Ôn tập môn Toán 12 - Phương pháp tọa độ trong không gian

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.
 Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục toạ độ vuông góc Oxyz trong không gian z 
 O y 
 x
O ( 0;0;0) gọi là góc toạ độ .
Các trục tọa độ: 
Ox : trục hoành.
Oy : trục tung.
Oz : trục cao.
Các mặt phẳng toạ độ: 
(Oxy), (Oyz), (Oxz) đôi một vuông góc với nhau.
 là các véctơ đơn vị lần lượt 
nằm trên các trục Ox, Oy, Oz.
 = (1;0;0), = (0;1;0), = (0;0;1).
 và .
, , .
CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT CẦN NHỚ
M Ox M(x;0;0)
M Oy M(0;y;0)
M Oz M(0;0;z)
M (Oxy) M(x;y;0)
M (Oyz) M(0;y;z)
M (Oxz) M(x;0;z)
Tọa độ của điểm: 
Tọa độ của vectở: 
CÁC TÍNH CHẤT CẦN NHỚ.
Cho 
1. Tổng hai vectơ là một vectơ.
2. Hiệu hai vectơ là một vectơ.
3. Tích của vectơ với một số thực là một vectơ.
. Chú ý: .
4. Độ dài vectơ. Bằng 
.
Vectơ không có tọa độ là: .
Hai vectơ bằng nhau: Tọa độ tương ứng bằng nhau.
7. Tích vô hướng của hai vectơ: Bằng: hoành.hoành+tung.tung+cao.cao.
. Chú ý: 
8. Góc giữa hai vectơ: Bằng tích vô hướng chia tích độ dài.
CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ
Trong hệ trục toạ độ Oxyz.
 Cho A( xA; yA; zA) , B( xB, yB, zB). Khi đó:
Tọa độ vectơ là: .
Độ dài đoạn thẳng AB bằng đồ dài :
 .
Chú ý: Độ dài đoạn thẳng AB hay còn gọi là khoảng cách giữa hai điểm A và B.
Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là: 
Tọa độ trọng tâm của tam giác:
Cho ABC với A(xA; yA; zA),B( xB, yB, zB), C( xC, yC, zC). 
 Khi đó toạ độ trọng tâm G của ABC là: 
 5) Tích có hướng và tính chất của tích có hướng:
Cho . Khi đó:
Hai vectơ , cùng phương .
Hai vectơ , không cùng phương 
Ba vectơ đồng phẳng .
Ba vectơ không đồng phẳng .
 6) Chứng minh hai vectơ cùng phương.
Cách 1:
 và cùng phương . 
Cách 2:
 và cùng phương với
 và cùng phương với 
Cách 3:
 và cùng phương .
CÁC DẠNG BÀI TẬP CHỨNG MINH
Vấn đề1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng. Ba điểm không thẳng hàng.
Dạng 1: Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng:
Cần nhớ
Phương pháp
Ba điểm A, B, C thẳng hàng 
 hai vectơ cùng phương .
Chú ý: Ba điểm A, B, C thẳng hàng là ba điểm nằm trên 1 đường thẳng.
Để chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tính .
Bước 2: Tính .
Bước 3: Kết luận hai vectơ cùng phương, nên ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Dạng 2: Chứng minh ba điểm A, B, C KHÔNG thẳng hàng:
Cần nhớ
Phương pháp
Ba điểm A, B, C không thẳng hàng 
 hai vectơ không cùng phương 
Để chứng minh ba điểm A,B,C KHÔNG thẳng hàng ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tính .
Bước 2: Tính .
Bước 3: Vậy hai vectơ không cùng phương, nên ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
Chú ý: Ba điểm không thẳng hàng chính là ba đỉnh của một tam giác.
Vấn đề 2: Chứng minh bốn điểm đồng phẳng, bốn điểm không đồng phẳng.
Dạng 1: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D KHÔNG đồng phẳng.
Cần nhớ
Phương pháp
Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng 
 đồng phẳng
.
Để chứng minh bốn điểm A,B,C, D không đồng phẳng ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tính .
Bước 2: Tính .
Bước 3: Vậy ba vectơ không đồng phẳng, nên bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
Chú ý: 
A, B, C, D không đồng phẳng khi đó A, B, C, D là bốn đỉnh của 1 tứ diện ABCD.
Vậy để chứng minh bốn điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện ta đi chứng minh bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng
Dạng 3: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng.
Cần nhớ
Phương pháp
Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng 
 đồng phẳng
.
Chú ý: Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng là bốn điểm thuộc một mp.
Để chứng minh bốn điểm A,B,C, D đồng phẳng ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tính .
Bước 2: Tính .
Bước 3: Vậy ba vectơ đồng phẳng, nên bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng.
Vấn đề 3: Hình chiếu vuông góc.
Hình chiếu vuông góc lên trục tọa độ
Hình chiếu vuông góc lên mp tọa độ
1. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M(x0;y0;z0) trên các trục tọa độ.
Phương pháp
Hình chiếu vuông góc của điểm 
M(x0;y0;z0) trên trục Ox là: M(x0;0;0)
Hình chiếu vuông góc của điểm 
M(x0;y0;z0) trên trục Oy là: M(0;y0;0)
Hình chiếu vuông góc của điểm 
M(x0;y0;z0) trên trục Oz là: M(0;0;z0)
2. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M(x0;y0;z0) trên các phẳng tọa độ.
Phương pháp
Hình chiếu vuông góc của điểm 
M(x0;y0;z0) trên (Oxy) là: M(x0;y0;0)
Hình chiếu vuông góc của điểm 
M(x0;y0;z0) trên (Oyz) là: M(0;y0;z0)
Hình chiếu vuông góc của điểm 
M(x0;y0;z0) trên (Oxz) là: M(x0;0;z0)
Vấn đề 4: Thể tích khối tứ diện.
Cần nhớ
Phương pháp
Thể tích của khối tứ diện ABCD
 A
 D
 B 
 C
Bước 1: Tính .
Bước 2: Tính 
Bước 3: 
Chú ý: Thể tích không âm.
Vấn đề 5: Diện tích tam giác.
Diện tích tam giác ABC 
 A
 B C
Chú ý: Diện tích không âm.
Bước 1: Tính .
Bước 2: Tính .
Bước 3: Tính .
Bước 4: ADCT 
MẶT CẦU
Vấn đề 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu.
Dạng 1
Dạng 2
Mặt cầu (S): 
Có tâm I(a;b;c) và bán kính r
Mặt cầu (S): 
Có tâm I(a;b;c) với 
Bán kính: 
Vấn đề 2: Lập phương trình mặt cầu.
Dạng 1: Lập phương trình mặt cầu dạng 
Loại 1: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và bán kính r=m (với m là số thực).
Phương pháp: 
Bước 1: Pt mặt cầu (S): (*).
Bước 2: Mặt cầu có tâm I(a;b;c), bán kính r=m.
Bước 3: Thế tâm I và bán kính r vào pt (*).
Loại 2: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và đường kính bằng n (với n là số thực).
Phương pháp: 
Bước 1: Pt mặt cầu (S): (*).
Bước 2: Mặt cầu có tâm I(a;b;c), bán kính r=.
Bước 3: Thế tâm I và bán kính r vào pt (*).
Loại 3: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và đi qua điểm A.
Phương pháp: 
Pt mặt cầu (S): (*).
Mặt cầu có tâm I(a;b;c)
Bán kính r=.
Thế tâm I và bán kính r vào pt (*).
Chú ý: Điểm A thuộc mặt cầu nên khoảng cách từ A đến tâm bằng với bán kính r hay độ dài đoạn thẳng IA bằng với bán kính r.
Loại 4: Mặt cầu có đường kính AB.
Phương pháp: 
Pt mặt cầu (S): (*).
Gọi I trung điểm AB
Mặt cầu có tâm I(a;b;c)
Bán kính r=.
Thế tâm I và bán kính r vào pt (*).
Chú ý: 
Đường kính là AB nên A và B thuộc mặt cầu nên IA=IB là bán kính.
Ta có thể tính r theo 2 cách sau: r= hoặc r=.
Loại 5: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và tiếp xúc mp (P): Ax+By+Cz+D=0.
Phương pháp: 
Pt mặt cầu (S): (*).
Mặt cầu có tâm I(a;b;c). 
Do mặt cầu tiếp xúc mp(P) nên: 
Thế tâm I và bán kính r vào pt (*).
Dạng 2: Lập phương trình mặt cầu dạng: .
Loại 1: Lập phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D.
Phướng pháp.
Pt mặt cầu (S) có dạng: (*)
Vì A, B, C, D thuộc (S): 
Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế, ta tìm được a, b, c, d. Sau đó thế a, ,b , c, d vào pt (*).
Chú ý: Đề bài có thể hỏi thêm xác định tâm, tính bán kính, tính diện tích xung quanh và thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Loại 2: Lập phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc 
mp (P): Ax+By+Cz+D=0.
Phướng pháp.
Pt mặt cầu (S) có dạng: (*)
Vì A, B, C thuộc (S): 
 Ta được hệ pt gồm ba phương trình.
Vì tâm I(a;b;c) thuộc (P) nên thế tọa độ a;b;c vào pt của (P) ta được phương trình thứ tư. Ta giải hệ bốn pt, ta tìm được a,b,c,d.
VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Dạng 1: Viết pt mp biết điểm thuộc mp và vectơ pháp tuyến.
Loại 1: Mặt phẳng (P) qua điểm và có vectơ pháp tuyến .
Phương pháp: 
Mặt phẳng (P) qua điểm .
Mặt phẳng (P) có VTPT .
Ptmp (P): .
M
P)
Loại 2: Mặt phẳng (P) qua điểm và song song hoặc chứa giá của hai vectơ .
Phương pháp: 
Mặt phẳng (P) qua điểm .
Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là 
Mặt phẳng (P) có VTPT .
Ptmp(P): .
Dạng 2: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và song song với mp(Q).
Phương pháp: 
Do mp(P) song song mp(Q) nên pt có dạng: 
Ax+By+Cz+m=0, với .
Vì M thuộc mp(P) nên thế tọa độ của M và 
pt (P) ta tìm được m.
Chú ý: Hai mp song song cùng vectơ pháp tuyến.
M
P)
P)
Q)
M
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d.
Phương pháp:
Mặt phẳng (P) đi qua M.
Mặt phẳng (P) có VTPT: .
Ptmp(P): 
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C.
Phương pháp:
Mặt phẳng (P) đi qua A.
Mặt phẳng (P) có VTPT: .
Pt(P): 
C
B
A
B
P)
Q)
A
Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai điểm A, B và vuông góc với mp(Q).
Phương pháp: 
Mặt phẳng (P) qua điểm A.
Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là: .
Nên mp(P) có VTPT: .
Ptmp(P): 
Dạng 6: 
Viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d và d’.
Hoặc viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d song song với đường thẳng d’.
Phương pháp: 
Mặt phẳng (P) qua điểm .
Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là: .
Mp(P) có VTPT: .
Ptmp(P): 
Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A và đường thẳng d.
Phương pháp: 
Chọn điểm M thuộc đt d.
Mặt phẳng (P) qua điểm A.
Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là: .
Nên mp(P) có VTPT: .
Ptmp(P): 
.
Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng (P) là mp trung trực của đoạn thẳng AB.
Phương pháp: 
Gọi I là trung điểm AB
Mặt phẳng (P) qua điểm I.
Mặt phẳng (P) có VTPT .
Ptmp (P): .
P)
A
I
B
Dạng 9: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và vuông góc với hai mp (Q) và (R).
Phương pháp: 
Mặt phẳng (P) qua điểm M.
Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là: .
Nên mp(P) có VTPT: .
Ptmp(P): 
Vấn đề 4: Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu (S):
Dạng 1: Lập phương trình mp(P) tiếp xúc mặt cầu (S) tại điểm A.
Phương pháp: 
Xác định tâm I của mc(S).
Mặt phẳng (P) qua điểm A.
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến .
Ptmp(P): 
Dạng 2: Viết pt mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến và tiếp xúc mặt cầu (S).
r = d(I,(P))
I
P)
Phương pháp: 
Trước tiên: Ta xác định tâm I và bán kính r của mặt cầu.
Ptmp(P) có dạng: Ax+By+Cz+D=0.
 Vì mp(P) có VTPT .
Do mp(P) tiếp xúc mc(S) 
Chú ý: .
Chú ý: Các kết quả thường dùng:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
Điều kiện tiếp xúc:
Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) 
 với I là tâm mặt cầu (S)
 r là bán kín mặt cầu (S)
Điều kiện tiếp xúc:
Đường thẳng d tiếp xúc mặt cầu (S) 
 với I là tâm mặt cầu (S)
 r là bán kín mặt cầu (S)
Vấn đề 5: Khoảng cách:
Dạng 1: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
Khoảng cách từ điểm M(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là
Dạng 2(nâng cao): Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thẳng d:
Xác định điểm M0 thuộc d và vtcp của d . 
ADCT: 
Dạng 3(nâng cao): Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: 
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 1 và 2 :
Trước tiên ta xác định: 
1 có vtcp và đi qua điểm M1
2 có vtcp và đi qua điểm M2
d(1;2) = 0
VẤN ĐỀ 6: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG.
Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A,B.
Phương pháp: 
Đường thẳng d đi qua điểm A.
Đường thẳng d có VTCP: .
Pt tham số:.
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và song song với đường thẳng d’.
Phương pháp: 
Đường thẳng d đi qua điểm M.
Đường thẳng d có VTCP: .
Pt tham số:.
Chú ý: Hai đường thẳng song song cùng vectơ chỉ phương.
Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mp(P).
Phương pháp: 
Đường thẳng d đi qua điểm M.
Đường thẳng d có VTCP: .
Pt tham số: .
Chú ý: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nhận VTPT của mặt phẳng làm VTCP.
VẤN ĐỀ 7: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Tìm giao điểm của đường thẳng d: và mp(P): Ax+By+Cz+D=0.
Phương pháp: 
Gọi H là giao điểm của d và (P).
Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ pt: 
Xét pt: (*).
Giải pt (*) tìm tx, y, z tạo độ điểm H.
VẤN ĐỀ 8: XÁC ĐỊNH HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA M LÊN MP(P).
Phương pháp: 
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M 
và vuông góc với mp(P).
Tìm giao điểm H của d và (P).
Điểm H chính là hình chiếu vuông góc của M lên (P).
M
H
Cần nhớ: Hình chiếu vuông góc của M lên (P) chính là giao điểm của đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P).
VẤN ĐỀ 9: TÌM ĐIỂM M’ ĐỐI XỨNG VỚI M QUA MP(P).
Phương pháp: 
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và 
vuông góc với mp(P).
Tìm giao điểm H của d và (P).
Do M và M’ đối xứng qua (P) nên H là trung điểm 
của đoạn thẳng MM”.
M’=..
M
H
M/
Cần nhớ: Hai điểm M và M’ đối xứng nhau qua (P) khi đó H là trung điểm của đoạn thẳng MM’
VẤN ĐỀ 10: XÁC ĐỊNH HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA M LÊN đường thẳng d.
Phương pháp: 
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M 
và vuông góc với đường thẳng d.
Tìm giao điểm H của d và (P).
Điểm H chính là hình chiếu vuông góc của M lên d.
M
H
P)
(d)
Cần nhớ: Hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d chính là giao điểm của đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P).
VẤN ĐỀ 11: TÌM ĐIỂM M’ ĐỐI XỨNG VỚI M QUA đường thẳng d.
Phương pháp: 
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và 
vuông góc với đường thẳng d.
Tìm giao điểm H của d và (P).
Do M và M’ đối xứng qua d nên H là trung điểm 
của đoạn thẳng MM’.
M’=..
M
M/
H
P)
(d)
Cần nhớ: Hai điểm M và M’ đối xứng nhau qua d khi đó H là trung điểm của đoạn thẳng MM’.
VẤN ĐỀ 12: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG.
Phương pháp: 
Bước 1: 
Xác định điểm M thuộc d và VTCP của d.
Xác định điểm M’ thuộc d và VTCP của d’.
Bước 2: 
Xét sự cùng phương của hai vectơ chỉ phương bằng cách tính 
Nếu thì cùng phương khi đó d song song với d hoặc d trùng với d’.
Nếu M thuộc d mà không thuộc d’ thì d song song d’.
Nếu M thuộc d và cũng thuộc d’ thì d trùng với d’.
Nếu thì không cùng phương khi đó d cắt d’ hoặc d và d’ chéo nhau.
Nếu thì d và d’ cắt nhau.
Nếu thì d và d’ chéo nhau.
VẤN ĐỀ 13: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MP.
Phương pháp: Để xét vị trí tường đối của đt d: và mp(P): Ax+By+Cz+D=0.
Ta làm như sau:
Bước 1: Xét pt: (*).
Bước 2: Giải pt tìm t.
Pt(*) có một nghiệm t d cắt mp(P) tại một điểm.
Pt (*) vô nghiệm d song song với (P).
Pt(*) có vô số nghiệm t d nằm trong (P).
Chú ý: 
VẤN ĐỀ 14: CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH.
1/ Chứng tam giác ABC là tam giác vuông tại A.
Cần nhớ: Tam giác ABC vuông tại A
Phương pháp: 
Tính 
Tính 
Suy 
Suy ra .
Kết luận tam giác ABC vuông tại A
Chú ý: 
Nếu tam giác ABC vuông tại B
Nếu tam giác ABC vuông tại C
2/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ VUÔNG GÓC với nhau.
Cần nhớ: 
Phương pháp: 
Đường thẳng d có VTCP: =...
Đường thẳng d’ có VTCP: =...
Tính 
Suy ra: . 
Kết luận d và d’ vuông góc với nhau.
3/ Tìm tham số để đường thẳng d VUÔNG GÓC đường thẳng d’.
Phương pháp: 
Do ta giải pt tìm được tham số.
4/ Chứng minh đường thẳng d SONG SONG với đường thẳng d’.
Cần nhớ: 
Hai đường thẳng song song không có điểm 
chung tức là mọi điểm thuộc đường thẳng này nhưng không thuộc đường thẳng kia.
Hai đường thẳng song song khi hai vectơ chỉ 
phương cùng phương với nhau.
Phương pháp chứng minh hai đường thẳng d và d’ SONG SONG với nhau: 
Cách 1:
Bước 1: Chứng minh hai vectơ chỉ phương cùng phương:
Ta chứng minh .
Bước 2: Chọn điểm M thuộc d rồi chứng minh M không thuộc d’. Rồi kết luận.
Cách 2: 
Bước 1: Lập tỉ số: Tức là cùng phương .
Bước 2: Chọn điểm M thuộc d rồi chứng minh M không thuộc d’. Rồi kết luận.
5/ Tìm tham số m để đường thẳng d SONG SONG đường thẳng d’.
Phương pháp: 
Bước 1: Chỉ ra hai vectơ chỉ phương .
Bước 2: Vì d //d’ nên cùng phương , lập pt hoặc hệ pt để tìm m.
6/ Tìm giao điểm của hai đường thẳng: 
 d: và d’: 
Cách tìm: 
Bước 1: 
Gọi I là giao điểm của d và d’.
Tọa độ giao điểm là nghiệm hệ pt: (*)
Bước 2: Để giải hệ (*) ta đi giải hệ gồm pt (1) và (2), rồi thế t và t’ vào pt(3) thử lại.
Giải hệ pt . Tìm t và t’.
Thế t và t’ vào pt (3) nếu thỏa thì t và t’ là nghiệm của hệ (*), nếu không thỏa thì hệ 
(*) vô nghiệm.
Thế t và t’ vào pt của d hoặc của d’ để tìm tọa độ giao điểm I.
7/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ CẮT nhau.
Phương pháp: 
Cách 1: 
Chỉ ra một điểm M thuộc d và một vectơ chỉ phương của d.
Chỉ ra một điểm M’ thuộc d’ và một vectơ chỉ phương của d’.
Chứng minh: .
Cách 2: Tìm giao điểm của d và d’ bằng cách giải hệ phương trình.
8/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ CHÉO nhau.
Phương pháp: 
Chỉ ra một điểm M thuộc d và một vectơ chỉ phương của d.
Chỉ ra một điểm M’ thuộc d’ và một vectơ chỉ phương của d’.
Chứng minh: .
VẤN ĐỀ 15: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG.
Cách tính: 
Để tính khoảng cách giữa hai mp song song (P) và (Q) ta làm như sau:
Chọn điểm M thuộc (P).
.
VẤN ĐỀ 16: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG.
Chọn điểm M thuộc d.
.
VẤN ĐỀ 17: ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG 
Cho đường thẳng d có phương trình tham số: .
Cần nhớ: 
Đường thẳng là tập hợp vô số điểm.
Nếu chọn điểm M thuộc d thì điểm M có tọa độ là: .
VẤN ĐỀ 18: GÓC.
1/ Góc giữa hai đường thẳng là góc giữa hai vectơ chỉ phương.
 Chú ý: .
2/ Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai vectơ pháp tuyến.
 Chú ý: .
3/ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến.
 Chú ý: .
VẤN ĐỀ 19: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT PHẲNG (P) VÀ MẶT CẦU (S).
Bước 1: Xác định tâm I và bán kính r của mặt cầu (S).
Bước 2: Tính khoảng cách d từ tâm I đến mp(P): .
TH1: (hay (P) và (S) không có điểm chung).
TH2: 
TH3: 
Cách xác định tâm và bán kính đường tròn(C).
Bước 1: Gọi H là tâm của (C).
Khi đó H chính là giao điểm của đường thẳng d đi qua tâm I và vuông góc mp(P).
Bước 2: Gọi r’ là bán kính của (C).
Khi đó: .
Cần nhớ: H là hình chiếu vuông góc của I lên (P) nên tam giác IMH vuông tại H.
Với: r=IM, d=IH= và r’=MH.
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Bài 1: Tìm tọa độ điểm M và tính biết:
Bài 2: Tìm tọa độ điểm M và tính biết: 
	 với A(2;1;0), B(-2;0;1).
	 với A(2;1;4), B(-2;3;1).
 với A(2;1;0), B(-2;0;1).
Bài 3: 
Câu 1: Tính góc giữa hai vectơ: .
Câu 2: Xét sự cùng phương của các cặp vectơ sau.
Bài 4: Cho tam giác ABC biết A(-4;-2;0), B(-1;-2;4), C(3;-2;1). 
Tính góc giữa hai vectơ .
Tính góc giữa hai vectơ .
Tính góc giữa hai vectơ .
Bài 5: Cho . Tìm m để .
Bài 6: Cho . Tìm m để .
Bài 7: Cho . Tìm m để .
Chứng minh tam giác vuông
Bài 8: Cho ba điểm A(1;-3;0), B(1;-6;4), C(13;-3;0). Chứng minh tam giác ABC vuông.
Bài 9: Cho ba điểm A(-1;1;2), B(0;1;1), C(1;0;4). Chứng minh tam giác ABC vuông.
Bài 10: Cho ba điểm A(1;0;3), B(2;2;4), C(0;3;-2). Chứng minh tam giác ABC vuông.
Bài 11: Cho ba điểm A(1;1;0), B(0;2;0), C(0;0;2). Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.
Chứng minh tam giác cân.
Bài 12: Cho tam giác ABC biết A(1;1;1), B(-1;1;0), C(3;1;2). 
Chứng minh tam giác ABC cân tại đỉnh A.
Tính chu vi tam giác ABC.
Tính diện tích tam giác ABC.
Bài 13: Cho tam giác ABC biết A(2;1;0), B(-1;0;1), C(0;3;-2).
1. Chứng minh tam giác ABC cân.
Tính chu vi tam giác ABC.
Tính diện tích tam giác ABC.
Chứng minh tam giác đều
Bài 14: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều. Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
Bài 15: Cho ba điểm A(1;1;0), B(0;1;1), C(1;0;1). Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều. Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
Bài 16: Cho ba điểm A(-2;0;0), B(0;-2;0), C(0;0;-2). Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều. Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
Bài 17: Cho ba điểm A(-3;-3;0), B(0;-3;-3), C(-3;0;-3). Chứng minh ABC là tam giác đều. Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
MẶT CẦU
Xác định tâm và bán kính mặt cầu
Bài 18: Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S).
Bài 19: Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S).
Viết phương trình mặt cầu:
Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính
Bài 20: Viết phương trình mặt cầu: 
Viết phương trình mặt cầu (S) biết tâm I(2;-1;1) và bán kính bằng 3.
Cho ba điểm A(1;2;1), B(2;0;1), C(-1;0;-2). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là 
điểm A và bán kính bằng độ dài đoạn thẳng BC.
Bài 21: Viết phương trình mặt cầu: 
Viết phương trình mặt cầu (S) biết tâm I(-1;-1;-1) và đường kính bằng 16.
Cho ba điểm A(-1;2;1), B(2;0;-1), C(-1;0;-2). Viết phương trình mặt cầu (S) có 
tâm là điểm B và đường kính bằng độ dài đoạn thẳng AC.
Bài 22: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là điểm A(1;-2;3) và đi qua điểm B(0;2;-1).
Bài 23: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ và đi qua điểm A(2;-1;9).
Bài 24: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là điểm M(2;-1;3) và đi qua gốc tọa độ.
Bài 25: Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB, A(1;2;3), B(-3;2;-1).
Bài 26: Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính MN, M(1;-2;-3), N(-3;2;1).
Bài 27: Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính EF, E(-1;4;-2), F(-3;2;2).
Viết phương trình mặt cầu có tâm I và tiếp xúc mặt phẳng (P).
Bài 28: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và tiếp xúc mặt phẳng 
(P):2x-2y-z-1=0.
Bài 29: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(-1;-2;-3) và tiếp xúc mặt phẳng (P):2x+2y+z-3=0. 
Bài 30(Đề thi đại học giao thông vận tải năm 99): Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ và tiếp xúc mặt phẳng (P): 16x-15y-12z-75=0. 
Bài 31: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I là trung điểm AB và tiếp xúc mặt phẳng 
(P): 2x-2y-z-27=0. Biết A(1;2;-2), B(3;2;2).
Bài 32: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I là trọng tâm tam giác ABC và tiếp xúc mặt phẳng (P): 2x-2y-z-27=0. Biết A(1;2;-2), B(3;2;2), C(2;2;9).
Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm hay mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Bài 33: Viết phương trình mặt cầu (S) qua 4 điểm A(2;0;0), B(0;4;0), C(0;0;0), O(0;0;0).
Bài 34: Viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2), D(2;2;1).
Bài 35: Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD, biết A(3;2;6), B(3;-1;0),
 C(0;-7;3), D(-2;1;-1).
Bài 35(ĐH Huế 96): Cho bốn điểm A(1;0;1), B(2;1;2), C(1;-1;1), D(4;5;-5). Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng (P) hoặc mặt phẳng tọa độ 
hoặc trục tọa độ.
Bài 36: Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(0;1;0), B(1;0;0), C(0;0;1) và có tâm thuộc mặt phẳng (P): x+y+z-3=0.
Bài 37: Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(7;1;0), B(-3;-1;0), C(3;5;0) và có tâm thuộc mặt phẳng (P): 18x-35y-17z-2=0.
Bài 38: Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) và có tâm thuộc mặt phẳng (P): 2x+2y+2z-6=0.
Bài 39: Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(1;2;-4), B(1;-3;1), C(2;2;3) và có tâm thuộc mặt phẳng (Oxy).
Bài 40: Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(1;-5;-4), B(1;-3;1), C(-2;2;-3) và có tâm thuộc mặt phẳng (Oxz).
Bài 41: Viết phương trình mặt cầu (S) qua hai điểm A(3;1;0), B(5;5;0) và có tâm thuộc trục Ox.
Bài 42: Viết phương trình mặt cầu (S) qua hai điểm A(3;-1;2), B(1;1;-2) và có tâm thuộc trục Oz.
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Mặt phẳng đi qua một điểm và có vectơ pháp tuyến
Bài 43: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;2;3) và vuông góc với đường thẳng BC, biết B(-;2;1;3), C(-1;-2;-3).
Bài 44: Cho hai điểm A(2;1;0), B(3;-1;0). Viết phương trình mặt (P) vuông góc với AB tại A.
Bài 45: Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với BC.
Bài 46: Cho hai điểm A(2;1;0), B(-2;-3;4). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Bài 47: Cho hai điểm A(-2;3;0), B(-2;-3;-4). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. 
Bài 48: Cho hai điểm A(2;1;0), B(-4;-1;4). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Bài 49: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ và vuông góc với đường thẳng 
d: .
Bài 50: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua trung điểm đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng 
d: , biết A(1;2;3), B(3;2;1).
Bài 51: Cho ba điểm A(2;1;0), B(3;-1;-2), C(1;-2;-1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với đường thẳng d: .
Bài 52: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;-2;3) và song song với 
mp(Q): 2x-2y-z-1=0.
Bài 53: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ và song song với mặt phẳng 
(Q): 2x-y-10=0.
Bài 54: Cho hai điểm M(-1;-2;-3), N(-3;-2;-1). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua trung điểm của đoạn thẳng MN và song song với mặt phẳng (Q): 3x-y+z-10=0.
Bài 55: Cho ba điểm A(2;1;0), B(3;-1;-2), C(1;-2;-1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trọng tâm tam giác ABC và song song với mặt phẳng (Q): y-2z-1=0.
Bài 56: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
Bài 57: Cho ba điểm A(-2;0;0), B(0;-2;0), C(0;0;-2). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua ba điểm A, B, C.
Bài 58: Cho ba điểm A(1;1;1), B(-1;-1;-1), C(0;1;0). Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
Bài 59: Cho ba điểm A(-2;0;2), B(2;-2;0), C(0;-2;2). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua ba điểm A, B, C.
Bài 60: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng A(0;1;1), B(-1;0;1), C(2;0;1).
Bài 61: Cho ba điểm A(0;-1;-1), B(-1;1;1), C(2;0;-1). Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
Bài 62: Cho hai điểm A(2;-1;0), B(-1;2;1) .Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm O, A, B .
Bài 63: Cho ba điểm A(0;-1;-1), B(-1;1;1), C(4;3;-3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trọng tâm tam giác ABC, gốc tọa độ và điểm A .
Mặt phẳng qua một điểm và có hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng.
Bài 64: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A(2;0;-1) và đường thẳng d: .
Bài 65: Viết phương trình mặt phẳng(P) đi qua gốc tọa độ và chứa đt d: .
Bài 66: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;-1;-3) và chứa trục Ox.
Bài 67: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;-1;-3) và chứa trục Oy.
Bài 68: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;-1;-3) và chứa trục Oz.
Bài 69: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(2;-1;-1), B(1;0;1) và vuông góc với mặt phẳng (Q): 2x-y-z-1=0.
Bài 70: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1;1;1), B(2;1;1) và vuông góc với mặt phẳng (Q): 2x-y-1=0.
Bài 71: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(0;1;0), B(1;0;1) và vuông góc với mặt phẳng (Q): 2x-3y-2z-1=0.
Bài 72: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đt cắt nhau d: . 
Bài 73: Cho bốn điểm A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2), D(2;2;1).
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AC và song song với BD.
Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa DC và song song với AB.
Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa BC và song song với AD.
Bài 74: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau 
d: .
Bài 75: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d: và song song với đường thẳng d’: .
Bài 76: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d: và song song với đường thẳng d’: .
Bài 77: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d: và song song với đường thẳng d’: .
Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng .
Bài 1: Tính khoảng cách từ điểm M(-1;2;-3) lần lượt đến các mặt phẳng sau:
	1/ 2x-2y-z-10=0	2/ -2x-2y+10=0	3/ x-2y-2z=0
	4/ 3x-2y-z+2=0	5/ x-y-1=0	6/ 2x-3z=0
Bài 2: Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P): -x+2y-2z-33=0
Bài 3: Tính khoảng cách từ trung điểm của đoạn AB đến mp(P): x-y-z-1=0 , 
với A(1;0;2),B(-1;2;4).
Bài 4: Cho tam giác ABC với A(1;2;3), B(-1;-2;-3), C(3,-9,27) và mặt phẳng 
(P): 2x-2y-z=0.
Tính khoảng cách từ tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC đến mặt phẳng (P).
Bài 5: Cho tam giác ABC với A(1;-2;-3), B(-1;2;3), C(-3,-9,15) và mặt phẳng 
(P): 2x-2y-z=0.
1/ Tính khoảng cách từ tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC đến mặt phẳng (P).
2/ Tính khoảng cách từ trung điểm của đoạn thẳng AB đến mp(P).
3/ Tính khoảng cách từ trung điểm của đoạn thẳng BC đến mp(P).
	PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 
Dạng 1: Viết phương trình tham số và chính tắc đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt 
Bài 1: Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng đi qua 2 điểm A(1;2;-1), 
B(2;-3;1).
Bài 2: Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng đi qua 2 điểm M(4;-2;0), 
N(0;-2;1).
Bài 3: Cho tam giác ABC với A(1;-2;-3), B(-1;2;3), C(-3,-9,15). Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và trọng tâm G của tam giác ABC.
Bài 4: Cho tam giác ABC với A(1;-2;-3), B(-1;2;3), C(-3,-9,15). Viết phương trình đường thẳng d đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và trọng tâm G của tam giác ABC.
Bài 5: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(-1;2;-1) và gốc tọa độ.
Bài 6: Viết phương trình đường thẳng d đi qua 2 điểm A(1;2;3), B(-1;-2;-3).
Bài 7: Viết phương trình đường thẳng d đi qua 2 điểm B(-1;2;3), C(-3,-9,15).
Bài 8: Viết phương trình đường thẳng d đi qua 2 điểm B(-1;-2;-3), C(3,-9,27).
Bài 9: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(-1;0;-2) và gốc tọa độ.
CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP
Bài 1: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm E(1;0;2), M(3;4;1) và N(2;3;4).
	1/ Viết phương trình chính tắc của đường thẳng MN. 
2/ Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm E và vuông góc với đường thẳng MN. 
Bài 2: Trong không với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(1;2;3) và mặt phẳng (P) có phương trình : 
2x-3y+6z+35=0 .
	1/ Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mp(P) .
	2/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M và song song với mp(P) .
	3/ Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(P) .
Bài 3: Trong không gian Oxyz cho điểm M(1;-2;0) , đường thẳng d có phương trình 
là : và mp(P) có phương trình là 2x-y+z=0 .
1/ Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) . 
2/ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với mp(P).
3/ Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(P) .
Bài 4: Trong không gian Oxyz cho các điểm M(1;-2;0), N(-3;4;2) và mặt phẳng (P) có phương trình : 2x+2y+z-7=0 .
	1/ Viết phương trình đường thẳng MN. 
	2/ Tính khoảng cách từ trung điểm I của đoạn thẳng MN đến mặt phẳng (P).
Bài 5: Trong không gian Oxyz cho điểm A(2;-1;3) và mặt phẳng (P) có phương trình 
:x-2y-2z-10=0.
	1/ Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P). 
	2/ Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và vuông góc với mp(P).
Bài 6: Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(4;3;2), B(3;0;0), C(0;3;0) và D(0;0;3) .
	1/ Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và trọng tâm G của tam giác BCD. 
	2/ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng BC.
Bài 7: Trong không gian Oxyz cho điểm A(3;-2;-2) và mp(P) có phương trình 
2x-2y+z-1=0 .
	1/ Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(P) .
	2/ Viết phương trình của đường thẳng d đi qua điểm A và vuông góc với mp(P).
	3/ Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).
Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC với A(1;4;-1), B(2;4;3) và C(2;2;-1).
	1/ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng BC.
	2/ Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.