Ôn tập môn Toán lớp 7 - Dạng 1: Dãy số mà các số hạng cách đều

DẠNG 1: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG CÁCH ĐỀU.
Bài 1: Tính B = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99
Nhận xét: Nếu học sinh nào có sự sáng tạo sẽ thấy ngay tổng: 2 + 3 + 4 + ... + 98 +
99 có thể tính hoàn toàn tương tự như bài 1, cặp số ở giữa vẫn là 51 và 50, (vì tổng trên
chỉ thiếu số 100) vậy ta viết tổng B như sau:
B = 1 + (2 + 3 + 4 + ... + 98 + 99). Ta thấy tổng trong ngoặc gồm 98 số hạng, nếu
chia thành các cặp ta có 49 cặp nên tổng đó là: (2 + 99) + (3 + 98) + ... + (51 + 50) =
49.101 = 4949, khi đó B = 1 + 4949 = 4950
Lời bình: Tổng B gồm 99 số hạng, nếu ta chia các số hạng đó thành cặp (mỗi cặp có
2 số hạng thì được 49 cặp và dư 1 số hạng, cặp thứ 49 thì gồm 2 số hạng nào? Số hạng dư
là bao nhiêu?), đến đây học sinh sẽ bị vướng mắc.
Ta có thể tính tổng B theo cách khác như sau:
Cách 2:
B = 1 + 2 + 3 + ... + 97 + 98 + 99
+
B = 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1
2B = 100 + 100 + ... + 100 + 100 + 100
2B = 100.99  B = 50.99 = 4950
Bài 2: Tính C = 1 + 3 + 5 + ... + 997 + 999
Lời giải:
Cách 1: Từ 1 đến 1000 có 500 số chẵn và 500 số lẻ nên tổng trên có 500 số lẻ. Áp
dụng các bài trên ta có C = (1 + 999) + (3 + 997) + ... + (499 + 501) = 1000.250 =
250.000 (Tổng trên có 250 cặp số)
Cách 2: Ta thấy:
1 = 2.1 - 1
3 = 2.2 - 1
5 = 2.3 - 1
...
999= 2.500- 1
Quan sát vế phải, thừa số thứ 2 theo thứ tự từ trên xuống dưới ta có thể xác định
được số các số hạng của dãy số C là 500 số hạng.
Áp dụng cách 2 của bài trên ta có:
C = 1 + 3 + ... + 997 + 999
+
C = 999 + 997 + ... + 3 + 1
2C = 1000 + 1000 + ... + 1000 + 1000
2C = 1000.500  C = 1000.250 = 250.000
Bài 3. Tính D = 10 + 12 + 14 + ... + 994 + 996 + 998
Nhận xét: Các số hạng của tổng D đều là các số chẵn, áp dụng cách làm của bài tập 3
để tìm số các số hạng của tổng D như sau:
Ta thấy:
10 = 2.4 + 2
12 = 2.5 + 2
14 = 2.6 + 2
...
998 = 2.498 + 2
Tương tự bài trên: từ 4 đến 498 có 495 số nên ta có số các số hạng của D là 495, mặt
khác ta lại thấy: 998 10495 12
  hay
số các số hạng = (số hạng đầu - số hạng cuối) : khoảng cách rồi cộng thêm 1
Khi đó ta có:
D = 10 + 12 + ... + 996 + 998
+
D = 998 + 996 + ... + 12 + 10
2D = 1008 + 1008 + ... + 1008 + 1008
2D = 1008.495  D = 504.495 = 249480
Thực chất (998 10)4952D

Qua các ví dụ trên , ta rút ra một cách tổng quát như sau: Cho dãy số cách đều
u1, u2, u3, ... un (*), khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp của dãy là d,
Khi đó số các số hạng của dãy (*) là: 1 1nu un d
  (1)
Tổng các số hạng của dãy (*) là 1( )2
n
n
n u uS  (2)
Đặc biệt từ công thức (1) ta có thể tính được số hạng thứ n của dãy (*) là:
un = u1 + (n - 1)d
Hoặc khi u1 = d = 1 thì S1 = 1 + 2 + 3 + ... + n ( 1)2
n n 
Bài 4. Tính E = 10,11 + 11,12 + 12,13 + ...+ 98,99 + 99,10
Lời giải
Ta có thể đưa các số hạng của tổng trên về dạng số tự nhiên bằng cách nhân cả hai
vế với 100, khi đó ta có:
100E = 1011 + 1112 + 1213 + ... + 9899 + 9910 = (1011 + 1112 + 1213 + ... + 9899)
+ 9910 (1011 9899).98 99102
  = 485495 + 9910 = 495405 
E = 4954,05
(Ghi chú: Vì số các số hạng của dãy là (9899 1011) 1 98101
   )
Bài 5. Phân tích số 8030028 thành tổng của 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp.
Lời giải
Gọi a là số tự nhiên chẵn, ta có tổng của 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp là:
S = a + (a + 2) + ... + (a + 4006) = ( 4006) .2004 ( 2003).20042
a a a       . Khi
đó ta có: (a + 2003).2004 = 8030028 a = 2004.
Vậy ta có: 8030028 = 2004 + 2006 + 2008 + ... + 6010
Nhận xét:
Sau khi giải quyết các bài toán ở dạng trên ta không thấy có vướng mắc gì lớn, bởi
vì đó là toàn bộ những bài toán cơ bản mà đối với học sinh khá cũng không gặp mấy khó
khăn khi tiếp thu. Tuy nhiên đó là các cơ sở đầu tiên để từ đó chúng ta tiếp tục nghiên cứu
các dạng toán ở mức độ cao hơn, phức tạp hơn một chút.
DẠNG 2: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG KHÔNG CÁCH ĐỀU.
Bài 1. Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 +  + n.(n + 1)
Lời giải
Ta thấy mỗi số hạng của tổng trên là tích của hai số tự nhên liên tiếp, khi đó:
Gọi a1 = 1.2  3a1 = 1.2.3  3a1= 1.2.3 - 0.1.2
a2 = 2.3  3a2 = 2.3.3  3a2= 2.3.4 - 1.2.3
a3 = 3.4  3a3 = 3.3.4  3a3 = 3.4.5 - 2.3.4
..
an-1 = (n - 1)n 3an-1 =3(n - 1)n 3an-1 = (n - 1)n(n + 1) - (n - 2)(n - 1)n
an = n(n + 1)  3an = 3n(n + 1)  3an = n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1)
Cộng từng vế của các đẳng thức trên ta có:
3(a1+ a2 +  + an) = n(n + 1)(n + 2)
3 1.2 2.3 ... ( 1)n n    = n(n + 1)(n + 2)  A = ( 1)( 2)3
n n n 
Cách 2: Ta có
3A = 1.2.3 + 2.3.3 +  + n(n + 1).3 = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(3 - 1) +  + n(n + 1)[(n -
2) - (n - 1)] = 1.2.3 - 1.2.0 + 2.3.3 - 1.2.3 +  + n(n + 1)(n + 2) -
- (n - 1)n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)  A= ( 1)( 2)3
n n n 
* Tổng quát hoá ta có:
k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = 3k(k + 1). Trong đó k = 1; 2; 3; 
Ta dễ dàng chứng minh công thức trên như sau:
k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = k(k + 1)[(k + 2) - (k - 1)] = 3k(k + 1)
Bài 2. Tính B = 1.2.3 + 2.3.4 +  + (n - 1)n(n + 1)
Lời giải
Áp dụng tính kế thừa của bài 1 ta có:
4B = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 +  + (n - 1)n(n + 1).4
= 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 +  + (n - 1)n(n + 1)(n + 2) -
[(n - 2)(n - 1)n(n + 1)] = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) - 0.1.2.3 = (n - 1)n(n + 1)(n + 2)
 B = ( 1) ( 1)( 2)4
n n n n  
Bài 3. Tính C = 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 +  + n(n + 3)
Lời giải
Ta thấy: 1.4 = 1.(1 + 3)
2.5 = 2.(2 + 3)
3.6 = 3.(3 + 3)
4.7 = 4.(4 + 3)
.
n(n + 3) = n(n + 1) + 2n
Vậy C = 1.2 + 2.1 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 2.3 +  + n(n + 1) +2n
= 1.2 + 2 +2.3 + 4 + 3.4 + 6 +  + n(n + 1) + 2n
= [1.2 +2.3 +3.4 +  + n(n + 1)] + (2 + 4 + 6 +  + 2n)
3C = 3.[1.2 +2.3 +3.4 +  + n(n + 1)] + 3.(2 + 4 + 6 +  + 2n) =
= 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 +  + n(n + 1).3 + 3.(2 + 4 + 6 +  + 2n) =
= n(n + 1)(n + 2) + 3(2 2)2
n n C= ( 1)( 2) 3(2 2)3 2
n n n n n   = ( 1)( 5)3
n n n 
Bài 4. Tính D = 12+ 22 + 32 +  + n2
Nhận xét: Các số hạng của bài 1 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp, còn ở bài này là
tích của hai số tự nhiên giống nhau. Do đó ta chuyển về dạng bài tập 1:
Ta có: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 +  + n.(n + 1) = 1.(1 + 1) + 2.(1 + 2) +  +
+ n.(1 + n) = 12 + 1.1 + 22 + 2.1 + 32 + 3.1 +  + n2 + n.1 = (12 + 22 + 32 +  + n2 )
+ (1 + 2 + 3 +  + n). Mặt khác theo bài tập 1 ta có:
A = ( 1)( 2)3
n n n  và 1 + 2 + 3 +  + n = ( 1)2
n n   12 + 22 + 32 +  + n2 =
= ( 1)( 2)3
n n n  - ( 1)2
n n  = ( 1)(2 1)6
n n n 
Bài 5. Tính E = 13+ 23 + 33 +  + n3
Lời giải
Tương tự bài toán trên, xuất phát từ bài toán 2, ta đưa tổng B về tổng E: Ta có:
B = 1.2.3 + 2.3.4 +  + (n - 1)n(n + 1) = (2 - 1).2.(2 + 1) + (3 - 1).3.(3 + 1)
+  + (n - 1)n(n + 1) = (23 - 2) + (33 - 3) +  + (n3 - n) =
= (23 + 33 +  + n3) - (2 + 3 +  + n) = (13 + 23 + 33 +  + n3) -
- (1 + 2 + 3 +  + n) = (13 + 23 + 33 +  + n3) - ( 1)2
n n  
(13 + 23 + 33 +  + n3) = B + ( 1)2
n n  Mà ta đã biết B = ( 1) ( 1)( 2)4
n n n n  
 E = 13+ 23 + 33 +  + n3 = ( 1) ( 1)( 2)4
n n n n   + ( 1)2
n n  =
2( 1)
2
n n    
Cách 2: Ta có:
A1 = 13 = 12
A2 = 13 + 23 = 9 = (1 + 2)2
A3 = 13+ 23 + 33= 36 = (1 + 2 + 3)2
Giả sử có: Ak = 13+ 23 + 33 +  + k3= (1 + 2 + 3 +  + k)2 (1) Ta chứng minh:
Ak+1 = 13+ 23 + 33 +  + (k + 1)3 = [1 + 2 + 3 +  + (k + 1)]2 (2)
Thật vậy, ta đã biết: 1 + 2 + 3 +  + k = ( 1)2
k k  
Ak = [ ( 1)2
k k  ]2 (1') Cộng vào hai vế của (1') với (k + 1)3 ta có:
Ak + (k + 1)3 = [ ( 1)2
k k  ]2 + (k + 1)3  Ak+1 = [ ( 1)2
k k  ]2 + (k + 1)3
=
2( 1)( 2)
2
k k     Vậy tổng trên đúng với Ak+1, tức là ta luôn có:
Ak+1 = 13+ 23 + 33 +  + (k + 1)3 = [1 + 2 + 3 +  + (k + 1)]2 =
=
2( 1)( 2)
2
k k     . Vậy khi đó ta có:
E = 13+ 23 + 33 +  + n3= (1 + 2 + 3 +  + n)2 =
2( 1)
2
n n    
Lời bình: - Với bài tập trên ta áp dụng kiến thức về quy nạp Toán học.
- Bài tập trên chính là dạng bài tập về tổng các số hạng của một cấp số
nhân (lớp 11) nhưng chúng ta có thể giải quyết được trong phạm vi ở cấp THCS.
Bài 6. (Trang 23 SGK Toán 7 tập 1)
Biết rằng 12+ 22+ 32++ 102 = 385, đố em tính nhanh được tổng
S = 22+ 42+ 62+  + 202
Lời giải
Ta có: S = 22+ 42+ 62+  + 202 = (2.1)2 + (2.2)2 +  + (2.10)2 =
= 12.22 + 22.22 + 22.32 + + 22.102 = 22.(12 + 22 + 32 +  + 102) = 4. (12 + 22 + 32
+  + 102) = 4.385 = 1540.
Nhận xét: Nếu đặt P = 12 + 22 + 32 +  + 102 thì ta có: S = 4.P. Do đó, nếu cho S thì
ta sẽ tính được P và ngược lại. Tổng quát hóa ta có:
P = 12+ 22+ 32++ n2 = ( 1)(2 1)6
n n n  (theo kết quả ở trên)
Khi đó S = 22+ 42+ 62+  + (2n)2 được tính tương tự như bài trên, ta có:
S = (2.1)2 + (2.2)2 +  + (2.n)2 = 4.( 12+ 22+ 32+  + n2) =
= 4 ( 1)(2 1)6
n n n  = 2 ( 1)(2 1)3
n n n 
Còn: P = 13 + 23 + 33 +  + n3 =
2( 1)
2
n n     . Ta tính S = 2
3 + 43 + 63 ++ (2n)3
như sau: S = (2.1)3 + (2.2)3 + (2.3)3 +  + (2.n)3 = 8.(13 + 23 + 33 +  + n3) lúc này S =
8P, Vậy ta có: S = 23+ 43+ 63++ (2n)3 =
2 2 2
2 2( 1) 8. ( 1)8 2 ( 1)2 4
n n n n n n       
Áp dụng các kết quả trên, ta có bài tập sau:
Bài 7. a) Tính A = 12 + 32 + 52 + ...+ (2n -1)2
b) Tính B = 13+ 33+ 53 +  + (2n-1)3
Lời giải
a) Theo kết quả bài trên, ta có: 12+ 22+ 32++ (2n)2=
= 2 (2 1)(4 1) (2 1)(4 1)6 3
n n n n n n   
Mà ta thấy:
12 + 32 + 52 + ...+ (2n -1)2= 12+ 22+ 32++ (2n)2 - 23+ 43+ 63++ (2n)2 =
= (2 1)(4 1)3
n n n  - 2 ( 1)(2 1)3
n n n  =
22 (2 1)
3
n n 
b) Ta có: 13+ 33+ 53 +  + (2n-1)3 = 13+ 23+ 33+  + (2n)3 -
- 23+ 43+ 63++ (2n)3 . Áp dụng kết quả bài tập trên ta có:
13+ 23+ 33+  + (2n)3 = n2(2n + 1)2.
Vậy: B = 13+ 33+ 53 +  + (2n-1)3= n2(2n + 1)2 - 2n2(n + 1)2 =
= 2n4 - n2
MỘT SỐ BÀI TẬPDẠNG KHÁC
Bài 1. Tính S1 = 1 + 2 + 22 + 23 +  + 263
Lời giải
Cách 1:
Ta thấy: S1 = 1 + 2 + 22 + 23 +  + 263 (1)
 2S1 = 2 + 22 + 23 +  + 263 + 264 (2)
Trừ từng vế của (2) cho (1) ta có:
2S1 - S1 = 2 + 22 + 23 +  + 263 + 264 - (1 + 2 + 22 + 23 +  + 263)
= 264 - 1. Hay S1 = 264 - 1
Cách 2:
Ta có: S1 = 1 + 2 + 22 + 23 +  + 263 = 1 + 2(1 + 2 + 22 + 23 +  + 262) (1)
= 1 + 2(S1 - 263) = 1 + 2S1 - 264  S1 = 264 - 1
Bài 2. Tính giá trị của biểu thức S = 1 +3 + 32 + 33 +  + 32000 (1)
Lời giải:
Cách 1: Áp dụng cách làm của bài 1:
Ta có: 3S = 3 + 32 + 33 +  + 32001 (2) Trừ từng vế của (2) cho (1) ta được:
3S - 2S = (3 + 32 + 33 +  + 32001) - (1 +3 + 32 + 33 +  + 32000)
Hay: 2S = 32001 - 1  S =
20013 1
2

Cách 2: Tương tự như cách 2 của bài trên:
Ta có: S = 1 + 3(1 +3 + 32 + 33 +  + 31999) = 1 + 3(S - 32000) = 1 + 3S - 32001
 2S = 32001 - 1  S =
20013 1
2

*) Tổng quát hoá ta có:
Sn = 1 + q + q2 + q3 +  + qn (1)
Khi đó ta có:
Cách 1: qSn = q + q2 + q3 +  + qn+1 (2)
Trừ từng vế của (2) cho (1) ta có: (q - 1)S = qn+1 - 1  S =
1 1
1
nq
q
 

Cách 2: Sn = 1 + q(1 + q + q2 + q3 +  + qn-1) = 1 + q(Sn - qn)
= 1 + qSn - qn+1  qSn - Sn = qn+1 - 1 hay: Sn(q - 1) = qn+1 - 1
 S =
1 1
1
nq
q
 

Bài 3. Cho A = 1 + 2 + 22 + 23 +  + 29; B = 5.28. Hãy so sánh A và B
Cách 1: Ta thấy: B = 5.28 = (23 + 22 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1).26
= 29 + 28 + 27 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26
= 29 + 28 + 27 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 25 + 25
(Vì 26 = 2.25). Vậy rõ ràng ta thấy B > A
Cách 2: Áp dụng cách làm của các bài tập trên ta thấy đơn giản hơn,
thật vậy:
A = 1 + 2 + 22 + 23 +  + 29 (1)
2A = 2 + 22 + 23 +  + 29 + 210 (2)
Trừ từng vế của (2) cho (1) ta có:
2A - A = (2 + 22 + 23 +  + 29 + 210) - (1 + 2 + 22 + 23 +  + 29)
= 210 - 1 hay A = 210 - 1
Còn: B = 5.28 = (22 + 1).28 = 210 + 28
Vậy B > A
* Ta có thể tìm được giá trị của biểu thức A, từ đó học sinh có thể so sánh được A với
B mà không gặp mấy khó khăn.
Bài 4. Tính giá trị của biểu thức S = 1 + 2.6 + 3.62 + 4.63 +  + 100.699 (1)
Ta có: 6S = 6 + 2.62 + 3.63 +  + 99.699
+ 100.6100 (2)
Trừ từng vế của (2) cho (1) ta được:
5S = 6 - 2.6 + (2.62 - 3.62) + (3.63 - 4.63) +  + (99.699 - 100.699) +
+ 100.6100 - 1 = 100.6100 - 1 - (6 + 62 + 63 +  + 699)
(*)
Đặt S' = 6 + 62 + 63 +  + 699  6S' = 62 + 63 +  + 699 + 6100 
 S' =
1006 6
5
 thay vào (*) ta có: 5S = 100.6100 - 1 -
1006 6
5
 =
100499.6 1
5

 S =
100499.6 1
25

Bài 5. Người ta viết dãy số: 1; 2; 3; ... Hỏi chữ số thứ 673 là chữ số nào?
Lời giải
Ta thấy: Từ 1 đến 99 có: 9 + 2.90 = 189 chữ số, theo đầu bài ta còn thiếu số các chữ
số của dãy là: 673 - 189 = 484 chữ số, như vậy chữ số thứ 673 phải nằm trong dãy các số
có 3 chữ số. Vậy ta xét tiếp:
Từ 100 đến 260 có: 3.161 = 483 chữ số
Như vậy từ 1 đến 260 đã có: 189 + 483 = 672 chữ số, theo đầu bài thì chữ số thứ 673
sẽ là chữ số 2 của số 261.
Một số bài tập tự giải:
1. Tính: A = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 +  + (n - 2)  (n + 1)
2. Tính: B = 1.2.4 + 2.3.5 +  + n(n + 1)(n + 3)
3. Tính: C = 22 + 52 + 82 + ...+ (3n - 1)2
4. Tính: D = 14 + 24 + 34 + ... + n4
5. Tính: E = 7 + 74 + 77 + 710 +  + 73001
6. Tính: F = 8 + 83 + 85 +  + 8801
7. Tính: G = 9 + 99 + 999 +  + 99  9 (chữ số cuối gồm 190 chữ số 9)
8. Tính: H = 1.1! + 2.2! +  + n.n!
9. Cho dãy số: 1; 2; 3;  . Hỏi chữ số thứ 2007 là chữ số nào?
*****************************************************
THỂ LOẠI TOÁN VỀ PHÂN SỐ:
Bài 1. Tính giá trị của biểu thức A = 1 1 1 1...1.2 2.3 3.4 ( 1).n n    
Lời giải
Ta có: A = 1 1 1 1 1 1...1 2 2 3 1n n
                     sau khi bỏ dấu ngoặc ta có:
A = 1 11 nn n
 
Nhận xét: Ta thấy các giá trị ở tử không thay đổi và chúng và đúng bằng hiệu hai
thừa số ở mẫu. Mỗi số hạng đều có dạng: 1 1( )
m
b b m b b m   (Hiệu hai thừa số ở mẫu
luôn bằng giá trị ở tử thì phân số đó luôn viết được dưới dạng hiệu của hai phân số khác
với các mẫu tương ứng). Nên ta có một tổng với các đặc điểm: các số hạng liên tiếp luôn
đối nhau (số trừ của nhóm trước bằng số bị trừ của nhóm sau liên tiếp), cứ như vậy các số
hạng trong tổng đều được khử liên tiếp, đến khi trong tổng chỉ còn số hạng đầu và số
hạng cuối, lúc đó ta thực hiện phép tính sẽ đơn giản hơn.
Bài 2. Tính giá trị của biểu thức B = 4 4 4 4...3.7 7.11 11.15 95.99   
B = 4 4 4 4...3.7 7.11 11.15 95.99
       vận dụng cách làm của phần nhận
xét, ta có: 7 - 3 = 4 (đúng bằng tử) nên ta có:
B = 1 1 1 1 1 1 1 1...3 7 7 11 11 15 95 99
          =
1 1 32
3 99 99 
Bài 3. Tính giá trị của biểu thức C =
2 2 2 27 7 7 7...2.9 9.16 16.23 65.72   
Nhận xét: Ta thấy: 9 - 2 = 7 ≠ 72 ở tử nên ta không thể áp dụng cách làm của các bài
trên (ở tử đều chứa 72), nếu giữ nguyên các phân số đó thì ta không thể tách được thành
hiệu các phân số khác để rút gọn tổng trên được. Mặt khác ta thấy: 7 1 12.9 2 9  , vì vậy
để giải quyết được vấn đề ta phải đặt 7 làm thừa số chung ra ngoài dấu ngoặc, khi đó thực
hiện bên trong ngoặc sẽ đơn giản.
Vậy ta có thể biến đổi:
C = 7 7 7 77. ...2.9 9.16 16.23 65.72
       =
1 1 1 1 1 1 1 17. ...2 9 9 16 16 23 65 72
          =
= 1 1 35 297. 7. 32 72 72 72
     
Bài 4. Tính giá trị của biểu thức D = 3 3 3 3...1.3 3.5 5.7 49.51   
Lời giải
Ta lại thấy: 3 - 1 = 2 ≠ 3 ở tử của mỗi phân số trong tổng nên bằng cách nào đó ta
đưa 3 ra ngoài và đưa 2 vào trong thay thế.
Ta có: D = 2 3 3 3 3...2 1.3 3.5 5.7 49.51
      =
3 2 2 2 2...2 1.3 3.5 5.7 49.51
      
= 3 1 1 1 1 1 1 1 1...2 1 3 3 5 5 7 49 51
          =
3 1 1 3 50 25
2 1 51 2 51 17
      
Bài 5. Tính giá trị của biểu thức E = 1 1 1 1 1 17 91 247 475 775 1147    
Lời giải
Ta thấy: 7 = 1.7 ; 91 = 13.7 ; 247 = 13.19 ; 475 = 19.25
775 = 25.31 ; 1147 = 31.37
Tương tự bài tập trên ta có:
E = 1 6 6 6 6 6 66 1.7 7.13 13.19 19.25 25.31 31.37
        =
= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 16 1 7 7 13 13 19 19 25 25 31 31 37
             =
1 1 1 36 616 37 6 37 37
       
Bài 6. (Đề thi chọn HSG Toán 6 - TX Hà Đông - Hà Tây - Năm học 2002 - 2003)
So sánh: A = 2 2 2 2...60.63 63.66 117.120 2003    và
B = 5 5 5 5...40.44 44.48 76.80 2003   
Lời giải
Lại áp dụng cách làm ở bài trên ta có:
A = 2 3 3 3 2...3 60.63 63.66 117.120 2003
      
= 2 1 1 1 1 1 1 2...3 60 63 63 66 117 200 2003
         
= 2 1 1 2 2 1 23 60 120 2003 3 120 2003
        =
1 2
180 2003
Tương tự cách làm trên ta có:
B = 5 1 1 5 5 1 5 1 54 40 80 2003 4 80 2003 64 2003
         
Ta lại có: 2A = 1 2 2 4 1 42 180 2003 180 2003 90 2003
        Từ đây ta thấy ngay
B > 2A thì hiển nhiên B > A
Bài 7. (Đề thi chọn HSG Toán năm học 1985 - 1986)
So sánh hai biểu thức A và B:
A = 1 1 1 1124 ...1.1985 2.1986 3.1987 16.2000
      
B = 1 1 1 1...1.17 2.18 3.19 1984.2000   
Lời giải
Ta có: A = 124 1 1 1 1 1 1 1. 1 ...1984 1985 2 1986 3 1987 16 2000
          =
= 1 1 1 1 1 1. 1 ... ...16 2 16 1985 1986 2000
                  
Còn B = 1 1 1 1 1 1. 1 ...16 17 2 18 1984 2000
           
= 1 1 1 1 1 1. 1 ... ...16 2 1984 17 18 2000
                   =
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1. 1 ... ... ... ...16 2 16 17 18 1984 17 18 1984 1985 2000
                               
= 1 1 1 1 1 11 ... ...16 2 16 1985 1986 2000
                  
Vậy A = B
************************************************
THỂ LOẠI TOÁN VỀ PHÂN SỐ (TIẾP)
Bài 8. Chứng tỏ rằng:  22
1 1 1 1 1...5 13 25 21n n
      với mọi n  N
Lời giải
Ta không thể áp dụng ngay cách làm của các bài tập trên, mà ta thấy:
1 2 1 2 1 2; ; ...5 2.4 13 4.6 25 6.8   ta phải so sánh: 2 2
1
( 1)n n  với:
2
2 (2 1)n n 
Thật vậy: 2 2
1
( 1)n n  = 2 2 2
1 1
( 1) 2 2 1n n n n    còn
2
2 1 1
2 (2 2) (2 2) 2 2n n n n n n   
nên hiển nhiên 2 2
1
( 1)n n  <
2
2 (2 1)n n  n N  .
Vậy ta có:  22
1 1 1 1 2 2 2 2... ...5 13 25 2.4 4.6 6.8 2 (2 2)1 n nn n
          
Mà: 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1; ; ...2.4 2 4 4.6 4 6 6.8 6 8 2 (2 2) 2 2 2n n n n         nên:
2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1... ...2.4 4.6 6.8 2 (2 2) 2 4 4 6 6 8 2 2 2n n n n             =
1 1 1
2 2 2 2n 
là hiển nhiên với mọi số tự nhiên n
Vậy: 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1... ...5 13 25 ( 1) 2 4 4 6 6 8 2 2 2n n n n              hay
2 2
1 1 1 1 1...5 13 25 ( 1) 2n n     
Bài 9. Tính giá trị của biểu thức M =  22 2
3 5 2 1...(1.2) (2.3) ( 1)
n
n n
   
Lời giải
Ta có ngay: M = 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1...1 2 2 3 ( 1) ( 1)n n n n        
=
2
2 2
1 ( 1) 11 ( 1) ( 1)
n
n n
    =
2 2
2 2 2 2
( 1)( 1) 1 2 1 1 2 ( 2)
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
n n n n n n n n
n n n n
            
Bài 10. Tính giá trị của biểu thức N = 1 1 1 1...1.2.3 2.3.4 3.4.5 ( 1)( 2)n n n     
Lời giải
Ta có: N = 1 2 2 2 2...2 1.2.3 2.3.4 3.4.5 .( 1)( 2)n n n
       
=
1 1 1 1 1 1 1 1 1...2 1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 4.5 .( 1) ( 1)( 2)n n n n
            
= 1 1 12 2 ( 1)( 2)n n
    
Bài 11. Tính giá trị của biểu thức: H = 1 1 1...1.2.3.4 2.3.4.5 ( 1). ( 1)( 2)n n n n     
Lời giải
Ta có: H = 1 3 3 3...3 1.2.3.4 2.3.4.5 ( 1). .( 1).( 2)n n n n
        
=
1 1 1 1 1 1 1...3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 ( 1). .( 1) .( 1).( 2)n n n n n n
           
= 1 1 13 6 ( 1)( 2)n n n
    
Bài 12. Chứng minh rằng P = 12 12 12 12 1...1.4.7 4.7.10 7.10.12 54.57.60 2    
Lời giải
Ta có: P = 6 6 6 62. ...1.4.7 4.7.10 7.10.13 54.57.60
      
= 1 1 1 1 1 1 1 12. ...1.4 4.7 4.7 7.10 7.10 10.13 54.57 57.60
          =
= 1 1 854 427 427 12 24 57.60 3420 855 854 2
         . Vậy P <
1
2
Bài 13. Chứng minh rằng S = 2 2 2 2
1 1 1 11 ... 22 3 4 100     
Lời giải
Ta thấy: 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1; ; ...2 1.2 3 2.3 4 3.4 100 99.100    Áp dụng cách làm bài tập
trên ta có:
S < 1 1 1 1 11 ... 1 1 21.2 2.3 3.4 99.100 100         hay S < 2
Bài 14. Đặt 1 1 1...1.2 3.4 2005.2006  A = 
1 1 1...1004.2006 1005.2006 2006.1004  B = . Chứng minh rằng
A
B
Z
Lời giải
Áp dụng các bài trên, ta có:
1 1 1...1.2 3.4 2005.2006  A = =
1 1 1 1 11 ...2 3 4 2005 2006      =
= 1 1 1 1 1 1 11 ... ...3 5 2005 2 4 6 2006
                  =
= 1 1 1 11 ...2 3 4 2006
        -
1 1 12 ...2 4 2006
       =
= 1 1 1 11 ...2 3 4 2006
        -
1 1 1 11 ...2 3 4 1003
       
= 1 1 1...1004 1005 2006  
Còn B = 2 1 1 1...3010 1004 1005 2006
     
3010 15052
A ZB   
Như vậy, ở phần này ta đã giải quyết được một lượng lớn các bài tập về dãy số ở
dạng phân số. Tuy nhiên đó là các bài tập nhìn chung không hề đơn giản. Vì vậy để áp
dụng có hiệu quả thì chúng ta cần linh hoạt trong việc biến đổi theo các hướng sau:
1 - Nếu mẫu là một tích thì bằng mọi cách biến đổi thành hiệu các phân số, từ đó ta rút
gọn được biểu thức rồi tính được giá trị.
2 - Đối với các bài tập chứng minh ta cũng có thể áp dụng cách làm về tính giá trị của dãy
số, từ đó ta có thể biến đổi biểu thức cần chứng minh về dạng quen thuộc
MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC
Bài 1. Với n *N , kí hiệu
2 1( 1) !
n
n
n na n
    .
Hãy tính tổng a1 + a2 + a3 +  + a2007
Lời giải
Ta thấy: *n N  thì:
2 1( 1) !
n
n
n na n
    =
2 1 1( 1) ( 1)! ! ( 1) !
n nn n n n
n n n n
               
Do đó: a1 + a2 + a3 +  + a2007 = a1+ 2 3 3 4 2006 2007...1! 2! 2! 3! 2005! 2006!
                     -
- 2006 2007 2 2007 20073 12005! 2006! 1! 2006! 2006!
          
Bài 2. Xét biểu thức: S = 0 1 2 1991
1 2 3 1992...2 2 2 2    Chứng minh rằng S < 4
Lời giải
Ta có: 2S =
0 1 1 2 1990 2 2 990 1990
2 4 3 4 1992 2 1 3 1 1991 1... 4 ...2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
                          =
= 0 1 2 1990 1991 1991 2 3 1990
1 1 2 3 1991 1992 1992 1 1 13 ... ...2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
              =
=
1989
1990
1991 2 1991
111 1992 1 1 1992 1 123 312 2 2 2 2 2 21 2
S S
                 

S = 4 -
1990
1991
1992 1 42 2
     hay S < 4
Bài 3. Ta viết lần lượt các phân số sau:
1 2 1 3 2 1 4 3 2 1; ; ; ; ; ; ; ; ; ;...1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 Số
1990
1930 đứng ở vị trí nào trong các phân số trên?
Lời giải
Số thứ nhất của dãy số có tổng của tử số và mẫu số bằng 2, hai số tiếp theo có tổng
của tử số và mẫu số bằng 3, ba số tiếp theo có tổng của tử và mẫu số bằng 4
Lại quan sát tiếp ta thấy: Kể từ phân số đầu, cách 1 phân số đến mẫu số là 2, cách 2
phân số đến mẫu số 3,  vậy phân số19901930 đứng ở vị trí thứ 1930 và của nhóm các số
có tổng của tử và mẫu số bằng 1990 + 1930 = 3920. Số các số đứng trước của nhóm này
bằng 1 + 2 + 3 +  + 3918 = 1959.3919. Vì nhóm có tổng của tử và mẫu số bằng 3920
thì gồm 3919 số nên nhóm đứng trước nhóm này gồm 3918 số.
Vậy số19901930 đứng ở vị trí n = 1959.3919 + 1930 = 7679251
Bài tập tự giải
1. Tính: A = 1 1 1 1...5.6 6.7 7.8 24.25   
2. Tính: B =
2 2 2 25 5 5 5...1.6 6.11 11.16 26.31   
3. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 11 ... ...2 3 1990 996 1990      
4. Tính: C = 1 2 3 1...2! 3! 4! !
n
n
   
5 Chứng tỏ rằng: D = 2! 2! 2! 2!...3! 4! 5! !n    < 1
6. Cho biểu thức P = 1 1 1 1 11 ...2 3 4 199 200     
a) Chứng minh rằng: P = 1 1 1...101 102 200
b) Gải bài toán trên trong trường hợp tổng quát.
7. Chứng minh rằng: ( 0, 1)n Z n n     thì Q = 1 1 1 1...1.2 2.3 3.4 ( 1)n n    
không phải là số nguyên.
8. Chứng minh rằng: S = 2 2 2 2
1 1 1 1 1...2 4 6 200 2    