Ôn tập môn Toán lớp 10 - Tọa độ trong không gian

TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
Trong không gian oxyz cho vectơ =(a1;a2;a3), =(b1;b2;b3) 
Véctơ đơn vị : 
 đồng phẳng 
 không đồng phẳng 
Trong không gian oxyz cho A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB)
3.M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1
4. M là trung điểm AB
5. G là trọng tâm tam giác ABC
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
VÍ DỤ:
CÁC DẠNG TOÁN
Daïng 1: Chöùng minh A,B,C laø ba ñænh tam giaùc
 A,B,C laø ba ñænh tam giaùc Û [] ≠ 
SDABC = 	
Ñöôøng cao AH = 
 Shbh = 
Daïng 2: Tìm D sao cho ABCD laø hình bình haønh
Chöùng minh A,B,C khoâng thaúng haøng
ABCD laø hbh 
Ví dụ1: Cho hai boä 3 ñieåm: A(1; 3; 1); B(0; 1; 2); C(0; 0; 1) vaø A’(1;1;1); B’(–4; 3; 1); C’(–9; 5; 1).
	Hỏi boä naøo coù 3 ñieåm thaúng haøng ?
Lời giải:
 Ta có Þ kÎR: =k.Þ 3 điểm A, B, C không thẳng hàng.
Ta có Þ = 2.Þ 3 điểm A, B, C thẳng hàng.
Ví dụ2: Cho A(1; 0; 0), B(0; 0; 1) vaø .
	a/ CMR: A, B, C laø ba ñænh cuûa moät tam giaùc.
	b/ Tính chu vi vaø dieän tích cuûa DABC.
	c/ Tìm toïa ñoä ñænh D ñeå töù giaùc ABCD laø hình bình haønh.
	d/ Tính ñoä daøi ñöôøng cao cuûa DABC haï töø ñænh A.
Lời giải
a. Ta có C(2;1;1)
	Þ , không cùng phương Þ 3 điểm A, B, C không thẳng hàng.
b. Ta có: AB= 
	 AC= 
	 BC= 
Þ Chu vi của DABC là: C= + +
Ta có: Ù=(-1;2;-1)
Áp dụng công thức: SDABC = Ù==
c. 
A
D
C
B
H
àABCD là hình bình hành Û =Û Û
d. Ta có :SDABC = AH.BC Û AH== = 
Ví dụ 3: Tìm ñieåm M treân truïc Oy, bieát M caùch ñeàu 2 ñieåm A(3; 1; 0) vaø B(–2; 4; 1).
Lời giải:M є oy Þ M(0;y0;0) 
 M cách đều 2 điểm A, BÞ M thuộc mp trung trực của đoạn thẳng AB.
 Gọi I là trung điểm AB Þ I()
Vậy ┴ Û= 0 (*)
Ta có =()
=(-5;3;1)
Khi đó (*) Û -
	 Û Û y0=
Vậy M(0;;0 )
Daïng 3: Chöùng minh ABCD laø moät töù dieän:
[].≠ 0
Vtd = 
	Ñöôøng cao AH cuûa töù dieän ABCD 
Theå tích hình hoäp :
Ví dụ: Cho A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) vaø D(–2; 1; –1).
	a/ CMR: A, B, C, D laø boán ñænh cuûa moät töù dieän.
	b/ Tính goùc taïo bôûi caùc caëp caïnh ñoái dieän cuûa töù dieän ABCD.
	c/ Tính theå tích töù dieän ABCD vaø ñoä daøi ñöôøng cao haï töø A.
A
D
C
B
Lời giải:
a. A, B, C, D là 4 đỉnh của 1 tứ diện Û , , không đồng phẳng
	 Û , . ¹ 0
Ta có Þ ,=( ; ; ) =(1;1;1).
 (-3;1;-1)
Þ ,.=-3+1-1=-3¹0
b. Ta có (-2;1;-2) .
Gọi α là góc tạo bởi cặp cạnh đối diện AB, CD
Þ cosα = = = Þ α= 45o 
Þ Góc tạo bởi cặp cạnh AB, CD bằng 45o 
 Làm tương tự Þ Góc tạo bởi cặp cạnh đối diện AD, BC là góc b với cosb = 
 Þ Góc tạo bởi cặp cạnh đối diện BD, AC là góc γ với cosγ= 
c. Áp dụng công thức: Ta có VABCD= =
 Áp dụng công thức: Ta có VABCD= .AHÛ AH= 
 Ta có: Þ , =( ; ; ) =(1;-2;-2).
Áp dụng công thức SBCD= =(đvdt)
Vậy AH= 
Daïng 4 : Ñieåm ñoái xöùng
 1.Ñieåm M/ ñoái xöùng vôùi M qua mpa
Tìm hình chieáu H cuûa M treân mpa (daïng 4.1)
H laø trung ñieåm cuûa MM/
 2.Ñieåm M/ ñoái xöùng vôùi M qua ñöôøng thaúng d:
Tìm hình chieáu H cuûa M treân (d) ( daïng 4.2)
 H laø trung ñieåm cuûa MM/ 
BÀI TẬP:
Bài 1: Cho DABC vôùi A(1; 0; 0), B(0; 0; 1), C(2; 1; 1).
	a/ Tính caùc goùc cuûa DABC.
	b/ Tìm toïa ñoä trong taâm G cuûa DABC.
	c/ Tính chu vi vaø dieän tích tam giaùc ñoù.
 d/X® t©m vµ b¸n kÝnh ®­êng trßn ngo¹i tiÕp DABC.
 e/X® to¹ ®é trùc t©m DABC
Bài 2: Trong khoâng gian Oxyz, cho 3 ñieåm: A(0; 2; –1); B(1; 1; 3) vaø C(–1; 2; –2).
	a/ Tìm toïa ñoä troïng taâm G cuûa DABC.	
	b/ Tính dieän tích DABC.
Bài 3: Cho A(1; 2; 1), B(5; 3; 4) vaø C(8; 3; –2).
	a/ CMR: ABC laø tam giaùc vuoâng.
	b/ Tìm toïa ñoä chaân ñöôøng phaân giaùc trong cuûa tam giaùc keû töø B.
	c/ Tính dieän tích cuûa DABC.
Bài 4: Treân maët phaúng Oxz tìm ñieåm M caùch ñeàu 3 ñieåm A(1; 1; 1), B(–1; 1; 0) vaø C(3; 1; –1).
Bài 5: Cho A(2;–1; 1), B(4; 5; –2). Ñöôøng thaúng Ab caét mp Oxyz taïi ñieåm M. Ñieåm M chia ñoaïn thaúng AB theo tæ soá naøo? Tìm toïa ñoä ñieåm M.
Bài 6: Cho hình hoäp ABCD.A’B’C’D’ bieát: A(1; 0; 1); B(2; 1; 2); D(1; –1; 1); C’(4; 5; –5).
	a/ Tìm toïa ñoä caùc ñænh coøn laïi cuûa hình hoäp.
	b/ Tìm toïa ñoä taâm cuûa caùc maët ABCD vaø ABB’A’ cuûa hình hoäp ñoù.
Bài 7: Cho hình hoäp ABCD.A’B’C’D’, bieát A(1; 0; 1) vaø B(2; 1; 2); , . Tìm toïa ñoä caùc ñænh coøn laïi.
Bài 8: Cho ñieåm M coù toïa ñoä (x; y; z). Tìm toïa ñoä cuûa ñieåm:
	a/ N ñoái xöùng vôùi M qua maët phaúng Oxy.	b/ P ñoái xöùng vôùi M qua truïc Ox.
	c/ Q ñoái xöùng vôùi M qua goác toïa ñoä O. AÙp duïng vôùi M(–2; 5; 1)
MẶT PHẲNG
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Vectô phaùp tuyeán cuûa mp(a) :
≠ laø veùctô phaùp tuyeán cuûa a ^ a
 2. Quan heä giöõa vtpt vaø ,: 
	Nếu , không cùng phương có giá song song hoặc 
nằm trên mặt phẳng (a) thì vtpt của mp(a) là:
 = [,]
 4. Pt mp(a) qua M(xo ; yo ; zo) coù vtpt = (A;B;C)
 A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = 0
(a) : Ax + By + Cz + D = 0 (A2+B2+C2¹0) ta coù 
 = (A; B; C) là vtpt của mp(a)
5.Phöông trình maët phaúng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) : 
	Chuù yù : Muoán vieát phöông trình maët phaúng caàn:
 1 ñieåm vaø 1 veùctô phaùp tuyeán
6.Phöông trình caùc maët phaúng toïa ñoä
 (Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0 
7. Chuøm maët phaúng : giaû söû (a1) Ç (a2) = d trong ñoù 
 (a1): A1x + B1y + C1z + D1 = 0 
 (a2): A2x + B2y + C2z + D2 = 0 
 Pt mp chöùa (d) coù daïng sau vôùi m2+ n2 ≠ 0 :
 m(A1x + B1y + C1z + D1) + n(A2x + B2y + C2z + D2) = 0 
8. Vò trí töông ñoái cuûa hai mp (a) vaø (b) :
(α) cắt (b) (A1; B1; C1) ¹ k(A2; B2; C2)
(α) (b) Û 
(α) º(b) Û 
Với A2¹0, B2¹0, C2¹0, D2¹0
 (
 9.KC từ M(x0,y0,z0) đến (a) : Ax + By + Cz + D = 0
10.Goùc giữa hai maët phaúng : 
CAÙC DAÏNG TOAÙN
Daïng 1: Maët phaúng qua 3 ñieåm A,B,C :
Daïng 2: Maët phaúng trung tröïc ñoaïn AB :
Daïng 3: Maët phaúng a qua M vaø ^ d (hoaëc AB)
Daïng 4: Mpa qua M vaø // b: Ax + By + Cz + D = 0 
Daïng 5: Mp(a) chöùa (d) vaø song song (d/),
víi (d) vµ (d') chÐo nhau
Ñieåm M ( choïn ñieåm M treân (d))
Mpa chöùa (d) neân 
 Mpa song song (d/) neân 
■ Vtpt 
Daïng 6 Mp(a) qua M,N vaø ^ (b) : 
víi MN kh«ng vu«ng gãc víi mp (b) 
Daïng 7 Mp(a) chöùa (d) vaø ñi quaAÏ(d)
 X® ®iÓm MÎ(d) 
( 
 (Caùch 2: söû duïng chuøm mp)
Daïng 8: Mp(a) chöùa (d) vµ ^®t(d'), d^ d'
+X® vtcp cña ®t(d')
+X® 1®iÓm MÎ (d)
Khi ®ã mp(a) ®i qua M nhËn lµm vtpt
Daïng 9: Mp(a) tx víi mÆt cÇu(S) t¹i ®iÓm M
+X® t©m I cña cña mÆt cÇu (S)
+Khi ®ã mp(a) ®i qua ®iÓm M vµ nhËn lµm vtpt
Daïng 10: Mp(a) chøa ®t(d) tx víi mÆt cÇu(S)
Lập pt chùm mp chứa mp(α) 
- Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu S
Vì mp(α) tiếp xúc với mặt cầu Ûd(I,(α))=R
Từ đó Þ pt mp(α)
VÍ DỤ:
1. Lập mặt phẳng (α) đi qua M(2,1,5) và song song với mặt phẳng (b): x-2y+z-10=0.
Bài giải:
C1: Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (b) là: =(1;-2;1).
 Do (α) ¤¤ (b) Þ Mặt phẳng (α) đi qua điểm M(2;1;5) và có vectơ pháp tuyến =(1;-2;1) có phương trình là:
	1.(x-2) -2(y-1) + 1(z-5) =0 Û x-2y+z-5=0
C2: Do (α) ¤¤ (b) Þ phương trình mặt phẳng (α) có dạng: x-2y +z+C=0(C¹-10)
	Do MÎ(α) Þ C=-5.
	Vậy phương trình mặt phẳng (α) : x-2y+z-5=0.
2. Lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua 2 điểm M(1;-1;1), B(2;1;1) và song song với 0x.
Bài giải:Ta có =(1;2;0)
Vectơ chỉ phương của trục ox là =(1;0;0) Þ Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) là:
	= ,=( ; ; ) =(0;0;2).
Þ Phương trình mặt phẳng (α) : 0.(x-1) + 0.(y+1) - 2.(z-1) =0 Û z = 1.
3. Trong không gian Oxyz cho điểm A(-1;2;3) và mặt phẳng (P):x-2=0, mp(Q):y-z-1=0. Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua A và vuông góc với 2 mp (P), (Q).
Lời giải:Ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là (1;0;0)
 Ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là (0;1;-1)
Áp dụng công thức ta có , = ( , , ) =(0;1;1)
Khi đó mặt phẳng (R) đi qua A(-1;2;3) có vectơ pháp tuyến =(0;1;1)
Có phương trình là: 0.(x+1) +1.(y-2) +1.(z-3) =0 Û y+z-5=0
4. Cho hai ñieåm A(2; 3; –4) vaø B(4; –1; 0). Vieát pt maët phaúng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng AB.
Lời giải:Ta có =(2;-4;4) Þ Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là =(1;-2;2)
	Gọi I là trung điểm AB Þ I=(3;1;-2)
	Vậy mặt phẳng trung trực của đoạn của đoạn thẳng AB đi qua điểm I có vectơ pháp tuyến có phương trình là: 1.(x-3) - 2(y-1) +z(z+2) = 0 Û x-2y+2z+3=0
5. Cho DABC, vôùi A(–1; 2; 3), B(2; –4; 3) vaø C(4; 5; 6). Vieát phöông trình mp(ABC).
Lời giải:Ta có: Þ , =(-18;-9;39)
	Vậy mặt phẳng (ABC) đi qua điểm A(-1;2;3) có vectơ pháp tuyến =(6;3;-13)
	Þ Phương trình mặt phẳng (ABC): 6(x+1) +3(y-2) -13(z-3) =0 Û 6x+3y-13z+39=0.
BÀI TẬP:
Baøi 1: Xaùc ñònh m ñeå hai maët phaúng: Song song vôùi nhau? Truøng nhau? Caét nhau?
	a/ (P): 2x –my + 3z –6 + m = 0; (Q): (m+3)x –2y + (5m +1)z–10 = 0
	b/ (P): (1– m)x + (m + 2)y + mz + 1 = 0; 
	(Q): 4mx – (7m + 3)y –3(m + 1)z + 2m = 0
Bài 2:Laäp phöông trình toång quaùt cuûa mp(a) ñi qua 3 ñiểm A(2; –5; 1), B(3; 4; –2) C(0; 0; –1).
Bài 3: Cho ñieåm M(2; –1; 3) vaø mp(a) coù p.trình 2x –y + 3z –1 = 0.
	Laäp pt toång quaùt cuûa mp(b) ñi qua M vaø song song vôùi mp(a).
Baøi 4: Haõy laäp pt mp(a) ñi qua 2 ñieåm M(7; 2; –3), N(5; 6; –4) vaø song song vôi truïc Oz.
Baøi 5: Laäp pt mp(a) ñi qua ñieåm M(2; –1; 2) vaø vuoâng goùc vôùi caùc mp: 2x – z + 1 = 0 vaø y = 0.
Baøi 6: Laäp pt mp(a) ñi qua goác toïa ñoä vaø vuoâng goùc vôùi caùc mp: 2x – y + 3z – 1 = 0 vaø x + 2y + z = 0.
Baøi 7: Laäp pt mp(a) ñi qua hai ñieåm A(1; –1; –2) B(3; 1; 1) vaø vuoâng goùc vôùi mp x – 2y + 3z – 5 = 0.
Baøi 8: Cho A(2; 3; 4). Haõy vieát p.trình mp(P) ñi qua caùc hình chieáu cuûa A treân caùc truïc toïa ñoä, vaø p.trình mp(Q) ñi qua caùc hình chieáu cuûa A treân caùc maët phaúng toïa ñoä.
Baøi 9: Cho 3 maët phaúng (P): 2x – y + z + 1 = 0; (Q): x + 3y –z + 2 = 0 vaø (R): –2x + 2y+ 3z + 3 = 0.
	a/ Chöùng minh (P) caét (Q).
	b/ Vieát p.trình mp(S) qua giao tuyeán cuûa hai mp(P), (Q) vaø qua ñieåm M(1; 2; 1).
	c/ Vieát p.trình mp(T) qua giao tuyeán cuûa hai mp(P), (Q) vaø song song vôùi mp(R).
	d/ Vieát p.trình mp(U) qua giao tuyeán cuûa hai mp(P), (Q) vaø vuoâng goùc vôùi mp(R).
Baøi 10: Vieát phöông trình maët phaúng trong moãi tröôøng hôïp sau:
a/ Ñi qua M(2; 1; –1) vaø qua giao tuyeán cuûa hai maët phaúng coù phöông trình: x – y + z – 4 = 0 ; 3x – y + z – 1 = 0.
b/ Qua giao tuyeán cuûa hai m.phaúng: y + 2z – 4 = 0; x + y – z – 3 = 0 ñoàng thôøi song song vôùi mp: x + y + z = 0.
c/ Qua giao tuyeán cuûa hai m.phaúng: 3y – y + z –2 = 0; x + 4y –5 = 0 ñoàng thôøi vuoâng goùc vôùi mp: 2x – z + 7 = 0.
Bài 11: Lập pt mp(α) chứa đường thẳng (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S) có pt
	x2+y2+z2+2x-6y+4z-15=0