Ôn tập môn Toán lớp 12 - Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

III. GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT VAØ GIAÙ TRÒ NHOÛ NHAÁT CUÛA HAØM SOÁ
1. Ñònh nghóa:
	Giaû söû haøm soá f xaùc ñònh treân mieàn D (D Ì R).
	a) 
	b) 
2. Tính chaát:
	a) Neáu haøm soá f ñoàng bieán treân [a; b] thì .
	b) Neáu haøm soá f nghòch bieán treân [a; b] thì .
Caùch tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá 
Caùch 1: Thöôøng duøng khi tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá treân moät khoaûng.
	· Tính f¢ (x).
	· Xeùt daáu f¢ (x) vaø laäp baûng bieán thieân.
	· Döïa vaøo baûng bieán thieân ñeå keát luaän.
Caùch 2: Thöôøng duøng khi tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá lieân tuïc treân moät ñoaïn [a; b].
	· Tính f¢ (x).
	· Giaûi phöông trình f¢ (x) = 0 tìm ñöôïc caùc nghieäm x1, x2, , xn treân [a; b] (neáu coù).
	· Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), , f(xn).
	· So saùnh caùc giaù trò vöøa tính vaø keát luaän.
I. TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT KHOẢNG
Ví dụ 1: Tìm GTLN-GTNN của hàm số: với 
Bài tập: Tìm GTLN-GTNN (nếu có) của hàm số:
1) trên khoảng 2) . 3) 
5) 6) 
II. TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN
II.1 HÀM ĐA THỨC
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số f(x) = x-18x+2 trên đoạn 
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = trên 
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [-1;2]
Bài 2: Tính GTLN, GTNN của hàm số: y = trên đoạn [ -3;-1]
Bài 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số : y = x4 – 6x2 +2 trên [0;3]
Bài 4: Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá : treân ñoaïn [-1 ; 1] .
II.2. HÀM PHÂN THỨC
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn 
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = trên đoạn [; 3].
Bài tập: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
1) trên đoạn [; 2]. 2) trên đoạn 
3) trên đoạn [1;2] 4) trên đoạn 
II.3. HÀM CĂN THỨC
Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
1) trên đoạn . 2) 3) 
Bài tập: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
2) trên đoạn . 3) y = trên [0; 1]
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: 
a) y = x + b) y = c) y = (x – 6) trên đoạn [0 ; 3].
B6) 7) 8) f(x) = 1+ 9) .
II.4. GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sau: y = | x2 – 4x – 5 | trên 
Bài 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số : trên đoạn [-10;10]
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [–3; 2].
II.5. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Ví dụ : Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
 trên đoạn ; trên đoạn 
 d) , với 
Bài tập: Tìm GTLN, GTNN của hàm số :
2) 3) y = sinx trên đoạn 
4) trên 5) trên đoạn 
6) trên đoạn 7) trên đoạn 
9) y = treân ñoaïn [] 10) trên đoạn . 
13) treân 14) , với 
15) 16) 
I. TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT KHOẢNG
Ví dụ 1: Tìm GTLN-GTNN của hàm số: với 
Giải
Cách 1: Hàm số đã cho xác định trên khoảng: 
	Đạo hàm: ; 
Bảng biến thiên:
x
 -1 0 1 
 + 0 - - 0 +
y
 4
 	Vậy , không tồn tại 
Cách 2: Với x > 0 . Áp dụng bất đẳng thức Côsi :
 . Dấu “=” xảy ra khi 
 . Vậy : 
BÀI TẬP
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên khoảng 
Giải:
Dễ thầy h àm số liên tục trên 
. 
Dễ thấy 
Vậy Minf(x) = 2 khi x = 1 và hàm số không có giá trị lớn nhất.
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số .
Giải:
Hàm số f(x) liên tục trên . Ta có:
 (vô nghiệm).
Vậy hàm số không đạt min và max (vì không có điểm dừng).
Bài 3: Tìm GTLN và TGNN của hàm số : 
Giải:
:+TXĐ : D = R
+ ; y’ = 0 
+ ; 
+BBT :
x
 -1 3 
y’
 + 0 - 0 +
y
 2 1
 CĐ CT
1 
+Vậy : tại x = -1 ; tại x = 3
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số .
Giải:
Hàm số f(x) liên tục trên R. Ta có:
Bảng biến thiên
Vậy hàm số không đạt min và .
Nhận xét:
 có nghiệm thực .
Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số .
Giải:
Ta có .
,
Giới hạn .
Vậy .
Nhận xét:
 có nghiệm thực .
II. TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN
II.1 HÀM ĐA THỨC
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số f(x) = x-18x+2 trên đoạn 
Giải:
f ‘(x) = = 0 ● f(0) = 2; f(3) = -79 ; f(-1) = -15 ; f(4) = -30
· Vậy  ; 
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = trên 
Giải:
· Vậy 
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .
Giải:
Hàm số liên trên đoạn 
Đặt , ta có:
 liên tục trên đoạn [0; 1]
 (loại).
Vậy , .
II.1. BÀI TẬP HÀM ĐA THỨC
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [-1;2]
Giải:
Xét trên đoạn [-1;2] ta có: y’ = 8x3 – 12x ; y’ = 0 
y(0) = 1; y(-1) = -3 ; y() = ; y(2) = 9
Vậy 
Bài 2: Tính GTLN, GTNN của hàm số: y = trên đoạn [ -3;-1]
Giải:
* Trên đoạn [ -3;-1], ta có: y’ = ; y’ = 0 [ -3;-1]
 · y(-3) = -1, y(-1) = 1, y(-2) = 3
 Vậy: y = 3 tại x = - 2 ,y = -1 tại x = - 3
Bài 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số : y = x4 – 6x2 +2 trên [0;3]
Giải:
TXÑ : D = [0;3]; y’ = 4x3 – 12x = 0 	; Ta coù: f(0)= 2; f() = -7 ; f(3)= 29	
Vaäy	 max[0;3] y = f(3) = 29 ; min[0;3]y = f() = -7 
Bài 4: Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá : treân ñoaïn [-1 ; 1] .
Giải:
HS xaùc ñònh treân ñoaïn [-1 ; 1]
• ; 
• Ta coù : 
• Suy ra tai x = 1 ; tai x = -1
II.2. HÀM PHÂN THỨC
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn 
Giải
 * ; * ; 
* , ; 
* tại x = 2 , tại x = 1 
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = trên đoạn [; 3].
Giải:
* f’(x) = ; * 
* 
* khi x = ; x = 3, khi x = 2
II.2. BÀI TẬP HÀM PHÂN THỨC
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [; 2].
Giải:
Tập xác định: ; ; x = 1, x = -1,
 Trên đoạn [; 2] ta có: y() = , y(1) = , y(2) = 
 Suy ra: , 
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 
Giải:
Hàm số liên tục trên [0;3]
Vậy : tại x=0, x=3 tại x=1
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn [1;2]
Giải:
· 
Bài 4: Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn 
Giải:
* ; * ; 
* , ; 
* tại x = 2 , tại x = 1
II.3. HÀM CĂN THỨC
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .
Giải:
Ta có:
 liên tục trên đoạn 
.
Vậy .
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số .
Giải:
Ta có điều kiện: 
Hàm số liên tục trên D
.
.
Vậy , .
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: 
Giải:
TXĐ: . Xét 
Ta có ;; 
Max y = 4 khi x = 1;Min y = -2 khi 
II.3. BÀI TẬP HÀM CĂN THỨC
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn . 
Giải:
Tính được H/số đồng biến trên đoạn 
+ 
+ tại x=1; tại 
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số: y = trên [0; 1]
Giải:
Xét trên [0;1]	hàm số xác định và liên tục.	 
Đặt g(x) = -x2 + x + 6 với x Î[0;1]. g'(x) = -2x +1
● g’(x) = 0 ó x = 	 
● g () = ; g(0) = 6; g(1) = 6	 
=> 6 £ g(x) £ ó 	 
Vậy 	miny = ; 	maxy = 	 
 [0;1]	[0;1]
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: 
a) y = x + b) y = c) y = (x – 6) trên đoạn [0 ; 3].
Giải
 a) TXĐ: D = [-1;1] ; y’=1-=; 
 y’= 0x =; ● y(1)=1 ; y(-1)= -1 ; y() =
+Vậy Maxy = y() = ; Miny = y(-1) = -1
b) TXÑ : D = [-2;2] ; 	
y’ = ; y’ = 0 x = 
Ta coù 
c) y’ = ; y’ = ; 
 y’ = 0 
f(1) = -5; f(2) = -8; f(0) = -12 ; f(3) = -3
· ĐS: 	; 
Bài 6: Tìm giaù trò nhoû nhaát vaø giaù trò lôùn nhaát neáu coù cuûa haøm soá 
Giải:
x
 2/3 1 
 + 0 
y
 0
 Vaäy : Haøm soá ñaõ cho ñaït : 
Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: 
Giải:
* TXĐ: D = 	
* y’ = . y’ = 0 .	
* y(-3) = ; y(10) =  ; .	
* tại x = ; tại x = -3 hoặc x = 10.	
Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 1+
Giải:
Tập xác định D=[-3;3]
f’(x)= f ’(x)=0 x=0 [-3;3]
f(0)=4 ; f(-3)=f(3)=1
=1 và =4
Bài 9: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số .
Giải:
Tập xác định D = [1; 9]
, 
y(1)= y(9) = , y(5) = 4 
II.4. GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sau: y = | x2 – 4x – 5 | trên 
Giải:
Xét hàm số trên đoạn 
Ta có ; 
Ta có : 
 ; ; ; ; 
 tại ; tại và 
BÀI TẬP
Bài 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số : trên đoạn [-10;10]
Giải:
Xét hàm số trên đoạn [-10;10]
Ta có ; 
Ta có : 
 tại x = -10, tại x = 1 và x = 2
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [–3; 2].
Giải:
Hàm số liên tục trên đoạn .
Đặt liên tục trên đoạn .
.
Cách 1: 
 ; ; ; ; 
Vậy: tại ; tại và 
Cách 2:
.
Vậy .
II.5 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Ví dụ : Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
 trên đoạn ; trên đoạn 
 d) , với 
Giải
a) ­ Ta có :
 ­ ( Do)
 ­ Tính : 
 ­ Vậy : ; 
b) ­ Ta có :
 ­ ( Do)
 ­ Tính : 
­ Vậy : ; 
c) MXĐ :
 ­ Ta có :
 ­ Đặt : ; 
 ­ Ta xét hàm số : trên đoạn 
 ­ Ta có :; ­ 
 ­ Tính : 
 ­ Vậy : ; 
d) Ta có 
 	Đặt . 	.	
 	Giá trị lớn nhất: 
 	Giá trị nhỏ nhất là: 
	Vậy , 	
BÀI TẬP HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Bài 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số : 
Giải:
● tại ; tại 
Bài 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số : y = sinx trên đoạn 
Giải:
 y’ = cosx ; y’ = 0 x = . Do x x = . 
Ta có: y() = sin = ½ ; y() = sin = 1.; y() = - ½
 ; 
Bài 4: Tìm GTLN, GTNN của hàm số : trên 
Giải:
Đặt 
; ; Ta có 
● khi ; khi 
Bài 5: Tìm GTLN-GTNN của hàm số: trên đoạn 
Giải
Xét trên đoạn: 
Đạo hàm: 
Cho 
Vì nên 
Tính: , ; 
Vậy: , 
Bài 6: Tìm GTLN-GTNN của hàm số: trên đoạn 
Giải
 Xét trên đoạn: 
Đạo hàm: 
	Cho 
	Vì nên 
	Tính:
, 
, 
	Vậy: , 
Bài 7 : Tìm GTLN-GTNN của hàm số: trên đoạn 
Giải
 Xét trên đoạn: 
	Đạo hàm: 
	Cho 
	Không có nghiệm nào thuộc khoảng 
	Tính: , 
	Vậy , 
Bài 9: Tìm GTLN-GTNN của hàm số: y = treân ñoaïn [] 
Giải
Ta coù: y’ = = 
y’ = 0 cosx +1 = 0 => 
suy ra : f(0) = 0 , f() = 0, 
Vaäy GTNN cuûa HS baèng 0 vaø giaù trò lôùn nhaát baèng 1 treân ñoaïn []. 
Bài 10: Tìm GTLN-GTNN của hàm số: trên đoạn . (TN-THPT năm 2002)
Giải:
Trên , ta có: 	
Vậy:	
Bài 13: Tìm GTLN, GTNN của hàm số : treân 
Giải:
Ta có : y = - 2cos2x + 5cosx + 1. §Æt t = cosx . Do 
- XÐt hµm sè y = -2t2 + 5t + 1 trªn 
● y’ = -4t + 5 , y’ = 0 khi t = 5/4 do ®ã y’> 0 trªn 
● Max y = 4 khi t = cosx = 1 hay x= 0 ● Min y = khi t = cosx = tại 
Bài 14: Tìm GTLN, GTNN của hàm số : , với 
Giải:
Ta có 	
 	Đặt . 	
 	.	
 Ta có: 
 	Giá trị lớn nhất là: 
 	Giá trị nhỏ nhất là:
	Vậy , 	
Bài 15: Tìm GTLN, GTNN của hàm số : 
Giải:
Ta có có miền xác định D=R
Đặt với t Î [-1,1]; thì ; ; ; 
Ta có: 
KL: ; 
Bài 16: Tìm GTLN, GTNN của hàm số : .
Giải:
Đặt 
.
Vậy 
 .