Ôn tập môn Toán lớp 12 - Bài 1: Các bài toán liên quan đến tính đơn điệu hàm số

Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn 
Tương lai ngày mai đang bắt đầu từ ngày hôm nay  Trang - 1 - 
Chuyên đề 
§ 1. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ 



 
I – Các dạng toán thường gặp và phương pháp giải 
 Dạng toán 1. Tìm tham số m để hàm số ( )y f x;m= đơn điệu trên D ? 
Trong đó D có thể là ( ) ( ) ( ) ( ) ; , ; , ; , ; , ; , −∞ α α +∞ α β α β α β   . 
 Bước 1. Ghi điều kiện để ( )y f x;m= đơn điệu trên D. Chẳng hạn: 
Đề yêu cầu ( )y f x;m= đồng biến trên D ( )y ' f ' x;m 0⇔ = ≥ . 
Đề yêu cầu ( )y f x;m= nghịch biến trên D ( )y ' f ' x;m 0⇔ = ≤ . 
 Bước 2. Độc lập m ra khỏi biến số và đặt vế còn lại là ( )g x được: 
( )
( )
m g x
m g x
 ≥
 ≤
. 
 Bước 3. Khảo sát tính đơn điệu của hàm số ( )g x trên D. 
 Bước 4. Dựa vào bảng biến thiên kết luận: 
( ) ( )
( ) ( )
D
D
Khi m g x m max g x
Khi m g x m min g x
 ≥ ⇒ ≥

≤ ⇒ ≤

. 
 Dạng toán 2. Tìm m để hàm số: ( ) 3 2y f x;m a ' x b ' x c ' x d= = + + + đơn điệu một chiều trên khoảng có 
độ dài bằng l ? 
 Bước 1. Tính ( ) 2y ' f ' x;m ax bx c= = + + . 
 Bước 2. Hàm số ( )y f x;m= đơn điệu trên ( )1 2x ; x y ' 0⇔ = có 2 nghiệm phân biệt 
0
a 0
∆ >⇔ 
 ≠
 ( )i 
 Bước 3. Hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài 
1 2
x x= ⇔ − =l l 
( )
2
2 2 2
1 2 1 2
x x 4x .x S 4P⇔ + − = ⇔ − =l l ( )ii 
 Bước 4. Giải ( )ii và giao với ( )i để suy ra giá trị m cần tìm. 
II – Thí dụ minh họa và bài tập rèn luyện 
1/ Các thí dụ về tìm m để hàm số đơn điệu trên D mà dễ độc lập m 
Thí dụ 1. Tìm m để 3 2y x 3x 3mx 1= − + + − nghịch biến trên ( )0;+∞ ? 
Đại học khối A – A1 năm 2013 
ĐS: m 1≤ − . 
Thí dụ 2. Tìm m để 3 2y x 3x mx 4= + − − đồng biến trên ( ); 0−∞ ? 
Đề thi thử Đại học lần I năm 2014 – THTP Hậu Lộc 2 – Thanh Hóa 
ĐS: m 3≤ − . 
Thí dụ 3. Tìm m để ( )3 2y x 2mx m 1 x 1= − − + + nghịch biến trên 0;2    ? 
ĐS: 11m
9
≥ . 
Thí dụ 4. Tìm m để hàm số 
2 2x 5x m 6
y
x 3
+ + +
=
+
 đồng biến trên ( )1;+∞ ? 
Dự bị Đại học năm 2003 
ĐS: 4 m 4− ≤ ≤ . 
Thí dụ 5. Tìm m để: ( )4 3 2y x 4mx 3 m 1 x 2014= + + + + giảm 
1
x
4
∀ ≤− ? 
HÀM SỐ & CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN 1 
mathvn.com
 DeThiThuDaiHoc.com
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn 
Tương lai ngày mai đang bắt đầu từ ngày hôm nay  Trang - 2 - 
ĐS: 25 1 7m
12 3
+
− ≤ ≤ . 
Thí dụ 6. Tìm m để ( )4 2y x 2 m 1 x m 2= − − + − đồng biến trên ( )1;2 ? 
ĐS: 1 m 2< ≤ . 
2/ Các thí dụ tìm m để hàm số đơn điệu trên D mà không độc lập được m 
Thí dụ 7. Tìm m để hàm số: ( ) ( )3 2y 2x 3 2m 1 x 6m m 1 x 1= − + + + + đồng biến trên khoảng ( )2;+∞ ? 
Đề thi thử Đại học năm 2014 – THPT Lục Ngạn số 1 – Bắc Giang 
ĐS: m 1≤ . 
Thí dụ 8. Tìm m để: ( )2 3 2 31y m 1 x mx 2x m
3
= − + − + giảm trên ( );1−∞ ? 
ĐS: 5 1 m 1
2
−
< ≤ . 
Thí dụ 9. Tìm tham số m để hàm số: 
( )2 2x m 1 x 4m 4m 2
y
x m 1
− + + − −
=
− +
 đồng biến trên khoảng ( )1;+∞ ? 
ĐS: 1 13 7 14m
3 7
− +
≤ ≤ . 
Thí dụ 10. Tìm tham số m để 
2 2x 2mx 3m
y
x 2m
− +
=
− +
 nghịch biến trên ( );1−∞ ? 
ĐS: )m 2 3;∈ + +∞ . 
3/ Các thí dụ về hàm bậc ba đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng l 
Thí dụ 11. Tìm tham số m để hàm số: 3 21y x 2x mx 10
3
= + − −
 nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 ? 
ĐS: 15m
4
= − . 
Thí dụ 12. Tìm tham số m để hàm số 3 2y x 3x mx m= + + + đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 2 ? 
ĐS: m 0= . 
 Bài tập rèn luyện 
BT 1. Tìm m để ( ) ( ) ( )3 2
1
y m 1 x 2m 1 x 3 2m 1 x 1
3
= + − − + − +
 đồng biến trên khoảng ( ); 1−∞ − ? 
ĐS: 4m
11
≥ . 
BT 2. Tìm m để ( ) ( )3 2y 2x 3 m 2 x 6 m 1 x 3m 6= − + + + − + đơn điệu tăng trong khoảng ( )5;+∞ ? 
ĐS: (m ;4∈ −∞  . 
BT 3. Tìm m để 3 2 2y 2x 9mx 12m x 1= + + + nghịch biến trên khoảng ( )2;3 ? 
Đề thi thử Đại học năm 2013 – THPT Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An 
ĐS: 32 m
2
− ≤ ≤ . 
BT 4. Tìm m để ( )3 2 22y x 2mx m 2m 1 x
3
= − + − + đồng biến trên ( )1;+∞ ? 
ĐS: (m ;3 6 ∈ −∞ −  . 
BT 5. Tìm m để ( ) ( ) ( )3 2 2y x m 1 x 2m 3m 2 x 2m 2m 1= − + − − + + − đồng biến trong khoảng ( )2;+∞ ? 
ĐS: 3m 2;
2
 
 ∈ −
 
 
. 
BT 6. Tìm m để ( )4 2y mx m 1 x 1 2m= + − + − nghịch biến trên ( ); 2−∞ − ? 
mathvn.com
 DeThiThuDaiHoc.com
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn 
Tương lai ngày mai đang bắt đầu từ ngày hôm nay  Trang - 3 - 
ĐS: 1m
7
≤ − . 
BT 7. Tìm m để 4 2 2y x 2m x 1= − + đồng biến trên ( )1;+∞ ? 
ĐS: m 1;1 ∈ −   . 
BT 8. Tìm m để 
22x 3x m
y
2x 1
− − +
=
+
 nghịch biến trong khoảng 1 ;
2
  − +∞   
 ? 
ĐS: m 1≥ − . 
BT 9. Tìm m để 
( )22x 1 m x 1 m
y
x m
+ − + +
=
− +
 nghịch biến trên ( )2;+∞ ? 
HD: ( ) ( ) ( )
2 22t 2 4 2m t m 10m 7 0
t x 2 YCBT , t 0;
m 2
− − − − − + ≤
= − ⇒ ⇔ ∀ ∈ +∞
 ≤
. 
BT 10. Tìm m để 
22x mx 2 m
y
x m 1
+ + −
=
+ −
 đồng biến trên khoảng ( )1;+∞ ? 
ĐS: m 2 2 2≥ − . 
BT 11. Tìm m để ( )3 2y x x 2 m x 1=− + − − + tăng trên đoạn có độ dài 2= ? 
ĐS: không tồn tại m thỏa yêu cầu bài toán. 
BT 12. Tìm m để ( ) ( )3 2mC : y x 3mx 3 m 1 x 2= + + + + nghịch biến trên đoạn có độ dài lớn hơn 4 ? 
Đề thi thử Đại học 2014 lần II – TT. BDVH Hoa Sen 
ĐS: 
1 21 1 21
m m
2 2
− +
 . 
§ 2. BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO 



 
I – Tương giao giữa đồ thị hàm số nhất biến và đường thẳng 
Bài toán tổng quát 
Cho hàm số ax by
cx d
+
=
+
 có đồ thị ( )C . Tìm tham số m để đường thẳng d : y x= α + β cắt ( )C tại hai điểm 
phân biệt A, B thỏa mãn điều kiện K ? 
Phương pháp giải 
 Bước 1. (Bước này giống nhau ở các bài toán tương giao của hàm nhất biến) 
+ Lập phương trình hoành độ giao điểm giữa d và ( )C : ax b x
cx d
+
= α + β
+
( ) ( ) 2
d
g x cx c d a x d b 0, x
c
⇔ = α + β +α − + β − = ∀ ≠ − . 
+ Để d cắt ( )C tại hai điểm phân biệt ( )g x 0⇔ = có nghiệm nghiệm phân biệt 
d
c
≠ −
 c 0; 0
d
g 0
c
 α ≠ ∆ >  ⇔   − ≠     
. 
Giải hệ này, ta sẽ tìm được 
1
m D∈
 ( )i 
+ Gọi ( ) ( ) 1 1 2 2A x ; x , B x ; yα +β α +β với 1 2x , x là 2 nghiệm của ( )g x 0= . Theo Viét: 
1 2
c d a
S x x ;
c
β +α −
= + = −
α
1 2
d b
P x x
c
β −
= =
α
 ( )ii 
 Bước 2. 
mathvn.com
 DeThiThuDaiHoc.com
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn 
Tương lai ngày mai đang bắt đầu từ ngày hôm nay  Trang - 4 - 
+ Biến đổi điều kiện K cho trước về dạng có chứa tổng và tích của 
1 2
x , x
 ( )iii 
+ Thế ( )ii vào ( )iii thu được phương trình hoặc BPTvới biến số là m. Giải tìm được 2m D∈ ( )∗ 
+ Từ ( ) ( ) ( )1 2i , m D D∗ ⇒ ∈ ∩ và kết luận giá trị m cần tìm. 
Thí dụ 13. Tìm m để đường thẳng d : y 2x m= + cắt đồ thị ( )
2x 2
C : y
x 1
−
=
+
 tại hai điểm phân biệt A,B sao 
cho AB 5= ? 
Đề thi thử Đại học lần I khối B năm 2014 – THPT Ngô Gia Tự 
ĐS: 
 m 10 m 2= ∨ = − . 
Thí dụ 14. Chứng minh rằng đường thẳng d : x y m 0− + = luôn cắt đồ thị hàm số ( )
x 1
C : y
1 2x
−
=
−
 tại hai 
điểm phân biệt A,B với mọi m ? Tìm m sao cho AB OA OB= +



 



 với O là gốc tọa độ ? 
Đề thi thử Đại học lần I khối B năm 2014 – Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc 
ĐS: m 1= − . 
Thí dụ 15. Tìm m để đường thẳng d : y 3x m= − + cắt ( )
2x 1
C : y
x 1
+
=
−
 tại A và B sao cho trọng tâm của 
OAB∆ thuộc d ' : x 2y 2 0− − = ? 
Đề thi thử Đại học năm 2013 – THPT Ba Đình – Thanh Hóa 
ĐS: 11m
5
= − . 
Thí dụ 16. Tìm tham số m để đường thẳng d : y 2x 2m= − cắt đồ thị hàm số ( )
2x m
C : y
mx 1
−
=
+
 tại hai điểm 
phân biệt A,B và cắt trục Ox, Oy theo thứ tự tại M, N sao cho 
OAB OMN
S 3S
∆ ∆
=
 ? 
Đề thi thử Đại học năm 2013 – THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ 
ĐS: 1m
2
= ± . 
Thí dụ 17. Chứng minh rằng m∀ ∈  thì đường thẳng d : x y m 0+ − = luôn cắt ( )
2x 1
C : y
x 3
−
=
+
 tại hai 
điểm phân biệt A,B và AIB∆ cân tại I (I là giao điểm hai đường tiệm cận) ? Tìm m để 
2 2AB 3.IA= ? 
Đề thi thử Đại học năm 2012 – TT.BDVH Thăng Long Tp. HCM 
ĐS: m 1 14= − ± . 
Thí dụ 18. Tìm m để đường thẳng d : y x m= − + cắt ( )
2x 1
C : y
x 1
−
=
−
 tại hai điểm phân biệt A,B và AIB∆ 
đều (với I là giao điểm hai tiệm cận) ? 
Học sinh giỏi tỉnh Thái Nguyên năm 2014 
ĐS: m 3 6= ± . 
Thí dụ 19. Lập phương trình đường thẳng d, biết rằng đồ thị ( )
2x 1
C : y
x 1
+
=
−
 cắt d tại hai điểm phân biệt B,C 
sao cho ABC∆ đều với ( )A 2;5− ? 
Học sinh giỏi tỉnh Tiền Giang năm 2013 
ĐS: 
1
d : y x 1= +
 hoặc 
2
d : y x 5= −
 là hai đường thẳng cần tìm. 
Thí dụ 20. Cho hàm số x 2y
2x 1
+
=
+
 có đồ thị ( )C . Đường thẳng 1d : y x= cắt ( )C tại hai điểm phân biệt 
 A, B . Tìm m để đường 
2
d : y x m= +
 cắt ( )C tại hai điểm phân biệt C, D sao cho bốn điểm 
A,B,C,D là bốn đỉnh của một hình bình hành ? 
mathvn.com
 DeThiThuDaiHoc.com
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn 
Tương lai ngày mai đang bắt đầu từ ngày hôm nay  Trang - 5 - 
Đề thi thử Đại học năm 2014 khối B – Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc 
ĐS: m 2= . 
Thí dụ 21. Cho hàm số x 2y
x 1
+
=
−
 có đồ thị ( )C . Lập hai phương trình đường thẳng 1 2d , d đi qua giao điểm I 
của hai tiệm cận và cắt đồ thị ( )C tại bốn điểm phân biệt là các đỉnh của một hình chữ nhật, biết 
đường chéo hình chữ nhật có độ dài bằng 30 ? 
Đề thi thử Đại học lần III năm 2013 – THPT Lý Thái Tổ – Bắc Ninh 
ĐS: 1
2
d : 2x y 1 0
d : x 2y 1 0
 − − =

 − + =
 hoặc 1
2
d : x 2y 1 0
d : 2x y 1 0
 − + =

 − − =
 là các đường cần tìm. 
Thí dụ 22. Cho đường thẳng d : y x m= − + và hai điểm: ( ) ( ) M 3;4 , N 4;5 . Tìm m để đường thẳng d cắt đồ 
thị hàm số ( )
2x 1
C : y
x 2
−
=
−
 tại hai điểm phân biệt A,B sao cho bốn điểm A,B,M,N lập thành tứ 
giác lồi AMBN có diện tích bằng 2 ? 
Đề thi thử Đại học khối A năm 2014 – THPT Đức Thọ – Hà Tĩnh 
ĐS: m 8= . 
Thí dụ 23. Tìm m để đường thẳng d : y mx 2m 1= + + cắt đồ thị hàm số ( )
2x 1
C : y
x 1
+
=
+
 tại hai điểm phân 
biệt A, B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau ? 
Đại học khối D năm 2011 
ĐS: m 3= − . 
Thí dụ 24. Tìm m để đường thẳng d : y x m= − + cắt đồ thị ( )
x
C : y
x 1
=
−
 tại hai điểm phân biệt A,B sao 
cho góc giữa hai đường thẳng OA và OB bằng o60 với O là gốc tọa độ ? 
ĐS: m 2 m 6= − ∨ = . 
Thí dụ 25. Tìm m để đường thẳng ( )d : y m x 3= − cắt đồ thị ( )
x 2
C : y ,
x 1
−
=
−
 trong đó có ít nhất một giao 
điểm có hoành độ lớn hơn 1 ? 
Đề thi thử Đại học năm 2013 – THPT Nguyễn Văn Trỗi – Hà Tĩnh 
ĐS: m∀ ∈  . 
Thí dụ 26. Tìm m để đường thẳng d : y x m= − + cắt ( )
x 2
C : y
x 1
−
=
−
 tại hai điểm phân biệt A,B sao cho độ 
dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất ? 
Đề thi thử Đại học khối D năm 2014 – Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc 
ĐS: m 2= . 
Thí dụ 27. Tìm tham số m để đường thẳng d : y mx m 1= − − cắt đồ thị hàm số ( )
x
C : y
1 x
=
−
 tại hai điểm 
phân biệt 
 M, N sao cho biểu thức 2 2T AM AN= + đạt giá trị nhỏ nhất với ( )A 1;1− ? 
Đề thi thử Đại học năm 2013 khối A – THPT Chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ 
ĐS: m 1= − . 
Thí dụ 28. Chứng minh rằng với mọi m thì đường thẳng d : y x m= + luôn cắt đồ thị ( )
1 x
C : y
2x 1
−
=
−
 tại hai 
điểm phân biệt A và B. Gọi 
1 2
k , k là hệ số góc của các tiếp tuyến với ( )C C tại A và B. Tìm m để tổng 
1 2
k k+
 đạt giá trị lớn nhất ? 
mathvn.com
 DeThiThuDaiHoc.com
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn 
Tương lai ngày mai đang bắt đầu từ ngày hôm nay  Trang - 6 - 
ĐS: m 1= − . 
 Bài tập rèn luyện về sự tương giao giữa hàm số nhất biến và đường thẳng 
BT 13. Tìm m để d : y 2x m= − + cắt ( )
x 2
C : y
x 1
−
=
+
 tại hai điểm phân biệt A,B có độ dài bằng 30 ? 
Đề thi thử Đại học 2014 lần I khối D – THPT Chu Văn An – Hà Nội 
ĐS: 13m
2
= . 
BT 14. Cho hàm số có đồ thị . Đường thẳng cắt tại hai điểm phân biệt . 
Tìm m để đường cắt tại hai điểm phân biệt sao cho bốn điểm là 
bốn đỉnh của một hình bình hành ? 
ĐS: m 10= . 
BT 15. Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt sao cho 
 vuông tại O với O là gốc tọa độ ? 
Đề thi thử Đại học lần I năm 2014 – THPT Chuyên Quốc Học – Huế 
ĐS: 2m
3
= . 
BT 16. Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt sao cho 
 với O là gốc tọa độ ? 
Đề thi thử Đại học lần I năm 2013 – THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An 
ĐS: m 1= − . 
BT 17. Cho điểm và đường thẳng đi qua điểm có hệ số góc k. Tìm các giá trị của k để đường 
thẳng cắt tại hai điểm sao cho vuông tại A ? 
Đề thi thử Đại học lần III năm 2013 – THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội 
ĐS: 
1
k 3 k
3
= ∨ = . 
BT 18. Tìm m để đường thẳng cắt tại hai điểm phân biệt sao cho 
 đều với ? 
ĐS: 
 m 5 m 1= − ∨ = . 
BT 19. Tìm m để đường thẳng cắt tại hai điểm phân biệt sao cho 
 có trọng tâm là điểm ? 
Đề thi thử Đại học lần II năm 2013 – Chuyên Quốc Học – Huế 
ĐS: m 4= . 
BT 20. Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt sao cho 
 với O là gốc tọa độ ? 
Đại học khối B năm 2010 
ĐS: m 2= ± . 
BT 21. Tìm m để cắt tại hai điểm phân biệt sao cho với I là 
giao điểm hai đường tiệm cận ? 
Đề thi thử Đại học năm 2014 lần I khối A – THPT Lý Thái Tổ – Bắc Ninh 
3x 2
y
x 2
+
=
+
( )C
1
d : y x= ( )C A, B
2
d : y x m= + ( )C C, D A,B,C,D
d : y x m= + ( )
2x 1
C : y
x 1
+
=
+
A,B
OAB∆
d : y x m= + ( )
x 1
C : y
x 1
−
=
+
A,B
2 2OA OB 2+ =
( )A 0;5 ∆ ( )I 1;2
∆ ( )
2x 1
C : y
x 1
+
=
−
M,N AMN∆
d : y x m= − + ( )
2x 1
C : y
x 1
−
=
+
M,N
PMN∆ ( )P 2;5
d : y x m 1= + − ( )
2x 3
C : y
x 1
+
=
+
A,B
OAB∆
2 4
G ;
3 3
  −   
y 2x m= − + ( ) 2x 1C : y
x 1
+
=
+
A,B
OAB
S 3
∆
=
d : y 2x m= + ( )
2x 4
C : y
x 1
−
=
−
A,B
IAB
4S 15
∆
=
mathvn.com
 DeThiThuDaiHoc.com
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn 
Tương lai ngày mai đang bắt đầu từ ngày hôm nay  Trang - 7 - 
ĐS: m 5= ± . 
BT 22. Chứng minh rằng thì đồ thị luôn cắt đường thẳng tại hai điểm 
phân biệt . Xác định m để đường thẳng d cắt các trục lần lượt tại C và D sao cho 
 ? 
Đề thi thử Đại học năm 2013 – THPT Thuận Thành số 3 – Bắc Ninh 
ĐS: 2m
3
= ± . 
BT 23. Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt 
nằm hai phía của trục tung sao cho góc nhọn (với O là gốc tọa độ) ? 
Đề thi thử Đại học khối A năm 2013 – THPT Số 1 Tuy Phước 
ĐS: 32 m
2
− < − . 
BT 24. Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt có tung độ 
dương ? 
Đề thi thử Đại học năm 2013 – THPT Phan Bội Châu – Nghệ An 
ĐS: m 4 40> + . 
BT 25. Cho hàm số ( ) 
x
y , C
x 1
=
−
. Tìm tất cả các giá trị tham số m để đường thẳng d : y x m 1= − + − cắt đồ 
thị hàm số tại hai điểm A,B sao cho tam giác OAB nội tiếp trong đường tròn có bán kính 2 2 . 
ĐS: m 1 m 7= − ∨ = . 
BT 26. Gọi d là đường thẳng qua A( 2;0)− và có hệ số góc k. Tìm k để d cắt đồ thị ( )
x 3
C : y
x 2
+
=
+
 tại hai điểm 
phan biệt M,N thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho AM 2AN= ? 
Đề thi thử Đại học 2014 khối A, B lần III – THPT Chuyên Vĩnh Phúc 
ĐS: ( )
5
M 1;2 ,N ; 1
2
  − − −   
d AM : y 2x 4 k 2⇒ ≡ = + ⇒ = . 
II – Tương giao giữa đồ thị hàm số bậc ba và đường thẳng 
Bài toán tổng quát 
Tìm m để đường thẳng cắt tại ba điểm phân biệt thỏa mãn điều 
kiện K cho trước ? 
Phương pháp giải 
 Bước 1. 
+ Lập phương trình hoành độ giao điểm giữa d và (C) : 
Giả sử nhẩm được trước có một nghiệm . Khi đó chia Hoocner để phân tích: 
+ Để d cắt tại ba điểm phân biệt có ba nghiệm phân biệt có hai nghiệm phân biệt 
m∀ ( )
3x 2m
C : y
mx 1
−
=
+
d : y 3x 3m= −
A,B Ox, Oy
OAB OCD
S 2.S
∆ ∆
=
d : y m x= − ( )
x 3
C : y
x 2
+
=
−
A,B
AOB
d : 2x y m 0− + = ( )
2x 3
C : y
x 1
−
=
+
d : y x= α + β ( ) 3 2C : y ax bx cx d= + + +
3 2ax bx cx d x+ + + = α + β ( )
( )
3 2
h x
ax bx c x d 0⇔ + + −α + −β =

( )∗
( )∗
o
x x=
( ) ( )( )2ox x ax b ' x c ' 0∗ ⇔ − + + = ( )
o
2
x x
g x ax b ' x c ' 0
 =⇔  = + + =
( )C ( )⇔ ∗ ( )g x 0⇔ =
o
x≠
( )
g
o
0
g x 0
∆ >⇔ ⇒
 ≠
1
m D∈ ( )i
mathvn.com
 DeThiThuDaiHoc.com
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn 
Tương lai ngày mai đang bắt đầu từ ngày hôm nay  Trang - 8 - 
+ Gọi với là hai nghiệm của . Theo Viét, 
ta có: và . 
 Bước 2. 
+ Biến đổi điều kiện K về dạng có chứa tổng và tích của 
+ Thế biểu thức tổng – tích vào sẽ thu được phương trình hoặc bất phương trình với biến số là m. Giải nó 
sẽ tìm được 
+ Từ và kết luận những giá trị m cần tìm. 
 Lưu ý 
Có thể dùng phương pháp cực trị nếu không đoán được trước nghiệm . 
Cụ thể ta có các trường hợp sau: (với n là số giao điểm phân biệt) 
 có nghiệm phân biệt 
 có nghiệm phân biệt 
 có nghiệm 
Còn nhiều công thức nữa, chẳng hạn ba nghiệm dương, âm,. Nhưng bạn hãy tập suy luận bằng cách vẽ nháp 
dạng đồ thị hàm bậc ba và biện luận số nghiệm phương trình hoành độ giao điểm của nó với trục Ox. 
Thí dụ 29. Gọi d là đường thẳng đi qua và có hệ số góc k. Tìm giá trị của k để đường thẳng d cắt đồ thị 
 tại ba điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn ? 
Đề thi thử Đại học lần I khối D năm 2014 – Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc 
ĐS: k 1= . 
Thí dụ 30. Tìm tham số m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 
ba điểm phân biệt, trong đó có đúng một điểm có hoành độ âm ? 
Đề thi thử Đại học 2013 – THPT Số I Tuy Phước 
ĐS: . 
Thí dụ 31. Tìm tham số m để cắt đồ thị hàm số tại 
ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng ? 
Đề thi thử Đại học năm 2014 khối D – THPT Chuyên – Vĩnh Phúc 
ĐS: là các giá trị cần tìm. 
Trong các thí dụ trên, tôi đã tìm ra được cả ba nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm bằng nguyên tắc 
nhẩm nghiệm. Còn nếu không tìm ra được nghiệm hoặc không đủ ba nghiệm, sẽ làm như thế nào ? Ta cùng xét 
hai bài tập nhỏ sau: 
( ) ( ) ( ) o o 1 1 2 2A x ; x , B x ; x , C x ; xα +β α + β α +β 1 2x , x ( )g x 0=
1 2
b '
x x
a
+ = −
1 2
c '
x x
a
=
1 2
x , x ( )ii
( )ii
2
m D∈ ( )iii
( ) ( ) ( )1 2i , iii m D D⇒ ∈ ∩
o
x x=
( )d C n 3∩ = = ( )⇔ ∗ 3
( )
CD CT
y h x :
y .y 0
 =⇔ 
 <
( )d C n 2∩ = = ( )⇔ ∗ 2
( )
DC CT
y h x :
y .y 0
 =⇔ 
 =
( )d C n 1∩ = = ( )⇔ ∗ 1
( )
( )
DC CT
y h x :
y h x :
y .y 0
 =
⇔ =

 >
( )A 1; 0
( ) 3 2C : y x 3x 2= − + 1 2 3x , x , x
2 2 2
1 2 3
x x x 11+ + =
d : y mx 2m 3= − − ( ) 3C : y x 3x 1= − + −
( { }m ; 1 \ 9∈ −∞ − −
d : y 2mx m 1= − − ( ) ( )3 2mC : y x 2m 1 x m 1= − + + − −
1 1
m m m 1
2 4
= − ∨ = ∨ =
có cực trị 
có cực trị 
đồng biến trên 
có cực trị 
mathvn.com
 DeThiThuDaiHoc.com
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn 
Tương lai ngày mai đang bắt đầu từ ngày hôm nay  Trang - 9 - 
 Bài toán không tìm được nghiệm nào của phương trình hoành độ giao điểm: 
Tìm m để cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt với các hoành độ lập thành cấp 
số cộng ? 
Phương trình hoành độ giao điểm: 
Giả sử cắt trụ Ox tại ba điểm phân biệt có thì là ba nghiệm của 
phương trình . Khi đó, ta sẽ phân tích được: 
 và đồng nhất hệ số của ta được: 
. Do lập thành một cấp số cộng theo thứ tự đó nên . Thế 
 vào ta được: . 
Thế vào được . Do đây chỉ là điều kiện cần, ta xét thêm điều kiện đủ, nghĩa là khi 
thì 
 luôn có nên 
 là giá trị cần tìm của bài toán. 
Cần nhớ: nếu đa thức bậc ba có các nghiệm khi thì 
ta luôn phân tích được thành tích số dạng: . 
 Bài toán không tìm đủ ba nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm: 
Tìm m để cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành một 
cấp số cộng ? 
Phương trình hoành độ giao điểm: 
Nhận thấy phương trình có nên luôn có hai nghiệm trái dấu nhau luôn có 
ba nghiệm phân biệt là: . Để ba nghiệm này theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng thì 
 là giá trị cần tìm. 
Thí dụ 32. Tìm m để đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân 
biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân ? 
ĐS: . 
Thí dụ 33. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm với hệ số góc đều cắt đồ thị 
 tại ba điểm phân biệt đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB ? 
Đại học khối D năm 2008 
Thí dụ 34. Tìm m để đường thẳng cắt tại ba điểm 
 phân biệt, sao cho điểm nằm giữa A và B đồng thời AB có độ dài bằng ? 
( ) 3 2mC : y x 3x 9x m= − − +
3 2x 3x 9x m 0− − + = ( )∗
( )mC ( ) 1 2 3 1 2 3x , x , x x x x< < 1 2 3x , x , x
( )∗ ( )( )( )3 2 1 2 3x 3x 9x m x x x x x x− − + = − − −
( ) ( )3 21 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3x x x x x x x x x x x x x x x= − + + + + + −
2x ,
( ) 1 2 3x x x 3, i+ + = 1 2 3x , x , x 1 3 2x x 2x+ = ( )ii
( )ii ( )i , 2x 1=
2
x 1= ( )∗ m 11= m 11=
( ) 3 2x 3x 9x 11 0∗ ⇔ − − + =
( )( )2x 1 x 2x 11 0⇔ − − − = 1 2 3x 1 2 3 x 1 x 1 2 3⇔ = − ∨ = ∨ = + 1 3 2x x 2x+ =
m 11=
( ) ( ) 3 2f x ax bx cx d, a 0= + + + ≠ 1 2 3x , x , x ( )f x 0=
( )( )( )3 2 1 2 3ax bx cx d a x x x x x x+ + + = − − −
( ) ( )3 2mC : y x 2m 1 x 9x= − + −
( )2x x 2m 1 x 9 0 − + − =   ( )i
( ) ( ) 2
x 0
x 2m 1 x 9 0 ii
 =⇔  − + − =
( )ii 1 2
c
P x x 9 0
a
= = = − < ⇒ ( )i
m∀
1 2
x ; 0; x
1 2
x x 2.0+ = 2m 1 0⇔ + =
1
m
2
⇔ = −
( ) ( ) ( )3 2mC : y x 5 m x 6 5m x 6m= + − + − −
9 4
m m m 6
2 3
= − ∨ = − ∨ = ±
( )I 1;2 k 3> −
( ) 3 2C : y x 3x 4= − + I,A,B
d : y 2x 1= + ( ) ( )3 2mC : y 2x 3mx m 1 x 1= − + − +
A,B,C ( )C 0;1 30
mathvn.com
 DeThiThuDaiHoc.com
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn 
Tương lai ngày mai đang bắt đầu từ ngày hôm nay  Trang - 10 - 
ĐS: 
8
m 0 m
9
= ∨ = . 
Thí dụ 35. Gọi d là đường thẳng đi qua và có hệ số góc k. Tìm k để d cắt tại ba 
điểm phân biệt sao cho cân tại O (với O là gốc tọa độ) ? 
Đề thi thử Đại học năm 2014 khối B – Chuyên Quốc Học – Huế 
ĐS: 
1
k 1 k
3
= ∨ = . 
Thí dụ 36. Cho và điểm . Tìm m để d tại ba điểm 
phân biệt sao cho ? 
Đề thi thử Đại học 2010 – THPT Minh Khai – Hà Tĩnh 
ĐS: 1 137m
2
±
= . 
Thí dụ 37. Tìm tham số m để đường thẳng cắt đồ thị tham số 
tại ba điểm phân biệt sao cho A cố định và ? 
ĐS: 3m
4
= . 
Thí dụ 38. Hãy viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm I là tâm đối xứng của đồ thị 
và cắt tại ba điểm phân biệt sao cho ? 
ĐS: hoặc hoặc . 
Thí dụ 39. Viết phương trình đường thẳng d đi qua và cắt đồ thị hàm số 
tại ba điểm phân biệt sao cho là trọng tâm của với O là gốc tọa độ ? 
ĐS: . 
Thí dụ 40. Cho đồ thị hàm số . Tìm m để cắt đồ 
thị tại ba điểm phân biệt sao cho tổng hệ số góc các tiếp tuyến với tại 
bằng ? 
Học sinh giỏi tỉnh Vĩnh Phúc năm 2013 
ĐS: m 2= . 
Thí dụ 41. Tìm tham số m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 
ba điểm phân biệt sao cho tích các hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị tại B và C đạt 
giá trị nhỏ nhất ? 
Đề thi thử Đại học 2014 – Đề số 2 – Tạp chí Toán Học & Tuổi Trẻ 
ĐS: m 1= − . 
Thí dụ 42. Chứng minh rằng khi m thay đổi thì luôn cắt đồ thị tại một 
điểm A cố định. Xác định giá trị của m để d cắt tại ba điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến 
của tại A và B vuông góc với nhau ? 
ĐS: 3 2 2m
3
− ±
= . 
Thí dụ 43. Tìm m để cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt ? 
Học sinh giỏi tỉnh An Giang năm 2014 
ĐS: m 0> . 
 Bài tập rèn luyện về sự tương giao giữa hàm số bậc ba và đường thẳng 
( )A 2; 4 ( ) 3C : y x 3x 2= − +
A,B,C OBC∆
d : y x 4= + ( )K 1; 3 ( ) ( )3 2mC : y x 2mx m 3 x 4= + + + +
( ) A 0; 4 , B, C KBCS 8 2∆ =
1
: y mx
3
∆ = − ( ) 3 2
1 1
C : y x 2x 3x
3 3
= − + −
A,B,C
OBC OAB
S 2S
∆ ∆
=
( ) 3 2C : y x 3x 2= − +
( )C I,A,B OABS 2∆ =
1
d : y 1 x= − ( )2d : y 1 3 x 1 3= − + + + ( )3d : y 3 1 x 1 3= − + −
( )A 1; 0− ( ) 3 2C : y x 5x 3x 9= − + +
A,B,C ( )G 2;2 OBC∆
3 3
d : y x
4 4
= +
( ) ( )3 2mC : y x m 1 x x 2m 1= − + + + + d : y x m 1= + +
( )mC A,B,C ( )mC A,B,C
12
( )d : y m 2 x 2= − + ( ) 3 2C : y x 3x 2= − + −
( ) A 2;2 , B, C ( )C
( )d : y m x 1 2= + + ( ) 3C : y x 3x= −
( )C A,B,C
( )C
( )d : y m x 1 2= − + ( ) 3C : y x 3x= −
mathvn.com
 DeThiThuDaiHoc.com
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn 
Tương lai ngày mai đang bắt đầu từ ngày hôm nay  Trang - 11 - 
BT 27. Cho hàm số ( )3 2y 2x 3mx m 1 x 1= − + − + có đồ thị ( )mC . Tìm m để đường thẳng d : y 1 x= − cắt 
( )mC tại ba điểm phân biệt ? 
Đại học khối D năm 2013 
ĐS: 8m 0 m
9
 . 
BT 28. Tìm m để đồ thị hàm số ( ) ( )3 2mC : y x 2x 1 m x m= − + − + cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có 
hoành độ 
1 2 3
x , x , x thỏa mãn điều kiện 2 2 2
1 2 3
x x x 4+ + < ? 
Đại học khối A năm 2010 
ĐS: { }
1
m ;1 \ 0
4
  ∈ −   
. 
BT 29. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm ( )A 2; 2− có hệ số góc bằng k. Tìm k để d cắt đồ thị hàm số 
( ) 3C : y x 3x= − + tại ba điểm phân biệt đều có hoành độ lớn hơn 2− ? 
Đề thi thử Đại học năm 2013 lần I – Dương Đình Nghệ – Thanh Hóa 
ĐS: 1 k 0− < < . 
BT 30. Tìm m để đồ thị hàm số ( ) 3 2mC : y x mx x m= + − − cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt với các hoành 
độ lập thành cấp số cộng ? 
ĐS: m 3 m 0= ± ∨ = . 
BT 31. Tìm m để đồ thị ( ) ( ) ( )3 2mC : y x 3m 1 x 5m 4 x 8= − + + + − cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có 
hoành độ lập thành cấp số nhân ? 
ĐS: m 2= . 
BT 32. Tìm m để : y mx 2m 5∆ = − + cắt đồ thị ( ) 3C : y 2x 6x 1= − + tại ba điểm phân biệt và khoảng cách 
từ điểm cực đại của ( )C đến ∆ bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của (C) đến ∆ ? 
Đề thi thử Đại học 2014 lần I – THPT Chu Văn An – Hà Nội 
BT 33. Tìm m để d : y 2x 7= − cắt ( ) ( )3 2mC : y x m 2 x 4m 3= − + + − tại ba điểm phân biệt A, B, C sao 
cho tổng hệ số góc tiếp tuyến với ( )mC tại ba điểm A, B, C bằng 28 ? 
Đề thi thử Đại học 2014 lần I – THPT Hồng Quang – Hải Dương 
ĐS: m 2= . 
BT 34. Tìm m để d : y 2mx 2m 6= − + cắt ( ) 3C : y 2x 6x 2= − + + tại A, B, C sao cho tổng hệ số góc các 
tiếp tuyến với ( )C tại A, B, C bằng 6− ? 
Đề thi thử Đại học 2014 lần I – THPT Chuyên Nguyễn Đình Chiểu 
ĐS: m 1= . 
BT 35. Tìm m để d : y mx m 1= − − cắt đồ thị ( ) 3 2C : y x 3x 1= − + tại ba điểm phân biệt A, B, C 
( )A B Cx x x< < sao cho AOC∆ cân tại O ? 
Đề thi thử Đại học 2013 lần IV – THPT Chuyên – ĐH KHTN 
ĐS: m 1= . 
BT 36. Tìm m để d : y 1 x= − cắt đồ thi ( ) 3 2mC : y x 3mx 1= − + tại ba điểm phân biệt ( ) A 0;1 , B, C sao cho 
KBC
S 5
∆
= với ( )K 1;2 ? 
ĐS: m 1= ± . 
BT 37. Cho hàm số đồ thị ( ) ( ) ( )3 2mC : y 2 m x 6mx 9 2 m x 2= − − + − − . Tìm m để đường thẳng d : y 2= − 
cắt ( )mC tại ba điểm phân biệt A, B, C với ( )A 0; 2− sao cho OBCS 13∆ = ? 
ĐS: 14m m 14
13
= ∨ = . 
mathvn.com
 DeThiThuDaiHoc.com
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn 
Tương lai ngày mai đang bắt đầu từ ngày hôm nay  Trang - 12 - 
BT 38. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt 
và C sao cho . Trong đó lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến với tại B và C ? 
ĐS: m 1 m 2= − ∨ = . 
BT 39. Lập phương trình đường thẳng d đi qua biết rằng d cắt đồ thị hàm số tại 
ba điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến của tại B và C vuông góc nhau ? 
Đề thi thử Đại học năm 2013 khối A – THPT Bỉm Sơn – Thanh Hóa 
ĐS: 
3 2 2 3 2 2
k k
2 2
− − − +
= ∨ = . 
BT 40. Tìm m để cắt đường thẳng tại ba điểm phân biệt 
sao cho các tiếp tuyến của tại B và C vuông góc với nhau ? 
ĐS: m 5= ± . 
BT 41. Tìm m để cắt trục hoành tại duy nhất một điểm ? 
Học sinh giỏi cấp trường năm 2014 – THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An 
ĐS: m 1≠ . 
III – Tương giao giữa đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương và đường thẳng 
Bài toán tổng quát 
Tìm m để đường thẳng cắt tại n điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện K 
cho trước ? 
Phương pháp giải 
 Bước 1. 
+ Phương trình hoành độ giao điểm của d và 
+ Đặt thì 
+ Tùy vào số giao điểm n mà ta biện luận để tìm giá trị cụ thể: 
○ Để điểm phân biệt có bốn nghiệm phân biệt có hai nghiệm thỏa: 
. 
○ Để điểm phân biệt có ba nghiệm phân biệt có nghiệm thỏa: 
. 
○ Để điểm phân biệt có hai nghiệm phân biệt có hai nghiệm trái dấu hoặc 
có nghiệm kép dương . 
○ Để điểm có đúng một nghiệm có nghiệm kép hoặc và 
⇔ . 
( ) 3 2mC : y x 2mx 2mx 1= − + − ( ) A 1; 0 , B
1 2
k k BC 5+ =
1 2
k , k ( )mC
( )A 2; 0 , ( ) 3 2C : y x 3x 4= − +
A,B,C ( )C
( ) 3 2mC : y x mx 1= + + d : y 1 x= − ( ) A 0;1 , B, C
( )mC
( ) ( )3 2mC : y 2x 3 m 1 x 6mx 2= − + + − Ox
d : y = α ( ) 4 2y f x;m ax bx c= = + +
( ) 4 2C : ax bx c 0+ + −α = ( )i
2t x 0= ≥ ( ) 2i at bt c 0⇔ + + −α = ( )ii
( ) 1m D ,∈ ∗
( )C d n 4∩ = = ( )i⇔ ( )ii⇔ 1 2t , t
1 2
0
0 t t P 0
S 0
∆ >
 >
1
m D⇒ ∈
( )C d n 3∩ = = ( )i⇔ ( )ii⇔ 1 2t , t
1 2
c 0
0 t t b
0
a
 −α == < ⇔ 
 <
1
m D⇒ ∈
( )C d n 2∩ = = ( )i⇔ ( )ii⇔
⇔
ac 0
0
S 0
 <
∆ =
 >
( )C d n 1∩ = = ( )i⇔ ( )ii⇔ 0= 1t 0=
2
t 0< 
c 00
bb c 0 0
a
 −α = ∆ =  ∨ 
 = −α = >  
mathvn.com
 DeThiThuDaiHoc.com
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn 
Tương lai ngày mai đang bắt đầu từ ngày hôm nay  Trang - 13 - 
 Bước 2. 
+ Biến đổi điều kiện K về dạng có chứa tổng và tích của 
+ Thế biểu thức tổng – tích vào sẽ thu được phương trình hoặc bất phương trình với biến số là m 
+ Từ và kết luận những giá trị m cần tìm. 
Thí dụ 44. Tìm m để cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt có hoành độ 
lập thành cấp số cộng (cách đều) ? 
ĐS: 
13
m 3 m
9
= ∨ = − . 
Thí dụ 45. Tìm m để cắt tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ 
hơn ? 
Đại học khối D năm 2009 
ĐS: 1 m 1
3
− < < và m 0≠ . 
Thí dụ 46. Tìm tham số m để đường thẳng cắt đồ thị của hàm số tại bốn 
điểm phân biệt sao cho ? 
ĐS: 7m
4
= − . 
Thí dụ 47. Tìm tham số m để đồ thị cắt trục hoành tại bốn điểm 
 phân biệt sao cho với ( được xếp theo thứ tự hoành độ 
tăng dần) ? 
Đề thi thử Đại học năm 2013 lần III – THPT Quỳnh Lưu I – Nghệ An 
ĐS: m 4= . 
Thí dụ 48. Tìm m để đồ thị hàm số cắt tại hai điểm phân biệt 
 sao cho ? 
ĐS: m 5= − . 
Thí dụ 49. Tìm m để cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới 
hạn bởi đồ thị và trục hoành