Ôn tập môn Toán lớp 10 - Bài 1 : Hai quy tắc đếm

Bài 1 : Hai quy tắc đếm
1. QUY TẮC CỘNG:
Ví du: Cĩ 8 quyển sách khác nhau và 6 quyển vở khác nhau. Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn một trong các quyển đĩ.
Quy tắc cộng cho trường hợp hai đối tượng : (Áp dụng khi ta phân chia trường hợp để đếm)
 Nếu cĩ m cách chọn đối tượng x
 n cách chọn đối tượng y 
 và nếu cách chọn x khơng trùng với bất kỳ cách chọn y nào 
 thì cĩ (m+n) cách chọn.
Tổng quát: 
	Nếu cĩ m1 cách chọn đối tượng x1
	 m2 cách chọn đối tượng x2
	 .........................................
	mn cách chọn đối tượng xn
 và nếu cách chọn đối tượng xi khơng trùng với cách chọn đối tượng xj nào (ij ; i,j=1,2,...,n)
 thì cĩ (m1+m2+...mn) cách chọn một trong các đối tượng đã cho.
2. QUY TẮC NHÂN: (Áp dụng khi ta phân tích việc thực hiện một phép chọn ra thành nhiều bước liên 
 tiếp )
 Ví dụ: An muốn rủ Bình đến chơi nhà Cường. Từ nhà An đến nhà Bình cĩ 3 con đường. Từ nhà Bình 
 đến nhà Cường cĩ 4 con đường đi. Hỏi An cĩ bao nhiêu cách đi đến nhà Cường 
Quy tắc nhân:
 Nếu một phép chọn được thực hiện qua n bước liên tiếp:
 bước 1 cĩ m1 cách chọn 
 bước 2 cĩ m2 cách chọn 
	 -----------------------------
 bước n cĩ mn cách chọn 
 thì cĩ (m1.m2...mn) cách chọn.
Ví dụ: Người ta cĩ thể ghi nhãn cho những chiếc ghế trong một giảng đường bằng một chữ cái và một số 
 nguyên dương khơng vược quá 100. Bằng cách như vậy, nhiều nhất cĩ bao nhiêu chiếc ghế cĩ thể 
 được ghi nhãn khác nhau. 
 3. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Từ thành phố A đến thành phố B cĩ 3 con đường, từ thành phố A đến thành phố C cĩ 2 con đường, từ thành phố B đến thành phố D cĩ 2 con đường, từ thành phố C đến thành phố D cĩ 3 con đường. Khơng cĩ con đường nào nối thành phố B với thành phố C. 	Hỏi cĩ tất cả bao nhiêu đường đi từ thành phố A đến thành phố D?
	ĐS:	 cĩ 12 cách.
Cĩ bao nhiêu số tự nhiên khác nhau nhỏ hơn 2.108, chia hết cho 3, cĩ thể được viết bởi các chữ số 0, 1, 2?
	ĐS: Cĩ 	2.37 – 1 = 4374 – 1 = 4373 (số)
Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thoả:
	a) gồm 6 chữ số.
	b) gồm 6 chữ số khác nhau.
	c) gồm 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 2.
	ĐS:	a) 66	b) 6!	c) 3.5! = 360
Cĩ 25 đội bĩng đá tham gia tranh cúp. Cứ 2 đội phải đấu với nhau 2 trận (đi và về). Hỏi cĩ bao nhiêu trận đấu?
	ĐS:	cĩ 25.24 = 600 trận
Cĩ bao nhiêu số palindrom gồm 5 chữ số (số palindrom là số mà nếu ta viết các chữ số theo thứ tự ngược lại thì giá trị của nĩ khơng thay đổi).
	ĐS: Số cần tìm cĩ dạng:	Þ cĩ 9.10.10 = 900 (số)
a/ Một bĩ hoa gồm cĩ: 5 bơng hồng trắng, 6 bơng hồng đỏ và 7 bơng hồng vàng. Hỏi cĩ mấy cách chọn lấy 1 bơng hoa?
	b/ Từ các chữ số 1, 2, 3 cĩ thể lập được bao nhiêu số khác nhau cĩ những chữ số khác nhau?
	ĐS: a/ 18. 	b/ 15.
a/ Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên cĩ 5 chữ số?
	b/ Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn cĩ 3 chữ số?
	c/ Cĩ bao nhiêu số tự nhiên cĩ hai chữ số mà cả hai chữ số đều là số chẵn?
	d/ Cĩ bao nhiêu số tự nhiên cĩ 5 chữ số, trong đĩ các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau?
	e/ Cĩ bao nhiêu số tự nhiên cĩ 6 chữ số và chia hết cho 5?
	ĐS: a/ 3125. 	b/ 168. c/ 20 d/ 900. e/ 180000.
Một đội văn nghệ chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài hát. Tại hội diễn, mỗi đội chỉ được trình diễn 1 vở kịch, 1 điệu múa và 1 bài hát. Hỏi đội văn nghệ trên cĩ bao nhiêu cách chọn chương trình biểu diễn, biết rằng chất lượng các vở kịch, điệu múa, các bài hát là như nhau?
	ĐS: 36.
Một người cĩ 7 cái áo trong đĩ cĩ 3 áo trắng và 5 cái cà vạt trong đĩ cĩ hai cà vạt màu vàng. Hỏi người đĩ cĩ bao nhiêu cách chọn áo – cà vạt nếu:
	a/ Chọn áo nào cũng được và cà vạt nào cũng được?
	b/ Đã chọn áo trắng thì khơng chọn cà vạt màu vàng?
	ĐS: a/ 35. 	b/ 29.
Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5}. Cĩ bao nhiêu cặp sắp thứ tự (x, y) biết rằng:
	a/ 	b/ 	c/ .
	ĐS: 	a/ 25. 	b/ 20.	c/ 5 cặp.
Cho tập hợp A = {1, 2, 3,  , n} trong đĩ n là số nguyên dương lớn hơn 1. Cĩ bao nhiêu cặp sắp thứ tự (x, y), biết rằng: .
	ĐS: 
Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số:
	a/ Gồm 2 chữ số?	b/ Gồm 2 chữ số khác nhau?	c/ Số lẻ gồm 2 chữ số?
	d/ Số chẵn gồm 2 chữ số khác nhau?	e/ Gồm 5 chữ số viết khơng lặp lại?
	f/ Gồm 5 chữ số viết khơng lặp lại chia hết cho 5?
	ĐS: a/ 25. 	 b/ 20.	c/ 15	d/ 8.	e/ 120.	f/ 24.
Từ 6 số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số cĩ 3 chữ số:
	a/ Khác nhau?
	b/ Khác nhau, trong đĩ cĩ bao nhiêu số lớn hơn 300?
	c/ Khác nhau, trong đĩ cĩ bao nhiêu số chia hết cho 5?
	d/ Khác nhau, trong đĩ cĩ bao nhiêu số chẵn?
	e/ Khác nhau, trong đĩ cĩ bao nhiêu số lẻ?
	ĐS: a/ 100. b/ 60.	c/ 36	d/ 52.	e/ 48.
a/ Từ các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 cĩ thể lập được bao nhiêu số lẻ cĩ 3 chữ số khác nhau nhỏ hơn 400?
	b/ Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số cĩ 3 chữ số khác nhau nằm trong khoảng (300 , 500).
	ĐS: a/ 35. 	b/ 24. 
Một trường phổ thơng cĩ 12 học sinh chuyên tin và 18 học sinh chuyên tốn. Thành lập một đồn gồm hai người sao cho cĩ một học sinh chuyên tốn và một học sinh chuyên tin. Hỏi cĩ bao nhiêu cách lập một đồn như trên?
Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp 3 người đàn ơng và 2 người đàn bà ngồi trên một chiếc ghế dài sao cho 2 người cùng phái phải ngồi gần nhau.
Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp 8 viên bi đỏ và 8 viên bi đen xếp thành một dãy sao cho hai viên bi cùng màu khơng được ở gần nhau.
Bài 2 : Hốn vị, chỉnh hợp
I. HỐN VỊ
1. Giai thừa:
	n! = 1.2.3n	Qui ước: 0! = 1
	n! = (n–1)!n
	= (p+1).(p+2)n	(với n>p)
	= (n–p+1).(n–p+2)n	(với n>p)
2. Hốn vị (khơng lặp):
	Một tập hợp gồm n phần tử (n ³ 1). Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào đĩ được gọi là một hốn vị của n phần tử.
	Số các hốn vị của n phần tử là:	Pn = n!
3. Hốn vị lặp:
	Cho k phần tử khác nhau: a1, a2, , ak. Một cách sắp xếp n phần tử trong đĩ gồm n1 phần tử a1, n2 phần tử a2, , nk phần tử ak (n1+n2+ + nk = n) theo một thứ tự nào đĩ được gọi là một hốn vị lặp cấp n và kiểu (n1, n2, , nk) của k phần tử.
	Số các hốn vị lặp cấp n, kiểu (n1, n2, , nk) của k phần tử là:
Pn(n1, n2, , nk) = 
4. Hốn vị vịng quanh:
	Cho tập A gồm n phần tử. Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành một dãy kín được gọi là một hốn vị vịng quanh của n phần tử.
	Số các hốn vị vịng quanh của n phần tử là:	Qn = (n – 1)!
Rút gọn các biểu thức sau:
	A = 	(với m ³ 5)
	B = 	C = 
	ĐS:	A = – 4(m–1)m;	B = ;	C = 20
Chứng minh rằng:	
a) Pn – Pn–1 = (n–1)Pn–1	b) 
c) 	d) 
Giải phương trình:	
	ĐS:	x = 2; x = 3
Giải bất phương trình:	(1)
	ĐS:	(1) Û 	Þ n = 4, n = 5, n = 6
Giải các phương trình:
	a) P2.x2 – P3.x = 8	b) 
	ĐS:	a) x = –1; x = 4	b) x = 2; x = 3
Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi trong các số đĩ cĩ bao nhiêu số:
	a) Bắt đầu bằng chữ số 5?	b) Khơng bắt đầu bằng chữ số 1?
	c) Bắt đầu bằng 23?	d) Khơng bắt đầu bằng 345?
	ĐS:	a) 4!	b) 5! – 4!	c) 3!	d) 5! – 2!
Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 3, 5, 7, 9. Hỏi trong các số đĩ cĩ bao nhiêu số:
	a/ Bắt đầu bởi chữ số 9?	b/ Khơng bắt đầu bởi chữ số 1?
	c/ Bắt đầu bởi 19?	d/ Khơng bắt đầu bởi 135?
 	ĐS:	 a/ 24. 	b/ 96. c/ 6 	d/ 118.
Với mỗi hốn vị của các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ta được một số tự nhiên. Tìm tổng tất cả các số tự nhiên cĩ được từ các hốn vị của 7 phần tử trên?
	ĐS: Với mọi i, j Ỵ , số các số mà chữ số j ở hàng thứ i là 6!.
	Þ Tổng tất cả các số là: (6!1++6!7) + (6!1++6!7).10 ++ (6!1++6!7).106
	= 6! (1+2++7).(1+10++106)
Tìm tổng S của tất cả các số tự nhiên, mỗi số được tạo thành bởi hốn vị của 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6.
	ĐS: 279999720.
Trên một kệ sách cĩ 5 quyển sách Tốn, 4 quyển sách Lí, 3 quyển sách Văn. Các quyển sách đều khác nhau. Hỏi cĩ bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách trên:
	a) Một cách tuỳ ý?	b) Theo từng mơn?
	c) Theo từng mơn và sách Tốn nằm ở giữa?
	ĐS:	a) P12	b) 3!(5!4!3!)	c) 2!(5!4!3!)
Cĩ 5 học sinh nam là A1, A2, A3, A4, A5 và 3 học sinh nữ B1, B2, B3 được xếp ngồi xung quanh một bàn trịn. Hỏi cĩ bao nhiêu cách sắp xếp nếu:
	a) Một cách tuỳ ý?	b) A1 khơng ngồi cạnh B1?
	c) Các học sinh nữ khơng ngồi cạnh nhau?
	ĐS:	a) Q8 = 7!	b) Q7 = 6!	c) Cĩ 4!5.4.3 cách sắp xếp
Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đĩ chữ số 1 cĩ mặt 3 lần, mỗi chữ số khác cĩ mặt đúng một lần?
	ĐS:	
Cĩ bao nhiêu số tự nhiên cĩ 3 chữ số khác nhau và khác 0 biết rằng tổng của 3 chữ số này bằng 9.
	ĐS: 18.
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số cĩ 6 chữ số khác nhau. Hỏi trong các số đã thiết lập được, cĩ bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 khơng đứng cạnh nhau?
	ĐS: 480.
Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn học sinh A, B, C, D, E ngồi vào một chiếc ghế dài sao cho:
	a/ Bạn C ngồi chính giữa?
	b/ Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế?
	ĐS: a/ 24. 	b/ 12. 
Một hội nghị bàn trịn cĩ phái đồn của các nước: Mỹ 5 người, Nga 5 người, Anh 4 người, Pháp 6 người, Đức 4 người. Hỏi cĩ bao nhiêu cách sắp xếp cho mọi thành viên sao cho người cùng quốc tịch ngồi gần nhau?
	ĐS: 143327232000.
Sắp xếp 10 người vào một dãy ghế. Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:
	a/ Cĩ 5 người trong nhĩm muốn ngồi kề nhau?
	b/ Cĩ 2 người trong nhĩm khơng muốn ngồi kề nhau?
	ĐS: a/ 86400. 	b/ 2903040.
Sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế. Hỏi cĩ bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:
	a/ Nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau?
	b/ Chỉ cĩ nữ ngồi kề nhau?
	ĐS: a/ 34560. 	b/ 120960.
Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp 12 học sinh đứng thành 1 hàng để chụp ảnh lưu niệm, biết rằng trong đĩ phải cĩ 5 em định trước đứng kề nhau?
	ĐS: 4838400.
Cĩ 2 đề kiểm tra tốn để chọn đội học sinh giỏi được phát cho 10 học sinh khối 11 và 10 học sinh khối 12. Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp 20 học sinh trên vào 1 phịng thi cĩ 5 dãy ghế sao cho hai em ngồi cạnh nhau cĩ đề khác nhau, cịn các em ngồi nối đuơi nhau cĩ cùng một đề?
	ĐS: 26336378880000.
Cĩ 3 viên bi đen (khác nhau), 4 viên bi đỏ (khác nhau), 5 viên bi vàng (khác nhau), 6 viên bi xanh (khác nhau). Hỏi cĩ bao nhiêu cách sắp xếp các viên bi trên thành một dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau?
	ĐS: 298598400.
Trên giá sách cĩ 30 tập sách. Cĩ thể sắp xếp theo bao nhiêu cách khác nhau để cĩ:
	a/ Tập 1 và tập 2 đứng cạnh nhau?
	b/ Tập 5 và tập 6 khơng đứng cạnh nhau?
	ĐS: a/ 2.29!. 	b/ 28.29!.
Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đĩ chữ số 1 cĩ mặt đúng 3 lần, chữ số 2 cĩ mặt đúng 2 lần và mỗi chữ số cịn lại cĩ mặt đúng một lần?
	ĐS: 3360.
Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đĩ chữ số 1 cĩ mặt 3 lần, mỗi chữ số khác cĩ mặt đúng 1 lần.
	ĐS: 5880.
Xét những số gồm 9 chữ số, trong đĩ cĩ 5 chữ số 1 và 4 chữ số cịn lại là 2, 3, 4, 5. Hỏi cĩ bao nhiêu số như thế nếu:
	a/ 5 chữ số 1 được xếp kề nhau?
	b/ Các chữ số được xếp tuỳ ý?
	ĐS: a/ 120.	b/ 3024.
II. CHỈNH HỢP
1. Chỉnh hợp (khơng lặp):
	Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A (1 £ k £ n) theo một thứ tự nào đĩđược gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A.
	Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:	
	· Cơng thức trên cũng đúng cho trường hợp k = 0 hoặc k = n.
	· Khi k = n thì = Pn = n!
2. Chỉnh hợp lặp:
	Cho tập A gồm n phần tử. Một dãy gồm k phần tử của A, trong đĩ mỗi phần tử cĩ thể được lặp lại nhiều lần, được sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử của tập A.
	Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử: 	
Rút gọn các biểu thức sau:	
A = 	B = 
C = 	D = 
	ĐS: A = 46;	B = 2750;	C = 1440;	D = 42	
Chứng minh rằng:
	a/ 
	b/ 	c/ 
Giải các phương trình sau:
	a) 	b) = 2(n + 15)	c) 
	ĐS:	a) n = 6	b) n = 3	c) n = 6
Tìm n Ỵ N sao cho:
	a) 	b) 2() = Pn+1	c) 
	ĐS:	a) n = 5	b) n = 4	c) n = 2; 3
Giải các phương trình:
	a/ 	b/ 
	c/	d/ 	
	ĐS: a/ x = 11.	b/ x = 3; 4.	c/ x = 5.	d/ x = 8, 
Giải các bất phương trình:
	a) 	b) 
	ĐS:	a) n = 3; 4; 5	b) 2 £ n £ 36
Tìm các số âm trong dãy số với: 
	ĐS: 
Một cuộc khiêu vũ cĩ 10 nam và 6 nữ. Người ta chọn cĩ thứ tự 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp. Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn?
	ĐS:	Cĩ cách
Trong khơng gian cho 4 điểm A, B, C, D. Từ các điểm trên ta lập các vectơ khác vectơ – khơng. Hỏi cĩ thể cĩ được bao nhiêu vectơ?
	ĐS: = 12 vectơ
Một lớp học chỉ cĩ các bàn đơi (2 chỗ ngồi). Hỏi lớp này cĩ bao nhiêu học sinh, biết rằng chỉ cĩ thể sắp xếp chỗ ngồi cho học sinh của lớp này theo 132 sơ đồ khác nhau? (Số chỗ ngồi vừa đủ số học sinh)
	ĐS:	= 132 Û n = 12
Từ các chữ số 0, 1, 2, , 9, cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số:
	a) Các chữ số khác nhau?
	b) Hai chữ số kề nhau phải khác nhau?
	ĐS:	a) 	b) Cĩ 95 số
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 cĩ thể lập được bao nhiêu:
	a) Số gồm 5 chữ số khác nhau?
	b) Số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau?
	c) Số gồm 5 chữ số khác nhau và phải cĩ mặt chữ số 5?
	ĐS:	a) 6.	b) 
	c) Số gồm 5 chữ số cĩ dạng: 
	· Nếu a = 5 thì cĩ số
	· Nếu a ¹ 5 thì a cĩ 5 cách chọn. Số 5 cĩ thể đặt vào 1 trong các vị trí b, c, d, e Þ cĩ 4 cách chọn vị trí cho số 5. 3 vị trí cịn lại cĩ thể chọn từ 5 chữ số cịn lại Þ cĩ cách chọn.
	Þ Cĩ = 1560 số
Từ các chữ số 0, 1, 2, , 9 cĩ thể lập bao nhiêu biển số xe gồm 3 chữ số (trừ số 000)?
	ĐS:	= 999
Cĩ bao nhiêu số tự nhiên cĩ 6 chữ số với:
	a) Chữ số đầu và chữ số cuối giống nhau?
	b) Chữ số đầu và cuối khác nhau?
	c) Hai chữ số đầu giống nhau và hai chữ số cuối giống nhau?
	ĐS:	a) 9. = 9.104 số	
 	b) Cĩ tất cả: = 9.105 số gồm 6 chữ số Þ Cĩ 9.105 – 9.104 số
	c) Cĩ 9.10.10.10 = 9000 số
Cĩ bao nhiêu số điện thoại cĩ 6 chữ số? Trong đĩ cĩ bao nhiêu số điện thoại cĩ 6 chữ số khác nhau?
	ĐS: 	a) = 106	b) = 15120
Một biển số xe gồm 2 chữ cái đứng trước và 4 chữ số đứng sau. Các chữ cái được lấy từ 26 chữ cái A, B, C, , Z. Các chữ số được lấy từ 10 chữ số 0, 1, 2, , 9. Hỏi:
	a) Cĩ bao nhiêu biển số xe trong đĩ cĩ ít nhất một chữ cái khác chữ cái O và các chữ số đơi một khác nhau?
	b) Cĩ bao nhiêu biển số xe cĩ hai chữ cái khác nhau và cĩ đúng 2 chữ số lẻ giống nhau?
	ĐS:	a) Số cách chọn 2 chữ cái: 26 ´ 26 – 1 = 675 cách
	Số cách chọn 4 chữ số:	= 5040 cách
	Þ Số biển số xe:	675 ´ 5040 = 3.402.000 số
	b) · Chữ cái thứ nhất: cĩ 26 cách chọn
	Chữ cái thứ hai: cĩ 25 cách chọn
	· Các cặp số lẻ giống nhau cĩ thể là: (1;1), (3;3), (5;5), (7;7), (9;9)
	Þ Cĩ 5 cách chọn 1 cặp số lẻ.
	Xếp một cặp số lẻ vào 4 vị trí Þ cĩ cách
	Þ Cĩ 5. cách sắp xếp cặp số lẻ.
	· Cịn lại 2 vị trí là các chữ số chẵn:
	Chữ số chẵn thứ nhất: cĩ 5 cách chọn
	Chữ số chẵn thứ hai: cĩ 5 cách chọn
	Þ Cĩ 26 ´ 25 ´ 5 ´ ´ 5 ´ 5 = 487500 cách 
 a) Cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau mà tổng các chữ số đĩ bằng 18? 
 	b) Hỏi cĩ bao nhiêu số lẻ thoả mãn điều kiện đĩ?
	ĐS:	Chú ý: 	18 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 8
	18 = 0 + 1 + 2 + 3 + 5 + 7
	18 = 0 + 1 + 2 + 4 + 5 + 6
	a) 3 ´ 5 ´ 5!	b) 192 + 384 + 192 = 768 số
Từ 20 học sinh cần chọn ra một ban đại diện lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phĩ và 1 thư ký. Hỏi cĩ mấy cách chọn?
	ĐS: 6840.
Huấn luyện viên một đội bĩng muốn chọn 5 cầu thủ để đá quả luân lưu 11 mét. Cĩ bao nhiêu cách chọn nếu:
	a/ Cả 11 cầu thủ cĩ khả năng như nhau? (kể cả thủ mơn).
	b/ Cĩ 3 cầu thủ bị chấn thương và nhất thiết phải bố trí cầu thủ A đá quả số 1 và cầu thủ B đá quả số 4.
	ĐS: a/ 55440.	b/ 120.
Một người muốn xếp đặt một số pho tượng vào một dãy 6 chỗ trống trên một kệ trang trí. Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp nếu:
	a/ Người đĩ cĩ 6 pho tượng khác nhau?
	b/ Người đĩ cĩ 4 pho tượng khác nhau?
	c/	Người đĩ cĩ 8 pho tượng khác nhau?
	ĐS: a/ 6!.	b/ 360.	c/ 20160.
Với 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số cĩ 5 chữ số khác nhau và thoả:
	a/ Số chẵn.	b/ Bắt đầu bằng số 24.	c/ Bắt đầu bằng số 345.
	d/ Bắt đầu bằng số 1? Từ đĩ suy ra các số khơng bắt đầu bằng số 1?
	ĐS: a/ 312.	b/ 24.	c/ 6.	d/ 120 ; 480.
Cho tập hợp X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Cĩ thể lập được bao nhiêu số n gồm 5 chữ số khác nhau đơi một lấy từ X trong mỗi trường hợp sau:
	a/ n là số chẵn?
	b/ Một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1?
	(ĐHQG TP.HCM, 99, khối D, đợt 2)
	ĐS: a/ 3000.	b/ 2280.
a/ Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 6, 9 cĩ thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3.
	b/ Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 cĩ thể lập được bao nhiêu số khác nhau sao cho trong các chữ số đĩ cĩ mặt số 0 và số 1.
(HVCN Bưu chính Viễn thơng, 1999)
	c/ Từ 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 cĩ thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau trong đĩ nhất thiết phải cĩ mặt chữ số 4.
	ĐS: a/ 18.	b/ 42000.	c/ 13320.
a/ Tính tổng của tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đơi một được tạo thành từ 6 chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8.
	b/ Cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được tạo thành từ 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Tính tổng của các số này.
	ĐS: a/ 37332960.	b/ 96 ; 259980.
a/ Cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 10 (chữ số hàng vạn khác 0).
	(ĐH Đà Nẵng, 2000, khối A, đợt 1)
	b/ Cho 10 chữ số 0, 1, 2, ..., 9. Cĩ bao nhiêu số lẻ cĩ 6 chữ số khác nhau nhỏ hơn 600000 xây dựng từ 10 chữ số đã cho.
(ĐH Y khoa Hà Nội, 1997)
	ĐS: a/ 3024.	b/ 36960.
Bài 3,4 : Các dạng tốn về tổ hợp – Luyện tập tổ hợp 
I. LÝ THUYẾT
1. Tổ hợp (khơng lặp):
	Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k (1 £ k £ n) phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
	Số các tổ hợp chập k của n phần tử:	
	· Qui ước: = 1
	Tính chất: 
2. Tổ hợp lặp:
	Cho tập A = và số tự nhiên k bất kì. Một tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một hợp gồm k phần tử, trong đĩ mỗi phần tử là một trong n phần tử của A.
	Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử:	
3. Phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp:
	· Chỉnh hợp và tổ hợp liên hệ nhau bởi cơng thức:	
	· Chỉnh hợp: cĩ thứ tự. 	Tổ hợp: khơng cĩ thứ tự.
	Þ Những bài tốn mà kết quả phụ thuộc vào vị trí các phần tử –> chỉnh hợp
	Ngược lại, là tổ hợp.
	· Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử (k £ n):
	+ Khơng thứ tự, khơng hồn lại:	
	+ Cĩ thứ tự, khơng hồn lại:	
	+ Cĩ thứ tự, cĩ hồn lại:	
II. CÁC DẠNG TỐN
Dạng 1: Tính giá trị biểu thức tổ hợp
Tính:	A = 	B = 
	ĐS: 	A = – 165,	B = 4
Rút gọn các biểu thức sau:
	S = 	P = 
	Q = 
	ĐS:	S = 	P = (n+1)(n+2) + 1	Q = 
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức tổ hợp
Chứng minh các hệ thức sau:
	a) (k £ p £ n)	b) 
Chứng minh các hệ thức sau:
	a) 	b) (3 £ k £ n)
	ĐS: Sử dụng tính chất:	
Chứng minh các hệ thức sau:
	a) (4 £ k £ n)
	b) 	c) ( 2 < k < n)
Chứng minh các hệ thức sau:
	a) 	b) 
	c) 
	d) 
	ĐS: a) Sử dụng khai triển: (1+x)r.(1+x)q = (1+x)r+q. So sánh hệ số của xp ở 2 vế.
	b) Sử dụng câu a) với p = q = r = n
	c) Sử dụng (x+y)2p và (x–y)2p 
	d) Sử dụng , với r lẻ thì nhân 2 vế với –1.
Dạng 3 : Chứng minh bất đẳng thức tổ hợp
Chứng minh rằng:	 ( n Ỵ N, n ³ 1)
	HD: Biến đổi vế trái:	
	Vậy ta phải chứng minh: 
	Ta cĩ:	
	Cho k lần lượt từ 1, 2, , n. Rồi nhân các BĐT vế theo vế, ta được đpcm.
Chứng minh rằng: 	(với k, n Ỵ N, 0 £ k £ n)
	HD: · Đặt uk = (k = 0;1;;n)
	Ta chứng minh: uk > uk+1 (*)
	Thật vậy, (*) Û Û n + 2nk > 0
	Điều này luơn luơn đúng Þ đpcm.
Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức tổ hợp
a) Chứng minh:	với n = 2m, k £ m. Từ đĩ suy ra là lớn nhất.
	b) Chứng minh: 	với n = 2m + 1, k £ m.
	Từ đĩ suy ra là lớn nhất.
	HD: a) Theo tính chất:	 Þ 
	Với k £ m Þ 2k £ n Þ Þ 
	Vì nên lớn nhất.
	b) Tương tự 
Cho n > 2, p Ỵ [1; n]. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của .
	HD: Vì nên ta chi cần xét 1 £ p £ 
	Ta cĩ: Û > 1 Û p < 
	Vậy 	 nhỏ nhất khi p = 1 hoặc p = n – 1, ứng với = n
	 lớn nhất khi p = (nếu n lẻ) hoặc p = (nếu n chẵn)
Với giá trị nào của p thì lớn nhất.
	HD: Ta cĩ: . Tỉ số này giảm khi p tăng.
	· Û , do đĩ:	p £ 
	· Nếu m chẵn: m = 2k Þ p £ k + 
	Để ta phải cĩ: p £ k + , vì p, k Ỵ N nên chọn p = k
	· Nếu m lẻ: m = 2k + 1 Þ p £ k + 1, ta sẽ cĩ:
	 khi p = k + 1 Þ 
	* Áp dụng bài tốn này ta cĩ thể giải nhiều bài tốn khác. Ví dụ:
	Cĩ 25 học sinh. Muốn lập thành những nhĩm gồm p học sinh. Tìm giá trị của p để được số cách chia nhĩm là lớn nhất? Tìm số cách chia nhĩm đĩ.
	* Vì cĩ 25 học sinh, chọn p em nên số nhĩm cĩ thể lập là .
	Theo trên, ta cĩ m = 25 (lẻ) với k = 12 do đĩ lớn nhất khi p = k + 1 = 13.
	Vậy p = 13, khi đĩ: số nhĩm tối đa cĩ thể lập: = 5200300.
Dạng 5 : Giải phương trình, bất phương trình cĩ chứa tổ hợp
Giải các phương trình sau:
	a) 	b) 	c) 
	ĐS: a) n = 5	b) x = 2	c) x = 10
Giải các phương trình sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 
	ĐS: a) x = 14	b) x = 3	c) x = 10	d) x = 17	e) x = 7
Giải các bất phương trình:
	a) 	b) 	c) 
	ĐS: a) đk: n ³ 3, n2 + n – 42 > 0 Û n ³ 6 
	b) 
 	· Xét với n ³ 4: bpt vơ nghiệm	
 	· Xét n Ỵ {0,1,2,3} ta được các nghiệm là: (0;0), (1;0), (1;1), (2;2), (3,3)
	c) đk: n ³ 5, n2 – 9n – 22 < 0 Þ n = 6; 7; 8; 9; 10
Giải các phương trình và bất phương trình:
	a/ 	b/ 
	c/	d/ 
	e/	f/ .
	g/	h/ 
	ĐS: 	a/ x = 5.	b/ x = 5.	c/ x = 8.	d/ x = 7.	
 	e/ 	f/ 	g/ x = 2.	h/ x = 3, x = 4.
Giải các hệ phương trình:
	a) 	b) 	c) 
	ĐS: a) 	b) 	c) 
Giải các phương trình và hệ bất phương trình:
	a/ 	b/ 	c/ 
	ĐS: 	a/ x = 5, y = 2.	b/ x = 4, y = 8.	c/ 
Tìm số tự nhiên k sao cho lập thành một cấp số cộng.
	ĐS: k = 4; 8.
Dạng 6: Tìm số tổ hợp trong các bài tốn số học
Cho 10 câu hỏi, trong đĩ cĩ 4 câu lý thuyết và 6 bài tập. Người ta cấu tạo thành các đề thi. Biết rằng trong mỗi đề thi phải gồm 3 câu hỏi, trong đĩ nhất thiết phải cĩ ít nhất 1 câu lý thuyết và 1 bài tập. Hỏi cĩ thể tạo ra bao nhiêu đề thi?
	ĐS: 	· Đề gồm 2 câu lý thuyết và 1 bài tập:	
	· Đề gồm 1 câu lý thuyết và 2 bài tập:	
	Vậy cĩ: 36 + 60 = 96 đề thi.
Một lớp học cĩ 40 học sinh, trong đĩ gồm 25 nam và 15 nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn một ban cán sự lớp gồm 4 em. Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn, nếu:
	a) Gồm 4 học sinh tuỳ ý.	b) Cĩ 1 nam và 3 nữ.	c) Cĩ 2 nam và 2 nữ.	
	d) Cĩ ít nhất 1 nam.	e) Cĩ ít nhất 1 nam và 1 nữ.
	ĐS: a) 	b) 	c) 	d) 
	e) 
Cho 5 điểm trong mặt phẳng và khơng cĩ 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi cĩ bao nhiêu vectơ tạo thành từ 5 điểm ấy? Cĩ bao nhiêu đoạn thẳng tạo thành từ 5 điểm ấy?
	ĐS: 20 ; 10.
Cĩ 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn từ đĩ ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì thư đã chọn. Một bì thư chỉ dán 1 tem thư. Hỏi cĩ bao nhiêu cách làm như vậy?
	ĐS: 1200.
Một túi chứa 6 viên bi trắng và 5 viên bi xanh. Lấy ra 4 viên bi từ túi đĩ, cĩ bao nhiêu cách lấy được:
 	a/ 4 viên bi cùng màu? 	b/ 2 viên bi trắng, 2 viên bi xanh?
	ĐS: a/ 20.	b/ 150.
Từ 20 người, chọn ra một đồn đại biểu gồm 1 trưởng đồn, 1 phĩ đồn, 1 thư ký và 3 ủy viên. Hỏi cĩ mấy cách chọn?
	ĐS: 4651200.
Từ 5 bơng hồng vàng, 3 bơng hồng trắng và 4 bơng hồng đỏ (các bơng hoa xem như đơi một khác nhau), người ta muốn chọn ra một bĩ hĩa gồm 7 bơng, hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn bĩ hoa trong đĩ:
 	a/ Cĩ đúng 1 bơng hồng đỏ?
 	b/ Cĩ ít nhất 3 bơng hồng vàng và ít nhất 3 bơng hồng đỏ?
	ĐS: a/ 112	b/ 150.
Từ 8 số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 cĩ thể lập được bao nhiêu số gồm 10 chữ số được chọn từ 8 chữ số trên, trong đĩ chữ số 6 cĩ mặt đúng 3 lần, chữ số khác cĩ mặt đúng 1 lần.
	ĐS: 544320.	(HVCNBCVT, Tp.HCM, 1999)
Từ tập X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} cĩ thể lập được bao nhiêu số:
 	a/ Chẵn gồm 5 chữ số khác nhau từng đơi một và chữ số đứng đầu là chữ số 2?
 	b/ Gồm 5 chữ số khác nhau từng đơi một sao cho 5 chữ số đĩ cĩ đúng 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ?
	ĐS: a/ 360.	b/ 2448.	(ĐH Cần Thơ, 2001)
a/ Cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đơi một khác nhau (chữ số đầu tiên phải khác 0), trong đĩ cĩ mặt chữ số 0 nhưng khơng cĩ chữ số 1).
 	b/ Cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 cĩ mặt đúng 2 lần, chữ số 3 cĩ mặt đúng 3 lần và các chữ số cịn lại cĩ mặt khơng quá một lần.
	ĐS: a/ 33600	b/ 11340.	(ĐH QG, Tp.HCM, 2001)
Người ta viết các số cĩ 6 chữ số bằng các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 như sau: Trong mỗi số được viết cĩ một chữ số xuất hiện hai lần cịn các chữ số cịn lại xuất hiện một lần. Hỏi cĩ bao nhiêu số như vậy?
	ĐS: 1800.	(ĐH Sư phạm Vinh, 1998)
Từ một tập thể 14 người gồm 6 năm và 8 nữ trong đĩ cĩ An và Bình, người ta muốn chọn một tổ cơng tác gồm cĩ 6 người. Tìm số cách chọn trong mỗi trường hợp sau:
 	a/ Trong tổ phải cĩ cả nam lẫn nữ?
 	b/ Trong tổ cĩ 1 tổ trưởng, 5 tổ viên hơn nữa An và Bình khơng đồng thời cĩ mặt trong tổ?
	ĐS: a/ 2974.	b/ 15048.	(ĐH Kinh tế, Tp.HCM, 2001)
Một đồn tàu cĩ 3 toa chở khác. Toa I, II, III. Trên sân ga cĩ 4 khách chuẩn bị đi tàu. Biết mỗi toa cĩ ít nhất 4 chỗ trống. Hỏi:
 	a/ Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 vị khách lên 3 toa.
 	b/ Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 vị khách lên tàu cĩ 1 toa cĩ 3 trong 4 vị khách nĩi trên.
	ĐS: a/ 99.	b/ 24.	(ĐH Luật Hà Nội, 1999)
Trong số 16 học sinh cĩ 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Cĩ bao nhiêu cách chia số học sinh đĩ thành hai tổ, mỗi tổ 8 học sinh sao cho mỗi tổ đều cĩ học sinh giỏi và mỗi tổ cĩ ít nhất hai học sinh khá.
	ĐS: 3780.	(HVKT Quân sự, 2001)
Dạng 7: Tìm số tổ hợp trong các bài tốn hình học
Trong mặt phẳng cho n đường thẳng cắt nhau từng đơi một, nhưng khơng cĩ 3 đường nào đồng quy. Hỏi cĩ bao nhiêu giao điểm? Cĩ bao nhiêu tam giác được tạo thành?
	ĐS: 	· Số giao điểm:	
	· Số tam giác:	
Cho 10 điểm trong khơng gian, trong đĩ khơng cĩ 3 điểm nào thẳng hàng.
	a) Cĩ bao nhiêu đường thẳng đi qua từng cặp điểm?
	b) Cĩ bao nhiêu vectơ nối từng cặp điểm?
	c) Cĩ bao nhiêu tam giác cĩ đỉnh là 3 trong 10 điểm trên?
	d) Nếu trong 10 điểm trên khơng cĩ 4 điểm nào đồng phẳng, thì cĩ bao nhiêu tứ diện được tạo thành?
	ĐS: a) 	b) 	c) 	d) 
Cho đa giác lồi cĩ n cạnh (n ³ 4)
	a) Tìm n để đa giác cĩ số đường chéo bằng số cạnh?
	b) Giả sử 3 đường chéo cùng đi qua 1 đỉnh thì khơng đồng qui. Hãy tính số giao điểm (khơng phải là đỉnh) của các đường chéo ấy?
	ĐS: a) Û n = 5
	b) Giao điểm của 2 đường chéo của 1 đa giác lồi (khơng phải là đỉnh) chính là giao điểm của 2 đường chéo một tứ giác mà 4 đỉnh của nĩ là 4 đỉnh của đa giác. Vậy số giao điểm phải tìm bằng số tứ giác với 4 đỉnh thuộc n đỉnh của đa giác: 
Cho một đa giác lồi cĩ n-cạnh .
 	a/ Tìm số đường chéo của đa giác. Hãy chỉ ra 1 đa giác cĩ số cạnh bằng số đường chéo?
 	b/ Cĩ bao nhiêu tam giác cĩ đỉnh trùng với đỉnh của đa giác?
 	c/ Cĩ bao nhiêu giao điểm giữa các đường chéo?
	ĐS: a/ 	 b/ 	 c/ . 
Tìm số giao điểm tối đa của:
 	a/ 10 đường thẳng phân biệt? 	b/ 10 đường trịn phân biệt?
 	c/ 10 đường thẳng và 10 đường trịn trên?
	ĐS: a/ 45.	b/ 90.	c/ 335.
Cho hai đường thẳng song song (d1), (d2). Trên (d1) lấy 17 điểm phân biệt, trên (d2) lấy 20 điểm phân biệt. Tính số tam giác cĩ các đỉnh là 3 điểm trong số 37 điểm đã chọn trên (d1) và (d2).
	ĐS: 5950.	(ĐH SP Quy Nhơn, 1997)
Cho mặt phẳng cho đa giác đều H cĩ 20 cạnh. Xét các tam giác cĩ ba đỉnh được lấy từ các đỉnh của H.
 	a/ Cĩ tất cả bao nhiêu tam giác như vậy? Cĩ bao nhiêu tam giác cĩ đúng hai cạnh là cạnh của H?
 	b/ Cĩ bao nhiêu tam giác cĩ đúng một cạnh là cạnh của H? Cĩ bao nhiêu tam giác khơng cĩ cạnh nào là cạnh của H?
	ĐS: a/ 1140; 20.	 	b/ 320 ; 80.	(HVNH, 2000, khối D)
Cĩ 10 điểm A, B, C, ... trên mặt phẳng trong đĩ khơng cĩ 3 điểm nào thẳng hàng.
 	a/ Nối chúng lại ta được bao nhiêu đường thẳng? Trong đĩ cĩ bao nhiêu đường khơng đi qua A hay B?
 	b/ Cĩ bao nhiêu tam giác đỉnh bởi các điểm trên? Bao nhiêu tam giác chứa điểm A? Bao nhiêu tam giác chứa cạnh AB?
	ĐS: a/ 45; 28.	b/ 120 ; 36 ; 8.
Cĩ p điểm trong mặt phẳng trong đĩ cĩ q điểm thẳng hàng, số cịn lại khơng cĩ 3 điểm nào thẳng hàng. Nối p điểm đĩ lại với nhau. Hỏi:
 	a/ Cĩ bao nhiêu đường thẳng?	b/ Chúng tạo ra bao nhiêu tam giác?
	ĐS: a/ .	b/ .
Cho p điểm trong khơng gian trong đĩ cĩ q điểm đồng phẳng, số cịn lại khơng cĩ 4 điểm nào đồng phẳng. Dựng tất cả các mặt phẳng chứa 3 trong p điểm đĩ. Hỏi:
 	a/ Cĩ bao nhiêu mặt phẳng khác nhau?	b/ Chúng tạo ra bao nhiêu tứ diện?
	ĐS: a/ b/ 
Cho p điểm trong đĩ cĩ q điểm cùng nằm trên 1 đường trịn, ngồi ra khơng cĩ 4 điểm nào đồng phẳng. Hỏi cĩ bao nhiêu:
 	a/ Đường trịn, mỗi đường đi qua ba điểm?
 	b/ Tứ diện với các đỉnh thuộc p điểm đĩ?
	ĐS: a/ b/ 
Bài 5+6 : Nhị Thức NewTon và các dạng tốn – Luyện tập
I. LÝ THUYẾT
1. Cơng thức khai triển nhị thức Newton: Với mọi nỴN và với mọi cặp số a, b ta cĩ:
2. Tính chất:
	1) Số các số hạng của khai triển bằng n + 1
	2) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n
	3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) cĩ dạng: Tk+1 = ( k =0, 1, 2, , n)
	4) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau: 
	5) ,	
	* Nhận xét: Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì ta sẽ thu được những cơng thức đặc biệt. Chẳng hạn:
	(1+x)n = 	Þ	
	(x–1)n = 	Þ	
II. CÁC DẠNG TỐN
Dạng 1: Xác định các hệ số trong khai triển nhị thức Newton
 BT1 : a) Tìm số hạng chứa x1854 trong khai triển (x > 0)
 b) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển : ( + )6
 HD 
 a) Số hạng thứ k trong khai triển là 
 Tk = x2004-k+1()k-1 (1 £ k £ 2005) 
 Giải phương trình 2004 - k + 1 - = 1854 ta có k = 101 
 Vậy số hạng chứa x1854 trong khai triển trên là x1854 
 b) Số hạng thứ k + 1 trong khai triển trên là :
 C()6-k()k (0 £ k £ 6, k Ỵ N)
 Để tìm số hạng không chứa x ta giải phương trình :
 - k = 0 Û 6 - k - 3k = 0 Û 6 = 4k Û k = (loại )
 Không có số hạng không chứa x trong khai triển trên
 BT2 : Tìm số hạng tử chứa x35 trong khai triển (x2 + x + 1)20
 HD 
 (x2 + x + 1)20 = [x(x + 1) + 1]20 
 Số hạng thứ k + 1 trong khai triển trên là :
 Cx20-k(x + 1)20-k (0 £ k £ 20) (*)
 Số hạng thứ s + 1 trong khai triển (*)
 Cx20-kC= CC (0 £ s £ 20 - k) (**)
 Để có số hạng chứa x35 ta phải có 
 40 - 2k - s = 35 Û 2k + s = 5 với k, s thoả mãn (*) và (**) 
 Þ (k = 0, s = 5), (k = 1, s = 3), (k = 2, s = 1) 
 Vậy số hạng tử chứa x35 trong khai triển (x2 + x + 1)20 là 
 (CC + CC + CC)x35 = 38304 x35
 BT3 : Tìm số hạng không chứa x trong khai triển (1 + + x)10
 HD
 Đặt x + = t, ta co ù:
 (1 + + x)10 = (1 + t)10 = + t + t2 +  + tk +  + t10 (*)
 Với tk = ( + x)k (**) 
 Số hạng thứ s + 1 trong khai triển (**) là ()k-sxs = 6k-s 
(0 £ k £ 10; 0 £ s £ k) 
 Muốn có số hạng kh