Ôn tập môn Toán 12 - Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng

Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân 
Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014 Daretowin 1 
Thầy viết chuyên đề NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG này với mong muốn 
các em cĩ tinh thần học tập tốt. Với phương châm: “Tự học là cách tốt nhất để khơng quên”. Hy 
vọng nhiều em sẽ được điểm tối đa trong bài tích phân của các kỳ thi tốt nghiệp và đại học. 
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 
I/ NGUYÊN HÀM 
Cơ sở lí thuyết: 
1. '( ) ( ) ( )F x f x x K F x    là nguyên hàm của ( )f x trên K. 
2. Nếu ( )F x là nguyên hàm của ( )f x trên K thì ( )F x C (C là hằng số) cũng là nguyên hàm 
của ( )f x . 
Khi đó ( )F x C được gọi là họ nguyên hàm của ( )f x trên K. Kí hiệu: ( ) ( )f x dx F x C  
Ta có mối quan hệ sau: ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( )f x dx F x C F x f x dF x f x dx      
3. Tính chất nguyên hàm: 
) '( ) ( ) ) . ( ) . ( )
) [ ( ) ( )] ( ) ( )
a f x dx f x C b k f x dx k f x dx C
c f x g x dx f x dx g x dx
   
  
  
  
d) Nếu ( ) ( )f u F u C  thì 
1
(ax ) x ( )f b d F ax b C
a
    
Chú ý: Một hàm số cĩ vơ số nguyên hàm, tất cả các nguyên hàm của hàm số sai khác nhau một 
hằng số. Nghĩa là nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì F(x) + C cũng là một nguyên 
hàm của hàm số f(x), với C là một hằng số. 
4. Bảng nguyên hàm 
dx x C  
 
1
x
x dx C 1
1

     

dx
ln x C
x
  
x x
e dx e C  
kdx kx C  
 
 
 
1
ax b1
ax b dx C 1,a 0
a 1

 
      

 
dx 1
ln ax b C a 0
ax b a
   

ax b ax b
1
e dx e C
a
   
Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân 
Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014 Daretowin 2 
x
x
a
a dx C
lna
  
cosxdx sinx C  
sinxdx cosx C   
2
dx
tgx C
cos x
  
2
dx
cotgx C
sin x
   
tan ln cosxdx x C   
cot ln sinxdx x C  
   
1
cos ax b dx sin ax b C
a
    
   
1
sin ax b dx cos ax b C
a
     
 
 
2
dx 1
tg ax b C
cos ax b a
  

 
 
2
dx 1
cotg ax b C
sin ax b a
   

   
1
tan ln cosax b dx ax b C
a
     
   
1
cot ln sinax b dx ax b C
a
    
Dạng 1. Tìm nguyên hàm bằng bảng nguyên hàm 
Bài 1. Dùng các công thức cơ bản tính các nguyên hàm sau 
1/ 
4
2
2 3x
dx
x

 2/ 3
1x
dx
x

 3/ 3( )x x dx 4/ 
3 2 1( )x dx
x
 
5/ 
2( 1)x
dx
x

 6/ 2sin3xcos2x xd 7/ (1 )
x xe xe dx 8/ 
2 22 x x
x
e x e
dx
e

 
9/ 
2tan dxx 10/  
2
tanx – cotx xd 11/ 
x
2
e (2 )dx 
cos
xe
x

 12/ 
2 1x
dx
x

 
Bài nguyên hàm cĩ chứa thì chúng ta chú ý tới cơng thức 
, tương tự đối với 
 . Sau đĩ chúng ta dùng cơng thức nguyên hàm 
 
 
2
dx 1
cotg ax b C
sin ax b a
   

 và dùng cơng 
thức nguyên hàm 
 
 
2
dx 1
tg ax b C
cos ax b a
  

Bài 2. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số ( ) sin 2f x x x  , biết ( ) 0F   
Bài 3. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = sin cos
sin cos
x x
x x


, biết rằng ln2
4
F
 
 
 
  
Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân 
Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014 Daretowin 3 
Hai bài tập trên chúng ta tìm nguyên hàm giống như các bài 1, tuy nhiên ta cần phải tìm hằng số 
C bằng cách sử dụng giả thiết ( ) 0F   ở bài 2 và giả thiết ln2
4
F
 
 
 
  ở bài 3. 
Dạng 2. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến 
Cơ sở lí thuyết: ∫ ( ) ( ) ∫ ( ( )) ( ) ( ) 
Phương pháp đổi biến số này chúng ta sẽ dùng trong trường hợp nào?? 
Thơng thường các tích phân dạng tích, thương của một loại hàm. Chỉ cĩ hàm logarit ( hàm logarit 
Nepe) thì xuất hiện hai loại hàm khác nhau. Khi đổi biến và tính tích phân xong ta chuyển về ẩn 
cũ. 
Đặt t = u(x), sau đĩ chuyển về nguyên hàm của hàm số với biến t. 
Bài 1. Tìm các nguyên hàm sau: 
 1/ 
2 2(2 3)( 3 1)x x x dx   2/ 
2 35 1x x dx 3/ 
2
3
3 1
2
x
dx
x x

 
 4/ 
2
4 2x
dx
x x


 
5/ 
3(3 1)x xe e dx 6/ 1
x
x
e
dx
e 
 7/ 
3 xe
dx
x
 8/ 
ln xe
dx
x
 9/ 
2ln
dx
x x
Bài 2. Tìm các nguyên hàm sau: 
1/  
5
2 32x x dx 2/  4. 1
dx
x x 
 3/ 9 5
dx
x x
4/ 
5 3. 2x x dx 5/ 2 22
xdx
x x 
 6/ 3
dx
x x
 
Bài 3. Tìm các nguyên hàm sau: 
3
23
4
5
2
(sin cos ) 1 1
) ) ) ( : )
1 1 1 1sin cos
ln ( ) .( )sin 2 sin 2 sin (cos 1) sin
) ( : 2 ) )
cos 1 cos 1 cos 1 ( )( )
tan
) cos ) )
cos2 4sin 2
x x
x x x
x a x b
x x dx x dx e e
a b dx c HD
x e e ex x
x a x bxdx x x x x
d HD e dx
x x x x a x b
x dx
f xdx g dx h
x x
 
  

   
     
    

  
 
  2
cos2
)
sin 2 3cos2 (sin cos )
x
i dx
x x x x  
Dạng 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần 
Cơ sở lí thuyết: Định lý: ( ). '( ) ( ). ( ) ( ). '( )u x v x dx u x v x v x u x dx   
Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân 
Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014 Daretowin 4 
Để chứng minh định lý này chúng ta sử dụng đạo hàm của một tích và (∫ ( ) ) ( ) Các em hãy 
thử tìm cách chứng minh xem. 
Phương pháp: 
-Biểu diễn ( )f x dx về dạng tích . 'udv u v dx 
+ Chọn u sao cho du dễ tính. 
+ Chọn dv=v’.dx sao cho dễ tính v . 
Việc tìm v khi đặt dv, chính là bài tốn tìm nguyên hàm đơn giản ∫ . 
+ Áp dụng công thức. 
Loại 1: 
Dạng
sin( )
cos( )
( ).
tan( )
ax b
ax b
ax b
P x dx
ax b
e 
 
 
 
 
 
 
 ( ( )P x là đa thức) Đặt 
sin( )
cos( )
( ),
tan( )
ax b
ax b
ax b
u P x dv dx
ax b
e 
 
 
  
 
 
 
Bài 1. Tìm các nguyên hàm sau: 
2 2 3
2 2
2 2
) . ) ( 2 1) ) cos ) cos )
) sin ) ) ) ( 1)
sin cos
x x x
x
a x e dx b x x e dx c x x dx d x x dx e x e dx
xdx xdx
f x x dx g h i x e dx
x x
 

    
   
Loại 2: 
Dạng ( ).lnP x xdx ( ( )P x là đa thức) Đặt ln , ( )u x dv P x dx  
Bài 1. Tìm các nguyên hàm sau: 
2
3
ln
) (2 1) ln ) ln( 1) ) ) (2 1) ln
x
a x x dx b x x dx c dx d x x dx
x
      
BÀI TẬP 
Tìm các nguyên hàm sau 
a)  .sin 2x x dx b) 
2 1. xx e dx  c) 
ln x
dx
x
 d) 
2.tanx xdx 
e) 
1 cos 2
x
dx
x
 f) 2 2.sinx xdx g)  
2
ln x dx h)  
2.ln 1x x dx 
i)  .ln 1x xe e dx j)  sin .cosx x xdx k)  sin .sin
xe x xdx 
Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân 
Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014 Daretowin 5 
l) 
2
sin
cos
x x
dx
x

 m) 2
.cos
sin
x x
dx
x
 n) 
2sin
x
dx
x 
* Tuy nhiên, các em ghi nhớ rằng trong 2 loại trên chúng ta đặt : 
{
Việc tìm v khi đặt dv, chính là bài tốn tìm nguyên hàm đơn giản ∫ . 
MỘT SỐ DẠNG NGUYÊN HÀM THƯỜNG GẶP 
A. NGUYÊN HÀM HÀM HỮU TỈ 
Dạng 
( )
( )
P x
dx
Q x
Chú ý: 
1 1
ln
( )
dx ax b
ax b a
 

+ C 
1
1 1
( 1).
n
n n
du u du
u n u



 
 
+ C 
Phương pháp: 
 Nếu bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu: 
+ Phân tích: 
2 2
( )
( ) ( )
P x A B Cx D
Q x x x ax bx c 

  
   
+ Đồng nhất 2 vế đẳng thức tìm A,B,C,D và đưa về t/phân 
cơ bản. 
 Nếu bậc tử lớn hơn mẫu thì chia đa thức và đưa về dạng 
trên. 
Nếu mẫu thức là một tam thức bậc 2 cịn tử thức là hằng số thì chúng ta sẽ tính ( tìm ) nguyên 
hàm của hàm phân thức đĩ dựa vào số nghiệm của tam thức bậc hai. Cụ thể: 
 Nếu tam thức bậc hai cĩ nghiệm kép thì bài tốn đơn giản; 
 Nếu tam thức bậc hai vơ nghiệm thì ta dùng hàm tan; 
 Nếu tam thức bậc hai cĩ hai nghiệm phân biệt thì chúng ta dùng đồng nhất thức. 
Trong nhiều bài tốn tìm nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỷ ta cĩ thể sử dụng cơng thức: 
∫
 ( )
 ( )
 | ( )| ( ). Cơng thức (*) các em thử chứng minh xem! 
Bài 1: Tìm nguyên hàm sau 
1/ 
2 4 5
dx
x x 
 2/ 
2
2 9
x
dx
x 
 3/ 
4
3
2x
dx
x x


Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân 
Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014 Daretowin 6 
4/ 
2 4 4
dx
x x 
 5/ 
3
2 2 1
x
dx
x x 
 6/ 
2 1
dx
x 
 7/ 
3
2 9
x
dx
x 
Bài 2: Cho hàm số 
sin 3cos
( )
2sin cos
x x
f x
x x



a) Xác định các số A, B để 
2cos sin
( )
2sin cos
x x
f x A B
x x
 
   
 
b) Tìm 
sin 3cos
2sin cos
x x
dx
x x


c) Tổng quát cho trường hợp 
sin cos
sin cos
a x b x
dx
c x d x


B. NGUYÊN HÀM HÀM LƯỢNG GIÁC 
Dạng Phương pháp 
1. (sin ).cosf x xdx Đổi biến sint x 
2. (cos ).sinf x xdx Đổi biến cost x 
3. (tan )f x dx Đổi biến tant x 
4. 
2 2(sin ,cos )n nf x x dx Dùng công thức hạ bậc: 
2
2
1 cos 2
cos
2
1 cos 2
sin
2
x
x
x
x



 

5. sin .cos .ax bx dx Dùng công thức    
1
sin .cos sin sin
2
A B A B A B      
 sin .sin .ax bx dx Dùng công thức    
1
sin .sin cos cos
2
A B A B A B      
 cos .cos .ax bx dx Dùng công thức    
1
cos .cos cos cos
2
A B A B A B      
6. 
cos sin
dx
a x b x
 Đổi biến: tan
2
x
t  , thì 
2
2
sin
1
t
x
t


 và 
2
2
1
cos
1
t
x
t



BÀI TẬP 
Tìm các nguyên hàm 
Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân 
Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014 Daretowin 7 
a) 2sin xdx b) 
1 cos 4
2
x
dx

 c) sin 2 .cosx xdx d) sin .cosx xdx 
e)  cos sin .cosx xdx f) 
2 4sin .cosx xdx g) 
3
3
sin
cos . cos
x
dx
x x
 h) 
3cos xdx 
i) cot xdx j) 
5 2sin .cosx xdx l) 
1
sin
dx
x
C. NGUYÊN HÀM HÀM VÔ TỈ 
Dạng Phương pháp 
1. ( , ).n
ax b
f x dx
cx d


 Đổi biến n
ax b
t
cx d



, giải tìm ( )x t . Tính dx theo dt 
2. 2 2( , ).f x a x dx Đổi biến .sinx a t hoặc .cosx a t . Tính dx theo dt 
3. 2 2( , ).f x x a dx Đổi biến sin
a
x
t
 hoặc 
cos
a
x
t
 . Tính dx theo dt 
4.
2 2
dx
x a
 hoặc 
2 2
dx
x a
 
Đổi biến .tanx a t . Tính dx theo dt 
Chú ý: 2
2
1
1 tan
cos


  
Dạng tìm nguyên hàm của hàm số vơ tỷ các em để ý rằng việc đổi biến số là khác hơn so với đổi 
biến số mà thầy đã viết dạng 2 ở trên. Ta đặt biến x theo biến t. 
BÀI TẬP 
Tìm các nguyên hàm sau: 
2
2 32 2 2 5 2 2 2 3
3
) ) ) ) )
(1 )4 (1 ) 4 (2 )
dx dx x dx x dx
a b c d e
xx x x x x x    
    
f) 3 cos .sinx xdx g) 2cos 1 tan
dx
x x
 
*Một số dạng tích phân hàm hữu tỷ khác. 
Các dạng tích phân sau đây tương đối khĩ đối với các em học lớp CƠ BẢN. Tuy nhiên nếu cố 
gắng các em vẫn hiểu rõ được các dạng. Muốn thế các em đọc kỹ phương pháp và ví dụ, sau đĩ 
làm các bài tập phía sau. 
Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân 
Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014 Daretowin 8 
1. Dạng :   dxbaxbaxxR
n mn m ,...])(;)(;[ 2 21 1 đặt ax + b = ts trong đĩ s là BCNN(n1;n2;) 
Ví dụ: Tính: 
CxxxxCtttt
C
t
dt
t
tt
dt
t
ttdt
t
t
dt
tt
t
I
dttdxtxđăt
xx
dx
I















|1|ln6632|1|ln6632
1
66
2
.6
3
6)
1
1
1(6
1
6
6
6:
66323
23
2
3
23
5
56
3
2. Dạng: 
 cbxax
dx
2
 đưa tam thức bậc hai về dạng bình phương đúng rồi đưa về các tích 
phân cơ bản: Ckxx
kx
dx
C
a
x
xa
dx




 ||ln;arcsin
2
222
Ví dụ : Cxx
x
dx
x
dx
I 



  |3
2
|ln
3
1
3
23
1
23 2
2
3. Dạng: 


;
2
dx
cbxax
BAx
 Ta tách tử số ra đạo hàm của mẫu trong căn và phân tích thành 
tổng hai tích phân thuộc các dạng đã biết. 











cbxax
dx
a
Ab
B
cbxax
cbxaxd
a
A
dx
cbxax
a
Ab
Bbax
a
A
dx
cbxax
BAx
22
2
22
)
2
(
)(
2
2
)2(
2; 
Ví dụ: 
Cxx
xx
x
dx
xx
xx
dx
xx
xxd
dx
xx
x
dx
xx
x
I




















4
1
)
2
5
(
2
5
|ln
2
9
65
1
6
4
25
)
2
5
(
2
9
65
1
652
9
65
)65(
2
1
65
5452
2
1
65
2
2
2
2
2
22
2
22
4. Dạng: 
 cbxaxkx
dx
2)(
 đặt x – k = 
t
1
 đưa tích phân này về dạng đã biết. 
Ví dụ: 
C
xx
Ctt
t
dt
Idt
t
dx
t
xđăt
xx
dx
I 



  |1
11
|ln1|ln
1
;
11
:
1
2
2
222
Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân 
Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014 Daretowin 9 
5. Dạng: 

dx
cbxax
xPn
2
)(
 trong đĩ Pn(x) là đa thức bậc n. Sử dụng đồng nhất thức sau: 





cbxax
dx
λcbxaxxQdx
cbxax
xP
n
n
2
2
1
2
)(
)(
Ví dụ: Tính: dx
xx
xxx



22
432
2
23
Sử dụng đồng nhất thức : 




22
22)(
22
432
2
22
2
23
xx
dx
λxxcbxaxdx
xx
xxx
Lấy đạo hàm cả hai vế: 
λxcbxaxxxbaxxxx
xx
λ
xx
x
cbxaxxxbax
xx
xxx








)1)(()22)(2(432
22
1
22
1
)(22)2(
22
432
2223
22
22
2
23
Đồng nhất hệ số ta cĩ: 
2
5
;
6
7
;
6
1
;
3
1
 λcba 
Vậy: Cxxxxxxxdx
xx
xxx



 |221|ln2
5
22)
6
7
6
1
3
1
(
22
432 222
2
23
{  

}||ln 2
2
Ckxx
kx
dx
6.Dạng:   dxbxax
pnm )( Trong đĩ m;n;p là các số hữu tỷ 
+ Nếu p là số nguyên đặt x = ts , với s là BSCNN của các mẫu số các phân số m; n đưa được tích 
phân về dạng tích phân hữu tỷ 
+ Nếu 
n
m 1
 là số nguyên, đặt a + bxn = ts với s là mẫu số của p 
+Nếu p
n
m

1
 là số nguyên. Đặt ax-n + b = ts, với s là mẫu số của p. 
Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân 
Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014 Daretowin 10 
Ví dụ: 
CxxC
tt
dttttdtttdxxxxI
tdtdxxtxĐătZcĩdxxxdx
x
x
I











3353
35
2422
1
3
1
3
1
3
2
3
2
23
1
2
1
3
1
3
1
3
3
)1(2)1(
5
6
3
6
5
6)(62.)1(3)1(.
2
3
1
;1:2
3
1
1
3
1
:;)1(
1
.
Bài tập 
1. 


 dx
x
xx
I
1
11
4
22
 


1)1(
)2
22 xx
dx
I 


23
)3
2x
dx
I 
 
 dx
x
x
I
n
n
21
).4 dxeI x  1).5 


1)1(
).6
22 xx
xdx
I 



2
).7
2 xx
xdx
I 

 dx
xx
xe
I
x
22
arctan
1)1(
)8  

 dx
x
x
I
1
1
).9 



 dx
xx
x
I
182
35
).10
2
 


1
).11
24 xx
dx
I 

 dx
x
x
I
1
).12 
dxxxxI   23).13
2 
2
02sin1).14
π
xdxxI   
D. NGUYÊN HÀM TRUY HỒI 
Dạng Phương pháp 
( ; )nI f n x dx  với Tính 1 2,I I . Lập công thức liên hệ giữa 1,n nI I  . Suy ra nI 
Nội dung này thầy khơng viết ở đây. 
II/ TÍCH PHÂN 
*Cơ sở lí thuyết 
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a   với ( )F x là một nguyên hàm của ( )f x trên đoạn [a;b] 
*Chú ý: ( ) 0; ( ) ( )
a b a
a a b
f x dx f x dx f x dx     
Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân 
Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014 Daretowin 11 
*Các tính chất cần nhớ 
) . ( ) . ( ) ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( )
b b a a b b c c
a a a a a a b a
a k f x dx k f x dx b f x g x dx f x dx g x dx c f x dx f x dx f x dx            
*Dạng ( )
b
a
f x dx ta thực hiện các bước sau: 
- Giải phương trình f(x) = 0 trên  ;a b , giả sử cĩ các nghiệm 1 2 1 2, (saocho )    
- Khi đĩ 
1 2 1 2
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx
   
   
            
( Tích phân hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối ). 
A. Dạng 1. Tính các tích phân sau 
1.  
1
4
0
1x dx 2.
8
3
1
xdx 3.
5
0
2 4x dx 4. 
2
0
1
2 1
dx
x
5. 
1
0
1
x
dx
x
 6.
0 3 2
3
1
1
x x
dx
x

 

 7.
2
0
cos
2
x
dx

 8.
2
2
0
sin 2xdx

 
9.
4
2
0
tan xdx

 10.
2
2
1
dx
x x
11.
2
0
cos3 cos5x xdx

 12.
2
2
sin 2 sin 7x xdx



 
13.
3
2
2
2x x dx

 14.
2
2
1 2cos xdx



 15.
1
2
1
2 1x xe e dx

  16.
2
0
1 sin xdx

 
17.
1 2
2
0
1
x
dx
x 
 18. 
4
2
2
6 9x x dx  
19.
x 2  

5
2
dx
x 2
 20. 
2
1
( 1)( 1)x x x dx   21. 
3
x x
0
dx
e e



ln
.
B. Dạng 2. Dùng phương pháp đổi biến số tính tích phân 
*Loại 1. Đặt u = u(x)  du = u’(x).dx 
 x = a  u = u(a) và x = b  u = u(b) 
Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân 
Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014 Daretowin 12 
 Khi đĩ      
 
 
'
u bb
a u a
f u x u x dx f u du    
Phương pháp đổi biến số này chúng ta sẽ dùng trong trường hợp nào?? 
Thơng thường các tích phân dạng tích, thương của một loại hàm. Đơi khi cĩ hàm logarit ( hàm 
logarit Nepe) và hàm mũ cơ số e thì xuất hiện hai loại hàm khác nhau. Phải nhớ rằng, khi đổi 
biến ta phải đưa tích phân đã cho về hồn tồn theo biến mới. 
Các bài tập sau đây khơng khĩ, các em cố gắng làm hết 27 bài tập này. 
 Bài tập: Tính các tích phân 
1.
1
5
0
(3 2)x dx 2.
1 2
3
0
2
x
dx
x
 3.
1 2
3
0
2
1
x
x
 dx 4.
2
1
0
xxe dx 5.
2
0
2 1 cos x

 .sinx dx 
6.
1
2 ln
e
x
x

 dx 7.
2
1 ln
e
e
dx
x x
 8.
3
3
0
sin
cos
x
x

 dx 9.
3
cos
0
sin xx e

 dx 10.
3
1
2
1
xx e

 dx 
11.
4
2
0
cos
tgxe
x

 dx 12.
3
6
sin 2
dx
x


 13.
2
3
0
cos sinx xdx

 14.
3
3
0
sin
1 cos
x
x


 dx 15.
2
1
(1 ln )
e
x
x

 dx 
16.
3
1
6 2lne x
x

 dx 17.
34
2
0
sin
cos
x
x

 dx 18.
3
0
tanx x dx


2
sin 19.
3
1
1 lne x
x

 dx 20.
4
1
ln x
x
 dx 
21. 
1
2
1
1
2 2
x
dx
x x


 
 22.  
1
4
3 4
0
1x x dx 23. 
1
2 2
0
1x x dx 24. 
0
2
1
5 4
2
x
dx
x x


 
 25. 
4
0
sin cos
sin cos
x x
dx
x x



26.  
3
0
23 1 dxxx 27. 
2
4
4
sin
dx
x


 
 *Loại 2. Tính ( )
b
a
f x dx 
Đặt x = u(t)  dx = u’(t).dt 
 x = a  a = u(t)  t =  
x = b  b = u(t)  t =  
 Khi đĩ ( ) ( ( )) '( )
b
a
f x dx f u t u t dt


  
Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân 
Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014 Daretowin 13 
 Lưu ý: 
Dạng Phương pháp 
1. ( , ).n
ax b
f x dx
cx d




 Đổi biến n
ax b
t
cx d



, giải tìm ( )x t . Tính dx theo dt 
2. 2 2( , ).f x a x dx


 
Đổi biến .sinx a t với ;
2 2
t
  
  
 
 hoặc .cosx a t với 
 0;t  . Tính dx theo dt 
3. 2 2( , ).f x x a dx


 
Đổi biến 
sin
a
x
t
 với  ; \ 0
2 2
t
  
  
 
 hoặc 
cos
a
x
t
 với 
 0; \
2
t


 
  
 
. Tính dx theo dt 
4.
2 2
dx
x a



 hoặc 
2 2
dx
x a

 
 
Đổi biến .tanx a t với ;
2 2
t
  
  
 
. Tính dx theo dt 
Chú ý: 2
2
1
1 tan
cos


  
Bài tập: Tính các tích phân 
1.
1
2
0
1
1
dx
x
 2.
1
2
0
1
2 4
dx
x x 
 3.
1 3
8
0
1
x
dx
x
4.
1
2
0
1
4
dx
x
 5.
4
2
0
4 x dx 6.
1 4
6
0
( 1)
1
x dx
x


7. ∫
√ 
√ 
 8. ∫
√ ( )
 9. ∫
√ 
C. Dạng 3. Dùng phương pháp tích phân từng phần 
Cơng thức tích phân từng phần: ( ). '( ) ( ). ( ) ( ). '( )
b b
b
a
b a
u x v x dx u x v x v x u x dx   hoặc 
b b
b
a
a a
udv uv vdu  
Lưu ý: Các em đọc lại phần phương pháp từng phần tìm nguyên hàm. 
Bài tập: Tính các tích phân 
1) 
1
0
3. dxex x 2)  
2
0
cos)1(

xdxx 3)  
6
0
3sin)2(

xdxx 4) 
2
0
2sin.

xdxx 
Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân 
Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014 Daretowin 14 
5) 
e
xdxx
1
ln 6)  
e
dxxx
1
2 .ln).1( 7) 
3
1
.ln.4 dxxx 8)  
1
0
2 ).3ln(. dxxx 
9)  
2
1
2 .).1( dxex x 10) 

0
.cos. dxxx 11) 
2
0
2 .cos.

dxxx 12)  
2
0
2 .sin).2(

dxxxx
 13) 
2
5
1
lnx
dx
x
 14) 
2
2
0
xcos xdx

 15) 
1
x
0
e sinxdx 16) 
2
0
sin xdx

 
17) 
e
2
1
x ln xdx 18) 
3
2
0
x sinx
dx
cos x


 19) 
2
0
xsinxcos xdx

 20) 
4
2
0
x(2cos x 1)dx

 
21) 
2
2
1
ln(1 x)
dx
x

 22) 
1
2 2x
0
(x 1) e dx 23) 
e
2
1
(x ln x) dx 24) 
2
0
cosx.ln(1 cosx)dx

 
25) 
2
1
ln
( 1)
e
e
x
dx
x 
 26) ∫ 
 27)  
1
0
2)2( dxex x 
 28)  
1
0
2 )1ln( dxxx 29) 
e
dx
x
x
1
ln
 30)  
2
0
3 sin)cos(

xdxxx 
31)  
2
0
)1ln()72( dxxx 32)  
3
2
2 )ln( dxxx 
D. Một số dạng khác 
 Tính các tích phân 
1. 
4
0
cos
sin cos
x
dx
x x


 2. 
4
0
sin
sin cos
x
dx
x x


 3. 
3
6
tan
tan cot
x
dx
x x

 
 
4. 
2
0
cos
sin cos
n
n n
x
dx
x x


 5. 
2
0
sin
sin cos
n
n n
x
dx
x x


 6.
2
2 2
0
cos .cos 2x xdx

 7. 
2
2 2
0
sin .cos 2x xdx

 
III/ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 
1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hồnh, các đường thẳng x = a, x 
= b là 
b
a
S= ( )f x dx 
Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân 
Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014 Daretowin 15 
Để tính ( )
b
a
f x dx ta thực hiện các bước sau: 
- Giải phương trình f(x) = 0 trên  ;a b , giả sử cĩ các nghiệm 1 2 1 2, (saocho )    
- Khi đĩ 
1 2 1 2
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx
   
   
            
*Lưu ý: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và trục hồnh ta giải phương 
trình hồnh độ giao điểm f(x) = 0, giả sử cĩ các nghiệm , , ,a b c d với a b c d   , khi đĩ 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
d b c d b c d
a a b c a b c
S f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx             
2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x), các đường thẳng x = a, x = b 
là 
b
a
S= ( ) ( )f x g x dx 
Để tính 
b
a
S= ( ) ( )f x g x dx làm tương tự trên. 
*Lưu ý: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) ta giải phương trình 
hồnh độ giao điểm f(x) - g(x) = 0, giả sử cĩ các nghiệm , , ,a b c d với a b c d   , khi đĩ 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]
d b c d
a a b c
b c d
a b c
S f x g x dx f x g x dx f x g x dx f x g x dx
f x g x dx f x g x dx f x g x dx
       
     
   
  
3. Thể tích vật thể trịn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox, 
các đường thẳng x = a, x = b xoay quanh trục Ox là 2 ( )
b
a
V f x dx  
BÀI TẬP 
Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 
 a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1, trục hồnh, đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1 
 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1, trục hồnh, đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1 
 c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x, trục hồnh, đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 4 
 d/ Đồ thị hàm số y = sinx, trục hồnh, trục tung và đường thẳng x = 2 
Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân 
Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014 Daretowin 16 
 e/ Đồ thị các hàm số sau y = xlnx, y =
2
x
 và đường thẳng x =1 
 f/ 
2 2
, 0, 2, 2
3
x x
y y x x
x
 
    

Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 
 a/ 3 3y x x  và trục Ox 
 b/ ln , 0,y x y x e   
 c/ 2 2 , 2y x x y x    
 d/ 2 4 3y x x    và các tiếp tuyến của nĩ tại các điểm M(0; - 3) và N(3; 0) 
 e/ 2 , 2, 0xy y x   
 f/ sin , cos , 0,y x y x x x     
Bài 3. Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh ra khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau 
quanh Ox 
 a/ 1, 0, 4y x y x    
 b/ 2, 0y x x y   
 c/ cos , 0, 0,y x y x x     
 d/ 2ln(1 ), 0, 1y x x y x    
 e/ y = e
x
 ; y = e
-x
 ; x = 1 
Bài 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 
a. x=1; x=e; y=0 và y= 1 ln x
x
 b. y=2
x
; y=3x và x=0 
c. y=sin2xcos3x, trục Ox và x=0, x=
3
 . 
Bài 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=0, y=x32x2+4x3 (C) và tiếp tuyến với 
đường cong (C) tại điểm cĩ hồnh độ bằng 2. 
Bài 6. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y=tanx, x=0, x=/3, y=0. 
a. Tính diện tích hình phẳng D. 
b. Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh ra bởi hình phẳng D quay quanh trục Ox. 
Bài 7. Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong y2=x3 và y=0, x=1 
khi nĩ quay quanh: 
a) Trục Ox. 
Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân 
Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014 Daretowin 17 
b) Trục Oy. 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân 
Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014 Daretowin 18 
Cuối cùng là những bài tập từ đơn giản đến nâng cao và một số bài tích phân trong các kỳ thi 
đại học, nhiều bài hơi khĩ thầy cĩ hướng dẫn giải hoặc cĩ đáp số. 
Tính các tích phân sau: 
1. ∫ (
 ) 
HD: Bài này chúng ta biến đổi và sử dụng cơng thức thơng thường. 
2. ∫ ( ) 
3. ∫
 ( )
 HD: Sử dụng đồng nhất thức. 
4. Tính các tích phân đơn giản sau: 
 A=
2
1
2 5-7
e
x x
dx
x

 B=
2
2
-2
-1x dx C=
2
0
2 ln 2x dx 
5. Tính các tích phân sau: 
A=
3
3 cos
0
sinxe xdx

 B=
4
1
ln
e
x
dx
x
 C
*
=
2 3
2
5 4
dx
x x 
 D
*
=
2
1 1 -1
x
dx
x
 
6. Tính các tích phân sau: 
I=
1
sin(ln )e x
dx
x
 J=
4
2
6
sin cot
dx
x x



 K=
ln 5
ln 3 2 3
x x
dx
e e 
L=
2
2 2
0
sin 2
cos 4sin
xdx
x x


 M=
2
2
1
- 9
dx
x
 N=
2
2 2
0
sin 2
(1 cos )
x
dx
x


7. Tính các tích phân sau: 
A=
1
2
0 4 -
dx
x
 B=
3
2
3
3
dx
x 
 C=
4
2
0
16- dxx 
D=
ln 2
0
1-
1
x
x
e
dx
e
 E=
3
2
2
2
1
dx
x 
8. Tính các tích phân sau: 
A=
2
1
ln
e
x
dx
x
 B
*
=
2
0
sin
1 cos
x x
dx
x


 C
*
=
2
2
1
ln x
dx
x
D
*
=
1
cos(ln )
e
x dx

 E=
2 4
3
1
3 2x x
dx
x

 
1 2
*
4
1
1
1
x
F dx
x




Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân 
Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014 Daretowin 19 
9. Tính: 
A=
4
2
0
cos xdx

 B=
2
3
0
cos xdx

 C=
1
0
xxe dx D=
4
1
xe
dx
x
 E=
2
1
lnx xdx 
F=
1
ln 1
e
x
dx
x

 G=
2
2
0
1 2x x dx H=
4
0
1 2x xdx I=
2
1
1
x
dx
x 
 J=
1
2
0 1
x
dx
x
10. Tính các tích phân 
A. ∫
 √ 
√ 
 HD: Dùng đổi biến số, đặt 
√ 
. Đáp số: 0. 
11. A. 

4
0 2sin3
)sin(cos

x
dxxx
 (HD: §Ỉt t = cosx - sinx) B. 
3
4
3cos.sin

 xx
dx
 (HD: §Ỉt t = tanx) 
12. A. 

2
0 cos31
sin2sin

dx
x
xx
 HD: 1 3cost x  , phân tích tử bằng cách dùng cơng thức nhân đơi. 
B. .
)1(1
3
0
322

 xx
xdx
 HD: §Ỉt 211 xt  
13. A. 
ln5 2
ln 2 1
x
x
e dx
e 
 B. 
4 7 3
3 4
0 1 1
x dx
x 
 HD: 
3 4 1t x  
14. A. 
 
ln5
ln2 10 1
x
x x
e dx
e e 
 B. 
2 2
4
1
1
1
x
dx
x


 HD: chia tử, mẫu cho 2x . 
Câu A, chúng ta sử dụng đổi biến số. 
15. A. 
3 2
4 3 2
1
3
2 2 6 9
x
dx
x x x x

   
B. ∫ ( √ 
√ 
) HD: Tp tphần 
Trong câu A chúng ta cĩ thể chia tử và mẫu cho x2 
16. A. 

32
5
2 4xx
dx
 HD: 2 4t x  B. 
2 3
0
4sin
1 cos
x
dx
x

 HD: 
  3 2 2sin sin .sin 1 cos .sinx x x x x   
Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân 
Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014 Daretowin 20 
17. A. 
1
0 1
x
dx
e
 HD:  
2
1 ln 1 ...
x
t e x t dx       B. 
4
2
7 9
dx
x x 
 HD: 
1 1
t x
x t
   
18. A. 
2
2
0
x x dx B. 
24
0
1 2sin
1 sin 2
x
dx
x



HD: 21 2sin cos 2x x  , đặt 1 sin 2t x  
19. A. 
2
1 1 1
x
dx
x 
 HD: 1t x  B.  
2
3 2
0
cos 1 cos .x x dx

 HD: tách thành 2 tích phân. 
20. A. 
 
3
2
1
3 ln
1
x
dx
x


 HD: 3 ln ; ...u x dv   B. 
1 2 2
0
2
1 2
x x
x
x e x e
dx
e
 

21. A. ∫
( ) 
. Đáp số: 1. 
22. A. ∫
( ) 
. Đáp số: 
. 
23. A = ∫
√ 
√ 
 HD: Đặt x = sint 
24. A = ∫
 √ 
√ 
√ 
 HD: Đặt x =1/ sint 
25. [B, 2005]. A = ∫
26. ∫ ( ) 
27. ∫
( ) 
Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân 
Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014 Daretowin 21 
LỜI CUỐI 
Thầy hy vọng tập tài liệu này sẽ giúp ích cho các em trong học tập chuyên đề tích phân, làm 
động lực cho các em học các chuyên đề khác. Ghi nhớ rằng, khi đọc tài liệu các em phải kết hợp 
với bài giảng trên lớp như thế sẽ hiệu quả hơn. Tài liệu này viết trong thời gian ngắn nên khơng 
tránh những sai sĩt, các em cố gắng đọc và tìm những lỗi để gĩp ý cho thầy, với hy vọng tài liệu 
được hồn thiện hơn. Với trách nhiệm là một giáo viên, thầy cố gắng giải đáp những khĩ khăn 
của các em trong quá trình đọc, học chuyên đề này. Chúc thành cơng! 
 Sơng cầu, ngày 09 tháng 01 năm 2014