Các bài toán liên quan đến tính chất liên tục của hàm số, đạo hàm của hàm số i. các kiến thức cơ bản ĐN: Hàm số f xác định trên khoảng (a; b) được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu - Hàm số f xác định trên khoảng (a; b) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó. - Hàm số f xác định trên đoạn [a; b] được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b), và * Định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục. Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu f(a) ≠ f(b) và M là 1 số nằm giữa f(a) và f(b) thì ít nhất 1 số c sao cho f(c) = M. * Định nghĩa Đạo hàm tại một điểm * ý hình học của đạo hàm Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x1 là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm M0(x0 ; f(x)). *Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại tiếp điểm M0(x0 ; f(x0)) là : y = f’(x)(x - x0) + f(x0) * Định nghĩa đạo hàm cấp n F(x)(x) = [F(n - 1) )(x)]’ (nN , n2) *Định nghĩa vi phân df(x) = f’(x)dx * ứng dụng cơ bản của vi phân vào tích phân gần đúng. F(x0 + x) f(x0) + f’(x0) x ii. các bài toán điển hình Xét tính liên tục của hàm số tại 1 điểm, trên 1 khoảng, 1 đoạn. Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số sau tại 1 điểm cho trước. với x-2 với x = -2 a) f(x) = tại điểm x = -2 với x -2 với x > -2 b) f(x) = tại điểm x = -2 Lời giải: Ta có hàm số đã cho bên trục tại x = -2 Ta có Hàm số đã cho liên tục tại x = -2 Bài 2: Tìm số thực a sao cho hàm số với x <1 với x 1 f(x) = liên tục trên R Lời giải: * Với x <1 f(x) = x2 f(x) liên tục tại mọi x <1 * Với x >1 f(x) = zax -3 f(x) liên tục tại mọi x >1 để hàm số đã cho liên tục trên R hàm số đó liên tục tại x =1 Ta có: f (1) = 2a - 3 Để hàm số liên tục tại x = 1 2a - 3 = 1 a = 2 Kết luận: Với a = 2 hàm số đã cho liên tục trên R 2) Chứng minh phương trình có nghiệm trên 1 khoảng Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c phương trình f(x) = x3 + 2x2 + bx +c = 0 có ít nhất 1 nghiệm. Lời giải: Ta có: đủ lớn để f(x2) > 0 để f(x1) < 0 Hàm số y = f(x) liên tục trên [x1; x2] và f(x1) f(x2) < 0 Phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm trên (x1; x2) Phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm Bài 2: Chứng minh rằng phương trình x3 - 10000x2 - Có ít nhất một nghiệm dương. Lời giải: Ta xét hàm số: f(x) = x3 - 10000x2- liên tục trên Ta có: f(0) = - < 0 đủ lớn để f(a) > 0 Hàm số y = f(x) liên tục trên [0; a] và f(0) f(a) < 0 Phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm. Trên (0; a) Phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm dương. 3. Tính đạo hàm của 1 hàm số Bài 1 Tính đạo hàm của hàm số y = sin(cos2x)cos(sin2x) y = (x2 + 1)x+1 Lời giải: a) Ta có: Sin(cos2x).cos(sin2x) = = b) Ta có: lny = (x + 1)ln(x2 + 1) vì y > 0 Lấy đạo hàm hai vế ta có: Bài 2 Tính đạo hàm cấp n của hàm số: y = Lời giải Ta có: Ta sẽ chứng minh: Thật vậy: - (*) đúng với n = 1 - Giả sử (*) đúng với n = k, k (*) đúng với n = k + 1 (*) đúng với Kết luận: Với y(n) (x) 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: Bài 1: Cho hàm số y = x2 Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số. a) Tại điểm (-2; 4) b) Tại giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng y = 3x - 2 Lời giải a) Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm (-2; 4) là: y’(-2) = 2(-2) = - 4 vì y’= 2x b) Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng y = 3x - 2 là nghiệm của phương trình x2 = 3x - 2 x2 - 3x + 2 = 0 Vậy có 2 giao điểm là: A(1; 1) và B(2; 4) Hệ số góc của tiếp tuyến tại A(1; 1) là: y’(1) = 2.1 = 2 Hệ số góc của tiếp tuyến tại B(2; 4) là: y’(2) = 2.2 = 4 Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị Hàm số: y = x2 song song với đường thẳng 2x + y + 3 = 0 Lời giải Ta có: 2x + y + 3 = 0 y = - 2x - 3 Tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = - 2x - 1 có hệ số góc bằng - 2 y’(x) = - 2 2x = -2 x = -1 tiếp điểm A(-1; 1) Phương trình tiếp tuyến là : y = - 2(x+1) + 1 y = -2x - 1 2x + y + 1 = 0 III. Những sai lầm thường gặp a) Sai lầm khi xét tính liên tục của hàm số tại 1 điểm Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số nếu x 0 nếu x = 0 f(x) = tại điểm x = 0 *Sai lầm thường gặp do: vì và f(0)=0 Nên hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 0 * Nguyên nhân sai lầm: lời giải trên không đúng do không xét giới hạn trái và giới hạn phải tại x = 0 * Lời giải đúng: (1) (2) Ta có: vì x 0+ vì Từ (1) và (2) không nên f(x) không liên tục tại x = 0 Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số: nếu x 0 nếu x = 0 f(x)0 = tại điểm x = 0 * Sai lầm thường gặp: * Nguyên nhân sai lầm: Tính sai b) Sai lầm trong các bài toán đạo hàm Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số nếu x 0 nếu x = 0 f(x)0 = tại điểm x = 0 * Sai lầm thường gặp: ta có f(0) = 0 nếu f’(0) = [f(0)]’ = (0)’ = 0 * Lời giải đúng. vì * Nguyên nhân: Sai lầm khi cho sinx = 1 khi * Lời giải đúng: Ta có: Chọn x = Chọn Từ (1) và (2) à à không đạo hàm của hàm số tại x = 0 5. Một số đề bài Bài 1 . Xét tính liên tục của f(x) tại x = 2 Bài 2: Tìm a để hàm số f(x) liên tục tại x = 0 f(x) = Bài 3. Cho hàm số CMR hàm số liên tục tại x = - 3 Nhưng không có đạo hàm tại x = - 3 Bài 4: Cho 2a + 3b + 6c = 0 CMR có ít nhất 1 nghiệm Bài 5. Cho các số thuộc a0, a1,a2002 thoả mãn: CMR phương trình: a0 + a1x + a2x2 + + a2002 x2002 = 0 Có nghiệm trên [0; 1]. Bài 6: CMR phương trình acosx + bsin2x + ccos3x = x với x với x > 2 có nghiệm trên đoạn: với Bài 7: Tìm số thực a sao cho hàm số f(x) = liên tục trên . Bài 8: Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = sinx Bài 9: Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = Bài 10. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 - 5x + 2 biết tiếp tuyến đó: Song song với đường thẳng y = - 3x + 1 Vuông góc với đường thẳng y = Đi qua A(0; 2)
Tài liệu đính kèm: