2: Hỡnh thoi ABCD cú gúc <A = 600. kẻ hai đường cao BE, BF. Tam giỏc Bè là tam giỏc gỡ? Vỡ sao?	 B	
Giải:
Xột và cú:	 A	 C
AB = CB (đ/n hỡnh thoi)
Gúc <A = <C (t/c hỡnh thoi) E	 F
= (cạnh huyền- gúc nhọn)	 D
	BE = BF	 
Vậy tam giỏc BEF cõn
Lại cú: gúc <B = 	
Mà gúc <B 1 = <B2 = 300 
	<B3 = 600 
	Vậy tam giỏc BEF đều.
Tiết 19:
Bài 3: Cho hỡnh thoi ABCD, O là giao điểm của hai đường chộo. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là chõn cỏc đường gúc kẻ từ O đến AB, BC, CD, DA. Tứ giỏc EFGH là hỡnh gỡ? Vỡ sao?
Giải:	 B
Ta cú; OF AB, OG CD	 E	 F
Mà AB // CD (t/c hỡnh thoi)
	E, O, G thẳng hàng.	 A	 C
Chứng minh tương tự ta cú 3 điểm	
 F, O, H thẳng hàng.	 H	 G
- Điểm O thuộc tia phõn giỏc của gúc B 	 D
nờn cỏch đều 2 cạnh của gúc do đú: OE = OF
Tương tự ta cũng cú: OF = OG, OG = OH
Vậy tứ giỏc EFGH cú hai đường chộo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nờn là hỡnh chữ nhật.
Bài 4: Cho hỡnh thoi ABCD cú gúc <A = 600. Trờn cạnh AD lấy điểm M, trờn cạnh DC lấy điểm N sao cho AM = DN. Tam giỏc BMN là tam giỏc gỡ? vỡ sao?
Giải:
Ta cú: Tam giỏc ABD cõn tai A
Và <A = 600 nờn tam giỏc ABC là tam giỏc đều.
	AB = BD 	 B
gúc <ABD = <D1 = 600 (t/c hỡnh thoi)
Xột tam giỏc ABM và DBN cú: 	 A	 C
AB = BD (chứng minh trờn)	 	 	 N	 
Gúc <A = <D2 (chứng minh trờn) M	
AM = DN (gt) D	
ABM = (c.g.c)	
 BM = BN, <B1 = <B3
Ta lại cú: gúc, <B1 + <B2 = 600
	<B3 + <B2 = 600
Tam giỏc BMN cõn cú gúc MBN = 600 nờn là tam giỏc đều.
Bài 5: Hỡnh thoi ABCD cú chu vi bằng 16 đường cao AH bằng 2cm. Tớnh cỏc gúc của hỡnh thoi.
Giải:
Gọi M là trung điểm của AD, ta cú:	 	 A
HM = MA = MD = 2cm	 
Theo đề bài ta cú: AH = 2cm	 B	 D
Do đú: tam giỏc AHM là tam giỏc đều 
	Gúc <MAH = 600 <D = 300	 C
Từ đú ta cú: gúc <B = <C = 1500	 
Tiết 20:
Bài 6: Tứ giỏc ABCD cú toạ độ cỏc đỉnh như sau:	
	A(0, 2); B(3, 0); C(0, - 2); D(- 3, 0)
	Tứ giỏc ABCD là hỡnh gỡ? Tớnh chu vi của tứ giỏc đú.
Giải:
	Tứ giỏc ABCD cú hai đường chộo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nờn là hỡnh bỡnh hành.
Lại cú hai đường chộo vuụng gúc với nhau nờn là hỡnh thoi.
Cạnh của hỡnh thoi 
AB = 	 A
AB = 	 
Vậy chu vi của hỡnh thoi: 	 - 3	
	 D	 O	 B
 	 	 C
Bài 7: Cho hỡnh thoi ABCD, cú AB = AC, kỴ AE BC, AF CD
a. Chứng minh tam giỏc AEF là tam giỏc đều.
b. Biết AB = 4cm. Tớnh độ dài cỏc đường chộo của hỡnh thoi.
Giải:
 Tam giỏc ABC cú AB = BC (đ/n hỡnh thoi)
AB = AC (gt)
Tam giỏc ABC đều gúc <B = 600	 A
do đú: gúc <D = 600
xột ABE và ADE cú:
AB = AD (đ/n hỡnh thoi)	 D 	 B
<D = <B (chứng minh trờn)	
(cạnh huyền- gúc nhọn) 	 C 	 
AE = AF (2 cạnh tương ứng)
Vậy tam giỏc AEF cõn tại A.	 
- Trong cỏc tam giỏc đều ABC, AOC cú AE và AF là cỏc đường cao nờn là phõn giỏc của gúc <BAC và <OAD
do đú: gúc <EAC = <FAC = 300 gúc <EAF = 600
Tam giỏc cõn AEF cú gúc <EAF = 600 nờn là tam giỏc đều.
Chủ đề 8: Hỡnh vuụng
A. Mục tiờu:
- Học sinh hiểu được định nghĩa hỡnh vuụng, thấy được hỡnh vuụng là dạng đặc biệt của hỡnh chữ nhật và hỡnh thoi.
- Biết chứng minh một tứ giỏc là hỡnh vuụng.
- Biết vận dụng cỏc kiến thức về hỡnh vuụng trong cỏc bài toỏn chứng minh, tớnh toỏn và cỏc bài toỏn thực tế.
B. Thời lượng: 3 tiết (tiết 21, 22, 23)
C. Thực hiện:
Tiết 21:
Cõu hỏi:
1. Thế nào là hỡnh vuụng?
2. Vỡ sao hỡnh vuụng cú tất cả cỏc tớnh chất của hỡnh chữ nhật và hỡnh thoi?
3. Nờu cỏc dấu hiệu nhận biết hỡnh vuụng?
4. Hỡnh vuụng cú tõm đối xứng, cú trục đối xứng khụng? Nếu cú hóy ghi rừ.
Bài 1: Cho tam giỏc ABC, điểm I nằm giữa B và C. Qua I vấ đường thẳng song song với AB căt AC ở H. Qua I vấ đường thẳng song song với AC căt AB ở K.
a. Tứ giỏc AHIK là hỡnh gỡ?
b. Điểm I ở vị trớ nào trờn cạnh BC thỡ tứ giỏc AHIK là hỡnh thoi.
c. Tam giỏc ABC cú điều kiện gỡ thỡ tứ giỏc AHIK là hỡnh chữ nhật.
Giải:
a. Tứ giỏc AHIK cú IH // AK, AH // KI	 A
tứ giỏc AHIK là hỡnh bỡnh hành.	 K	
b. Hỡnh bỡnh hành AHIK là hỡnh thoi 	 	 
AI là đường phõn giỏc của gúc A	 B	 C
Vậy nếu I là giao điểm của tia phõn giỏc 	 
gúc A với cạnh BC thỡ AHIK là hỡnh thoi.	 A
c. Hỡnh bỡnh hàng AHIK là hỡnh chữ nhật 	 
 	gúc <A = 900	 H
Vậy nếu tam giỏc ABC vuụng tại A thỡ K
 AHIK là hỡnh chữ nhật.
	 B	 C
Bài 2: Hỡnh chữ nhật ABCD cú AB = 2AD. Gọi P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi H là giao điểm của AQ và DP. Gọi K là giao điểm của CP và BQ. Chứng minh rằng PHQK là hỡnh vuụng.	 
Giải: 	 A	 P	 Q
Tứ giỏc APCQ cú AP // QC và AP = QC
Nờn tứ giỏc APCQ là hỡnh bỡnh hành 	 H	 K
(dấu hiệu nhận biết)
AQ // PC (1)
Chứng minh tương tự ta cú: BQ // PD (2)	 D	 Q	 C
Từ (1) và (2) Tứ giỏc PHQK là hỡnh bỡnh hành.
Lại cú tứ giỏc APQD là hỡnh bỡnh hành 
vỡ cú AP // DQ , AP = DQ
Hỡnh bỡnh hành APQD cú gúc <A = 900 
là hỡnh chữ nhật
Hỡnh chữ nhật APQD cú AP = AD nờn là hỡnh vuụng.
gúc <PHQ = 900 và PH = HQ
Hỡnh bỡnh hành PHQK cú gúc <PHQ = 900 
và PH = HQ nờn là hỡnh vuụng.
Tiết 22:
Bài 3: Cho tam giỏc vuụng cõn tại A, trờn cạnh BC lấy điểm H, G sao cho 
BH = HG = GC. Qua H và G kẻ cỏc đường vuụng gúc với BC, chúng cắt AB, AC theo thứ tự ở E và F. Tứ giỏc EFGH là hỡnh gỡ? Vỡ sao?
Giải:	 A
Tam giỏc AGC cú gúc <C = 450
Nờn tam giỏc FGC vuụng cõn	 E	 F
Do đú: GF = GC 	
Chứng minh tương tự EH = HB 
Do BH = CG = HG nờn EH = HG = GF	 B	 C
Tứ giỏc EHGF cú EH // FG 	 
(cựng vuụng gúc với BC)
EH = FG (c/m trờn)
Tứ giỏc EHGF là h