Ôn tập môn Toán lớp 12 - Tiết 1: Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức

1 
BẤT ĐẲNG THỨC 
§1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC 
I. BẤT ĐẲNG THỨC: 
1. Khái niệm bất đẳng thức: 
Các mệnh đề dạng “A>B”, “A<B”, “A≥B”, “A≤B” được gọi là bất đẳng thức, với A gọi là vế 
trái, B gọi là vế phải và A, B là hai biểu thức đại số. 
Ta có: 
* A > B A-B > 0; A < B A - B < 0
* A B A-B 0; A B A B 0 
⇔ ⇔
≥ ⇔ ≥ ≤ ⇔ − ≤
2. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức: 
A>B>0
e) TÝnh chÊt 5: A.C B.DA>B C>D>0a) TÝnh chÊt 1: A C
B>C
f) TÝnh chÊt 6: 
b) TÝnh chÊt 2: A>B A C>B C
A.C>B.C, nÕu C>0
c) TÝnh chÊt 3: A>B
A.C<B.C, nÕu C<0
A>B
d) TÝnh chÊt 4: A C B D
C>D

⇒ >
⇒ >

⇔ ± ±

⇔ 


⇒ + > +

* n n
n n
* 2n 1 2n 1
* 2n+1 2n 1
 A>B>0, n N A B
 A>B>0, n N, n 2 A B
g) TÝnh chÊt 7: 
 A>B, n N A B
 A>B, n N A B
+ +
+
∈ ⇒ >
∈ ≥ ⇒ >
∈ ⇔ >
∈ ⇔ >
II. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY: 
1.Bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm : 
2
Víi hai sè kh«ng ©m a vµ b, ta cã:
a+b a+b
 ab hay a+b 2 ab, ab
2 2
§¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi a=b.
  ≥ ≥ ≤     
☺ Các hệ quả của bất đẳng thức Cauchy hai số là : 
2 2 2 2(a +b ) (a+b) 4ab, víi a, b R.
1 1 4 a b
, víi a, b>0. * 2, víi a, b>0.
a b a b b a
≥ ≥ ∀ ∈
+ ≥ + ≥
+
* HÖ qu¶ 1 :
* HÖ qu¶ 2 : HÖ qu¶ 3 :
2. Bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm : 
1 2 n
1 2 n n
1 2 n
1 2 n
Víi n sè kh«ng ©m a , a , ..., a (n 2), ta cã :
a a ... a
 a a ...a
n
§¼ng thøc x¶y ra a a ... a
≥
+ + + ≥
⇔ = = =
III. BẤT ĐẲNG THỨC BU-NHIA-CỐPSKI 
1. Bất đẳng thức Bu-nhia-cốpski cho hai cặp số: 
2 
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
1 2
1 2
1 2 1 2
Víi hai cÆp sè thùc (a , a ), (b , b ) bÊt k×, ta ®Òu cã: (a b +a b ) (a a )(b b )
b b
§¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi .
a a
 NÕu a 0 (hoÆc a =0) th× b 0 (hoÆc b 0)
≤ + +
=
= = =* :Quy −íc
2. Bất đẳng thức Bu-nhia-cốpski cho hai bộ n số: 
1 2 n 1 2 n
2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n
1 2 n
1 2 n
i
Víi hai bé sè thùc (a , a , ..., a ), (b , b , ..., b ) bÊt k×, ta cã 
(a b +a b +...+a b ) (a a ... a )(b b ... b )
b b b
§¼ng thøc x¶y ra ... .
a a a
NÕu mét a nµo ®ã b»ng 0 t
≤ + + + + + +
⇔ = = =
* : Quy −íc ih× b 0 (i=1,n).=
IV. BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: 
Víi mäi sè thùc a vµ b, ta cã:
1) a+b a b . §¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi ab 0.
2) a-b a b . §¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi ab 0.
≤ + ≥
≤ + ≤
V. BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC: 

2 2 2 0
1) BÊt ®¼ng thøc c¬ b¶n: b-c a b c, c-a b c a, a-b c a b,vµ p-a>0, p-b>0 vµ p-c>0.
2) C¸c bÊt ®¼ng thøc kh¸c: 2S ab, 2S bc, 2S ca vµ b c a nÕu A 90 .
< < + < < + < < +
≤ ≤ ≤ + ≥ ≤
VI. CÔNG THỨC TÍNH ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN VÀ PHÂN GIÁC: 
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
a b c
a b c
b c a c a b a b c
m ; m ; m
2 4 2 4 2 4
2 bc 2 ca 2 ab
l p(p a); l p(p b); l p(p c).
b c c a a b
+ + +
= − = − = −
= − = − = −
+ + +
§2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 
Dạng 1: Sử dụng các phép biến đổi, đánh giá thích hợp 
 §Ó chøng minh A ≥ B, ta sÏ chøng minh A-B ≥ 0 (nghÜa lµ ta sö dông ®Þnh nghÜa, tÝnh chÊt c¬ 
b¶n,... ®Ó biÕn ®æi bÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh ®Õn bÊt ®¼ng thøc ®óng hay mét tÝnh chÊt ®óng hoÆc 
cã thÓ sö dông bÊt ®¼ng thøc ®óng biÕn ®æi dÉn ®Õn bÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh). 
VÝ dô 1: Cho ba sè a, b, c bÊt k×. Chøng minh c¸c bÊt ®¼ng thøc: 
 a) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca (1) 
 b) (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c) (2) 
 (§HQG TP. HCM -1998) 
Lêi gi¶i. 
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
a) (1) 2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca
 (a b) (b c) (c a) 0 lu«n lu«n ®óng.
b) (2) a b b c c a a bc ab c abc 0
 2a b 2b c 2c a 2a bc 2ab c 2abc 0
 (ab-bc) (bc ca) (ca ab) 0
⇔ + + ≥ + +
⇔ − + − + − ≥
⇔ + + − − − ≥
⇔ + + − − − ≥
⇔ + − + − ≥ lu«n lu«n ®óng.
3 
VÝ dô 2: Chøng minh r»ng a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a(b + c + d + e) (1) 
víi mäi a, b, c, d, e. 
 (§H Y d−îc TP. HCM-1999) 
Lêi gi¶i. 
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
a a a a
(1) ab b ac c ad d ae e 0
4 4 4 4
a a a a
 b c d e 0 hiÓn nhiªn ®óng.
2 2 2 2
⇔ − + + − + + − + + − + ≥
       
⇔ − + − + − + − ≥       
       
1 1 1
Cho ba sè thùc a, b, c tháa m·n abc=1 vµ a+b+c>
a b c
a) Chøng minh r»ng: (a-1)(b-1)(c-1)>0. (1)
b) Chøng minh r»ng trong ba sè a, b, c cã ®óng mét
+ +VÝ dô 3 : 
 sè lín h¬n 1.
 (§HTH TP.HCM -1993) 
Lêi gi¶i. 
a) Ta cã: (1) abc-ab-ac-bc+a+b+c>0 ⇔ (2) 
1 1 1 ab+bc+ca
V× a+b+c> a+b+c>
a b c abc
 a b c ab bc ca (v× abc=1)
VËy (2) ®óng. Suy ra (1) ®óng.
+ + ⇔
⇔ + + > + + 
b) Ta cã: (a-1)(b-1)(c-1)>0
Suy ra hoÆc c¶ ba sè a, b, c ®Òu lín h¬n 1
hoÆc trong ba sè a, b, c cã ®óng mét sè lín h¬n 1
NÕu a>1, b>1, c>1 abc>1, m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt.
VËy trong ba sè a, b, c cã ®óng m
⇒
ét sè lín h¬n 1.
3
3 3 33 3 3 3 3 3
a b c
Chøng minh: 2. 4
b c c a a b
+ + <
+ + +
VÝ dô 4 : 
trong ®ã a, b, c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c. 
 (T¹p chÝ To¸n häc & Tuæi trÎ 5/2004) 
Lêi gi¶i. 
3 3 31Ta cã: b c (b c) ,
4
+ ≥ + 3 3 3 3 3 31 1c a (c a) , a +b (a+b)
4 4
+ ≥ + ≥ . 
 Bài tập tự luyện: 
2 2
2 2
x y x y
 Cho x, y 0. Chøng minh: 4 3
y x y x
 
≠ + + ≥ + 
 
Bµi 1 : 
 (Đề thi vào lớp 10 chuyên của trường Trần Đại Nghĩa TP. HCM năm 2004 ) 
3
3 3 33 3 3 3 3 3
a b c a b c
Do ®ã 4 (1)
b+c c a a bb c c a a b
a b c 2a 2b 2c 2a 2b 2c
mµ < =2 (2)
b+c c a a b 2(b c) 2(c a) 2(a b) b c a c a b a b c
(Do a+b>c; b+c>a; c+a>b) 
Tõ (1) vµ (2) suy ra ®pcm. 
 
+ + ≤ + + + + + + +
+ + = + + + +
+ + + + + + + + + + +
4 
 Chøng minh r»ng nÕu 0<x y z, th× ta cã:
1 1 1 1 1
 y (x z) (x z).
x z y x z
≤ ≤
   
+ + + ≤ + +   
   
Bµi 2 :
(Đề 148 - Bộ đề tuyển sinh) 
2 2 2 2 2 2 2 2 2
Cho a, b, c lµ c¸c sè d−¬ng. Chøng minh:
a b b c c a a b c
 3
a b b c c a a b c
 + + + + +
+ + ≤  
+ + + + + 
Bµi 3 : 
 (Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 11/1995) 
2 2 2 2 2 2
Cho x, y, z lµ c¸c sè d−¬ng. Chøng minh:
 x xy y y yz z z zx x 3(x y z)+ + + + + + + + ≥ + +
Bµi 4 : 
 (Học viện Quan hệ Quốc tế năm 1997) 
Bài 5: Cho ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh rằng: 
 abc + 2(1 + a + b + c + ab + ac + bc) ≥ 0. 
 (Đề 2 - Bộ đề tuyển sinh) 
Dạng 2: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy 
☺ Trường hợp 1: Các biến không bị ràng buộc 
2 2 2
2 2 2
a b c a b c
 Chøng minh: , abc 0
b c a c a b
+ + ≥ + + ∀ ≠VÝ dô 1 : 
(ĐH Y dược Tp. HCM-1999) 
Lời giải. 
2 2 2 2
2 2 2 2
p dông B§T Cauchy cho 2 sè d−¬ng, ta cã:
a b a b a 2a
 2 . 2
b c b c c c
+ ≥ = ≥
¸
 (1) 
2 2
2 2
b c 2b
T−¬ng tù: 
c a a
+ ≥ (2) 
2 2
2 2
c a 2c
a b b
+ + ≥ (3) 
Cộng các vế tương ứng của (1), (2) và (3) ta có đpcm. 
x x x
x x x12 15 20 Chøng minh r»ng víi mäi x R, ta cã: 3 4 5 .
5 4 3
Khi nµo ®¼ng thøc x¶y ra ?
     
∈ + + ≥ + +     
     
VÝ dô 2 :
 (Đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ-Năm 2005) 
Lời giải. 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương, ta có: 
x x x x
x12 15 12 152 . 2.3
5 4 5 4
       
+ ≥ =       
       
(1) 
Tương tự ta có: 
x x
x15 20 2.5
4 3
   
+ ≥   
   
(2) 
x x
x20 12 2.4
3 5
   
+ + ≥   
   
(3) 
5 
Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3), chia hai vế của bất đẳng thức nhận được cho 2, ta có điều phải 
chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0. 
3 2 3 2 3 2 2 2 2
Cho x, y, z > 0. Chøng minh r»ng:
2 y2 x 2 z 1 1 1
 .
x y y z z x x y z
+ + ≤ + +
+ + +
VÝ dô 3 : 
 (ĐH Nông Nghiệp I Khối A - 2001) 
Lời giải. 
2 2 2DÔ dµng chøng minh ®−îc B§T sau: a b c ab bc ca (1)+ + ≥ + + 
2 2 2
3 2 3 2 3 2 2 2 23 2 3 2 3 2
1 1 1 1 1 1
p dông (1), ta ®−îc: (2) 
x y z xy yz zx
p dông B§T Cauchy cho c¸c mÉu sè, ta ®−îc:
2 y 2 y2 x 2 z 2 x 2 z 1 1 1 1 1 1
+ + = (®pcm). 
x y y z z x xy yz zx x y z2 x y 2 y z 2 z x
+ + ≥ + +
+ + ≤ + + ≤ + +
+ + +
¸
¸
3 3 2
 Chøng minh r»ng víi a, b lµ hai sè kh«ng ©m bÊt k×, ta lu«n cã:
 3a 17b 18ab+ ≥
VÝ dô 4 :
 (ĐH Kinh tế Quốc dân - Năm 1997) 
Lời giải. 
3 3 3 3 3 3 3 3 23
p dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy cho ba sè kh«ng ©m, ta cã:
 3a 17b 3a 9b 8b 3 3a .9b .8b 18ab (®pcm)+ = + + ≥ =
¸
 Cho a, b, c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c. Chøng minh r»ng:
a b c
 3.
b+c-a c a b a b c
+ + ≥
+ − + −
VÝ dô 5 :
 (ĐH Y Hải Phòng – Năm 2000) 
Lời giải. 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương: 
b c a c a b
(b+c-a)(c+a-b) c
2
+ − + + −≤ = (1) 
T−¬ng tù ta cã: (c+a-b)(a+b-c) a≤ (2) 
 (a+b-c)(b+c-a) b≤ (3) 
Nhân các vế tương ứng của (1), (2) và (3), ta được: 
3
abc
(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c) abc 1
(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)
p dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy cho ba sè d−¬ng, ta cã:
a b c abc
3 3.
b+c-a c a b a b c (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)
≤ ⇒ ≥
+ + ≥ ≥
+ − + −
¸ 
3 3 3
3 3 3
 Cho a, b, c > 0. Chøng minh:
1 1 1 3 b+c c+a a+b
 (a +b +c ) + + + +
a b c 2 a b c
   ≥   
   
VÝ dô 6 :
 (Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 6/2003) 
Lời giải. 
6 
3 3 3 3 3 3
3 3 3
Víi a, b, c > 0, ta cã:
a b ab(a b); b c bc(b c); c a ca(c a)
2(a b c ) ab(a b) bc(b c) ca(c a)
∀
+ ≥ + + ≥ + + ≥ +
+ + ≥ + + + + +
(1) 
3
3 3 3 3 3 3
p dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy cho ba sè d−¬ng, ta cã:
1 1 1 1 1 1 3
 3 . .
a b c a b c abc
+ + ≥ =
¸
(2) 
Nhân các vế tương ứng của (1) và (2), ta có đpcm. 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. 
2
1
Cho a>b>0. Chøng minh: a+ 2 2.
b(a-b)
≥VÝ dô 7 : 
Lời giải. 
4
2 2 2
p dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy cho bèn sè d−¬ng, ta cã:
1 a b a b 1 a b a b 1
 a+ b 4 b. . . 2 2.
b(a-b) 2 2 b(a-b) 2 2 b(a-b)
− − − −
= + + + ≥ =
¸
2 2 2 2
5 5 5 5 3 3 3 3
Cho a, b, c, d > 0. Chøng minh:
a b c d 1 1 1 1
 .
b c d a a b c d
+ + + ≥ + + +
VÝ dô 8 : 
 (ĐH Thủy lợi – Năm 1997) 
Lời giải. 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho năm số dương, ta có: 
2 2 2 2
5
5 5 5 3 3 15 3 5 3 3
a a a 1 1 1 5 3a 5 2
5
b b b a a b b b b a
+ + + + ≥ = ⇒ ≥ − (1) 
2
5 3 3
3b 5 2
T−¬ng tù, ta cã: -
c c b
≥ (2) 
2
5 3 3
3c 5 2
d d c
≥ − (3) 
2
5 3 3
3d 5 2
a a d
≥ − (4) 
Cộng các vế tương ứng của (1), (2), (3) và (4) ta có đpcm. 
4 4 43
 Cho c¸c sè thùc x, y, z d−¬ng. Chøng minh:
 16xyz(x+y+z) 3 (x+y) (y z) (z x)≤ + +
VÝ dô 9 :
 (Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 1/1996) 
Lời giải. 
Gọi A = (x + y)(y + z)(z + x) 
Ta có: A = xy(x + y + z) + yz(x + y + z) + xz2 + zx2 
2 2
6 6
8
6
1
p dông B§T Cauchy cho t¸m sè d−¬ng gåm ba sè víi mçi sè b»ng xy(x y z), ba sè víi mçi sè 
3
1
b»ng zy(x y z), xz , zx .
3
(xyz) (x y z)
Ta cã: (x+y)(y+z)(z+x) 8 ®pcm.
3
§¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi x
+ +
+ +
+ +≥ ⇒
¸
=y=z.
7 
nn n n
 Cho a, b, c > 0, n N, n 2. Chøng minh:
a b c n
 n 1.
b+c c a a b n 1
∈ ≥
+ + > −
+ + −
VÝ dô 10 :
 (Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 8/1996) 
Lời giải. 
n
(n-1) sè
n
(a+b)(n-1)
p dông B§T Cauchy cho n sè d−¬ng gåm mét sè b»ng 
c
vµ (n-1) sè víi mçi sè b»ng 1, ta cã:
(a+b)(n-1) (a+b)(n-1)
 1+1+...+1 n
c c
(a b c)(n 1) (a b)(n 1)
nc c
+ ≥
+ + − + − 
⇔ ≥ 
 

¸
nn
c n c
Hay n 1.
a+b n 1 a b c
≥ −
− + +
(1) 
nn
b n b
T−¬ng tù, ta cã: n 1.
c+a n 1 a b c
≥ −
− + +
(2) 
nn
a n a
n 1.
c+b n 1 a b c
≥ −
− + +
(3) 
Cộng các vế tương ứng của (1), (2) và (3), ta có đpcm. 
(n-1)(a+b)=c
3
§¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi (n-1)(b+c)=a n N
2
(n-1)(c+a)=b
kh«ng x¶y ra.


⇒ = ∉


☺ Trường hợp 2: Các biến bị ràng buộc 
2 2 2
Cho x, y, z lµ ba sè d−¬ng vµ xyz=1. Chøng minh r»ng:
x y z 3
1 y 1 z 1 x 2
+ + ≥
+ + +
VÝ dô 1 : 
 (§Ò dù bÞ Khèi D-N¨m 2005) 
Lêi gi¶i. 
2 2
2 2
2 2
2
p dông B§T Cauchy cho hai sè d−¬ng, ta cã:
x 1 y x 1 y
 2 . x
1+y 4 1+y 4
y 1 z y 1 z
 2 . y
1+z 4 1+z 4
z 1 x z 1 x
 2 . z
1+x 4 1+x 4
Céng c¸c vÕ t−¬ng øng cña ba B§T, ta ®−îc:
x 1 y
1+y 4
+ +
+ ≥ =
+ +
+ ≥ =
+ +
+ ≥ =
 +
+

¸
2 2y 1 z z 1 x
(x y z)
1+z 4 1+x 4
   + +
+ + + + ≥ + +    
    
8 
2 2 2x y z 3 x y z
(x y z)
1+y 1+z 1+x 4 4
+ +
⇔ + + ≥ − − + + + 
3
3(x y z) 3
4 4
3 3 3 3 3
 .3 x.y.z .3 (Do x.y.z=1)
4 4 4 4 2
§¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi x=y=z=1.
+ +≥ −
≥ − = − = 
3 3 3 3 3 3
Cho c¸c sè d−¬ng x, y, z tháa m·n xyz=1. Chøng minh r»ng:
1+x y 1 y z 1+z x
 3 3.
xy yz zx
Khi nµo ®¼ng thøc x¶y ra?
+ + + +
+ + ≥
VÝ dô 2 : 
 (§H, C§ Khèi D-N¨m 2005) 
Lêi gi¶i. 
¸p dông B§T Cauchy cho ba sè d−¬ng, ta cã: 
 3 3 3 331+x y 3 1.x .y 3xy+ ≥ = 
3 31+x y 3
xy xy
+
⇔ ≥ (1) 
T−¬ng tù, ta cã: 
3 31+y z 3
yz yz
+
≥ (2) 
3 31+z +x 3
zx zx
≥ (3) 
MÆt kh¸c, ta cã: 
 3
3 3 3 3 3 3
3 . .
xy yz zx xy yz zx
+ + ≥ 
3 3 3
3 3
xy yz zx
⇒ + + ≥ (4) 
Céng c¸c vÕ t−¬ng øng cña (1), (2), (3) vµ (4) ta cã ®pcm. 
§¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi x=y=z=1. 
x y z
Cho x, y, z lµ ba sè tháa m·n x + y + z = 0. Chøng minh r»ng :
 3+ 4 3 4 3 4 6.+ + + + ≥
VÝ dô 3 : 
 (§Ò dù bÞ Khèi A - N¨m 2005) 
Lêi gi¶i. 
4x x x
4 8x x x
8y y
8z z
p dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy, ta cã:
 3+4 1 1 1 4 4 4
 3+4 2 4 2 4
T−¬ng tù, ta cã: 3+4 2 4
 3+4 2 4
= + + + ≥
⇒ ≥ =
≥
≥
¸
9 
( ) 38 8 8 8 24x y z x y z x y z x y z
Céng c¸c vÕ t−¬ng øng cña ba bÊt ®¼ng thøc trªn, ta ®−îc:
 3+4 3+4 3+4 2 4 4 4 2.3 4 .4 .4 6 4 6+ ++ + ≥ + + ≥ ≥ =
§¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi x=y=z=0. 
VÝ dô 4: Chøng minh r»ng víi mäi x, y, z d−¬ng vµ x + y + z = 1 th× 
18xyz
xy+yz+zx> .
2+xyz
 (ĐH Tây Nguyên Khối A, B-Năm 2000) 
Lời giải. 
p dông B§T Cauchy, ta cã:¸ 
32=x+y+z+x+y+z 6 xyz≥ (1) 
2 2 23xy+yz+zx 3 x y z≥ (2) 
Nhân các vế tương ứng của (1) và (2), ta được: 
 2(xy + yz + zx) ≥ 18xyz (3) 
Mặt khác, ta có: 
 xyz(xy + yz + zx) > 0 (4) 
Cộng các vế tương ứng của (3) và (4), ta được: 
 (xy+yz+zx)(2+xyz)>18xyz
18xyz
xy yz zx (v× 2+xyz>0).
2 xyz
⇒ + + >
+
1 1 1
 Cho x, y, z lµ c¸c sè d−¬ng tháa m·n 4. Chøng minh r»ng:
x y z
1 1 1
 1.
2x+y+z x 2y z x y 2z
+ + =
+ + ≤
+ + + +
VÝ dô 5 :
 (§H, C§ Khèi A - N¨m 2005) 
Lêi gi¶i. 
2 1 a b 1 1 1 1 Víi a, b>0 ta cã: 4ab (a+b)
a b 4ab a b 4 a b
§¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi a=b.
p dông kÕt qu¶ trªn ta cã:
+  ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ + + +  
¸
C¸ch 1 :
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2x+y+z 4 2x y z 4 2x 4 y z 8 x 2y 2z
      
≤ + ≤ + + = + +      +      
 (1) 
T−¬ng tù: 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
x+2y+z 4 2y x z 4 2y 4 x z 8 y 2z 2x
      ≤ + ≤ + + = + +     +       
 (2) 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
x+y+2z 4 2z x y 4 2z 4 x y 8 z 2x 2y
      
≤ + ≤ + + = + +      +      
 (3) 
1 1 1 1 1 1 1
VËy 1.
2x+y+z x 2y z x y 2z 4 x y z
3
§¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi x=y=z= .
4
 
+ + ≤ + + = + + + +  
10 
1 1 4
: p dông B§T víi a, b>0, ta ®−îc:
a b a b
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
8=2 4
x y z x y y z z x x y y z z x
+ ≥
+
        
+ + = + + + + + ≥ + +         + + +        
C¸ch 2 ¸
(1) 
T−¬ng tù, ta cã:
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2
x+y y z z x x y x z x y y z y z z x
1 1 1
4 .
2x y z x 2y z x y 2z
       
+ + = + + + + +       + + + + + + + +       
 
≥ + + + + + + + + 
(2) 
Tõ (1) vµ (2) ta suy ra:
1 1 1
8 8 ®pcm.
2x+y+z x 2y z x y 2z
 
≥ + + ⇒ + + + + 
2 2 2
Víi a, b lµ hai sè bÊt k× vµ x, y lµ hai sè d−¬ng ta cã:
a b (a b)
 (*)
x y x y
+
+ ≥
+
:C¸ch 3 
2 2 2
2 2 2 2
2
2 2
a y(x+y)+b x(x+y) (a+b) xy
a y +b x 2abxy
(ay-bx) 0.
a b
B§T sau cïng hiÓn nhiªn ®óng. §¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi .
x y
Sö dông B§T (*) hai lÇn ta cã:
1 1 1 1
1 2 2 2 2
2x+y+z 2x y z x y
⇔ ≥
⇔ ≥
⇔ ≥
=
     
+    
     
= ≤ +
+ + +
2 2 2
2 2 2 2
1 1 1 1
4 4 4 4
x z x y x z
1 1 1 1
1 2 1 14 4 4 4
 .
x y x z 16 x y z
   
+ +    
   
= +
+ + +
       
                ≤ + + + = + + 
 
T−¬ng tù ta cã:
1 1 1 2 1
x+2y+z 16 x y z
1 1 1 1 2
x+y+2z 16 x y z
 
≤ + + 
 
 
≤ + + 
 
Céng tõng vÕ ba bÊt ®¼ng thøc trªn vµ chó ý tíi gi¶ thiÕt dÉn ®Õn:
1 1 1 1 1 1 1
1.
2x+y+z x 2y z x y 2z 4 x y z
3
§¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi x=y=z= .
4
 
+ + ≤ + + = 
+ + + +  
11 
24 4
2
¸p dông B§T Cauchy cho bèn sè d−¬ng (hoÆc B§T Bu-nhia-cèpxki):
1 1 1 1 1
(x+y+z) 4. x yz.4 16.
x x y z x yz
1 1 2 1 1
Suy ra 
2x+y+z 16 x y z
 
+ + + ≥ = 
 
 
≤ + + 
 
: C¸ch 4
1 1 1 2 1
T−¬ng tù: 
x+2y+z 16 x y z
1 1 1 1 2
 .
x+y+2z 16 x y z
Céng tõng vÕ ba B§T trªn ta ®−îc:
1 1 1 1 1 1 1
1.
2x+y+z x+2y+z x+y+2z 4 x y z
 
≤ + + 
 
 
≤ + + 
 
 
+ + ≤ + + = 
 
2 2 2
 Cho x, y, z 0 vµ x+y+z 3. Chøng minh r»ng:
x y z 3 1 1 1
 .
1+x 1 y 1 z 2 1 x 1 y 1 z
≥ ≤
+ + ≤ ≤ + +
+ + + + +
VÝ dô 6 :
 (§H Hµng h¶i Tp. HCM - N¨m 1999) 
Lời giải. 
2 2
2 2 2 2
2
2
2 2 2
Ta cã:
x 1 2x 1 x (x 1) x 1
0
1+x 2 2(1 x ) 2(x 1) 1+x 2
T−¬ng tù ta cã:
y 1
1+y 2
z 1
1 z 2
Céng c¸c vÕ t−¬ng øng cña ba bÊt ®¼ng thøc trªn, ta ®−îc:
x y z 3
 (1)
1+x 1 y 1 z 2
(§¼ng thøc x¶y ra khi vµ
− − − −
− = = ≤ ⇒ ≤
+ +
≤
≤
+
+ + ≤
+ +
 chØ khi x=y=z=1)
3
MÆt kh¸c, ¸p dôngB §T Cauchy cho ba sè d−¬ng, ta ®−îc:
1 1 1 1 1 3
 3. 3. (Do x+y+z 3)
1 x 1 y 1 z1+x 1 y 1 z 2(1 x)(1 y)(1 z)
3
3 1 1 1
 (2)
2 1+x 1 y 1 z
§¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi x=y=z=1.
+ + ≥ ≥ ≥ ≤
+ + + + ++ + + + +
⇒ ≤ + +
+ +
 Bµi tËp tù luyÖn: 
(§HDL H¶i Phßng Khèi A - N¨m 2000) 
3 3 3 2 2 2
Víi a, b, c lµ ba sè d−¬ng bÊt k×. Chøng minh r»ng:
 (1+a )(1+b )(1+c ) (1+ab )(1+bc )(1+ca )≥
Bµi 1 : 
12 
3 23 Chøng minh r»ng: víi sè thùc d−¬ng bÊt k×, ta lu«n cã a a 1 a+ ≤ +Bµi 2 : 
 (§HDL Ph−¬ng §«ng Khèi A - N¨m 2000) 
Cho ABC cã ba c¹nh lµ a, b, c vµ p lµ nöa chu vi. Chøng minh r»ng:
1 1 1 1 1 1
 2 .
p-a p b p c a b c
∆
 
+ + ≥ + + 
− −  
Bµi 3 : 
 (Häc viÖn Ng©n hµng Khèi A - N¨m 2001) 
a b c a b c
 Víi a, b, c lµ ba sè thùc d−¬ng bÊt k× tháa m·n ®iÒu kiÖn a+b+c=0. Chøng minh r»ng:
 8 8 8 2 2 2 .+ + ≥ + +
Bµi 4 :
 (§HQG Hµ Néi Khèi A - N¨m 2000) 
2
 Chøng minh r»ng víi mäi x, y >0 ta cã:
y 9
 (1+x) 1+ 1 256.
x y
§¼ng thøc x¶y ra khi nµo?
  
+ ≥     
Bµi 5 :
 (§Ò Dù bÞ Khèi A-N¨m 2005) 
3 3 3
3
 Cho a, b, c lµ ba sè d−¬ng tháa m·n: a+b+c= . Chøng minh r»ng :
4
 a+3b b 3c c 3a 3
Khi nµo ®¼ng thøc x¶y ra?
+ + + + ≤
Bµi 6 :
 (§Ò Dù bÞ 1 Khèi B-N¨m 2005) 
1
Chøng minh r»ng nÕu 0 y x 1 th× x y y x .
4
§¼ng thøc x¶y ra khi nµo?
≤ ≤ ≤ − ≤Bµi 7 : 
 (§Ò Dù bÞ 2 Khèi B-N¨m 2005) 
-x y z
x y z x y z
x y z y z x z x y
Cho c¸c sè thùc x, y, z tháa m·n ®iÒu kiÖn: 3 3 3 1. Chøng minh r»ng:
9 9 9 3 3 3
 .
3 3 3 3 3 3 4
− −
+ + +
+ + =
+ +
+ + ≥
+ + +
Bµi 8 : 
(§Ò Dù bÞ 2 Khèi A-N¨m 2006) 
Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức Bu - nhia - cốpski: 
☺ Trường hợp 1: Các biến không bị ràng buộc 
4 4
Cho x [0; 1]. Chøng minh:
 x+ 1-x+ x+ 1-x 2+ 2 2 .
T×m x ®Ó dÊu ®¼ng thøc x¶y ra?
∈
≤
VÝ dô 1 : 
 (ĐH An ninh – Năm 1999) 
Lời giải. 
p dông B§T Bu-nhia-Cèpski cho hai bé sè (1; 1) vµ ( x; 1-x), ta ®−îc:
 x 1 x 2. x (1 x) 2+ − ≤ + − =
¸
(1) 
4 4
4 4 4
TiÕp tôc ¸p dông B§T Bu-nhia-Cèpski cho hai bé sè (1; 1) vµ ( x; 1-x), ta ®−îc:
 x 1 x 2. ( x 1 x ) 2. 2 2 2+ − ≤ + − ≤ =
(2) 
Céng c¸c vÕ t−¬ng øng cña (1) vµ (2), ta cã ®pcm. 
4 4
x [0;1]
1
§¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi x 1 x x .
2
x 1 x
∈

= − ⇔ =

= −
13 
 Cho a, b, c>0. Chøng minh:
a b c
 1
a+ (a+b)(a+c) b (b c)(b a) c (c a)(c b)
+ + ≤
+ + + + + +
VÝ dô 2 :
 (T¹p chÝ To¸n häc & Tuæi trÎ 11/2004) 
Lêi gi¶i. 
2
p dông B§T Bu-nhia-cèpski cho hai bé sè ( a; b) vµ ( c; a ), ta cã:
 ( ac+ ab) (a b)(c a) ac ab (a b)(c a)
a ac ab a (a b)(c a)
≤ + + ⇒ + ≤ + +
⇒ + + ≤ + + +
¸
a a a
a (a b)(c a) a ac ab a b c
⇒ ≤ =
+ + + + + + +
 (1) 
T−¬ng tù, ta cã: 
b b
b+ (b+c)(b+a) a b c
≤
+ +
 (2) 
c c
c+ (c+a)(c+b) a b c
≤
+ +
 (3) 
Céng c¸c vÕ t−¬ng øng cña (1), (2) vµ (3), ta ®−îc: 
a b c
1
a+ (a+b)(a+c) b (b c)(b a) c (c a)(c b)
+ + ≤
+ + + + + +
§¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = c. 
 Chøng minh r»ng trong mét tam gi¸c bÊt k×, ta cã:
 p-a p b p c 3p
trong ®ã a, b, c lµ c¸c ®é dµi ba c¹nh vµ p lµ nöa chu vi cña tam gi¸c.
+ − + − ≤
VÝ dô 3 :
Lêi gi¶i. 
2 2 2 2 2 2
p dông B§T Bu-nhia-cèpski cho hai bé ba sè (1, 1, 1) vµ ( p-a, p-b, p-c), ta ®−îc:
 p-a p b p c 1 1 1 . ( p a ) ( p b) ( p c)
 = 3 p a p b p c 3 p
+ − + − ≤ + + − + − + − =
− + − + − =
¸
§¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi
p-a p b p c
 a b c
1 1 1
− −
= = ⇔ = =
☺ Trường hợp 2: Các biến bị ràng buộc 
2 2 2 2 2 2
 Víi a, b, c lµ ba sè d−¬ng tháa m·n ®¼ng thøc ab+bc+ca=abc. Chøng minh r»ng:
b 2a c 2b a 2c
 3.
ab bc ca
+ + +
+ + ≥
VÝ dô 1 :
 (§HQG Hµ Néi Khèi D - N¨m 2000) 
Lêi gi¶i. 
14 
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Nh©n hai vÕ cña B§T víi abc>0, ta ®−îc:
 c b 2a a c 2b b a 2c 3abc
M b c 2a c a c 2a b a b 2b c 3abc
+ + + + + ≥
⇔ = + + + + + ≥
(1) 
Theo B§T Bu-nhia-cèpski, ta cã: 
2 2 2 2 2 2 2 1 3b c 2a c (bc) (ac) (ac) (bc ca ca) (bc 2ca)
33
+ = + + ≥ + + = + (2) 
T−¬ng tù, ta cã: 
2 2 2 2 3a c 2a b (ac 2ab)
3
+ ≥ + (3) 
2 2 2 2 3a b 2b c (ab 2bc)
3
+ ≥ + (4) 
Céng tõng vÕ cña (2), (3) vµ (4) ®i tíi: 
3
M .3(ab bc ca) 3abc (1) ®óng: ®pcm.
3
≥ + + = ⇒ 
2 2 2
2 2 2
 Cho x, y, z lµ ba sè d−¬ng vµ x+y+x 1. Chøng minh r»ng:
1 1 1
 x y z 82.
x y z
≤
+ + + + + ≥
VÝ dô 2 :
(§H, C§ Khèi A - N¨m 2003) 
Lêi gi¶i. 
2 2 2
2 2 2
1 1 1
Gäi S= x y z
x y z
1
p dông B§T Bu-nhia-cèpski cho hai bé sè (1; 9) vµ x; , ta cã:
x
+ + + + +
 
 
 
¸
2 2
2 2
9 1 1
x+ 1+81 x = 82 x 
x x x
≤ + + (1) 
T−¬ng tù, ta cã: 
2
2
9 1
y+ 82 y
y y
≤ + (2) 
2
2
9 1
z+ 82 z
z z
≤ + (3) 
Céng (1), (2) vµ (3) theo vÕ, ta cã: 
1 1 1
S. 82 x y z 9
x y z
 
≥ + + + + + 
 
1 1 1 1 1 1
hay S. 82 81(x y z) 9 80(x y z) 2.9.3. (x y z) 80 162 80 82.
x y z x y z
   
≥ + + + + + − + + ≥ + + + + − ≥ − =   
   
☺ Chó ý: Bµi to¸n nµy ta cã thÓ gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p täa ®é, sÏ tr×nh bµy ë phÇn sau. 
☺ BÊt ®¼ng thøc trong tam gi¸c: 
a c c a a b
 Cho ABC. Chøng minh r»ng:
1 1 1
 (l l ) (l l ) (l l ) 3 3.
a b c
∆
+ + + + + ≤
VÝ dô :
 (Häc viÖn Kü thuËt Qu©n sù - N¨m 1997) 
15 
Lêi gi¶i. 
a a a b
c
A
2bc.cos b c A 1 1 A 1 1 B2Ta cã: l l 2 cos l 2 cos . T−¬ng tù, ta cã: l 2 cos ,
b c bc 2 b c 2 c a 2
1 1 C
l 2 cos . Céng tõng vÕ cña ba ®¼ng thøc trªn, ta ®−îc:
a b 2
+    
= ⇒ = ⇒ + = + =   +    
 
+ = 
 
( )b c c a a b1 1 1 A B C(l l ) (l l ) l l 2 cos cos cos
a b c 2 2 2
 
+ + + + + = + + 
 
(1) 
2 2 2
A B C
p dông B§T Bu-nhia-cèpxki cho hai bé sè (1; 1; 1) vµ cos ;cos ;cos , ta cã:
2 2 2
A B C A B C
cos cos cos 3 cos cos cos
2 2 2 2 2 2
 
 
 
 
+ + ≤ + + 
 
¸
( )b c c a a b
9 3 9 3 3 3 3 3
 (cosA cosB cosC) . v× cosA+cosB+cosC
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1
Tõ (1) vµ (2) ta suy ra: (l l ) (l l ) l l 3 3
a b c
§¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi ABC ®Òu. 
 ≤ + + + ≤ + ≤ ≤ 
 
+ + + + + ≤
∆
(2) 
☺ Chó ý: Ta cã thÓ gi¶i bµi to¸n nµy b»ng c¸ch sö dông B§T Cauchy hoÆc dïng ph−¬ng ph¸p ®¹o hµm 
kÕt hîp víi B§T Jensen. 
 Bµi tËp tù luyÖn: 
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
 Chøng minh: a-1 b 1 c 1 c(ab 1), víi mäi sè thùc d−¬ng a, b, c 1.
xyz(x+y+z+ x y z ) 3 3
 Cho x, y, z>0. Chøng minh .
(x y z )[(x y z) (x y z )] 18
Cho a, b, c >0 vµ tháa m·n abc=1
+ − + − ≤ + ≥
+ + +≤
+ + + + − + +
Bµi 1 :
Bµi 2 :
Bµi 3 : 
3 3 3
2 2
1 1 1 3
. Chøng minh: 
a (b c) b (c a) c (a b) 2
 Cho x>0, y>0 vµ x y x y. Chøng minh: x+3y 2+ 5.
+ + ≥
+ + +
+ ≤ + ≤Bµi 4 :
Dạng 3: Phương pháp dùng dấu của tam thức bậc hai: 
2C¬ së cña ph−¬ng ph¸p lµ biÕn ®æi bÊt ®¼ng thøc ë gi¶ thiÕt vÒ d¹ng chøa f(x)=ax bx c (a 0).
§Ó xÐt dÊu tam thøc bËc hai f(x), ta th−êng viÕt nã d−íi d¹ng chÝnh t¾c
b
 f(x)=a x
2
+ + ≠
+
2 22
2 2
b 4ac b
a x
a 4a 2a 4a
   
− ∆   
− = + −      
         
DÊu cña biÖt thøc ∆ DÊu cña f(x) 
∆ 0, x R∀ ∈ 
∆ = 0 b b
af(x)>0, x - ; f(- )=0
2a 2a
∀ ≠ 
16 
∆ > 0 
Ph−¬ng tr×nh f(x) = 0 cã hai nghiÖm x1 < x2 
1 2
1 2
af(x)<0, x (x ; x )
af(x)>0, x (- ; x ) (x ; + )
∀ ∈
∀ ∈ ∞ ∪ ∞
Tãm l¹i, viÖc sö dông c¸c ®Þnh lý thuËn vµ ®¶o cña tam thøc bËc hai, xö lý ®iÒu kiÖn tån t¹i nghiÖm 
cña biÖt thøc ∆,  tá ra tiÖn lîi khi chøng minh mét bÊt ®¼ng thøc mµ nã ®· ®−îc nhËn d¹ng. 
ë ®©y nh¾c l¹i c¸c tÝnh chÊt sau ®Ó tiÖn sö dông: 
2 0* f(x)=ax bx c 0, x R
a>0
∆ ≤
+ + ≥ ∀ ∈ ⇔ 

2 0* f(x)=ax bx c 0, x R
a<0
∆ ≤
+ + ≤ ∀ ∈ ⇔ 

2* f(x)=x a a; x; a+ ≥ ∀ ∀ 2* f(x)=b-x b; x; b≤ ∀ ∀ 
2 2 2 2
 Chøng minh r»ng víi 5 sè a, b, c, d, e bÊt k×, bao giê ta còng cã:
 a b c d a(b c d e).+ + + ≥ + + +
VÝ dô 1 :
 (§Ò 15/II - Bé ®Ò tuyÓn sinh) 
(1) 
Lêi gi¶i. 
2 2 2 2 2(1) a (b c d e)a b c d e 0⇔ − + + + + + + + ≥ (2) 
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
VÕ tr¸i lµ tam thøc bËc hai theo a cã biÖt thøc:
 =(b+c+d+e) 4(b c d e ) 0, b, c, d, e
Do B§T Bu-nhia-cèpski, ta cã:
 (1.b+1.c+1.d+1.e) (1 1 1 1 )(b c d e )
VËy (2) ®óng víi a, b,
∆ − + + + ≤ ∀
≤ + + + + + +
∀ c, d, e, suy ra (1) ®óng.
2 2 2Chøng minh r»ng: 5x 5y 5z 6xy 8xz 8yz 0 víi mäi sè x, y, z kh«ng ®ång thêi b»ng 0.+ + + − − >VÝ dô 2 : 
Lêi gi¶i. 
Xem vÕ tr¸i cña bÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh lµ mét tam thøc bËc hai cña x, cßn y, z lµ nh÷ng tham 
sè, ta ®−îc mét bÊt ph−¬ng tr×nh bËc hai mµ x lµ Èn sè: 
f(x, y, z) = 5x2 + 2(3y - 4z)x + 5y2 + 5z2 - 8yz > 0 (1) 
' 2 2 2 2 2
x
'
x
' 2 2 2
y
' '
y x
(3y 4z) 5(5y 5z 8yz)=-16y 16zy 9z .
Xem lµ mét tam thøc bËc hai cña y, cßn z lµ tham sè,
 64z 9.16z 80z .
1. NÕu z 0 th× 0 : Do ®ã 0 víi mäi y. Tõ ®ã suy ra r»
∆ = − − + − + −
∆
∆ = − = −
≠ ∆ < ∆ <
' 2
x
'
x
ng PT (1) nghiÖm ®óng víi mäi x.
2. NÕu z=0 th× 16y .
a) NÕu y 0 th× 0. Do dã PT (1) nghiÖm ®óng víi mäi x.
∆ = −
≠ ∆ <
2 2 2
2
b) NÕu y=0 th× v× x y z 0 nªn x 0.
 f(x, y, z)=5x 0
VËy bÊt ®¼ng thøc (1) ®óng víi mäi x, y, z kh«ng ®ång thêi b»ng 0.
+ + > ≠
> 
2
2x ACho ABC. Chøng minh: x(cosB cosC) 2sin , x R.
2 2
∆ ≥ + − ∀ ∈VÝ dô 3 : 
Lêi gi¶i. 
2
2
2
2 2 2
x
x A
XÐt tam thøc: f(x)= x(cosB cosC) 2sin . Ta cã:
2 2
A B C B C A
(cosB cosC) sin 2 cos cos 4sin
2 2 2 2
− + +
+ − ∆ = + − = − 
 
17 
2
2 2A B C =4sin cos 1 0
2 2
Do ®ã: f(x) 0, x R (®pcm).
− 
− ≤ 
 
≥ ∀ ∈
2 2 2a b c 2
Chøng minh r»ng nÕu ba sè a, b, c tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn
ab bc ca 1
4 4 4 4 4 4
th× - a , - b , - c .
3 3 3 3 3 3
 + + =

+ + =
≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
VÝ dô 4 : 
Lêi gi¶i. 
Xem hai ®¼ng thøc ®· cho lµ mét hÖ hai ph−¬ng tr×nh mµ b, c lµ hai Èn sè, a lµ tham sè. HÖ 
ph−¬ng tr×nh nµy cã nghiÖm. Tõ ®ã ta t×m ®−îc tËp hîp c¸c gi¸ trÞ cña tham sè a. 
 Tõ gi¶ thiÕt, ta suy ra: 
 (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) 
 = 2 + 2 = 4 
a+b+c=2
a+b+c=-2

⇔ 

HÖ ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi hai hÖ:
a+b+c=2 a+b+c=-2
 (I) ; (II) 
ab+bc+ca=1 ab+bc+ca=1
XÐt hÖ (I). Tõ PT thø nhÊt cña hÖ ta suy ra b+c=2-a. Thay vµo PT thø hai, ta ®−îc:
 bc+a(2-
 
 
 
2a)=1 bc=(a-1)⇔
2
2 2
b+c=2-a
HÖ (I) t−¬ng ®−¬ng víi hÖ: 
bc=(a-1)
b,c lµ c¸c nghiÖm cña PT:
 x (2 a)x (a 1) 0.



− − + − =
2 2
PT nµy cã hai nghiÖm nªn 0
 =(2-a) 4(a 1) 0
∆ ≥
∆ − − ≥
23a 4a 0⇔ − + ≥ 40 a (1)
3
⇔ ≤ ≤ 
4
LËp luËn t−¬ng tù ®èi víi hÖ (II), ta ®−îc: - a 0 (2)
3
≤ ≤ 
4 4
Phèi hîp c¸c kÕt qu¶ (1) vµ (2), t a ®−îc: - a .
3 3
≤ ≤ 
V× a, b, c cã thÓ ®æi chç cho nhau trong hai ®¼ng thøc ®· cho nªn ta còng cã:
4 4 4 4
 - b vµ - c .
3 3 3 3
≤ ≤ ≤ ≤
 Bµi tËp tù luyÖn: 
2 2Chøng minh: (x+y) 2x 5 5y 4y 5 6, x,y R.≥ − + − ∀ ∈Bµi 1 : 
2 2 2 2 2 2 4 4 4
Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ c¸c ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c th× ta lu«n cã:
1
 a b b c c a (a b c )
2
+ + > + +
Bµi 2 : 
 Chøng minh r»ng víi mäi x R, ta ®Òu cã: 4sin3x+5 4cos2x+5sinx.∈ ≥Bµi 3 : 
18 
D¹ng 4: Ph−¬ng ph¸p ®¹o hµm 
I. KiÕn thøc cÇn nhí: 
1. §Þnh lý Lagrange: NÕu hµm sè y=f(x) liªn tôc trªn ®o¹n [a; b] vµ cã ®¹o hµm trªn kho¶ng (a; b) th× 
tån t¹i mét ®iÓm c (a; b)∈ sao cho ' '
f(b) f(a)
f(b)-f(a)=f (c)(b a) hay f (c)
b a
−
− =
−
. 
2. TÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè: 
1 2 1 2 1 2
Cho hµm sè y=f(x) x¸c ®Þnh trªn K (K lµ kho¶ng (a; b) hoÆc ®o¹n [a; b])
* f(x) gäi lµ ®ång biÕn (t¨ng) trªn K nÕu: x , x K : x x f(x ) f(x ).
* f
∀ ∈ < ⇒ <
a) Kh¸i niÖm tÝnh ®ång biÕn vµ nghÞch biÕn cña hµm sè :
1 2 1 2 1 2(x) gäi lµ nghÞch biÕn (gi¶m) trªn K nÕu: x , x K : x x f(x ) f(x ).
* TÝnh ®ång biÕn hay nghÞch biÕn ®−îc gäi chung lµ tÝnh ®¬n ®iÖu.
∀ ∈ 
/
Cho hµm sè y=f(x) x¸c ®Þnh vµ cã ®¹o hµm trªn kho¶ng (a; b).
* NÕu f(x) ®ång biÕn trªn kho¶ng (a; b) th× f (x) 0, x (a; b)
* NÕu f(x) nghÞch biÕn trªn kho¶ng (a; b) t
b) §iÒu kiÖn cÇn cña tÝnh ®¬n ®iÖu :
≥ ∀ ∈
/h× f (x) 0, x (a; b).≤ ∀ ∈
Cho hµm sè y=f(x) x¸c ®Þnh vµ cã ®¹o hµm trªn kho¶ng (a; b).
c) §iÒu kiÖn ®ñ cña tÝnh ®¬n ®iÖu (dÊu hiÖu ®¬n ®iÖu) :
/
/ /
/
/ /
x (a; b): f (x) 0
* f(x) ®ång biÕn trªn kho¶ng (a; b).
f (x) 0 hoÆc f (x) 0 t¹i h÷u h¹n ®iÓm x 
x (a; b): f (x) 0
* f(x) nghÞch biÕn trªn kho¶ng (a; b
f (x) 0 hoÆc f (x) 0 t¹i h÷u h¹n ®iÓm x 
∀ ∈ ≥
⇒
≠ =
∀ ∈ ≤
⇒
≠ =
).
☺ Chó ý: Trong dÊu hiÖu ®¬n ®iÖu, nÕu thªm gi¶ thiÕt f(x) liªn tôc trªn ®o¹n [a; b] th× kÕt luËn m¹nh 
h¬n: f(x) ®ång biÕn (hay nghÞch biÕn) trªn ®o¹n [a; b]. 
3. Cùc trÞ cña hµm sè: 
0
/
0 0
0/
0 0
Gi¶ sö hµm sè f(x) x¸c ®Þnh trªn kho¶ng (a; b) vµ x (a;b).
a) §Þnh lý 1:
f (x) 0 trªn (x ; x )
* x lµ ®iÓm cùc ®¹i cña f(x).
f (x) 0 trªn (x ; x + )
δ
δ
∈
 > −
⇒
<
/
0 0
0/
0 0
/
0//
/
0//
f (x) 0 trªn (x ; x )
* x lµ ®iÓm cùc tiÓu cña f(x).
f (x) 0 trªn (x ; x + )
b) §Þnh lý 2:
f (x) 0
* x lµ ®iÓm cùc tiÓu cña f(x).
f (x) 0
f (x) 0
* x lµ ®iÓm cùc ®¹i cña f(x
f (x) 0
δ
δ
 < −
⇒
>
 =
⇒
>
 =
⇒
<
).
II. VÝ dô minh häa: 
x x Cho n lµ sè tù nhiªn, n 1. Chøng minh r»ng: e 1 , víi mäi x>0.
n
≥ > +VÝ dô 1 : 
 (§HSP Qu