Ôn tập Môn Toán - Chương 3: Không gian Sobolev

Chương 3
Không gian Sobolev
3.1 Định nghĩa và một số tính chất
3.1.1 Không gian Sobolev cấp nguyên không âm
Cho Ω là một tập mở trong Rn. Cho f ∈ L2(Ω)(⊂ L2loc(Ω) ⊂ L1loc(Ω)), khi đó f có thể
coi như một hàm suy rộng được xác định như sau
ϕ 7→ 〈f, ϕ〉 =
∫
Ω
f(x)ϕ(x)dx, ϕ ∈ D(Ω).
Từ bất đẳng thức Cauchy- Schwartz có đánh giá
|〈f, ϕ〉| ≤
(∫
Ω
|f(x)|2dx
) 1
2
(∫
Ω
|ϕ(x)|2dx
) 1
2
,∀ϕ ∈ D(Ω). (3.1)
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức (3.1) là điều kiện cần và đủ để một hàm suy rộng là một
hàm trong L2(Ω). Với chú ý, không gian đối ngẫu (gồm các phiếm hàm tuyến tính liên tục)
của L2(Ω) cũng là L2(Ω) nên ta sẽ phát biểu Mệnh đề dưới dạng sau.
Mệnh đề 3.1. (i) Cho f ∈ D′(Ω). Nếu có một số dương C sao cho
|〈f, ϕ〉| ≤ C(
∫
Ω
|ϕ(x)|2dx) 12 ,∀ϕ ∈ D(Ω) (3.2)
thì ta có thể thác triển f lên thành một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên L2(Ω).
(ii) Cho f ∈ L2(Ω). Khi đó, thu hẹp của f trên D(Ω) là một hàm suy rộng thoả mãn bất
đẳng thức (3.2) với hằng số C = ||f ||L2 .
Chứng minh. (i) Do C∞0 (Ω) trù mật trong L
2(Ω) nên nếu hàm suy rộng f thoả mãn bất đẳng
thức (3.2) thì ta có thể thác triển f lên thành phiếm hàm tuyến tính liên tục trên L2(Ω). Thác
triển này là thác triển duy nhất.
(ii) Phần này được chứng minh từ bất đẳng thức Cauchy- Schwartz.
65
66
Chú ý. Như vậy, ta có thể coi L2(Ω) là không gian tất cả các hàm suy rộng thoã mãn bất
đẳng thức (3.1), với chú ý f, g ∈ L2(Ω) bằng nhau theo nghĩa suy rộng khi và chỉ khi bằng
nhau trong L2(Ω).
Nếu coi một hàm bình phương khả tích là một hàm suy rộng thì sự hội tụ theo nghĩa suy
rộng chính là sự hội tụ yếu. Sự hội tụ yếu này không dẫn đến sự hội tụ trong L2(Ω)
ngay cả khi thêm cả tính bị chặn đều. Chẳng hạn, ta xét ví dụ sau trên đường thẳng R,
lấy fk(x) = χ[k,k+1](x) hội tụ yếu về 0 khi k tiến ra vô cùng vì với mỗi ϕ ∈ D(Rn)
có một số k0 ∈ N để suppϕ ⊂ [−k0, k0], nên
∫
R χ[k,k+1](x)ϕ(x) = 0, với k > k0. và
||χ[k,k+1]||L2 = 1, k = 1, 2, . . . , nên dãy {χ[k,k+1]}∞k=1 không hội tụ trong L2(R).
Khác với các không gian hàm suy rộng khác, nếu f ∈ D′(S′,E′,E, S,D) thì Dαf ∈
D′(S′,E′,E, S,D),∀α ∈ Zn+, một cách tương ứng; nếu f ∈ L2(Ω) thì chưa chắc Df ∈
L2(Ω), ngay cả khi f có đạo hàm suy rộng cấp cao hơn nằm trong L2(Ω).
Chẳng hạn, trên Ω = [−1, 1], hàm Heaviside H(t) ∈ L2(−1, 1) nhưng DH = δ 6∈
L2(−1, 1). Hoặc hàm dấu sgn(t) ∈ L2(−1, 1) nhưng D sgn(t) 6∈ L2(−1, 1) vì giả sử không
phải thì∫ 1
−1
D sgn(t)ϕ(t)dt = −
∫ 1
−1
sgn(t)Dϕ(t)dt = −
∫ 1
0
Dϕ(t)dt+
∫ 0
−1
Dϕ(t)dt
= 2ϕ(0), ϕ ∈ C∞0 (−1, 1) (3.3)
nên với suppϕ ⊂ (0, 1) thì D sgn(t) = 0, h.k.n trên (0, 1),
với suppϕ ⊂ (−1, 0) thì D sgn(t) = 0, h.k.n trên (−1, 0),
do đóD sgn(t) = 0, h.k.n(−1, 1). Điều này mâu thuẫn với phương trình (3.3) khi ϕ(0) 6= 0.
Trên hình tròn B1(0) = {(x1, x2) ∈ R2| |x1|2 + |x22| = 1} trong mặt phẳng, hàm f(x) =
sgn(x1) + sgn(x2) có đạo hàm suy rộng D1f,D2f 6∈ L2(B1(0)) còn D1D2f = 0 ∈
L2(B1(0)).
Nhưng cũng cần chú ý rằng với Ω có hình học đủ tốt, nếu f ∈ L2(Ω), Dαf ∈ L2(Ω), với
mọi đa chỉ số α mà |α| = l thì Dαf ∈ L2(Ω), với mọi đa chỉ số α mà |α| ≤ l. Trong ví dụ
trên thì chỉ có D1D2f = 0 ∈ L2(B1(0)) còn D21f,D22f 6∈ L2(B1(0)).
Định nghĩa 3.1. Cho l ∈ Z+. Không gian Sobolev W l,2(Ω) = W l(Ω) là không gian bao
gồm các hàm suy rộng f ∈ L2(Ω) mà các đạo hàm suy rộng Dαf ∈ L2(Ω), |α| ≤ l, với
chuẩn
||f ||W l(Ω) = ||f ||l =
(∑
|α|≤l
∫
Ω
|Dαf |2dx) 12 .
Không gian Sobolev W l0(Ω) là bao đóng của tập C
∞
0 (Ω) trong W
l(Ω).
Nhận xét. Chuẩn ||.||l thực sự là một chuẩn, nghĩa là nó thoả mãn ba tiên đề về chuẩn
• (xác định dương) ||f ||l ≥ 0,∀f ∈ W l(Ω) và ||f ||l = 0 khi và chỉ khi f = 0,
• (thuần nhất) ||λf ||l = |λ| ||f ||l,∀f ∈ W l(Ω),∀λ ∈ C,
• (bất đẳng thức tam giác) ||f + g||W l(Ω) ≤ ||f ||W l(Ω) + ||g||W l(Ω),∀f, g ∈ W l(Ω).
67
Chuẩn này được sinh ra bởi tích vô hướng
〈f, g〉l =
∑
|α|≤l
∫
Ω
Dαf(x)Dαg(x)dx,
vì
• (xác định dương) 〈f, f〉l = ||f ||2l ≥ 0, và 〈f, f〉l = 0 khi và chỉ khi f = 0,
• (phản đối xứng) 〈f, g〉l = 〈g, f〉l,∀f, g ∈ Wl(Ω),
• (tuyến tính theo biến thứ nhất)
〈α1f1 + α2f2, g〉l = α1〈f1, g〉l + α2〈f2, g〉l,∀f1, f2, g ∈ Wl(Ω),∀α1, α2 ∈ C.
Ngoài ra |〈f, g〉l| ≤ ||f ||l||g||l, và ||f + g||2l + ||f − g||2l = 2(||f ||2l + ||g||2l ), với mọi
f, g ∈ Wl(Ω).
Mệnh đề 3.2. Không gian Wl(Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng 〈., .〉l.
Chứng minh. Từ nhận xét trên, ta chỉ cần chứng minh tính đầy đủ của không gian Wl(Ω)
theo chuẩn ||.||l. Lấy dãy Cauchy {fk}∞k=1 trong Wl(Ω), nghĩa là các dãy {Dαfk}∞k=1 là
Cauchy trong L2(Ω), với |α| ≤ l. Do L2(Ω) là không gian đầy đủ nên với mỗi đa chỉ số α
mà |α| ≤ l đều tồn tại fα ∈ L2(Ω) mà lim
k→∞
||Dαfk − fα||L2(Ω) = 0.
Nếu ta chứng minh được Dαf 0 = fα, |α| ≤ l thì lim
k→∞
||fk − f 0||l = 0 hay dãy {fk}∞k=1 hội
tụ đến f 0 trong Wl(Ω). Do đó, Wl(Ω) là đầy đủ.
Để chứng minh Dαf 0 = fα ta chứng minh chúng bằng nhau theo nghĩa suy rộng. Lấy
ϕ ∈ D(Ω), k = 1, 2, . . . , có
|〈Dαf 0 − fα, ϕ〉| ≤ |〈Dαf 0 −Dαfk, ϕ〉|+ |〈Dαfk − fα, ϕ〉|
mà
|〈Dαf 0 −Dαfk, ϕ〉| = |〈f 0 − fk, Dαϕ〉| ≤ ||f 0 − fk||L2(Ω)||Dαϕ||L2(Ω)
|〈Dαfk − fα, ϕ〉| ≤ ||Dαfk − fα||L2(Ω)||ϕ||L2(Ω)
và lim
k→∞
||Dβfk − fβ||L2(Ω) = 0,∀|β| ≤ l,
nên 〈Dαf 0 −Dαfk, ϕ〉 = 0 hay Dαf 0 = fα.
Hệ quả 3.3. Không gian W l0(Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng 〈., .〉l.
Từ định nghĩa, ta có các phép nhúng liên tục sau.
Mệnh đề 3.4. Các phép nhúng liên tục Với l, k ∈ Z+, l ≤ k, ta có các phép nhúng liên tục
sau:
W k(Ω) ↪→ W l(Ω) ↪→ L2(Ω),
W k0 (Ω) ↪→ W l0(Ω) ↪→ L2(Ω).
68
Mệnh đề 3.5. Trong trường hợp Ω = Rn, phiếm hàm xác định trên W l(Rn) được xác định
như sau
||f ||W l =
(∫
Rn
(1 + ||ξ||2)l|Ff(ξ)|2dξ
) 1
2
là một chuẩn tương đương với chuẩn ||.||l.
Chứng minh. Lấy f ∈ W l(Rn). Có Dαf ∈ L2(Rn), |α| ≤ l nên theo tính chất của phép
biến đổi Fourier trong L2(Rn) thì∫
Rn
|Dαf(x)|2dx =
∫
Rn
|F(Dαf)(ξ)|2dξ
=
∫
Rn
|ξα|2|Ff(ξ)|dξ
mà
c1(
∑
|α|≤l
|ξα|2) ≤ (1 + ||ξ||2)l ≤ c2(
∑
|α|≤l
|ξα|2),
với c1, c2 là các hằng số dương không phụ thuộc ξ nên
c1||f ||l ≤ ||f ||W l ≤ c2||f ||l
do đó ||.||l và ||.||W l là hai chuẩn tương đương trên Wl(Rn).
Chú ý. Với Ω là một tập mở trong Rn, không gianW l(Ω) có thể coi là một không gian con
của không gian W l(Rn) gồm các phần tử có giá (theo nghĩa suy rộng) nằm trong Ω, còn
không gianW l0(Ω) là bao đóng của tập C
∞
0 (Ω) trongW
l(Rn). Trong một số trường hợp đặc
biệt, chẳng hạn Ω là nửa không gian mở hay toàn không gian, thì W l(Ω) =W l0(Ω).
3.1.2 Không gian Sobolev với cấp thực
Định nghĩa 3.2. Với l ∈ R, không gian SobolevW l(Rn) là không gian các hàm f ∈ S′(Rn)
mà biến đổi Fourier Ff là hàm đo được và thoả mãn∫
Rn
(1 + ||ξ||2)l|Ff(ξ)|2dξ < +∞.
Nhận xét. Phiếm hàm ||f ||W l =
( ∫ n
R (1 + ||ξ||2)l|Ff(ξ)|2dξ
) 1
2
xác định một chuẩn trên
W l(Rn) nghĩa là
• (xác định dương) ||f ||W l ≥ 0,∀f ∈ W l(Rn) và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi f = 0,
• (thuần nhất) ||λf ||W l = |λ| ||f ||W l ,∀f ∈ W l(Rn),∀λ ∈ C,
• (bất đẳng thức tam giác) ||f + g||W l ≤ ||f ||W l + ||g||W l ,∀f, g ∈ W l(Rn).
69
Chuẩn này được sinh ra bởi tích vô hướng
〈f, g〉W l =
∑
|α|≤l
∫ n
R
(1 + ||ξ||2)lFf(ξ)Fg(ξ)dξ,
vì
• (xác định dương) 〈f, f〉W l = ||f ||2W l ≥ 0, và 〈f, f〉l = 0 khi và chỉ khi f = 0,
• (phản đối xứng) 〈f, g〉W l = 〈g, f〉W l ,∀f, g ∈ Wl(Rn),
• (tuyến tính theo biến thứ nhất)
〈α1f1 + α2f2, g〉W l = α1〈f1, g〉W l + α2〈f2, g〉W l ,∀f1, f2, g ∈ Wl(Ω),∀α1, α2 ∈ C.
Ngoài ra |〈f, g〉W l| ≤ ||f ||W l||g||W l , và ||f + g||2W l + ||f − g||2W l = 2(||f ||2W l + ||g||2W l), với
mọi f, g ∈ Wl(Rn).
Khi l ∈ Z+, thì theo Mệnh đề 3.5 các định nghĩa về không gian Sobolev W l(Rn) là không
mâu thuẫn nhau.
Ký hiệu V l(Rn) là không gian các hàm đo được f thoả mãn∫
Rn
(1 + ||x||2)l|f(x)|2dx < +∞.
Khi đó, phiếm hàm ||f ||V l =
( ∫
Rn(1 + ||x||2)l|f(x)|2dx
) 1
2
là một chuẩn trên V l(Rn) sinh
ra bởi tích vô hướng
〈f, g〉V l =
∫
Rn
(1 + ||x||2)lf(x)g(x)dx.
Không gian V l(Rn) là không gian đầy đủ, nên là không gian Hilbert.
Phép biến đổi Fourier là một đẳng cấu, đẳng cự từ W l(Rn) vào V l(Rn). Nên không gian
Sobolev W l(Rn) là không gian đầy đủ, do đó, là không gian Hilbert với tích vô hướng
〈., .〉W l . Ngoài ra, dễ thấy các phép nhúng liên tục S(Rn) ↪→ V l(Rn) ↪→ S′(Rn) nên có các
phép nhúng liên tục S(Rn) ↪→ W l(Rn) ↪→ S′(Rn).
Định lý 3.6 (Định lý nhúng). (i) Với l < k, ta có các phép nhúng liên tục
S(Rn) ↪→ W k(Rn) ↪→ W l(Rn) ↪→ S′(Rn).
(ii) Với l < k,K là tập compact trong Rn, có phép nhúng từ không gian con của W k(Rn)
gồm các phần tử có giá supp f ⊂ K, vào không gian W l(Rn) là compact.
Chứng minh. (i) Từ Định nghĩa dễ dàng có điều phải chứng minh.
(ii) Do K là một tập compact trong Rn nên có một hàm ϕ ∈ C∞0 (Rn) mà ϕ(x) = 1, x ∈ K.
Để chứng minh phần này, lấy một dãy {fν}∞ν=1 bị chặn trongW k(Rn) mà supp fν ⊂ K, ν =
70
1, 2, . . . , ta sẽ chứng minh nó có một dãy con hội tụ, hay một dãy Cauchy, trong W l(Rn).
Do supp fν ⊂ K nên ϕfν = fν . Khi đó,
Ffν = F(ϕfν) = (2pi)
n
2Fϕ ∗ Ffν , Dα(Ffν) = (2pi)n2Dα(Fϕ) ∗ Ffν .
Theo bất đẳng thức Peetre (1 + ||ξ||2) k2 ≤ (1 + ||η||2) k2 (1 + ||ξ − η||2) |k|2 , ξ, η ∈ Rn nên
(1 + ||ξ||2) k2 |Ffν(ξ)| ≤ (2pi)n2
∫
Rn
(1 + ||ξ − η||2) |k|2 |Fϕ(ξ − η)|(1 + ||ξ||2) k2 |Ffν(η)|dη
≤ (2pi)n2
(∫
Rn
(1 + ||ξ − η||2)|k||Fϕ(ξ − η)|dη
) 1
2
(∫
Rn
(1 + ||η||2)k|Ffν(η)|2dη
) 1
2
(1 + ||ξ||2) k2 |Dα(Ffν)(ξ)| ≤
≤ (2pi)n2
∫
Rn
(1 + ||ξ − η||2) |k|2 |Dα(Fϕ)(ξ − η)|(1 + ||ξ||2) k2 |Ffν(η)|dη
≤ (2pi)n2
(∫
Rn
(1 + ||ξ − η||2)|k||Dα(Fϕ)(ξ − η)|dη
) 1
2
(∫
Rn
(1 + ||η||2)k|Ffν(η)|2dη
) 1
2
nên dãy {Ffν}∞ν=1 là dãy hàm bị chặn đều và liên tục đồng bậc trên từng tập compact
do đó, theo Định lý Ascoli- Azela, dãy {Ffν}∞ν=1 hội tụ đều trên từng tập compact.
Lấy một số dương  tuỳ ý. Giả sử, dãy {fν}∞ν=1 bị chặn bởi C trong W k(Rn).
Do l < k nên lim
||||→∞
(1 + ||ξ||2)l−k = 0, do đó có một số R0 > 0 để
(1 + ||ξ||2)l−k < 
2
8C2
≤ 
2
2(||fν ||Wk + ||fà||Wk)2
,∀||ξ|| ≥ R0, ν, à = 1, 2, . . . .
Do dãy {Ffν}∞ν=1 hội tụ đều trên từng tập compact nên tồn tại số k0 ∈ N để
sup
||ξ||≤R0
|Ffν(ξ)− Ffà(ξ)|2 ≤ 
2
2
∫
||||≤R0(1 + ||ξ||2)ldξ
,∀ν, à ≥ k0.
Khi đó,
||fν − fà||2W l =
∫
||ξ||≥R0
(1 + ||ξ||2)l−k(1 + ||ξ||2)k|Ffν(ξ)− Ffà(ξ)|2dξ
+
∫
||ξ||≤R0
(1 + ||ξ||2)l|Ffν(ξ)− Ffà(ξ)|2dξ
≤
2
2
+
2
2
= 2,∀ν, à ≥ ν0,
do đó, dãy {fν}∞ν=1 là dãy Cauchy trong W l(Rn).
Định lý 3.7 (Các cách lấy xấp xỉ trong V l(Rn),W l(Rn)). (i) Lấy ψ ∈ S(Rn) mà ψ(0) = 1.
Đặt ψδ(x) = ψ(δx), δ > 0. Khi đó, với mỗi f ∈ V l(Rn) thì dãy {ψδf}δ>0 hội tụ tới f trong
V l(Rn) khi δ giảm dần về 0.
Từ đó, với ϕ ∈ S(Rn) mà ∫Rn ϕ(x) = 1, đặt ϕδ(x) = δ−nϕ(xδ ), δ > 0 thì với mỗi f ∈
71
W l(Rn) dãy {ϕδ ∗ f}δ>0 hội tụ tới f trong W l(Rn) khi δ giảm dần về 0.
(ii) Lấy ϕ ∈ S(Rn) mà ∫Rn ϕ(x) = 1. Đặt ϕδ(x) = δ−nϕ(xδ ), δ > 0. Khi đó, với mỗi
f ∈ V l(Rn) thì dãy {ϕδ ∗ f}δ>0 hội tụ tới f trong V l(Rn) khi δ giảm dần về 0.
Với ψ ∈ S(Rn) mà ψ(0) = 1 đặt ψδ(x) = ψ(δx), δ > 0. Từ đó, thì với mỗi f ∈ W l(Rn)
dãy {ψδf}δ>0 hội tụ tới f trong W l(Rn) khi δ giảm dần về 0.
(iii) Tập C∞0 (Rn) trù mật trong V l(Rn),W l(Rn).
Chứng minh. (i) Lấy một số  > 0, do f ∈ V l(Rn) nên tồn tại một số R0 đề∫
||x||≥R0
(1 + ||x||2)l|f(x)|2dx ≤ 
2
2( sup
x∈Rn
|ψ(x)|)2
mà ψ ∈ S(Rn), ψδ(x) = ψ(δx) nên sup
x∈Rn
|ψδ(x)| = sup
x∈Rn
|ψ(x)| < +∞ do đó∫
||x||≥R0
(1 + ||x||2)l|(1− ψδ(x))f(x)|2dx ≤ 
2
2
. (3.4)
Do ψ(0) = 1 và ψ là hàm liên tục nên có một số η > 0 để |1 − ψ(x)| ≤ 2
2||f ||2
V l
, ||x|| ≤ η.
Khi đó, với 0 < δ < η
R0
có |1− ψδ(x)| ≤ 2
2||f ||2
V l
, ||x|| ≤ R0, do đó∫
||x||≤R0
(1 + ||x||2)l|(1− ψδ(x))f(x)|2dx ≤ 
2
2
. (3.5)
Từ các bất đẳng thức (3.4), (3.5) có∫
Rn
(1 + ||x||2)l|(1− ψδ(x))f(x)|2dx ≤ 2, 0 < δ < η
R0
,
hay lim
δ→0+
||ψδf − f ||V l = 0.
Với f ∈ W l(Rn), ϕ ∈ S(Rn), ∫Rn ϕ(x)dx = 1 thì
Ff ∈ V l(Rn),Fϕ ∈ S(Rn), (2pi)n2Fϕ(0) = 1,F(ϕδ ∗ f)(ξ) =
(
(2pi)
n
2 (Fϕ)δ(ξ)
)
Ff(ξ),
nên theo phần trên dãy {F(ϕδ ∗ f)}δ>0 hội tụ đến Ff trong V l(Rn) khi δ giảm dần về 0,
hay dãy {ϕδ ∗ f}δ>0 hội tụ đến f trong W l(Rn) khi δ giảm dần về 0.
Chú ý rằng, theo tính chất của phép biến đổi Fourier trong L2(Rn), với l = 0 có V 0(Rn) =
W 0(Rn) = L2(Rn) nên với f ∈ L2(Rn) thì các dãy {ψδf}δ>0 và {ϕδ ∗ f}δ>0 hội tụ đến f
trong L2(Rn) khi δ giảm dần về 0.
(ii) Với 0 0 thì với mỗi x ∈ BR(0) có
(f ∗ ϕδ)(x) =
∫
Rn
f(y)ϕδ(x− y)dy =
∫
Rn
(χBR+1(0)f)(y)ϕδ(x− y)dy,
còn với x 6∈ BR(0) có
|(f ∗ ϕδ)(x)| = |
∫
||y||≥(R−1)
f(y)ϕδ(x− y)dy|
≤
(∫
||y||≥(R−1)
|f(y)|2|ϕδ(x− y)|dy
) 1
2
(∫
||y||≥(R−1)
|ϕδ(x− y)|dy
) 1
2
,
72
mà với 0 < δ < 1 có
(1 + ||x||2)l ≤ (1 + ||x− y||2)|l|(1 + ||y||2)l,∀x, y ∈ Rn∫
Rn
(1 + ||x− y||2)|l||ϕδ(x− y)|dx ≤
∫
Rn
(1 + ||x− y||2)|l||ϕ(x− y)|dx
nên ∫
||x||≥R
(1 + ||x||2)l|(f ∗ ϕδ)(x)|2dx ≤ C
∫
||x||≥(R−1)
(1 + ||x||2)l|f(x)|2dx
với C =
( ∫
Rn(1 + ||x||2)|l||ϕ(x)|dx
)( ∫
Rn |ϕ(x)|dx
)
.
Lấy  > 0 tuỳ ý. Do f ∈ V l(Rn) nên có một số R0 > 1 để∫
||x||≥(R0−1)
(1 + ||x||2)l|f(x)|2dx ≤ 
2
8
.
Do χBR0+1(0)f ∈ L2(Rn) nên theo Chú ý của phần trên (i) tồn tại 0 < δ0 < 1 để
||χBR0+1(0)f − (χBR0+1(0)f) ∗ ϕδ||L2 ≤
2
2(1 +R20)
|l| ∫
||x||≤R0 dx
,∀0 < δ < δ0.
Khi đó, với 0 < δ < δ0
||f − ϕδ ∗ f ||2V l =
∫
||x||≤R0
(1 + ||x||2)l|f(x)− (ϕδ ∗ f)(x)|2dx
+
∫
||x||≥R0
(1 + ||x||2)l|f(x)− (ϕδ ∗ f)(x)|2dx
≤
∫
||x||≤R0
(1 + ||x||2)l|χBR0+1(0)(x)f(x)− (ϕδ ∗ (χBR0+1(0)f))(x)|2dx
+2
(∫
||x||≥R0
(1 + ||x||2)l|f(x)|2dx+
∫
||x||≥R0
(1 + ||x||2)l|(ϕδ ∗ f))(x)|2dx
)
≤ 
2
2
+ 2(
2
8
+
2
8
) = 2
do đó, dãy {ϕδ ∗ f}δ>0 hội tụ đến f trong V l(Rn) khi δ giảm dần về 0.
Với f ∈ W l(Rn), ψ ∈ S(Rn), ψ(0) = 1 thì
Ff ∈ V l(Rn),Fψ ∈ S(Rn),(2pi)−n2
∫
Rn
Fϕ(x)dx = F−1(Fψ)(0) = ψ(0) = 1,
F(ψδf)(ξ) =((2pi)−
n
2 ((Fϕ)δ ∗ Ff)(ξ),
nên theo phần trên dãy {F(ψδf)}δ>0 hội tụ đến Ff trong V l(Rn) khi δ giảm dần về 0, hay
dãy {ψδf}δ>0 hội tụ đến f trong W l(Rn) khi δ giảm dần về 0.
(iii) Do {0} là tập compact nên có một hàm ψ ∈ C∞0 (Rn) và ψ(0) = 1. Với f ∈ W l(Rn)
thì dãy {(ψ 1k f) ∗ ρ 1
k
}∞k=1 (trong C∞0 (Rn)) hội tụ đến f trong W l(Rn).
73
Nhận xét. Do C∞0 (Rn) ⊂ S(Rn) ⊂ W l(Rn) nên tập S(Rn) trù mật trong W l(Rn). Ngoài
ra, W l0(Rn) =W l(Rn).
Với l là một số thực, Ω là một tập mở trong Rn ta có thể định nghĩa không gian W l(Ω) là
không gian con của không gian W l(Rn) gồm các phần tử có giá nằm trong Ω, còn không
gian W l0(Ω) là bao đóng của tập C
∞
0 (Ω).
Cho f ∈ L2(Rn) có dãy {ρ ∗ f}>0 hội tụ dến f trong L2(Rn).
Với f ∈ Lp(Rn), 1 ≤ p 0 tuỳ
ý đều có một số k0 ∈ Z+ để
||f − χAk0f ||
p
Lp =
∫
x 6∈Ak0
|f(x)|pdx ≤
∫
|f(x)|>k0
|f(x)|pdx+
∫
||x||>k0
|f(x)|pdx < 
p
3p
.
Có
|((χAk0f) ∗ ρδ)(x)− (f ∗ ρδ)(x)| = |
∫
Rn
ρδ(x− y)((χAk0f)(y)− f(y))|dy
≤
(∫
x 6∈Ak0
ρδ(x− y)dy
) 1
p′
(∫
x 6∈Ak0
ρδ(x− y)|f(y)|pdy
) 1
p
nên ||(χAk0f) ∗ ρδ − f ∗ ρδ||Lp ≤ 3 .
Do |((χAk0f) ∗ ρδ)(x)| ≤ ||f ||Lp nên với 2 < p có
|((χAk0f) ∗ ρδ)(x)− (χAk0f)(x)|p ≤ (||f ||Lp + k0)p−2|((χAk0f) ∗ ρδ)(x)− (χAk0f)(x)|2.
Với 2 > p thì theo bất đẳng thức Holder có
||(χAk0f) ∗ ρδ − χAk0f ||Lp ≤
(∫
Bk0
dx
) 2−p
p ||(χAk0f) ∗ ρδ − (χAk0f) ∗ ρ||L2 .
Như vậy, với 1 ≤ p 0 đê
||(χAk0f) ∗ ρδ − χAk0f ||Lp ≤ C||(χAk0f) ∗ ρδ − χAk0f ||L2 .
Do χAk0f ∈ L2(Rn) nên tồn tại số 0 < δ0 để
||(χAk0f) ∗ ρδ − χAk0f ||L2 ≤

3C
Khi đó, với 0 < δ < δ0 có
||f − f ∗ ρδ||Lp ≤ ||f − χAk0f ||Lp + ||(χAk0f) ∗ ρδ − χAk0f ||Lp
+ ||(χAk0f) ∗ ρδ − f ∗ ρδ||Lp
≤ 
3
+ C||(χAk0f) ∗ ρδ − χAk0f ||L2 +

3
≤ 
hay dãy {f ∗ ρδ}δ>0 hội tụ đến f trong Lp(Rn).
74
Định lý 3.8 (Đối ngẫu của không gian Sobolev). (i)Với mỗi l ∈ R, đối ngẫu của không
gian V l(Rn) là (
V l(Rn)
)′ ∼= V −l(Rn),
nghĩa là, với mỗi f ∈ (V l(Rn))′ đều có duy nhất một phần tử v trong V −l(Rn) sao cho
• f(u) = ∫Rn u(x)v(x)dx, ∀u ∈ V l(Rn),
• ||f ||(V l)′ = ||v||V −l ,
và mỗi phần tử v ∈ V −l(Rn) thì phiếm hàm biến u ∈ V l(Rn) thành ∫
Rn
u(x)v(x)dx là một
phiếm hàm tuyến tính liên tục từ V l(Rn) vào C.
(ii)Với mỗi l ∈ R, đối ngẫu của không gian W l(Rn) là(
W l(Rn)
)′ ∼= W−l(Rn),
nghĩa là, với mỗi f ∈ (W l(Rn))′ đều có duy nhất một phần tử v trong W−l(Rn) sao cho
• f(u) = ∫Rn u(x)v(x)dx, ∀u ∈ W l(Rn),
• ||f ||(W l)′ = ||v||W−l ,
và mỗi phần tử v ∈ W−l(Rn) thì phiếm hàm biến u ∈ W l(Rn) thành ∫
Rn
u(x)v(x)dx là một
phiếm hàm tuyến tính liên tục từ W l(Rn) vào C.
Chú ý. Với l ∈ R,Ω mở⊂ Rn, không gian đối ngẫu của W l(Ω),W l0(Ω) là(
W l(Ω)
)′
=
(
W l0(Ω)
)′
= W−l(Ω).
Chứng minh. (i) Với mỗi v ∈ V −l(Rn) từ bất đẳng thức Cauchy- Schwartz
|
∫
Rn
u(x)v(x)dx| ≤
(∫
Rn
(1+||x||2)l|u(x)|2dx
) 1
2
(
(1+||x||2)−l|v(x)|2dx
) 1
2
,∀u ∈ V l(Rn),
với dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi u(x) = c(1 + ||x||2)−lv(x), với c ∈ C là hằng số, nên
phiếm hàm biến u ∈ V l(Rn) thành ∫
Rn
u(x)v(x)dx là một phiếm hàm tuyến tính liên tục từ
V l(Rn) vào C, với chuẩn bằng ||v||V −l .
Lấy f ∈ (V l(Rn))′. Nếu f = 0 thì có duy nhất v = 0 ∈ V −l(Rn) để∫
Rn
u(x)v(x)dx = 0,∀u ∈ V l(Rn).
Nếu f 6= 0, nghĩa là ||f ||(V l)′ 6= 0. Khi đó, có một dãy {uk}∞k=1 trong V l(Rn) mà
||uk||V l = 1, k = 1, 2, . . . , và lim
k→∞
f(uk) = ||f ||(V l)′ .
75
Ta có thể giả sử ||uk||V l ≤ 12 , k = 1, 2, . . . . Nếu dãy {uk}∞k=1 không là dãy Cauchy trong
V l(Rn) thì có một số  ∈ (0, 1) và một dãy con của nó, đơn giản ký hiệu ta có thể giả sử
||vk − vj||V l ≥ 20, k 6= j. Nên ||vk + vj||V l = (||vk||V l + ||vj||V l)− ||vk − vj||V l ≤ 2− 20
Do đó
||f ||(V l)′ ≥ |f(
1
||uj + uk||V l
(uj + uk))| = ||uj + uk
2
||V lf(
uj + uk
2
)
≥ 1
1− 0
1
2
(f(uj) + f(uk))
hay (f(uj)+f(uk)) ≤ 2(1−0)||f ||(V l)′ . Điều này không thể xảy ra khi j, k đủ lớn. Do vậy,
dãy {uk}∞k=1 là dãy Cauchy trong V l(Rn), mà V l(Rn) là đầy đủ, nên tồn tại u0 ∈ V l(Rn)
để lim
k→∞
||uk − u0||V l = 0, do đó ||u0||V l = 1, f(u0) = ||f ||(V l)′ .
Nếu có một u′0 ∈ V l(Rn) mà ||u′0||V l = 1, f(u′0) = ||f ||(V −l)′ . Khi đó, có
0 < ||f ||(V l)′ = f(
u′0 + u0
2
) ≤ ||u
′
0 + u0
2
||V l||f ||(V −l)′
≤ (1− ||u
′
0 − u0
2
||V l)||f ||(V −l)′
do đó, ||u′0−u0
2
||V l = 0 hay chỉ có duy nhất một phần tử u0 ∈ V l(Rn) để
||u0||V l = 1, f(u0) = ||f ||(V −l)′ .
Khi đó, ta đặt v(x) = ||f ||(V l)′(1 + ||x||2)lu0(x), có
v ∈ V −l(Rn), ||v||V −l = ||f ||(V l)′
∫
Rn
(1 + ||x||2)l|u0(x)|2dx = ||f ||(V l)′∫
Rn
v(x)u0(x)dx = ||f ||(V l)′
∫
Rn
(1 + ||x||2)lu0(x)u0(x)dx = f(u0).
Như vậy, v xác định trên V l(Rn) một phiếm hàm tuyến tính liên tục với chuẩn ||v||V −l =
||f ||(V l)′ . Giả sử có một hàm u ∈ V l(Rn) mà
f(u) 6=
∫
Rn
v(x)u(x)dx.
Ta có thể giả sử f(u)− ∫
Rn
v(x)u(x)dx = 2||f ||(V l)′ . Bằng cách tổ hợp tuyến tính với u0 ta
có thể giả sử
f(u) = ||f ||(V l)′ ,
∫
Rn
v(x)u(x)dx = −||f ||(V l)′( vì f(u0) =
∫
Rn
v(x)u0(x)dx = ||f ||(V l)′).
Khi đó, với t > 0 có
• f(u0 + tu) = ||f ||(V l)′(1 + t) nên ||u0 + tu||V l ≥ (1 + t),
76
• ∫Rn v(x)(u0(x)− tu(x))dx = ||v||V −l(1− t) nên ||u0 + tu||V l ≥ (1 + t),
mà || (u0+tu)+(u0−tu)
2
||V l + || (u0+tu)−(u0−tu)2 ||V l = ||u0+tu2 ||V l + ||u0−tu2 ||V l
nên 1+ t2||u||2
V l
≥ (1+ t)2 hay 0 ≥ t((1−||u||2
V l
)t−2). Điều này xảy ra với mọi t > 0 nên
||u||V l = 1 mà f(u) = ||f ||V −l do đó u = u0. Khi đó, f(u) = f(u0) =
∫
Rn
v(x)u0(x)dx =∫
Rn
v(x)u0(x)dx, nên ta có điều mâu thuẫn. Do đó, f(u) =
∫
Rn v(x)u(x)dx, ∀u ∈ V l(Rn).
Như vậy, với mỗi f ∈ (V l(Rn))′ đều có duy nhất một phần tử v trong V −l(Rn) sao cho
• f(u) = ∫Rn u(x)v(x)dx, ∀u ∈ V l(Rn),
• ||f ||(V l)′ = ||v||V −l .
(ii)Với mỗi v ∈ W−l(Rn) từ bất đẳng thức Cauchy- Schwartz
|
∫
Rn
u(x)v(x)dx| = |
∫
Rn
(Fu)(ξ)(F−1v)(ξ)dξ| ≤
≤
(∫
Rn
(1 + ||ξ||2)l|Fu(ξ)|2dξ
) 1
2
(
(1 + ||ξ||2)−l|Fv(ξ)|2dξ
) 1
2
,∀u ∈ W l(Rn)
có dấu bằng khi và vhỉ khi u(x) = cF−1((1 + ||ξ||2)−lFv)(x), c ∈ C là hằng số, nên phiếm
hàm biến u ∈ W l(Rn) thành ∫
Rn
u(x)v(x)dx là một phiếm hàm tuyến tính liên tục từW l(Rn)
vào C, với chuẩn ||v||W−l .
Do phép nhúng S(Rn) ↪→ W l(Rn) là liên tục nên mỗi phần tử f ∈ (W l(Rn))′ có thể coi là
một hàm suy rộng tăng chậm. Khi đó, với mỗi u ∈ S(Rn) có
f(u) = 〈f, u〉 = 〈f,F−1Fu〉
= 〈F−1f,Fu〉,
mà |〈F−1f,Fu〉| = |f(u)| ≤ ||f ||(W l)′||u||W l = ||f ||(W l)′||Fu||V l
nên F−1f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục từ không gian S(Rn) với tôpô sinh bởi chuẩn
||.||V l vào C.
Lại có S(Rn) là tập trù mật trong V l(Rn) nên ta có thể thác triển F−1f lên thành một phiếm
hàm tuyến tính liên tục trên V l(Rn) hay ta có thể coi Ff là một phần tử của không gian đối
ngẫu
(
V l(Rn)
)′. Nên theo phần trên có một phần tử g trong V −l(Rn) sao cho
• F−1f(u) = ∫Rn u(x)g(x)dx, ∀u ∈ V l(Rn),
• ||F−1f ||(V l)′ = ||g||V −l .
Khi đó, nếu đặt v = Fg ∈ W−l(Rn) thì
• f(u) = 〈F−1f,Fu〉 = ∫Rn Fu(x)g(x)dx = ∫Rn u(x)v(x)dx, ∀u ∈ W l(Rn),
• ||f ||W−l = ||F−1f ||(V l)′ = ||g||V −l = ||v||W−l .
77
Nếu có một phần tử v′ ∈ W−l(Rn) để
• f(u) = ∫Rn u(x)v(x)dx, ∀u ∈ W l(Rn),
• ||f ||W−l = ||v||W−l ,
thì với g′ = F−1v′ ∈ V −l(Rn) có
• F−1f(u) = ∫Rn u(x)g′(x)dx, ∀u ∈ V l(Rn),
• ||F−1f ||(V l)′ = ||g′||V −l ,
nên theo phần (i) có g′ = g hay v′ = v nghĩa là mỗi f ∈ (W l(Rn))′ đều có duy nhất một
phần tử v trong W−l(Rn) sao cho
• f(u) = ∫Rn u(x)v(x)dx, ∀u ∈ W l(Rn),
• ||f ||(W l)′ = ||v||W−l .
Định lý 3.9 (Định lý vết). Với l > 1
2
, ánh xạ vết γ biến u(x′, xn) thành γu = u(x′, 0) là một
ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian S(Rn) với tôpô sinh bởi chuẩn ||.||W l vào không
gian S(Rn−1) với tôpô sinh bởi chuẩn ||.||
W l−
1
2
.
Khi đó, ánh xạ này có thể thác triển lên thành một ánh xạ tuyến tính liên tục từ W l(Rn)
vào W l−
1
2 (Rn).
Chứng minh. Dễ có, từ định nghĩa, ánh xạ vết γ biến u(x′, xn) thành u(x′, 0) là ánh xạ từ
S(Rn) vào S(Rn−1).
Do tập S(Rn) trù mật trong W l(Rn) nên ta chỉ còn phải chứng minh bất đẳng thức sau
||u(., 0)||
W l−
1
2 (Rn−1) ≤ C||u(.)||W l(Rn),∀u ∈ S(R
n),
trong đó, C là một hằng số dương.
Thật vậy, với u ∈ S(Rn) có
Fn−1[u(x′, 0)](ξ′, 0) = Fn−1[F−1(Fu)(x′, 0)](ξ′, 0)
= (2pi)−n−
1
2
∫
Rn−1
e−i〈x
′,ξ′〉
∫
Rn
ei〈x
′,η′〉Fu(η)dηdx′
= (2pi)−
1
2
∫
R
Fu(ξ′, ηn)dηn ( Định lý Fubini)
mà với l > 1
2
, bằng cách đặt t = ηn
(1+||ξ′||2) 12
có
∫
R
(1 + ||ξ′||2 + |ηn|2)−ldηn = 2(1 + ||ξ′||2)−l+ 12
∫ +∞
0
(1 + t2)−ldt < +∞,
78
nên theo định lý Cauchy- Schwartz có
|Fn−1[u(x′, 0)](ξ′, 0)| ≤(2pi)− 12
(∫
R
(1 + ||ξ′||2 + |ηn|n)l|Fu(ξ′, ηn)|dηn
) 1
2
ì
(∫
R
(1 + ||ξ′||2 + |ηn|n)−ldηn
) 1
2
≤(2pi)− 122(1 + ||ξ′||2)−2l+14
(∫ +∞
0
(1 + t2)−ldt
) 1
2
ì
(∫
R
(1 + ||ξ′||2 + |ηn|n)l|Fu(ξ′, ηn)|dηn
) 1
2
do đó (1 + ||ξ′||2)l− 12 |Fn−1[u(x′, 0)](ξ′, 0)|2 ≤ C
∫
R(1 + ||ξ′||2 + |ηn|n)l|Fu(ξ′, ηn)|dηn,
tích phân cả hai vế theo ξ′ trên Rn−1 có
||u(., 0)||
W l−
1
2 (Rn−1) ≤ C||u(.)||W l(Rn),
với C = ( 2
pi
)
1
2
( ∫ +∞
0
(1 + t2)−ldt
) 1
2 .
79
3.2 Không gian Sobolev trên nửa không gian
Trong phần này, ta sẽ xây dựng không gian Sobolev trên nửa không gian R¯n+ = {x ∈
Rn| xn ≥ 0} (là tập đóng trong Rn).
Định nghĩa 3.3. Với l ≥ 0, không gian W l(R¯n+) là không gian tất cả các hàm u ∈ L2(Rn+)
mà có một hàm u˜ ∈ W l(Rn), sao cho u˜|R¯n+ = u. Khi đó, chuẩn của hàm u được xác định
như sau
||u||W l(R¯n+) = inf ||u˜||W l(Rn),
trong đó, infimum lấy trên tất cả các hàm u˜ ∈ W l(Rn) mà u˜|R¯n+ = u.
Không gian W l0(R¯n+) là bao đóng của tập C∞0 (Rn+) trong W l(R¯n+).
Chú ý. Phiếm hàm ||.||W l(R¯n+) thực sự là một chuẩn trong W l(R¯n+), vì
• (xác định dương) ||u||W l(R¯n+) ≥ 0,∀u ∈ W l(R¯n+) và ||u||W l(R¯n+) = 0 khi và chỉ khi
u˜ = 0 hay u = 0,
• (thuần nhất) ||λu||W l(R¯n+) = |λ| ||u||W l(R¯n+),∀u ∈ W l(R¯n+),∀λ ∈ C,
• (bất đẳng thức tam giác) ||u+ v||W l(R¯n+) ≤ ||u||W l(R¯n+) + ||v||W l(R¯n+),∀u, v ∈ W l(R¯n+).
Khi l = 0 thì W l(R¯n+) =W l0(R¯n+) = L2(Rn+).
Với k ≥ l ≥ 0 ta có các phép nhúng liên tục W k(R¯n+) ↪→ W l(R¯n+) ↪→ L2(Rn+).
Với l ≥ 0,từ Định nghĩa, ánh xạ thu hẹp u|Rn 7→ u|R¯n+ là ánh xạ tuyến tính liên tục từ
W l(Rn) vào W l(R¯n+). Mà hạt nhân của ánh xạ thu hẹp này là W l(Rn−) là không gian con
đóng của không gian W l(Rn) nên không gian W l(R¯n+) đẳng cấu với không gian thương
W l(Rn)
W l(Rn−)
.
Nếu ta ký hiệu S(R¯n+) là tập các hàm u : R¯n+ → C mà nó có một thác triển v ∈ S(Rn), hay
nói cách khác có một hàm v ∈ S(Rn) mà thu hẹp của v trên R¯n+ là u. Khi đó, do S(Rn) trù
mật trong W l(Rn) nên S(R¯n+) trù mật trong W l(R¯n+).
Với l ∈ Z+, u ∈ C l(R¯n+), thác triển u˜ của u lên Rn được xác định như sau
u˜(x) =
{
u(x) nếu xn ≥ 0∑k+1
j=1 λju(x1, x2, . . . , xn−1,−jxn) nếu xn ≤ 0,
với λj, j = 1, 2, . . . , l + 1 là nghiệm duy nhất của hệ phương trình
l+1∑
j=1
(−j)kλj = 1, k = 1, 2, . . . , l + 1,
là một hàm khả vi liên tục đến cấp l trong Rn và với |α| ≤ l có
Dαu˜(x) =
{
Dαu(x) nếu xn ≥ 0∑k+1
j=1(−j)αnλjDαu(x1, x2, . . . , xn−1,−jxn) nếu xn ≤ 0,
80
nếu suppu ⊂ BR(0) thì supp u˜ ⊂ B(l+1)R(0),
và nếu u ∈ W l(R¯n+) thì u˜ ∈ W l(Rn), ||u˜||W l(Rn) ≤ C||u||W l(R¯n+), với C là hằng số không
phụ thuộc u. Như vậy, có một ánh xạ thác triển tuyến tính liên tục từ W l(R¯n+) lên W l(Rn).
Với l ∈ Z+, trên W l(R¯n+) có các chuẩn tương đương với chuẩn ||.||W l(R¯n+)
1||u||W l(R¯n+) =
(∑
|α|≤l
∫
Rn+
|Dαu(x)|2dx) 12 ,
2||u||W l(R¯n+) =
( l∑
j=1
∫
Rn−1
∫ +∞
0
(1 + ||ξ′||2)l−j|DjnFn−1u(ξ′, xn)|2dx
) 1
2 .
Với l ≥ 0, dùng phép nội suy ta cũng sẽ có một ánh xạ tuyến tính liên tục biến mỗi
u ∈ W l(R¯n+) thành một thác triển của u là một hàm u˜ ∈ W l(Rn).
Định lý 3.10 (Định lý nhúng). Với 0 ≤ l ≤ k, K là một tập compact trong R¯n+ có phép
nhúng từ không gian con của W k(R¯n+) gồm các phần tử có giá suppu ⊂ K, vào W l(R¯n+)
là compact.
Chứng minh. Lấy một dãy {uj}∞j=1 bị chặn bởi C > 0, trong W k(R¯n+), suppuj ⊂ K. Từ
Chú ý trên, với mỗi uj đều có một hàm u˜ ∈ W k(Rn) mà u˜j|R¯n+ = uj và ||uj||Wk(Rn) ≤
C ′, supp u˜j ⊂ K ′, C ′ > 0, K ′ là tập compact không phụ thuộc j. Từ Định lý nhúng trong
không gian W k(Rn), dãy {u˜j}∞j=1 có dãy con hội tụ trong W l(Rn). Lại tiếp tục, do ánh xạ
thu hẹp là ánh xạ tuyến tính liên tục từ W l(Rn) vào W l(R¯n+) nên dãy {uj}∞j=1 có dãy con
hội tụ trong W l(R¯n+).
Định lý 3.11 (Định lý vết). Với l ≤ 1
2
, ánh xạ vết γ biến u(x′, xn) thành u(x′, 0) là ánh xạ
tuyến tính liên tục từ không gian S(R¯n+) với tôpô sinh bởi chuẩn||.||W l(R¯n+) vào không gian
S(Rn−1) với tôpô sinh bởi chuẩn ||.||
W l−
1
2 (Rn−1).
ánh xạ vết γ có thể thác triển lên thành ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian W l(R¯n+)
vào không gian W l−
1
2 (Rn−1).
Chứng minh. Dễ thấy ánh xạ vết γ biến u(x′, xn) thành u(x′, 0) là ánh xạ tuyến tính từ
không gian S(R¯n+) vào không gian S(Rn−1).
Do S(R¯n+) trù mật trong W l(R¯n+), S(Rn−1) trù mật trong W l(Rn−1) nên để chứng minh
Định lý ta chỉ còn phải chứng minh có một số C > 0 để
||u(., 0)||
W l−
1
2 (Rn−1) ≤ C||u||W l(R¯n+),∀u ∈ S(R¯
n
+). (3.6)
Với u ∈ S(R¯n+) tồn tại v ∈ S(Rn) mà v|R¯n+ = u ∈ C [l]+1(R¯n+). Theo Chú ý trên có một
hàm u˜ ∈ C [l]+1(Rn) mà u˜|R¯n+ = u và ||u˜||W l(Rn) ≤ C1||u||W l(R¯n+) ≤ C1||u˜||W l(Rn) (C1 > 1
là hằng số không phụ thuộc u). Khi đó, u˜(x′, 0) = u˜|R¯n+(x′, 0) = u(x′, 0), nên theo Định lý
vết trong W l(Rn) có
||u(., 0)||
W l−
1
2 (Rn−1) = ||u˜(x
′, 0)||
W l−
1
2 (Rn−1) ≤ C2||u˜||W l(Rn) ≤ C||u||W l(R¯n+).
81
Chú ý. Để chứng minh bất đẳng thức (3.6) với u ∈ S(R¯n+) ta có thể chứng minh như sau.
Với u ∈ S(R¯n+) có DjnFn−1u(ξ′, t) ∈ S(R¯n+) nên lim
t→+∞
|DjnFn−1u(ξ′, t)| = 0. Do đó,
|DjnFn−1u(ξ′, 0)|2 =
∫ +∞
0
d|DjnFn−1u(ξ′, τ)|2
= −2<
∫ +∞
0
Dj+1n Fn−1u(ξ
′, τ)DjnFn−1u(ξ′, τ)dτ ≤
≤ (1 + ||ξ′||2)− 12
∫ +∞
0
|Dj+1n Fn−1u(ξ′, τ)|2dτ + (1 + ||ξ′||2)
1
2
∫ +∞
0
|DjnFn−1u(ξ′, τ)|2dτ
nên
(1 + ||ξ′||2)l−j− 12 |DjnFn−1u(ξ′, 0)|2 ≤(1 + ||ξ′||2)l−j−1
∫ +∞
0
|Dj+1n Fn−1u(ξ′, τ)|2dτ
(1 + ||ξ′||2)l−j
∫ +∞
t
|Dj+1n Fn−1u(ξ′, τ)|2dτ
hay ||Djnu(., 0)||W l− 12 (Rn−1) ≤ C(2||u||W l(R¯n+)),∀j = 0, 1, . . . , l − 1. Với j = 0, và chú ý
chuẩn 2||.||W l(R¯n+) tương đương với chuẩn ||.||W l(R¯n+), ta có bất đẳng thức (3.6).
Định lý 3.12 (Đối ngẫu của không gian W l(R¯n+)). Với l ≤ 0, không gian đối ngẫu của
không gian W l(R¯n+) là (
W l(R¯n+)
)′
= W−l(Rn+)
nghĩa là, với mỗi f ∈ (W l(R¯n+))′ có duy nhất một phần tử v ∈ W−l(Rn+) sao cho
• f(u) = ∫Rn+ u(x)v(x)dx, ∀u ∈ W l(R¯n+),
• ||f ||(
W l(R¯n+)
)′ = ||v||W−l(Rn+).
Chứng minh. Với f ∈ (W l(R¯n+))′, u ∈ W l(Rn) đặt f˜(u) = f(u|R¯n+), dễ có f˜ ∈ (W l(Rn))′
và ||f˜ ||(
W l(Rn)
)′ = ||f ||(
W l(R¯n+)
)′ . Theo Định lý về đối ngẫu cho không gian W l(Rn), có
duy nhất một hàm v ∈ W−l(Rn) mà
• f˜(u) = ∫R u(x)v(x)dx, ∀u ∈ W l(Rn),
• ||f˜ ||(
W l(Rn)
)′ = ||v||W−l(Rn).
Mà với ϕ ∈ C∞0 (Rn), suppϕ ∩ R¯n+ = ∅ có∫
Rn
v(x)ϕ(x)dx = f˜(ϕ) = f(ϕ|R¯n+) = 0
nên supp v ⊂ Rn+ hay v ∈ W−l(Rn+) và ||v||W−l(Rn+) = ||v||W−l(Rn).
82
3.3 Một số bất đẳng thức trong không gian Sobolev
Định lý 3.13 (Bất đẳng thức Sobolev). Cho n ≥ 3, f ∈ W 1(Rn). Khi đó, f ∈ Lq(Rn), q =
2n
n−2 , và ta có đánh giá sau
||f ||Lq ≤ C||∇f ||L2 ,
trong đó, C là một hằng số dương không phụ thuộc vào f.
Chứng minh. Với nghiệm cơ bản E(x) =
1
(n− 1)cn−1||x− y||2−n , cn−1 là diện tích mặt
cầu Sn−1 của toán tử Laplace ∆E = δ. Khi đó, với g ∈ Lp(Rn), p = 2n
n+2
có ∆(E ∗ g) = g.
Khi đó, F(E ∗ g)(ξ) = ||ξ||−2Fg(ξ) nên∫
Rn
||ξ||−2|Fg(ξ)|2dξ =
∫
Rn
F(E ∗ g)(ξ)Fg(ξ)dξ =
∫
Rn
(E ∗ g)(x)g(x)dx.
Với f ∈ W 1(Rn) có ∫
Rn
f(x)g(x)dx =
∫
Rn
Ff(ξ)F−1g(ξ)dξ
nên theo bất đẳng thức Cauchy- Schwartz có
|
∫
Rn
f(x)g(x)dx| ≤
(
||ξ||2|Ff(ξ)|2dξ
) 1
2
(
||ξ||−2|Fg(ξ)|2dξ
) 1
2
≤
(
||ξ||2|Ff(ξ)|2dξ
) 1
2
(∫
Rn
(E ∗ g)(x)g(x)dx
) 1
2
mà ||f ||Lq = sup
||g||Lp=1
| ∫
Rn
f(x)g(x)dx|
và theo bất đẳng thức Hardy- Littlewood- Sobolev có
∫
Rn(E ∗ g)(x)g(x)dx ≤ C||g||Lp
nên ||f ||Lq ≤ C
(
||ξ||2|Ff(ξ)|2dξ
) 1
2 ≤ C||∇f ||L2 .
Định lý 3.14 (Bất đẳng thức Poincare). Cho f ∈ W 10 (Ω), với Ω là tập mở, bị chặn, biên
trơn. Khi đó, có một số dương C không phụ thuộc f sao cho
||f ||L2 ≤ C||∇f ||L2 .
Định lý 3.15 (Bất đẳng thức Hardy). Cho f ∈ W 1(Rn). Khi đó, có một số dương C không
phụ thuộc f