Ôn tập môn Toán 12 - Khối đa diện -Thể tích

KHỐI ĐA DIỆN-THỂ TÍCH
(Những bi tập SGK)
Bài 1 : Hãy chia một khối tứ diện thành hai khối tứ diện sao cho tỉ số thể tích của hai khối tứ diện này bằng một số k > 0 cho trước.
 Giải 
Xét khối tứ diện ABCD,lấy điểm E trên đoạn CD sao cho CE = k.ED (k > 0).Khi đĩ mặt phẳng (AEB)
chia tứ diện ABCD thành hai khối tứ diện là 
ABCE và ABDE.
 Gọi h là chiều cao của tứ diện ABCD
 h= d(A,(BCD) và d(B,CD) = m.Ta cĩ :
 Thể tích khối tứ diện ABCE là: 
 Thể tích khối tứ diện ABDE là: 
 Þ V1 = k.V2
Bài 2: Tính thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’ biết rằng AA’B’D’ là khối tứ diện đều cạnh a .
Giải
Vì AA’B’D’ là tứ diện đều nên đường cao AH cĩ chân H là trực tâm tam giác đều A’B’D’
DA’B’D’ đều Þ và 
Vì A’B’C’D’ là hình thoi ,gĩc A’ bằng 600 nên: 
O
Bài 3: Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’.Tính tỉ số thể tích của khối hộp đĩ và thể tích của khối tứ diện ACB’D’.
Giải 
Đặt S = SABCD và h = chiều cao của khối hộp,suy ra thể tích của khối hộp :
V = Sh.
Chia khối hộp thành khối tứ diện ACB’D’và 4 khối chĩp :A.A’B’D’,C.C’B’D’ ,B’.BAC ,D’.DAC .Ta cĩ:
SA’B’D’ =SC’B’D’ = SBAC = SDAC = S/2 và chiều cao của 4 khối chĩp bằng h nên tổng các thể tích là: .
Thể tích của khối tứ diện ACB’D’ là:
V2 = V – V1.
Do đĩ tỉ số thể tích của khối hộp đĩ và thể tích của khối tứ diện ACB’D’ bằng 3.
Bài 4: Thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’bằng V.Tính thể tích của khối ACB’D’.
 Giải 
Chia khối hộp thành khối tứ diện ACB’D’ và 4 khối chĩp: A.A’B’D’,C.C’B’D’ ,B’.BAC ,D’.DAC (các khối chĩp này đều cĩ chiều cao bằng nhau và băng chiều cao h của khối hộp).
Ta cĩ: 
SA’B’D’ =SC’B’D’ = SBAC = SDAC = S/2 
ÞVA.A’B’D’=VC.C’B’D’=VB’.BAC =VD’.DAC 
 = 
 ÞVACB’D’= 
Bài 5 : Cho tứ diện ABCD, gọi d là khoảng cách giữa AB và CD, a là gĩc giữa hai đường thẳng đĩ. Chứng minh :
 VABCD=AB.CD.sina.
Giải
Dựng hình hộp AEBF.MDNC (gọi là hình hộp ngoại tiếp tứ diện).
Vì AEBF // MDNC nên chiều cao của hình hộp bằng d = d(AB,CD) 
Ta cĩ : VABCD 
Bài 6: Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’.Gọi E,F theo thứ tự là trung điểm các cạnh BB’ và DD’.Mặt phẳng (CEF) chia khối hộp thành hai khối đa diện.Tính tỉ số thể tích của 2 khối đa diện đĩ.
 Giải
Gọi O là tâm hình hộp thì O cũng là tâm hình bình hành BB’D’D suy ra O là trung điểm của EF. 
Vì A’ thuộc đường thẳng CO nên A’ thuộc mp(CEF) 
Ngồi ra : A’F // CE và A’E // CF .Do đĩ mặt phẳng (CEF) cắt hình hộp theo thiết diện là hình bình hành A’ECF. Mặt phẳng (CEF) chia hình hộp thành hai phần : 
Gọi (H) là khối đa diện cĩ các đỉnh 
 A,B,C,D,A’,E,F và (H’) là phần cịn lại.
Phép đối xứng tâm O biến các đỉnh A,B,C,D,A’,E,F của (H) theo thứ tự thành các đỉnh C’,D’,A’,B’C,F,E của hình (H’) .Suy ra phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành hình (H’) Þ Hai hình đa diện (H) và (H’) bằng nhau.Do đĩ tỉ số thể tích của hai 2 khối đa diện đĩ bằng 1
Bài 7: Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’.
Chứng minh rằng 6 trung điểm của 6 cạnh AB,BC,CC’,C’D’,D’A’ và A’A nằm trên một mặt phẳng và mặt phẳng đĩ chia khối hộp thành hai phần cĩ thể tích bằng nhau.
Giải
Tương tự bài 7
Bài 8: Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD.
a) Biết AB= a và gĩc giữa mặt bên và đáy bằng a, tính thể tích khối chĩp.
b) Biết trung đoạn bằng d và gĩc giữa cạnh bên và đáy bằng j, tính thể tích khối chĩp.
Giải
a) Gọi M là trung điểm của CD và O là tâm của hình vuơng ABCD.
Vì S.ABCD là hình chĩp tứ giác đều nên suy ra : 
DSOM vuơng nên: SO = OM tan(/2) .Vậy 
b) Ta cĩ : và SM = d .Đặt CD = 2x 
DSOM vuơng nên :OM2 + SO2 = SM2 
Vậy 
Bài 9: Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh a.Các cạnh bên tạo với đáy một gĩc 600 .Gọi M là trung điểm của SC.Một mặt phẳng (P) đi qua AM và song song với BD,cắt SB tại E và cắt SD tại F
Tính thể tích của khối chĩp S.AEMF .
Giải
Gọi O là tâm hình vuơng và I là giao điểm của AM và SO;suy ra I thuộc EF 
Vậy mp(P) đi qua I và song song với BD nên EF // BD 
Vì BD ^ (SAC) Þ EF ^ (SAC) Þ EF ^ AM và EF 
DSAC đều nên : 
DSAC đều nên : 
Ta cĩ: 
EF ^ (SAC) và AMÌ(SAC) Þ EF ^ AM (1)
DSAC đều Þ SM ^AM (2)
Từ (1)và (2) Þ SM ^(AEMF) 
Vậy:
Bài 10: Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ trung đoạn bằng 6 và gĩc giữa hai mặt bên đối diện bằng 600 .Mặt phẳng () qua CD và vuơng gĩc với mp(SAB),cắt SA,SB lần lượt tại P1 và P.Tính thể tích của khối 
chĩp S.CDP1P .
Giải
Gọi SE,SK lần lượt là hai trung đoạn của khối chĩp .Vì CD // AB nên giao tuyến D của hai mặt phẳng (SAB)và (SCD) song song với AB và CD.
Ta cĩ:SE ^ CD;SK ^ AB Þ SE ^ D và SK ^ D
Vậy gĩc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) bằng gĩc 
Ta cĩ :
Þ CDP1P là một hình thang cân và EH là đường cao (H = SK Ç P1P)
Vì hai mặt phẳng () và (SAB) vuơng gĩc với nhau theo giao tuyến P1P
mà EH ^ P1P Þ EH ^ (SAB) Þ EH ^ SH (1) 
Mặt khác: SH ^ P1P (2) 
Từ (1) và (2) Þ SH ^ (CDP1P) và DSKE cân và cĩ gĩc S bằng 600 nên là tam giác đều ,suy ra H là trung điểm của SK.
Do đĩ : và 
Vậy: 
Bài 11: Cho khối tứ diện ABCD.Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AB và AD.Mặt phẳng (ABF) và (CDE) chia khối tứ diện thành 4 khối tứ diện
a) Kể tên 4 khối tứ diện đĩ và chứng tỏ 4 khối tứ diện đĩ cĩ thể tích bằng nhau
b) Chứng tỏ rằng nếu khối tứ diện ABCD đều thì 4 khối tứ diện đĩ bằng nhau
Giải 
a) Bốn khối tứ diện đĩ là: 
ADEF , ACEF ,BDEF ,CDEF
Mặt phẳng (ABF) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối tứ diện CABF và DABF cĩ thể tích bằng nhau (Vì F là trungđiểm của CD )
Mặt phẳng (CDE) chia mỗi khối tứ diện CABF và DABF thành hai khối tứ diện cĩ thể tích bằng nhau (Vì E là trungđiểm của AB –BT1)
suy ra 4 khối tứ diện nĩi trên cĩ thể tích bằng 
 nhau
b) Nếu ABCD là tứ diện đều thì nĩ nhận mp(ABF) và mp(CDE) làm các mặt phảng đối xứng và phép đối xứng qua đường thẳng EF biến tứ diện ADEF thành BCEF .Suy ra: 
Khối tứ diện ADEF và ACEF bằng nhau (Vì chúng đối xứng qua mp(ABF))
Khối tứ diện ADEF và BDEF bằng nhau (Vì chúng đối xứng qua mp(CDE))
Khối tứ diện ADEF và BCEF bằng nhau (Vì chúng đối xứng qua trục EF)
Bài 12: Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a.
Giải
DABC đều Þ 
 và 
Bài 13:Cho hình chĩp tam giác đều S.ABC.Biết SA= b và gĩc giữa mặt bên và đáy bằng a.Tính thể tích khối chĩp S.ABC.
 Giải
 Gọi M là trung điểm của BC và SO là đường cao của khối chĩp
Ta cĩ : và SA = b .Đặt BC = x 
DSAO vuơng nên :SO2 =SA2 - AO2 = 
DSOM vuơng cĩ :SO = OM.tan =
Suy ra: 
Bài 14: Cho hình chĩp tam giác đều S.ABC cĩ chiều cao bằng h và gĩc ASB bằng 2a. Tính thể tích hình chĩp.
 Giải
Gọi K là trung điểm của AB và SO là đường cao của khối chĩp
Ta cĩ : và SO = h .Đặt AB = x 
Trong DSAK vuơng ta cĩ : SK = AK.cot =
DSOK vuơng nên :SO2 =SK2 - OK2 Û 
Bài 15: Cho hình chĩp tam giác đều S.ABC cĩ cạnh AB = a.Các cạnh bên SA,SB,SC tạo với đáy một gĩc 600 .Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuơng gĩc với SA
a)Tính tỉ số thể tích của khối chĩp S.DBC và S.ABC.
b)Tính thể tích khối chĩp S.DBC.
Giải
Gọi E là trung điểm của BC và SH là đường cao của khối chĩp Þ HỴAE .Ta cĩ : 
;
DADE vuơng tại D nên: 
DE = AE.sin600 =
SAH và ADE là các nửa tam giác đều nên: 
SA = 2AH ; AE = 2AD ;SD = SA –AD = 
Vậy tỉ số thể tích của khối chĩp S.DBC và S.ABC là: 
Þ 
Bài 16: Cho hình chĩp tam giác S.ABC cĩ cạnh AB = 5a,BC = 6a, CA = 7a.Các mặt bên SAB,SBC,SCA tạo với đáy một gĩc 600 .Tính thể tích của khối chĩp đĩ .
Giải
Hạ SH ^(ABC) và HE^AB ; HF^BC ; HJ^CA. 
Vì (bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC).
Áp dụng cơng thức Hê-rơng: ;
Bài 17: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đường cao SA = a; DABC vuơng cân tại B cĩ 
AB = BC = a.Gọi B’ là trung điểm của SB, C’ là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAC. 
a) Tính thể tích của khối chĩp S.ABC.
b) Chứng minh SC ^ (AB’C’)
c) Tính thể tích của khối chĩp S.AB’C’.
d) Tính khoảng cách từ C’ đến mp(SAB)
Giải
a) 
b)Ta cĩ: BC^AB và BC^SA Þ BC^(SAB) 
suy ra : AB’^BC
AB’^SB và AB’^BC Þ AB’^SC
AB’^SC và AC’^SC Þ SC^(AB’C’)
c) Ta cĩ : 
SC2 = SA2+AB2+BC2= 3a2,
 ; B’C’2 = SB’2 – SC’2 =a2/6 
Cách 2: 
Bài 18: Cho tam giác ABC vuơng cân ở A và AB = a.Trên đường thẳng qua C và vuơng gĩc với mp(ABC) ta lấy điểm D sao cho CD = a.Mặt phẳng qua C vuơng gĩc với BD,cắt BD tại F và cắt AD tại E.Tính thể tích khối tứ diện CDEF theo a 
Giải
Ta cĩ: BA^CD và BA^CA Þ BA^(ADC)
suy ra : AB^CE (1)
Mà BD^(CEF) Þ BD^CE (2)
Từ (1)và (2) suy ra:CE^(ABD) 
Þ CE^EF và CE^AD
Bài 19: Cho khối chĩp S.ABC cĩ đáy là tam giác ABC vuơng cân ở C và 
SA ^mp(ABC) ,SC = a.Hãy tìm gĩc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chĩp lớn nhất.
Giải
Ta cĩ: SA^(ABC) và BC^CA Þ BC^SC (theo định lý 3 đường vuơng gĩc)
suy ra gĩc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) là .
Đặt : suy ra: SA = a.sinx ; AC = a.cosx
Xét hàm số: f(x) = sinx.cos2x 
Ta cĩ: f’(x)= cos3x – 2cosx.sin2x = cosx(cos2x – 2 + 2cos2x) = cosx(3cos2x – 2)
 = 
x
0
x
-
0
 +
f’(x)
f(x)
Vì .
Bảng biến thiên : 
Vậy thể tích khối chĩp S.ABC đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi f(x) đạt giá trị lớn nhất 
Û 
Bài 20: Cho khối chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ khoảng cách từ đỉnh A đến mp(SBC) bằng 2a.Với giá trị nào của gĩc giữa mặt bên và mặt đáy khối chĩp thì thể tích khối chĩp nhỏ nhất.
Giải
Gọi O là tâm của hình vuơng ABCD Þ SO ^ (ABCD); gọi E,H lần lượt là trung điểm của AD và BC suy ra SE,SH là các trung đoạn của hình chĩp
Vì AD // BC nên AD // (SBC) Þ d(A,(SBC)) = d(E,(SBC))
Dựng EK ^ SH thì EK ^ (SBC) (vì (SEK) ^ (SBC)) Þ EK = d(A,(SBC)) = 2a
Ta cĩ: BC ^ SH và BC^OH suy ra gĩc giữa hai mp (SCB) và (ABC) là . 
Đặt : .Ta cĩ:
 .Vậy: 
Vậy VS.ABCD nhỏ nhất khi và chỉ khi f(x) = cosx.sin2x đạt giá trị lớn nhất 
Ta cĩ: 
f’(x) = – sin3x + 2sinx.cos2x 
 = sinx(2cos2x – sin2x) = sinx(2 – 3sin2x) 
 = 
x
0
x
-
0
+
f’(x)
f(x)
Vì .
Bảng biến thiên : 
Vậy thể tích khối chĩp S.ABC đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi f(x) đạt giá trị lớn nhất Û 
Bài 21: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cĩ đáy ABC là D vuơng tại A ;AC = b,gĩc C bằng 600.Đường chéo BC’của mặt bên BB’C’C tạo với mp(AA’C’C) gĩc 300.
a) Tính độ dài đoạn AC’.
b) Tính thể tích của lăng trụ.
Giải
Ta cĩ: BA ^ AC và BA ^ AA’ Þ BA ^ (ACC’A’) vậy AC’ là hình chiếu của BC’ lên mặt phẳng (ACC’A’) .Theo giả thiết 
Ta cĩ: CC’2 = AC’2 - AC2 = 9b2 – b2 = 8b2 
Vậy thể tích của lăng trụ là: V = B.h
Bài 22: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ cĩ đáy là tam giác đều cạnh a và đỉnh A’cách đều các đỉnh A, B, C. Cạnh bên AA’ tạo với mặt đáy gĩc 600.
a) Tính thể tích khối lăng trụ.
b) Chứng minh mặt bên BCC’B’ là hình chữ nhựt.
c) Tính tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ
 Giải
a) Gọi O là tâm của tam giácđều ABC .
Vì A’A = A’B = A’C nên A’O^mp(ABC) vậy 
A’O= AO.tan600 = a
b) BC^AO và BC^A’O Þ BC^AA’
c) Gọi H là trung điểm của AB ,ta cĩ :
 BA ^ HO và BA ^ A’O Þ BA ^ HA’ 
 Sxq = 2SAA’B’B + SBB’C’C
Bài 23:Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’cĩ tất cả các cạnh đều bằng a.
a) Tính thể tích khối tứ diện A’BB’C
b) Mặt phẳng đi qua A’B’ và trọng tâm của tam giác ABC,cắt AC và BC lần lượt tại E,F.Tính thể tích khối chĩp C.A’B’FE
Giải
b) Gọi I,K lần lượt là trung điểm của AB và A’B’,J là trọng tâm tam giác ABC 
Gọi (P) mặt phẳng đi qua A’B’ và trọng tâm J của tam giác ABC.
Ta cĩ :
Do AB^(CJK) Þ EF^(CJK)Þ(A’B’FE)^(CJK)Vậy d(C,(A’B’FE)) = d(C,KJ)
 Ta cĩ: 
; 
; . Vậy: 
và 
Bài 24: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cĩ đáy là tam giác đều. Mặt phẳng (A’BC) tạo với mặt đáy gĩc 300 và tam giác A’BC cĩ diện tích bằng 8 . Tính thể tích khối lăng trụ.
 Giải
Gọi K là trung điểm của BC,ta cĩ :
Ta cĩ: BC^AK và BC^AA’ Þ BC^A’K 
do đĩ 
Đặt: BC = x 
thì (Vì tam giác ABC đều)
Tam giác A’AK vuơng nên: ; 
Mà : SA’BC = 8 Û (1/2)BC.A’K = 8 
 Û (1/2)x.x = 8 Û x = 4
 Vậy: 
Bài 25: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’cĩ diện tích đáy bằng S và AA’=h.
Một mặt phẳng (P) cắt các cạnh AA’,BB’,CC’ lần lượt tại A1,B1,C1.Biết 
AA1= a,BB1= b,CC1= c 
a) Tính thể tích hai phần của khối lăng trụ được chia bởi mp(P)
b) Với điều kiện nào của a,b,c thì thể tích hai phần đĩ bằng nhau?
Giải
Đặt S = SABC ,ta cĩ:
Mặt khác: 
b) 2(a+b+c)=3h
Bài 26: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ cĩ khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A1D bằng 2 và đường chéo của mặt bên bằng 5. 
a) Hạ AK ^ A’D (KỴA’D).Chứng minh rằng AK = 2
b) Tính thể tích khối lăng trụ.
Giải 
a) Ta cĩ: AB//A’B’ Þ AB//(A’B’D) 
 Þ d(A,(A’B’D))= d(AB,A’D)
A’B’^(AA’D’D) Þ A’B’^ AK (1)
Mà A’D^ AK (2)
Từ (1) và (2) suy ra: (A’B’D)^ AK
Vậy AK = d(A,(A’B’D))= d(AB,A’D)= 2
b) DAA’D vuơng cĩ AK là đường cao nên: 
AK2 = KA’.KD (*)
Đặt A’K = x ,
(*)Û 4 = x.(5 –x) Û x2 - 5x + 4 = 0 Û x = 1;x = 4
+ Với x = 1: 
 Þ 
 + Với x = 4: 
Bài 27: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ cĩ đáy tam giác ABC vuơng cân cạnh huyền 
 .Cho biết (AA’B)^(ABC) , và là gĩc nhọn ,gĩc giữa hai mặt phẳng (A’AC) và (ABC) bằng 600 .Tính thể tích khối lăng trụ.
 Giải
Dựng AK ^ AB và cùng với (AA’B)^(ABC) 
Þ A’K ^ (ABC)
Vì là gĩc nhọn nên K thuộc tia AB
Kẻ KM ^ AC thì A’M ^ AC 
(theo định lý 3 đường vuơng gĩc)
Vậy 
(gĩc giữa hai mặt phẳng (A’AC) và (ABC))
Đặt A’K = x ,ta cĩ: 
Trong DAA’K : 
Trong DMA’K : MK= A’K.tan600 =
DAMK vuơng cân suy ra : 
 Vậy: 
Bài 28: Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ cĩ đáy là hình bình hành gĩc A bằng 600 .Các đường chéo AC’ và DB’ lần lượt tạo với đáy những gĩc 450 và 600 .Tính thể tích khối lăng trụ biết chiều cao của nĩ bằng 2.
Giải
Ta cĩ: ;suy ra: AC = CC’=2 và 
Theo định lý cosin :
BD2 = AB2 + AD2 – 2AB.AD.cos450 
AC2 = CD2 + AD2 – 2CD.AD.cos1350 
Trừ vế tương ứng :
Þ SABCD = AB.AD.sin600 = ...
Bài 29: Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ cĩ các cạnh bằng nhau và bằng a, .Tính thể tích khối hộp
Giải
Dựng AH^AC (1) (HỴAC) .Tam giác A’BD cân (do A’B=A’D )suy ra BD^A’O Vậy BD^AC và BD^A’O Þ BD^(A’AO)ÞBD^A’H (2)
Từ (1) và (2) Þ A’H^(ABCD)
Đặt : ,ta cĩ hệ thức : 
 Thật vậy: 
Kẻ A’K^AD thì HK^AK (theo định lý 3 đường vuơng gĩc)
Mặt khác :A’H = a.sinj =
Vậy :
Bài 30 : 
Cho hộp ABCD.A’B’C’D’ cĩ đáy là hình chữ nhật và .Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy những gĩc 450 và 600 .
Tính thể tích khối lăng trụ biết cạnh bên của nĩ bằng 1.
Giải
Dựng A’H^(ABCD) (HỴ(ABCD)) và HM^AD và HK^AB (như hình vẽ).
Theo định lý 3 đường vuơng gĩc suy ra: AD^A’M và AB^A’K Đặt A’H = x 
Ta cĩ: ; 
Mà : HK=A’H=x nên: 
Vậy: 
Bài 31: Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 cĩ mặt bên ABB1A1 diện tích bằng 4.Khoảng cách giữa cạnh CC1 và mặt (ABB1A1) bằng 7.Tính thể tích khối lăng trụ.
Giải
Ta dựng khối hộp ABCD.A1B1C1D1 
và đặt h = d((CDD1C1),(ABB1A1)) = d(CC1,(ABB1A1)) = 7 .Khi đĩ:
Bài 32: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’.Gọi M là trung điểm của AB.Mặt phẳng (B’C’M) chia khối lăng trụ thành hai phần.Tính tỉ số thể tích hai phần đĩ.
Giải 
Gọi I = MB’Ç AA’ và N = IC’Ç AC.Mp(B’C’M) cắt hình lăng trụ theo thiết diện là hình thang cân B’C’NM.
Mặt phẳng (B’C’M) chia khối lăng trụ làm hai phần : Gọi V1 là phần chứa cạnh AA’ và V2 là phần cịn lại .
Đặt S = SABC và AA’ = h. 
Ta cĩ : 
 Bài 32 Bài 33
Bài 33: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’.Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AA’ và BB’.Đường thẳng CE cắt đường thẳng C’A’ tại E’ ;đường thẳng CF cắt đường thẳng C’B’ tại F’và gọi V là thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’
a) Tính thể tích khối lăng trụ theo V
b) Gọi (H) là phần cịn lại của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ sau khi cắt bỏ đi phần khối chĩp C.ABFE. Tính tỉ số thể tích của (H) và của khối chĩp C.C’E’F’
Giải
Hình chĩp C.A’B’C’ và hình lăng trụ ABC.A’B’C’ cĩ đáy và chiều cao bằng nhau nên: 
Do EF là đường trung bình của hình bình hành ABB’A’ nên diện tích ABEF bằng nửa diện tích ABB’A’,suy ra: 
b) Ta cĩ: 
Vì EA’ là đường trung bình trong tam giác E’C’C nên suy ra A’B’ là đường trung bình trong tam giác C’E’F’ do đĩ: SC’E’F’ = 4SC’A’B’
vậy: 
Bài 34:Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’.Gọi M là trung điểm của AA’.Mặt phẳng đi qua M,B’,C chia khối lăng trụ thành hai phần.Tính tỉ số thể tích của hai phần đĩ.
Giải
Mặt phẳng (MB’C) chia khối lăng trụ đều ABC.A’B’C’ thành hai khối chĩp C.MABB’ 
và B’.MA’C’C.Hai khối chĩp này cĩ chiều cao bằng nhau và cĩ đáy là hai hình thang vuơng bằng nhau nên cĩ thể tích bằng nhau
Bài 35: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’cĩ cạnh đáy bằng a,chiều cao bằng h.Tính thể tích khối chĩp A.BC’A’. 
 C1:
Ta cĩ AC//A’C’ ÞAC//(BC’A’) .
Gọi J là trung điểm của AC thì d(A,(BC’A’))= d(I,(BC’A’)). Gọi I’ là trung điểm của A’C’ thì BI’^A’C’.
Vậy BI’^A’C’ và II’^A’C’ Þ A’C’^(IBI’)
Do đĩ hạ IH ^ BI’ thì IH ^A’C’Þ IH ^(BA’C’) hay d(A,(BC’A’)) = IH
C2: 
Bài 36 :Cho hình chĩp tam giác SABC. Trên 3 đường thẳng SA, SB, SC lấy 3 điểm A’, B’, C’ khác với S. Chứng minh : .. 
Giải
Gọi H,H’ lần lượt là hình chiếu của A và A’ lên mặt phẳng (SBC) .Vì ba điểm S,A,A’ thẳng hàng nên ba điểm S,H,H’ cũng thẳng hàng.
Đặt AH = h và A’H’ = h’,gọi S,S’ là diện tích của tam giác SBC và tam giác SB’C’ và 
Ta cĩ: ; 
 và 
Bài 37: Cho khối chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình bình hành, Gọi M là trung điểm của cạnh SC .Mặt phẳng (P) đi qua AM song song với BD chia khối chĩp thành hai phần.Tính tỉ số thể tích hai phần đĩ.
Giải
Gọi O là tâm của hình bình hành và G = AMÇSO thì G là trọng tâm của tam giác SBD,suy ra: 
Vì mp(P) //BD nên nĩ cắt mp(SBD) theo giao tuyến đi qua G và song song với B’D’.Ta cĩ: 
Mặt phẳng (P) chia khối chĩp thành hai phần:khối chĩp S.AB’MD’ và khối đa diện ABCDB’MD’ ,
 Ta cĩ:
 Suy ra :
Bài 38: Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD.Mặt phẳng () qua AB và trung điểm M của cạnh SC.Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chĩp bị phân chia bởi mặt phẳng đĩ.
Giải
Vì mp() // CD nên nĩ cắt mp(SCD) theo giao tuyến đi qua M và song song với CD Þ MN // CD 
Vậy mp(ABM) cắt hình chĩp theo thiết diện là hình thang ABMN.
 Ta cĩ: 
Vậy: 
Do đĩ: 
Bài 39: Cho khối tứ diện ABCD cĩ thể tích V.Gọi B’,D’ lần lượt là trung điểm của AB và AD.Mặt phẳng (CB’D’) chia khối tứ diện thành hai phần.Tính tỉ số thể tích cả hai phần đĩ . 
 Giải 
Ta cĩ: SABD = 4SAB’D’ 
Þ ; 
đặt d(C,(ABD)) = h 
; 
Bài 40: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh a, SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy và SA = 2a. Gọi B’,D’ lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SD.Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’.Tính thể tích của khối chĩp S.AB’C’D’.
Giải
Ta cĩ: CB ^AB’ (vì CB^(SAB)) và AB’^SB Þ AB’^SC (1)
Tương tự: AD’^ SC (2)
(1) và (2) Þ SC ^ (AB’C’D’)Þ SC ^ AC’
Mặt khác (SAC) là mặt phẳng đối xứng của hình chĩp S.ABCD nên :
VS.AB’C’D’ = 2VS.AB’C’ 
Ta cĩ: 
Bài 41: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình bình hành. Gọi B’,D’ lần lượt là trung điểm của SB và SD.Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’.Tính tỉ số thể tích của khối chĩp S.AB’C’D’và S.ABCD.
Giải
Gọi O là tâm hình bình hành và I là giao điểm của B’D’ với SO;suy ra I thuộc AC’và B’D’// BD . Kẻ AC’’//AC’ Þ SC’ = C’C’’= C’’C 
Ta cĩ:
Tương tự : .
Vậy:
Bài 42:Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình chữ nhật, SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy.Mặt phẳng () đi qua A vuơng gĩc với cạnh SC cắt SB,SC,SD lần lượt tại B’,C’D’.
a) Chứng minh rằng tứ giác AB’C’D’ cĩ hai gĩc đối diện vuơng 
b) Giả sử gĩc cạnh SC và mặt bên (SAB) bằng x. Tính tỉ số thể tích của khối chĩp S.AB’C’D’và S.ABCD theo x biết rằng AB = BC.
ƠN 
Bài 1:Cho hình chĩp tam giác S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh a.
SA = h và SA ^ (ABC).Gọi H,I lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và SBC 
a)Chứng minh IH^(SBC).
b)Tính thể tích tứ diện IHBC theo a và h.
 Giải
a)Gọi E là trung điểm của BCsuy ra:IỴSE; HỴAE 
Vì :CB ^ (SAE) Þ CB ^IH 
Ta cĩ: BH ^ AC và BH ^ SA Þ BH ^(SAC) 
suy ra: BH ^SC (1)
 Mà : BI ^ SC (2)
(1) và (2) suy ra: SC ^ (BIH) Þ SC ^ IH
Tĩm lại: CB ^IH và SC ^ IH Þ IH ^ (SBC)
b) Hai tam giác vuơng ASE và IHE đồng dạng suy ra: 
Mà: 
 Vậy: 
Bài 2 :Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ cĩ các cạnh bằng a và ba gĩc ở đỉnh A đều bằng 600 .Tính thể tích khối hộp theo a .
Giải
Dựng A’H ^ (ABCD)
 và HF ^ AD và HE ^ AB (như hình vẽ).
Theo định lý 3 đường vuơng gĩc suy ra: AD ^ A’F và AB ^ A’E 
Ta cĩ : HE = HF (Vì DA’AE = DA’AF ) suy ra H thuộc đường phân giác của gĩc BAD ,hơn nữa ABCD là hình thoi nên HỴAC
Vì DA’AE là nửa tam giác đều nên :
Vì DAHE vuơng nên :
 HE = AE.tan300 = 
và 
Vậy: 
Bài 3 : Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ cĩ thể tích bằng V và M là trung điểm của cạnh bên AA’.Cắt khối lăng trụ bằng hai mặt phẳng (MBC) và (MB’C’) ta được ba khối chĩp đỉnh M.
a) Kể tên ba khối chĩp đĩ
b) Tính thể tích ba khối chĩp nĩi trên theo V
Giải
a) Ba khối chĩp đĩ là: M.ABC ; M.BB’C’C ; M.A’B’C’ 
b) Gọi S,h lần lượt là diện tích đáy và chiều cao của khối lăng trụ,ta cĩ:
 VM.ABC =VM.A’B’C’ = 
 VM.BB’C’C = V – (VM.ABC +VM.A’B’C’)
Bài 4 : Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cĩ cạnh bằng a .
a) Chứng minh tứ diện ACB’D’ là tứ diện đều
b) Chứng minh rằng 4 khối tứ diện sau đây cĩ thể tích bằng nhau:
D’DAC,B’ABC,AA’B’D’,CC’B’D’.Hãy tính thể tích khối mỗi khối đĩ theo a .
Giải
Bốn khối tứ diện D’DAC,B’ABC,AA’B’D’,CC’B’D’là bốn khối chĩp tam giác D’.DAC,B’.ABC,A.A’B’D’,C.C’B’D’
Bài 5 :Cho khối chĩp S.ABC cĩ đường cao SA= 2a; DABC vuơng tại C cĩ 
AB =2a , .Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của A lên SC và SB 
a) Tính thể tích của khối chĩp H.ABC.
b) Chứng minh rằng AH ^ SB và SB ^ (AHK)
c) Tính thể tích của khối chĩp S.AHK.
Giải
a) Trong mp(SAC) kẻ HI // SA thì HI ^ (ABC) .
Vậy 
Cách 2: 
b) c) 
 Þ
Cách 2: 
Bài 6 :Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cĩ đáy là DABC vuơng ở B và AB = a,
BC = 2a ,AA’ = 3a. Mặt phẳng (P) đi qua A và vuơng gĩc với CA’ lần lượt cắt các đoạn thẳng CC’,BB’ tại M,N.
a) Tính thể tích khối chĩp C.A’AB .
b) Chứng minh rằng AN ^ A’B 
c) Tính thể tích khối tứ diện A’AMN
d) Tính diện tích tam giác AMN 
Giải
a) = ... = a3 
b) Ta cĩ: CB ^ AB và CB ^ AA’ Þ CB ^ (A’AB) Þ CB ^ AN (1) 
Theo giả thiết : CA’^ (AMN) Þ CA’^ AN (2)
 Từ (1) và (2): AN ^ (CBA’) Þ AN ^ A’B
c) Ta cĩ: VA’AMN = VM.AA’N 
 = VM.AA’B (Vì NB // AA’Þ d(N,AA’) = d(B,AA’))
 = VC.AA’B (Vì MC // (AA’B) Þ d(M,(AA’B)) = d(C,(AA’B))
 = 
d) Ta cĩ: 
 tứ diện ABCD thành hai khối tứ diện là 
ABCE và ABDE.
 Gọi h là chiều cao của tứ diện ABCD
 h= d(A,(BCD) và d(B,CD) = m.Ta có :
 Thể tích khối tứ diện ABCE là: 
 Thể tích khối tứ diện ABDE là: 
 Þ V1 = k.V2
Bài 2: Tính thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’ biết rằng AA’B’D’ là khối tứ diện đều cạnh a .
Giải
Vì AA’B’D’ là tứ diện đều nên đường cao AH có chân H là trực tâm tam giác đều A’B’D’
DA’B’D’ đều Þ và 
Vì A’B’C’D’ là hình thoi ,góc A’ bằng 600 nên: 
O
Bài 3: Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’.Tính tỉ số thể tích của khối hộp đó và thể tích của khối tứ diện ACB’D’.
Giải 
Đặt S = SABCD và h = chiều cao của khối hộp,suy ra thể tích của khối hộp :
V = Sh.
Chia khối hộp thành khối tứ diện ACB’D’và 4 khối chóp :A.A’B’D’,C.C’B’D’ ,B’.BAC ,D’.DAC .Ta có:
SA’B’D’ =SC’B’D’ = SBAC = SDAC = S/2 và chiều cao của 4 khối chóp bằng h nên tổng các thể tích là: .
Thể tích của khối tứ diện ACB’D’ là:
V2 = V – V1.
Do đó tỉ số thể tích của khối hộp đó và thể tích của khối tứ diện ACB’D’ bằng 3.
Bài 4: Thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’bằng V.Tính thể tích của khối ACB’D’.
 Giải 
Chia khối hộp thành khối tứ diện ACB’D’ và 4 khối chóp: A.A’B’D’,C.C’B’D’ ,B’.BAC ,D’.DAC (các khối chóp này đều có chiều cao bằng nhau và băng chiều cao h của khối hộp).
Ta có: 
SA’B’D’ =SC’B’D’ = SBAC = SDAC = S/2 
ÞVA.A’B’D’=VC.C’B’D’=VB’.BAC =VD’.DAC 
 = 
 ÞVACB’D’= 
Bài 5 : Cho tứ diện ABCD, gọi d là khoảng cách giữa AB và CD, a là góc giữa hai đường thẳng đó. Chứng minh :
 VABCD=AB.CD.sina.
Giải
Dựng hình hộp AEBF.MDNC (gọi là hình hộp ngoại tiếp tứ diện).
Vì AEBF // MDNC nên chiều cao của hình hộp bằng d = d(AB,CD) 
Ta có : VABCD 
Bài 6: Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’.Gọi E,F theo thứ tự là trung điểm các cạnh BB’ và DD’.Mặt phẳng (CEF) chia khối hộp thành hai khối đa diện.Tính tỉ số thể tích của 2 khối đa diện đó.
 Giải
Gọi O là tâm hình hộp thì O cũng là tâm hình bình hành BB’D’D suy ra O là trung điểm của EF. 
Vì A’ thuộc đường thẳng CO nên A’ thuộc mp(CEF) 
Ngoài ra : A’F // CE và A’E // CF .Do đó mặt phẳng (CEF) cắt hình hộp theo thiết diện là hình bình hành A’ECF. Mặt phẳng (CEF) chia hình hộp thành hai phần : 
Gọi (H) là khối đa diện có các đỉnh 
 A,B,C,D,A’,E,F và (H’) là phần còn lại.
Phép đối xứng tâm O biến các đỉnh A,B,C,D,A’,E,F của (H) theo thứ tự thành các đỉnh C’,D’,A’,B’C,F,E của hình (H’) .Suy ra phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành hình (H’) Þ Hai hình đa diện (H) và (H’) bằng nhau.Do đó tỉ số thể tích của hai 2 khối đa diện đó bằng 1
Bài 7: Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’.
Chứng minh rằng 6 trung điểm của 6 cạnh AB,BC,CC’,C’D’,D’A’ và A’A nằm trên một mặt phẳng và mặt phẳng đó chia khối hộp thành hai phần có thể tích bằng nhau.
Giải
Tương tự bài 7
Bài 8: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD.
a) Biết AB= a và góc giữa mặt bên và đáy bằng a, tính thể tích khối chóp.
b) Biết trung đoạn bằng d và góc giữa cạnh bên và đáy bằng j, tính thể tích khối chóp.
Giải
a) Gọi M là trung điểm của CD và O là tâm của hình vuông ABCD.
Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên suy ra : 
DSOM vuông nên: SO = OM tan(α/2) .Vậy 
b) Ta có : và SM = d .Đặt CD = 2x 
DSOM vuông nên :OM2 + SO2 = SM2 
Vậy 
Bài 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a.Các cạnh bên tạo với đáy một góc 600 .Gọi M là trung điểm của SC.Một mặt phẳng (P) đi qua AM và song song với BD,cắt SB tại E và cắt SD tại F
Tính thể tích của khối chóp S.AEMF .
Giải
Gọi O là tâm hình vuông và I là giao điểm của AM và SO;suy ra I thuộc EF 
Vậy mp(P) đi qua I và song song với BD nên EF // BD 
Vì BD ^ (SAC) Þ EF ^ (SAC) Þ EF ^ AM và EF 
DSAC đều nên : 
DSAC đều nên : 
Ta có: 
EF ^ (SAC) và AMÌ(SAC) Þ EF ^ AM (1)
DSAC đều Þ SM ^AM (2)
Từ (1)và (2) Þ SM ^(AEMF) 
Vậy:
Bài 10: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có trung đoạn bằng 6 và góc giữa hai mặt bên đối diện bằng 600 .Mặt phẳng (α) qua CD và vuông góc với mp(SAB),cắt SA,SB lần lượt tại P1 và P.Tính thể tích của khối 
chóp S.CDP1P .
Giải
Gọi SE,SK lần lượt là hai trung đoạn của khối chóp .Vì CD // AB nên giao tuyến D của hai mặt phẳng (SAB)và (SCD) song song với AB và CD.
Ta có:SE ^ CD;SK ^ AB Þ SE ^ D và SK ^ D
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) bằng góc 
Ta có :
Þ CDP1P là một hình thang cân và EH là đường cao (H = SK Ç P1P)
Vì hai mặt phẳng (α) và (SAB) vuông góc với nhau theo giao tuyến P1P
mà EH ^ P1P Þ EH ^ (SAB) Þ EH ^ SH (1) 
Mặt khác: SH ^ P1P (2) 
Từ (1) và (2) Þ SH ^ (CDP1P) và DSKE cân và có góc S bằng 600 nên là tam giác đều ,suy ra H là trung điểm của SK.
Do đó : và 
Vậy: 
Bài 11: Cho khối tứ diện ABCD.Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AB và AD.Mặt phẳng (ABF) và (CDE) chia khối tứ diện thành 4 khối tứ diện
a) Kể tên 4 khối tứ diện đó và chứng tỏ 4 khối tứ diện đó có thể tích bằng nhau
b) Chứng tỏ rằng nếu khối tứ diện ABCD đều thì 4 khối tứ diện đó bằng nhau
Giải 
a) Bốn khối tứ diện đó là: 
ADEF , ACEF ,BDEF ,CDEF
Mặt phẳng (ABF) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối tứ diện CABF và DABF có thể tích bằng nhau (Vì F là trungđiểm của CD )
Mặt phẳng (CDE) chia mỗi khối tứ diện CABF và DABF thành hai khối tứ diện có thể tích bằng nhau (Vì E là trungđiểm của AB –BT1)
suy ra 4 khối tứ diện nói trên có thể tích bằng 
 nhau
b) Nếu ABCD là tứ diện đều thì nó nhận mp(ABF) và mp(CDE) làm các mặt phảng đối xứng và phép đối xứng qua đường thẳng EF biến tứ diện ADEF thành BCEF .Suy ra: 
Khối tứ diện ADEF và ACEF bằng nhau (Vì chúng đối xứng qua mp(ABF))
Khối tứ diện ADEF và BDEF bằng nhau (Vì chúng đối xứng qua mp(CDE))
Khối tứ diện ADEF và BCEF bằng nhau (Vì chúng đối xứng qua trục EF)
Bài 12: Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a.
Giải
DABC đều Þ 
 và 
Bài 13:Cho hình chóp tam giác đều S.ABC.Biết SA= b và góc giữa mặt bên và đáy bằng a.Tính thể tích khối chóp S.ABC.
 Giải
 Gọi M là trung điểm của BC và SO là đường cao của khối chóp
Ta có : và SA = b .Đặt BC = x 
DSAO vuông nên :SO2 =SA2 - AO2 = 
DSOM vuông có :SO = OM.tanα =
Suy ra: 
Bài 14: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có chiều cao bằng h và góc ASB bằng 2a. Tính thể tích hình chóp.
 Giải
Gọi K là trung điểm của AB và SO là đường cao của khối chóp
Ta có : và SO = h .Đặt AB = x 
Trong DSAK vuông ta có : SK = AK.cotα =
DSOK vuông nên :SO2 =SK2 - OK2 Û 
Bài 15: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB = a.Các cạnh bên SA,SB,SC tạo với đáy một góc 600 .Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA
a)Tính tỉ số thể tích của khối chóp S.DBC và S.ABC.
b)Tính thể tích khối chóp S.DBC.
Giải
Gọi E là trung điểm của BC và SH là đường cao của khối chóp Þ HỴAE .Ta có : 
;
DADE vuông tại D nên: 
DE = AE.sin600 =
SAH và ADE là các nửa tam giác đều nên: SA = 2AH ; AE = 2AD
SD = SA –AD = 
Vậy tỉ số thể tích của khối chóp S.DBC và S.ABC là: 
Þ 
Bài 16: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh AB = 5a,BC = 6a, CA = 7a.Các mặt bên SAB,SBC,SCA tạo với đáy một góc 600 .Tính thể tích của khối chóp đó .
Giải
Hạ SH ^(ABC) và HE^AB ; HF^BC ; HJ^CA. 
Vì (bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC).
Áp dụng công thức Hê-rông: ;
Bài 17: Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = a; DABC vuông cân tại B có 
AB = BC = a.Gọi B’ là trung điểm của SB, C’ là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAC. 
a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
b) Chứng minh SC ^ (AB’C’)
c) Tính thể tích của khối chóp S.AB’C’.
d) Tính khoảng cách từ C’ đến mp(SAB)
Giải
a) 
b)Ta có: BC^AB và BC^SA Þ BC^(SAB) 
suy ra : AB’^BC
AB’^SB và AB’^BC Þ AB’^SC
AB’^SC và AC’^SC Þ SC^(AB’C’)
c) Ta có : 
SC2 = SA2+AB2+BC2= 3a2,
 ; B’C’2 = SB’2 – SC’2 =a2/6 
Cách 2: 
Bài 18: Cho tam g