Ôn tập môn Toán 12 - Thể tích khối đa diện

 >> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 1 
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 
Dạng 1 : Tính thể thích bằng cách áp dụng trực tiếp công thức tính thể tích 
A. Lý thuyết 
- Thể tích của hình lăng trụ V= B.H với B là diện tích đáy và h là chiều cao 
- Thể tích hình chóp V= 1/3. B.h với B là diện tích đáy và h là chiều cao 
- Thể tích của hình hộp chữ nhật V = a.b.c với a , b , c là ba kích thước 
- Thể tích của hình lập phương V = a3 với a là độ dài cạnh 
Thông thường trong các đề thi đại học chỉ tính thể tích của hình lăng trụ và hình chóp . 
Để tính được thể tích của chúng ta phải xác định được đường cao và thể tích đáy 
Chú ý : 
- Xác định đường cao của hình chóp . 
- Khối chóp có một cạnh vuông góc với đáy thì cạnh đó chính là đường cao. 
- Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao là đường kẻ từ đỉnh vuông 
góc với giao tuyến của đáy với mặt bên đó ( Nói đơn giản là đường cao của mặt bên ) . 
- Khối chóp có 2 mặt bên kề nhau cùng vuông góc với đáy thì đường cao là cạnh bên 
chung của 2 mặt đó . 
- Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên cùng tạo với đáy các góc bằng 
nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy . 
- Khối chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy các góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm 
đường tròn nội tiếp đáy . 
Ngoài ra trong một số trường hợp khác chúng ta có thể khai thác các tính chất khác của 
đa diện để xác định đường cao. 
Để tính được độ dài đường cao thông thường chúng ta gắn vào các tam giác vuông và chú 
ý . 
Hệ thức lượng trong tam giác vuông : Cho ΔABC vuông ở A ta có : 
Định lý Pitago : 
 >> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 2 
AB.AC =BC.AH 
BC = 2AM 
SinB = 
 , cosB = 
 , tanB = 
 , cotB = 
b = a.sinB = a.cosC , c = a.sinC = a.cosB , a = 
 , 
b = c.tanB = c.cotC 
Hệ thức lượng trong tam giác thường 
Định lý hàm số Côsin : 
Định lý hàm số Sin : 
Xác định diện tích đáy ( quan trọng xác định rõ đáy là hình gì ) 
- Công thức tính diện tích tam giác : 
S = 
 = 
 √ ( )( )( ) với 
 p = 
Đặc biệt : 
 ΔABC vuông tại A : S = 
 ΔABC đều cạnh a : S = 
 √ 
- Công thức tính diện tích tứ giác ABCD : 
- Diện tích hình vuông : S = 
- Diện tích hình chữ nhật : S = AB.AC 
- Diện tích hình thoi = 
AC.BD 
- Diện tích hình thang : S = 
(AB+CD).h 
- Diện tích hình bình hành : S = CD.h 
- Diện tích hình tròn : S = π 
- Diện tích tứ giác bất kỳ : S = 
AC.BD.sin( ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ) 
B. THÍ DỤ MINH HỌA 
Thí dụ 1 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D ; AB = 
AD = 2a , CD = a , góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng . Gọi I là trung điểm 
của cạnh AD . Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) . 
Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a . 
Giải : 
 >> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 3 
Cách 1 : 
Hình thang ABCD có ̂ = ̂ . 
AB = AD = 2a => IA = ID = a 
ΔAIB là tam giác vuông 
 = 
ΔIDC vuông nên 
Từ C kẻ CH ⏊ AB 
 ΔCHB là tam giác vuông 
CH = 2a , CD = a => HB = a 
 = 
 ΔBIC là tam giác vuông cân vì 
Kẻ IK ⏊ CB . Gọi J là trung điểm của IC => IJ = 
 √ 
 
 => BJ = 
√ 
 >> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 4 
Ta có : BJ.IC = IK.BC => IK = 
√ 
 √ 
 √ 
√ 
(SIC) ⏊ (ABCD) => SI ⏊ (ABCD) 
IK ⏊ BC => SK ⏊ BC => ̂ 
 SI = IK.tan = 
√ 
 √ 
( ) 
( ) 
√ 
 √ 
 √ 
√ 
 √ 
 . 
 á 
(SIB) ⏊ (ABCD) và (SIC) ⏊ (ABCD) nên ta có SI ⏊ (ABCD) 
Vậy SI là đường cao của hình chóp S.ABCD. 
Ta tính SI : 
Có diện tích hình thang ABCD là : dt(ABCD) = 3 . 
 >> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 5 
 Δ 
 , Δ 
=> Δ 
BC = √( ) √ 
Kẻ IK ⏊ BC ( K ) thì ta có BC ⏊ (SIK) => ̂ = à 
 (Δ )
 √ 
SI = IK.tan ̂ 
 √ 
Suy ra thể tích khối chóp S.ABCD là : V = 
 √ 
 (đvtt) . 
Thí dụ 2 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a , góc giữa đường thẳng BB’ và 
mặt phẳng (ABC) bằng , tam giác ABC vuông tại C và 
 ̂ Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của 
tam giác ABC . Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a . 
Giải : 
Gọi G là trọng tâm ΔABC => B’G ⏊ (ABC) 
B’G = 
 √ 
 , BG = 
 , BM = 
 . 
Đặt AB = 2x suy ra AC = x 
 >> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 6 
Gọi M là trung điểm của AC 
 MC = 
 √ 
Vậy 
 
 
 √ 
Tính thể tích khối tứ diện A’ABC là V = 
 √ 
 √ 
 . 
Thí dụ 3 : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB = a , 
AA’ = 2a , A’C = 3a . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’ , I là giao điểm của AM và A’C 
. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC) . 
Giải : 
Cách 1 : 
Ta có : => AC = a√ ; 
 => BC = 2a 
H là hình chiếu của I xuống mặt phẳng (ABC) 
Ta có : IH ⏊ AC 
 >> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 7 
 (đvtt) 
Tam giác A’BC vuông tại B 
Nên 
 √ √ 
Xét 2 tam giác A’BC và IBC , ta có 
IC = 
 √ 
Vậy d(A,(IBC)) = 
 √ 
√ 
 √ 
Cách 2 : 
Có BC = √ 
Kẻ IH ⏊ AC ( H AC ) => IH ⏊ (ABC) 
Kẻ HE ⏊ BC ( E BC ) => IE ⏊ BC ( Định lý 3 đường vuông góc ) 
Ta có 
 >> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 8 
 HE = 
AB = 
Do đó 
IE = √ √
 √ 
Nên Δ 
 √ 
 √ 
Gọi h là khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABC) thì : h = 
 Δ 
 √ 
√ 
Thí dụ 4 : Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a , góc giữa hai mặt phẳng 
(A’BC) và (ABC) bằng . Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC . Tính thể tích khối lăng trụ đã 
cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a . 
Giải : 
Gọi H là trung điểm của BC , theo giả thuyết ta có : ̂ . 
Ta có : AH = 
 √ 
 , A’H = 2AH = a√ và AA’ = 
 √ √ 
Vậy thể tích khối lăng trụ : 
V = 
 √ 
 √ 
 >> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 9 
Kẻ đường trung trực của GA tại trung điểm M của GA trong mặt phẳng (A’AH) cắt GI tại J thì 
GJ là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC . 
Ta có : GM.GA = GJ.GI 
 R = GJ = 
Thí dụ 5 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA = a , hình 
chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC , AH = 
 . Gọi 
CM là đường cao của tam giác SAC . Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối 
tứ diện SMBC theo a . 
Giải : 
Ta có SH = √ (
 √ 
)
 √ 
SC = √
 (
 √ 
)
=√
 = a√ 
Vậy ΔSCA cân tại C nên đường cao hạ từ C xuống ΔSAC chính là trung điểm SA . 
Từ M ta hạ K vuông góc với AC , nên MK = 
SH 
 >> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 10 
Ta có 
(
 ) 
 √ 
 √ 
Nên 
 √ 
Thí dụ 6 : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AC = a , BC = 2a , 
 ̂ và đường thẳng A’C tạo với mặt phẳng (ABB’A’) góc . Tính thể tích khối 
lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B , CC’ theo a . 
Giải : 
Trong (ABC) kẻ CH ⏊ AB ( H AB ) , suy ra CH ⏊ (ABB’A’) nên A’H là hình chiếu vuông 
góc của A’C lên (ABB’A’) . 
Do đó : [ ( )]̂ ( )̂ ̂ . 
Áp dụng định lý hàm số cosin trong tam giác ABC ta có : 
 √ 
Ta có : Δ 
 = 
 √ 
 >> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 11 
 CH = 
 Δ 
 √ 
Xét tam giác vuông A’HC ta có : 
A’C = 
 √ 
Xét tam giác vuông AA’C ta có : 
AA’ = √ 
 √ 
Thể tích lăng trụ là : V = Δ 
 √ 
Do CC’ // AA’ => CC’ // (ABB’A’) . 
Suy ra : d(A’B , CC’) = d(CC’ , (ABB’A’)) = d(C,(ABB’A’)) = CH = 
 √ 
Thí dụ 7 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có góc ̂ , 
hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy , góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và 
(ABCD) bằng . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA , 
CD theo a . 
Giải : 
 >> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 12 
Gọi O = AC BD , M là trung điểm AB và I là trung điểm AM . 
Do tam giác ABC là tam giác đều cạnh a nên : 
CM ⏊ AB , OI ⏊ AB và CM = 
 √ 
 , OI = 
 √ 
 , 
 √ 
 . 
Vì (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với (ABCD) nên SO ⏊ (ABCD) 
Do AB ⏊ OI => AB ⏊ SI 
Suy ra : 
 [( ) ( )]̂ ( )̂ ̂ 
Xét tam giác vuông SOI ta được : 
SO = OI.tan = 
 √ 
√ 
Suy ra : V = 
 √ 
 √ 
Gọi J = OI CD và H là hình chiếu vuông góc của J trên SI 
 >> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 13 
Suy ra : IJ = 2OI = 
 √ 
 và JH ⏊ (SAB) 
Do CD // AB => CD // (SAB) 
Suy ra : d(SA,CD) = d[CD,(SAB)] = d[J,(SAB)] = JH 
Xét tam giác vuông IJH ta được : JH = IJ.sin = 
 √ 
.
 √ 
Vậy d(SA,CD) = 
 √ 
Thí dụ 8 : Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB = 2 , tam giác ACB 
vuông tại C , các tam giác SAC và SBD là các tam giác đều cạnh bằng √ . Tính thể tích của 
hình chóp S.ABCD . 
Giải : 
Vì tam giác SAC và SBD đều cạnh √ nên AC = BD hay tứ giác ABCD là hình thang cân . 
Lại có góc ̂ = (giả thiết ) => ̂ nên 4 điểm A , B , C , D ( hay hình thang 
ABCD ) nội tiếp đường tròn đường kính AB . 
Gọi H là trung điểm AB khi đó SH vuông góc (ABCD) ( hay SH là trục đường tròn ngoại tiếp ) 
Hay SH là đường cao của hình chóp . 
Trong tam giác vuông ACB tại C ta có : 
 >> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 14 
BC = √ √ 
Nên SH = √ √ 
Lại có 
 √ 
 ( Do ABCD là nửa lục giác đều ) 
Vậy thể tích khối chóp là 
 √ 
 √ 
√ 
 ( đvtt ) 
Thí dụ 9 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , mặt 
bên tạo với đáy một góc . Mặt phẳng (P) chứa cạnh CD và tạo với mặt phẳng đáy một góc 
 và cắt SA , SB lần lượt tại M và N . Tính thể tích khối chóp S.CDMN theo a . 
Giải : 
Gọi I và K là trung điểm của CD và AB và H là giao điểm của SK và MN 
 ̂ ̂ và tam giác SIK là tam giác đều cạnh a 
IH là phân giác đồng thời là đường cao 
SH là đường cao nên SH = 
Tứ giác CDMN là hình thang cân có HI là đường cao 
 >> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 15 
Ta có : IH = 
 √ 
 , MN = 
 => 
( ) 
 √ 
Vậy : 
 √ 
 (đvtt) 
Thí dụ 10 : Cho hình chóp S.ABC có mặt SBC vuông góc với đáy , các cạnh 
 SB = SC = 1 và các góc ̂ ̂ ̂ . Tính thể tích của hình chóp S.ABC . 
Giải : 
Gọi H là trung điểm BC => SH ⏊ BC 
(SBC) ⏊ (ABC) => SH ⏊ (ABC) 
ΔSBC đều cạnh 1 => SH = 
√ 
ΔSAB = ΔSAC => AB = AC => AH ⏊ BC . Đặt SA = x , x > 0 . 
Áp dụng định lý hàm số cosin trong tam giác SAC ta có 
ΔAHC vuông => 
 >> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 16 
 
  x = 
 AH = 
√ 
 = 
√ 
Vậy thể tích hình chóp là 
√ 
Thí dụ 11 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , 
BC = 2a . Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm BC , mặt 
phẳng (SAC) tạo với đáy (ABC) một góc . Tính thể tích hình chóp và khoảng cách từ điểm I 
đến mặt phẳng (SAC) theo a , với I là trung điểm SB. 
Giải : 
Gọi H , J lần lượt là trung điểm của BC , AC . 
Ta có : 
 ⏊ ( )
 ⏊ 
} => AC ⏊ SJ 
Suy ra góc ̂ và AB = 
√ 
 √ 
√ 
SH = HJ.tan = 
√ 
Thể tích hình chóp là 
√ 
(√ )
√ 
 . 
 >> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 17 
Gọi E là hình chiếu của H lên SJ , khi đó ta có : 
 ⏊ 
 ⏊ 
} ⏊ ( ) 
Mặt khác , do IH // SC => IH // (SAC) . 
Suy ra d(I,(SAC)) = d(H,(SAC)) = HE = HJ.sin = 
√ 
Thí dụ 12 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều và 
AB = BC = CD = a . Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy 
(ABCD) .Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD , biết rằng khoảng cách giữa hai đường 
thẳng AB và SD bằng 
 √ 
 . 
Giải : 
Gọi H là giao điểm của AC và BD . 
Do (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SH vuông góc với (ABCD) . 
Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng SD . 
Do ABCD là nửa lục giác đều nên AB vuông góc với BD , kết hợp với AB vuông góc với SH 
suy ra AB ⏊ (SBD) => AB ⏊ BK => BK là đoạn vuông góc chung của AB và SD 
Do BC // AD suy ra AC = BD = √ 
Mặt khác ta có : 
2 √ 
 √ 
 √ 
 >> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 18 
 2SH = √ 
 => 4 + 
 => SH = 
Ta có : 
 √ 
Vậy thể tích hình chóp là 
 √ 
 √ 
Thí dụ 13 : Cho hình lăng trụ có M là trung điểm cạnh AB , BC = 2a , ̂ 
và ̂ , cạnh bên tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 
 , hình chiếu vuông góc 
của lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của CM . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và góc 
tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và ( ) . 
Giải : 
Gọi H là trung điểm CM . 
Từ giả thiết => ⏊ (ABC) . 
 ̂ ( ( ))
̂ 
Từ tam giác vuông ABC với BC = 2a 
 ̂ => AC = 2a√ . 
AB = 4a , CM = 
 => CH = a 
 
 >> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 19 
Vậy thể tích lăng trụ là 
 √ √ 
Kẻ HK ⏊ AC => đường xiên ⏊ => (( ) ( ))
̂ ̂ 
Tam giác MCA cân tại M 
 ̂ ̂ => HK = HC.sin 
 ( ̂ ) 
 (( ) ( ))
̂ 
Thí dụ 14 : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy A’B’C’ là tam giác vuông tại B’ . Gọi 
K là hình chiếu vuông góc của điểm A’ lên đường thẳng AC’. Biết góc giữa đường thẳng A’K 
với mặt phẳng (C’AB’) bằng và A’B’ = a , A’C’ = a√ . Tính thể tích khối tứ diện KA’BC . 
Giải : 
Góc A’KH = => A’K = 2A’H 
Ta có : 
 A’K = 
 √ 
 , AA’ = √ , AC’ = A’C = 2a√ 
 OA’ = a√ , OK = 
 √ 
 Δ Δ 
 √ 
Dựng đường cao BI của tam giác ABC thì BI ⏊ (CA’K) 
 >> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 20 
Nên BI là đường cao của khối chóp BA’CK và BI = 
√ 
Vậy thể tích khối tứ diện KA’BC là : 
 Δ 
 √ 
Thí dụ 15 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giá vuông tại A , AB = a , 
AC = a√ , hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam 
giác ABC và góc giữa AA’ tạo với mặt phẳng (ABC) bằng . Tính thể tích khối lăng trụ 
ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng (A’BC) . 
Giải : 
Gọi M là trung điểm BC . Từ giả thiết ta có : 
BC = 2a , AG = 
 , ̂ 
 A’G = AG.tan = 
 √ 
Thể tích V của khối lăng trụ được tính bởi : 
V = 
 √ 
 √ 
 (đvtt) 
Dựng AK ⏊ BC tại K và GI ⏊ BC tại I => GI // AK 
 
 => CI = 
 = 
 √ 
 √ 
 >> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 21 
Dựng GH ⏊ A’I tại H (1) 
Do : 
 ⏊ 
 ⏊ 
} => BC ⏊ GH (2) . 
Từ (1) và (2) => GH ⏊ (A’BC) 
Mặt khác nhận thấy AB’ cắt mp(A’BC) tại N là trung điểm của AB’ . Từ đó d[ ( )] 
 ( ( )) ( ( )) = 3GH 
= 3.
√ 
 √ 
 √ 
√ 
√ 
 √ 
Thí dụ 16 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , 
AB = BC = a√ , khoảng cách từ A đến mặt phảng (SBC) bằng a√ và 
 ̂ ̂ . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và góc giữa đường thẳng SB với mặt 
phẳng (ABC) . 
Giải : 
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mp(ABC) 
Ta có : 
 >> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 22 
+ Ta có 
 ⏊ ( )
 ⏊ ( )
} ⏊ 
Tương tự HC ⏊ BC 
Suy ra tứ giác HABC là một hình vuông 
+ Ta có : AH // BC (SBC) => AH // (SBC) 
 d( ( )) ( ( )) √ 
+ Dựng HK ⏊ SC tại K (1) 
Do 
 ⏊ 
 ⏊ 
} => BC ⏊ (SHC) => BC ⏊ HK (2) 
Từ (1) và (2) suy ra HK ⏊ (SBC) . Từ đó d(H,(SBC)) = HK = a√ 
 KC = √ √ 
tan ̂ 
 √ √ 
 √ 
Thể tích khối chóp S.ABC được tính bởi 
V = 
 √ √ √ 
 √ 
 (đvtt) 
+ Góc giữa SB với mp(ABC) là góc ̂ ( do tam giác SHB vuông cân ) 
Thí dụ 17 : Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh bên bằng a , đáy ABC là tam giác đều , hình 
chiếu của A trên (A’B’C’) trùng với trọng tâm G của ΔA’B’C’. Mặt phẳng (BB’C’C) tạo với 
(A’B’C’) góc . Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a . 
Giải : 
 >> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 23 
Gọi M , M’ lần lượt là trung điểm BC , B’C’ => A’, G , M’ thẳng hàng và AA’M’M là hình bình 
hành . 
A’M’⏊ B’C’ , AG ⏊ B’C’ => B’C’ ⏊ (AA’M’M) 
Suy ra góc giữa (BCC’B’) và (A’B’C’) là góc giữa A’M’ và MM’ bằng 
 ̂ 
Đặt x = AB . Ta có ΔABC đều cạnh x có AM là đường cao . 
 AM = 
 √ 
 √ 
. 
Trong ΔAA’G vuông có AG = AA’sin = 
 √ 
 . 
A’G = AA’cos 
 √ 
  x = 
 √ 
 . 
 Δ 
 √ 
√ 
(
 √ 
)
 √ 
Thể tích lăng trụ là Δ 
 √ 
 √ 
 >> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 24 
Thí dụ 18 : Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC và BCD là các tam giác đều cạnh a , góc giữa 
AD và mặt phẳng (ABC) bằng . Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a và góc giữa hai mặt 
phẳng (ABD) và (ABC) . 
Giải : 
Gọi H là trung điểm của BC . 
Do ΔABC và ΔBCD đều cạnh a nên : 
AH = DH = 
 √ 
 và BC ⏊ (AHD) => (ABC) ⏊ (AHD) 
Kẻ DK ⏊ AH => DK ⏊ (ABC) 
 Góc ̂ , ̂ 
 ΔDAK vuông cân tại K 
ΔDAH vuông cân tại H 
 K H => DH ⏊ (ABC) 
Diện tích tam giác ABC là : 
 √ 
Thể tích khối tứ diện ABCD là V = 
DH. = 
 √ 
. 
 √ 
 >> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 25 
Kẻ HE ⏊ AB => DE ⏊ AB 
Vậy góc giữa 2 mp(ABD) và (ABC) là góc giữa hai đường thẳng DE và HE và bằng góc ̂ 
Gọi CF là đường cao xuất phát từ C của tam giác đều ABC cạnh a nên có : 
CF = 
 √ 
 , HE = 
CF = 
 √ 
 nên tan ̂ = 
 => ̂ 
Vậy góc giữa hai mp(DAB) và (ABC) là góc ̂ 
Thí dụ 19 : Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có thể tích V . Các mặt phẳng (ABC’) , (AB’C) , 
(A’BC) cắt nhau tại O . Tính thể tích khối tứ diện OABC theo V . 
Giải : 
Gọi I = AC’ A’C , J = A’B AB’ 
( ) ( ) 
( ) ( ) 
 ọ 
} => O là điểm cần tìm 
Ta có O là trọng tâm tam giác BA’C 
Gọi H là hình chiếu của O lên (ABC) 
Do ΔABC là hình chiếu vuông góc của ΔBA’C trên (ABC) nên H là trọng tâm ΔABC . 
 >> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 26 
Gọi M là trung điểm BC . 
Ta có : 
OH
A A
HM
AM
1
3
 VOABC 
1
3
OH SΔABC 
1
A A SΔABC 
1
V 
Thí dụ 20 : Lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông 
góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm tam giác ABC . Tính thể tích lăng trụ 
ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa cạnh AA’ và cạnh BC theo a , biết góc giữa mặt phẳng 
(A’BC) và (ABC) bằng . 
Giải : 
Gọi M là trung điểm BC ta có AM ⏊ BC (1) 
Mà A’H ⏊ BC suy ra A’M ⏊ BC (2) 
Từ (1) và (2) ta có ((A BC) (ABC))
̂
 (A M AM)̂ A MÂ 
AM = 
a√3
2
 , HM = 
1
3
AM = 
a
2√3
 , AH = 
2
3
AM = 
a
√3
tan 
A H
MH
 A H 
a
2
 >> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 27 
Vậy thể tích của lăng trụ là : 
Vlt A
 H dt(ABC) 
a
2
a2√3
4
a3√3
 (đvtt) 
(AA’M) kẻ MK ⏊ A’A 
Do BC ⏊ (AMA’) => MK ⏊ BC 
d(AA BC) MK 
ΔAA’H đồng dạng ΔAMK 
 
A H 
MK 
AA 
AM 
A H AM 
AA 
Do đó AA’ = √
a2
3
a2
4
 = √
12
a 
 Mk = 
3a
2√ 
Vậy d(AA’,BC) = 
3a
2√