Ôn tập môn Toán lớp 10 - Đường thẳng trong không gian

Đường thẳng trong không gian
A) Tóm tắt lý thuyết.
1. Phương trình tham số của đường thẳng (d) là:
	x = x0 + a1t
	(d)	y = y0 + a2t	t ẻ R
	z = z0 + a3t
	Với M (x0; y0; z0) là 1 điểm (d) đi qua
	= (a1; a2; a3) là véc tơ chỉ phương.
2. Phương trình dạng chính tắc của (d) là:
	(Với a1; a2; a3) đều khác 0)
3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng.
	Cho (d1) có phương trình 	x = x1 + a1t1
	(d1) có VTCP = (a1; a2; a3) 	y = y1 + a2t1
	(d1) đi qua M1 = (x1; y1; z1) 	z = z1 + a3t1
	Cho (d2) có phương trình 	x = x2 + b1t2
	(d2) có VTCP = (b1; b2; b3) 	y = y2 + b2t2
	(d2) đi qua M1 = (x2; y2; z2) 	z = z2 + b3t2
	Ta có 4 trường hợp sau:
	a) (d1) song song với (d2) k ẻ R
	b) (d1) trùng với (d2) 
	c) (d1) cắt (d2) khi hệ sau có đúng 1 nghiệm (t1; t2)
	x1+ a1t1 = x2 + b1t2
	y1+ a1t1 = y2 + b2t2 (I)
	z1+ a3t1 = z2 + b3t2
 d) (d1) , (d2) chéo nhau khi và chỉ khi hệ (I) vô nghiệm và 
4. Vị trí tương đối của đường và mặt
	Cho mặt phẳng (a): Ax + By + Cz + D = 0
	Và đường thẳng (d) có phương trình	
	x = x0 + ta1
	y = y0 + ta2	
	z = z0 + ta3
	Xét phương trình ẩn t
	A(x0 + ta1) + B (y0 + ta2) + C(z0 + ta3) + D = 0 	(1)
	Ta có 3 trường hợp:
	a) Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì (d) và (a) không có điểm chung => (d) // (a).
	b) Nếu phương trình (1) có 1 nghiệm t = t0 thì (d) cắt (a) tại điểm M0(x0+t0a1); y0 + t0a2; z+t0a3).
	c) Nếu phương trình (1) có vô số nghiệm thì (d) thuộc (a).
B) Các dạng bài tập
I) Viết phương trình đường thẳng.
	Dạng 1: Đi qua 1 điểm và véc tơ chỉ phương cho trước
	Cách giải: 	- Xác định véc tơ chỉ phương 
	- Chọn 1 điểm đi qua 
	- áp dụng công thức
	Dạng 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) là giao của hai mặt phẳng (a) và (b).
	Cách giải: Xem ví dụ.
	Bài tập: Cho (a): 	x + y + 2z = 0
	(b): 	x - y + z + 1 = 0
	Do M thuộc giao tuyến của (a) và (b)
	=> Toạ độ M thoả mãn hệ sau:
	x + y + 2z = 0	(I)
	x - y + z + 1 = 0
	Chọn z = t	=> 	x + y = -2t
	x - y = 1 - t
	=>	x = 
	y =
	=> Phương trình tham số của (d) là:	
	x = 
	y =
	z = t
	Cách 2: Tìm 2 điểm thuộc hệ (I).
	Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A và cắt hai đường thẳng (d1) và (d2) cho trước.
	Cách giải:	d là giao của (a1) và (a2)	
	với (a1) đi qua A và chứa (d1)
	 	 (a2) đi qua A và chứa (d2)
(Nếu véc tơ chỉ phương của d cùng phương với VTCP của d1
(hoặc d2 ) thì d không thoả mãn yêu cầu bài toán)	
Dạng 4: Đường thẳng (d) đi qua 1 điểm A và vuông góc với hai đường thẳng d1, d2 cho trước(, không cùng phương)
Cách giải: 	(d1) có VTCP 
	(d2) có VTCP 
	=> (d) có VTCP 
	Mà (d) qua A
áp dụng công thức để viết phương trình
	Dạng 5: Đường thẳng (d) đi qua A, vuông góc với (d1) và cắt (d2)( .ạ0)
	Cách giải: - Viết PT (a) đi qua A và vuông góc với d1
Xác định giao điểm B= (a)ầd2 
Đường thẳng d đi qua A và B. 
II) Vị trí tương đối của 2 đường thẳng.
	A) Xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.
	- Xác định VTCP và 	
	- Nếu = kthay M1 vào d2 nếu thoả mãn => d1 º d2. 
	- Nếu M1 ẽ d2 => d1 // d2
	- Nếu ạ kGiải hệ (I) nếu có 1 nghiệm thì d1 cắt d2. Nếu hệ (I) vô nghiệm thì d1 chéo d2.
	B) Hai đường thẳng chéo nhau và bài tập liên quan.
	Bài toán: Viết phương trình đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau và tính khoảng cách giữa hai đường đó.
	Cách giải: 	d1 có VTCP 
	d2 có VTCP 
	+ Lấy M1 thuộc d1, M2 thuộc d2 (có chứa tham số)
	+ Giải hệ:	M1M2 . = 0	
	M1M2 . = 0	=> t1, t2
	=> M1 ; M2
- Đường thẳng đi qua M1M2 là đường vuông góc chung
- Độ dài đoạn M1M2 là khoảng cách giữa hai đường chéo nhau.
III) Hình chiếu vuông góc.
	Dạng 1: Hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (P)
	Cách giải: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với (P)
	(d) cắt (P) tại điểm H => H là điểm cần tìm
	Dạng 2: Hình chiếu vuông góc (d1) của đường (d) nên mặt (P)
	Cách giải:
	- Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa (d) và (Q)^(P)
	- (d1) là giao của (Q) và (P)
	Dạng 3: Hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng (d).
	Cách giải: 
	- Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và (P) vuông góc với (d).
	- Xác định giao điểm H của (P) và (d) => H là điểm cần tìm.
IV) Khoảng cách.
	Dạng 1: Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng.
	Cách giải: áp dụng công thức.
	Dạng 2: Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song 
	Cách giải: Bằng khoảng cách từ 1 điểm bất kỳ của mặt này đến mặt kia.
	Dạng 3: Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d).
	Cách giải:
	- Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A và (P) ^ (d)
	- Tìm giao điểm H của (P) và (d)
	=> Khoảng cách từ A đến đường thẳng (d) là đoạn AH.
	Dạng 4: Khoảng cách từ đường thẳng (d) đến mặt phẳng (P) với (d)//(P)
	Cách giải: 	- Lấy M0 ẻd
	- Tính khoảng cách h từ M0 đến (P)
	=> h là khoảng cách cần tìm.
	Dạng 5: Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau d1 và d2
	Cách giải: 
	- Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d2) và (P) song song với d1
	- Lấy M1 thuộc (d1)
	- Tìm khoảng cách từ M1 đến (P)
C) Các bài tập luyện tập:
	Bài tập 1: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua 2 điểm.
	A(1; 0; -1) và B(2;-1; 3)
	Bài tập 2: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M0 (2;1;3) và có véc tơ chỉ phương 
	Bài tập 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua A(-2;1;0) và vuông góc với mặt phẳng x + 2y - 2z = 0
	Bài tập 4: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A (4;3;1) và song song với đường thẳng 	x = 1 + 2t
	y = -3t
	z = 3 + 2t
	Bài tập 5: Viết phương trình tham số của (d) biết (d) là giao của 2 mặt phẳng (P) và (Q). Với (P):	x - 2z - 3 = 0
	y + 2z + 2 = 0
	Bài tập 6: Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1;2;3) và cắt cả hai đường thẳng.
	(d1): 	
	(d2): 	x = 1 + t
	y = 0 - t
	z = 1 - t
	Bài tập 7: Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc O và cắt hai đường thẳng
	x = 2t + 1	x = 2 + u
	d1	y = 2 + t	 (d2)	y = -3 + 2u
	z = -3 + 3t	z = 1 + 3u
	Bài tập 8: 
	1) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A (1;2;3) vuông góc với hai đường thẳng (d1), (d2)
	Với (d1)	x = -1 +3t	(d2)	x = 2t
	y = -3 - 2t	y = -4 + 3t
	z = 2 - t	z = 12 - 5t
	2) Viết phương trình đường thẳng (d) qua A(1;1;-2) song song với (P) và vuông góc với (d).
	Biết (d):	
	(P):	x - y - z - 1 = 0
	Bài tập 9: Viết phương trình đường thẳng đi qua A(0; 1; 1) và vuông góc với (d1) và cắt (d2) biết
	(d1):	(d2)	
	Bài tập 10: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A (3; -2; -4) và song song với mặt phẳng (P): 3x - 2y - 3z - 7 = 0 và cắt đường thẳng (d1) biết (d1) có phương trình.
	Bài tập 11: Xét VTTĐ của 2 đường thẳng sau.
	a) (d1)	x = -3 + 2t	 (d2)	x = t’
	y = -2 + 3t	y = 19 - 4t’
	z = 6 + 4t	z = 15 + t’
	b) (d1)	x = 1 + 2t	 (d2)	x = 2 + u
	y = 2 + t	y = -3 + 2u
	z = -3 + 3t	z = 1 + 3u
	c) (d1)	x = t	x = t2
	y = -1 - 2t	y = 1 + 2t2
	z = - t	z = 5t’ + 4
	Bài tập 12: Cho d1, d2 có phương trình.
	(d1)	x = 5 + 2t1	(d2)	x = 3 + 2t2
	y = 1 - t1	y = -3 - t2
	z = 5 - t1	z = 1 - t2
	a) Chứng minh rằng (d1) // (d2)
	b) Viết phương trình đường thẳng d song song, cách đều (d1); (d2) và thuộc mặt phẳng chứa (d1), (d2).
	Bài tập 13: Cho (d1), (d2) có phương trình.
	(d1)	x = 1 - t1	(d2)	x = 2t2
	y = t1	y = 1 + t2
	z = -1	z = t2
	a) Chứng minh rằng (d1) và (d2) chéo nhau.
	b) Viết phương trình mặt phẳng (P) song song, cách đều (d1), (d2)
	Gợi ý câu b: Viết đường vuông góc chung của d1, d2.
	Tìm I là trung điểm của đoạn vuông góc chung đó.
	(P) đi qua I
	(P) có 
	Bài tập 14: Cho (d1), (d2) có phương trình.
 	(d1): 	
	(d2): 	x = -1 + t
	y = - t
	z = -2 + 3t
	a) Chứng minh rằng (d1), (d2) cắt nhau tại I.
	b) Viết phương trình đường phân giác của (d1), (d2) sao cho IA = IB. Xác định M là trung điểm đoạn AB. Viết đường phân giácD1 đi qua I và M. Viết đường phân giác D2
	Bài tập 15: Cho (d1), (d2) có phương trình cho bởi.
	x = -7 + 3t1	x = 1 + t2
	d1	y = 4 - 2t1	d2	y = -9 + 2t2
	z = 4 + 3t1	z = -12 - t2
	a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1), (d2) chéo nhau.
	b) Viết phương trình đường vuông góc chung của 2 đường
	c) Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2)
	Bài tập 16: Cho (d1), (d2) có phương trình.
	x = 1 - t1	x = 2 t2
	d1	y = t1	d2	y = 1 + t2
	z = - 1	z = t2
	a) Chứng minh rằng (d1) chéo (d2) 
	b) Viết mặt phẳng (P), (Q) song song với nhau và lần lượt chứa (d1), (d2)
	Bài tập 17: Cho d1, d2 có phương trình.
	x = 2 + 2t1	x = 1
	d1	y = -1 + t1	d2	y = 1 + t2
	z = - 1	z = 3 - t2
	a) Chứng minh rằng (d1) (d2) chéo nhau
	b) Viết mặt phẳng (P) chứa (d1) và // (d2)
	c) Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2)
	Bài tập 18: Xét VTTĐ của (d) và (P) biết:
a) 	x = 1 + t	(P) x - y + z + 3 = 0
	(d)	y = 3 - t
	z = 2 + t	
b) 	(d)	x = 12 + 4t	(P) y + 4z + 17 = 0
	y = 9 + t
	z = 1 + t
c) 	(d)	x = t	(P) x + y - 2 = 0
	y = 1
	z = 2 - t
	Bài tập 19: Cho (P) và đường thẳng (d) biết (P): 2x + y + z = 0 và (d):
	a) Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và (P)
	b) Lập (d1) qua A, (d1) vuông góc với (d) và (d1) mằm trong (P).
	Bài tập 20: Cho (P): 	2x - y + 2 = 0
	(dm) là giao của 2 mặt phẳng.
	(xm): (2m + 1)x + (1 - m)y + m - 1 = 0
	(bm): mx + (2m + 1)z + 4m + 2 = 0
	Xác định m để (dm) // (P)
	Bài tập 21: Hãy viết phương trình hình chiếu vuông góc (d1) của đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P) trong các TH (d) và (P) có phương trình như sau:
	a) 	x = 3 + t	(P): x + y + z - 3 = 0
	(d)	y = 
	z = t
	b) 	(d): 	(P): x - y + 3z + 8 = 0
	c) (P): 2x - z + 7 = 0
 (d) là giao tuyến của 2 mặt phẳng (a1): 3x - y + z - 2 = 0 và (a2): x+4y-5 =0
	Bài tập 22: Cho A = (1,2,3) xác định hình chiếu vuông góc của A lên 3 trục ox, oy, oz.
	Bài tập 23: Cho A = (1, 2, -1) và đường thẳng (d) có phương trình:
	x = 2t + 1
	y = 2 + t
	z = -3 + 3t
	Xác định toạ độ hình chiếu của A lên (d) từ đó tìm toạ độ điểm A’ đối xứng qua d.
	Bài tập 24: Cho A(2,1,-3) và đường thẳng (d) có phương trình:
	Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc của A lên (d), từ đó tìm A’, đối xứng với A qua d.
	Bài tập 25: Lập phương trình đường thẳng qua A (3, 2, 1) và vuông góc với đường thẳng (d) 	và cắt với đường thẳng đó.
	Bài tập 26: Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng (d) trong các trường hợp sau:
	a) A = (1, 2, 3)	b) A = (1, 2, -1)
	x = 9 + 4t	x = 1 + 2t
	y = -1 + t	y = 2 + t
	z = t	z = -3 + 3t
	Bài tập 27: Cho (a): 3x - 2y - z + 5 = 0
	(D): 	
	a) Chứng minh rằng: (D) // (a)
	b) Tính khoảng cách từ (D) đến (a).
	Bài tập28: Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng (d1) và (d2) biết:
	(d1): 	x = 1 + 2t	(d1): 	
	y = -1 - t
	z = 1
	Bài tập 29: Cho (d1): 	
	 (d2): 	
	a) Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau
	b) Viết phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2
	c) Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2).