Ôn tập môn Toán 12 - Hình học về giải tích trong không gian 3 chiều

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN 3 CHIỀU
Bài (TN 2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; –1), B(1; 2; 1), C(0; 2; 0). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
a. Viết phương trình đường thẳng OG.
b. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm O, A, B, C.
c. Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với đường thẳng OG và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Bài (A 2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 2) và hai đường thẳng: d1: , d2: 
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d1 và d2.
b. Tìm tọa độ các điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho ba điểm A, M, N thẳng hàng.
Bài (D 2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và hai đường thẳng: d1: , d2: 
a. Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1.
b. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2.
Bài (TN 2007)
1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d): và mặt phẳng (P): x – y + 3z + 2 = 0.
a. Tìm tọa độ giao điểm M của đường thẳng (d) với mặt phẳng (P).
b. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và vuông góc với mặt phẳng (P).
2. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 6).
a. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C. Tính diện tích tam giác ABC.
b. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Viết phương trình mặt cầu đường kính OG.
Bài (A 2007) Trong không gian với hệ tọa độ Oyxz, cho hai đường thẳng d1: và d2: 
a. Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau.
b. Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x + y – 4z = 0 và cắt hai đường thẳng d1, d2.
Bài (B 2007) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x² + y² + z² – 2x + 4y + 2z – 3 = 0 và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 14 = 0.
a. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo đường tròn giao tuyến có bán kính R = 3.
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn nhất.
Bài (D 2007) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2), B(–1; 2; 4) và đường thẳng d: .
a. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB).
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất.
Bài (TN 2008)
1. Trong không gian Oxyz cho điểm A(3; –2; –2) và mặt phẳng (P): 2x – 2y + z – 1 = 0.
a. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P)
b. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P). Viết phương trình của mặt phẳng (Q) song song với (P) và khoảng cách giữa (P) và (Q) bằng khoảng cách từ A đến (P).
2. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2; –1; 3) và mặt phẳng (P): x – 2y – 2z – 10 = 0.
a. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P).
b. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P).
Bài (A 2008) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 5; 3) và đường thẳng d: .
a. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d.
b. Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (α) lớn nhất.
Bài (B 2008) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 1; 2), B(2; –2; 1), C(–2; 0; 1).
a. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.
b. Tìm tọa độ của điểm M thuộc mặt phẳng (α): 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC.
Bài (D 2008) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(3; 3; 0), B(3; 0; 3), C(0; 3; 3), D(3; 3; 3).
a. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D.
b. Tìm tọa độ tâm đường trón ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài (TN 2009 chuẩn) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x – 1)² + (y – 2)² + (z – 2)² = 36 và mặt phẳng (P): x + 2y + 2z + 18 = 0.
a. Tìm tọa độ tâm T và bán kính của mặt cầu (S). Tính khoảng cách từ T đến mặt phẳng (P).
b. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua T và vuông góc với (P). Tìm tọa độ giao điểm của d và (P).
Bài (TN 2009 NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; –2; 3) và đường thẳng d: 
a. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d.
b. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d. Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d.
Bài (A 2009 chuẩn) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – 2y – z – 4 = 0 và mặt cầu (S): x² + y² + z² – 2x – 4y – 6z – 11 = 0. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn. Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.
Bài (A 2009 NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 và hai đường thẳng D1: , D2: . Xác định tọa độ điểm M thuộc D1 sao cho khoảng cách từ M đến D2 bằng khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P).
Bài (B 2009 chuẩn) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1; 2; 1), B(–2; 1; 3), C(2; –1; 1) và D(0; 3; 1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P)
Bài (B 2009 NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 5 = 0 và hai điểm A(–3; 0; 1), B(1; –1; 3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất.
Bài (D 2009 chuẩn) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A (2; 1; 0), B(1; 2; 2), C(1; 1; 0) và mặt phẳng (P): x + y + z – 20 = 0. Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P).
Bài (D 2009 NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ có phương trình: và mặt phẳng (P): x + 2y – 3z + 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng Δ.
Bài (TN 2010 chuẩn) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 2; 0) và C(0; 0; 3).
a. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC.
b. Tìm tọa độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
Bài (TN 2010) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ: 
a. Tính khoảng cách từ điểm gốc tọa độ O đến đường thẳng Δ.
b. Viết phương trình mặt phẳng chứa O và đường thẳng Δ.
Bài (A 2010 chuẩn) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ có phương trình: và mặt phẳng (P): x - 2y + z = 0. Gọi C là giao điểm của Δ với (P), M là điểm thuộc Δ. Tính khoảng cách từ M đến (P), biết MC = .
Bài (A 2010 NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; –2) và đường thẳng Δ: . Tính khoảng cách từ A đến Δ. Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt Δ tại hai điểm B và C sao cho BC = 8.
Bài (B 2010 chuẩn) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A (1; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c), trong đó b, c dương và mặt phẳng (P): y – z + 1 = 0. Xác định b và c, biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với (P) và khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) bằng 1/3.
Bài (B 2010 NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ: . Xác định tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho khoảng cách từ M đến Δ bằng OM.
Bài (D 2010 chuẩn) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + z - 3 = 0 và (Q): x - y + z - 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O đến (R) bằng 2.
Bài (D 2010 NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng Δ1: và Δ2: . Tìm tọa độ điểm M thuộc Δ1 sao cho khoảng cách từ M đến Δ2 là 1.
Bài (TN 2011 Chuẩn) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; 1; 0) và mặt phẳng (P): 2x + 2y – z + 1 = 0.
a. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P). Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với mặt phẳng (P).
b. Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (P).
Bài (TN 2011 NC) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 0; 3), B(–1; –2; 1), C(–1; 0; 2).
a. Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
b. Tính độ dài đường cao tam giác ABC kẻ từ điểm A.
Bài (CĐ 2011 chuẩn) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(–1; 2; 3), B(1; 0; –5) và mặt phẳng (P): 2x + y – 3z – 4 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho 3 điểm A, B, M thẳng hàng.
Bài (CĐ 2011 NC) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: . Viết phương trình mặt cầu tâm I(1; 2; –3) và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho AB = 
Bài (A 2011 chuẩn) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 1), B(0; –2; 3) và mặt phẳng (P): 2x – y – z + 4 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MA = MB = 3.
Bài (A 2011 NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x² + y² + z² – 4x – 4y – 4z = 0 và điểm A(4; 4; 0). Viết phương trình mặt phẳng (OAB) biết B thuộc (S) và tam giác OAB đều.
Bài (B 2011 chuẩn) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ có phương trình: và mặt phẳng (P): x + y + z – 3 = 0. Gọi I là giao điểm của Δ và (P). Xác định tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MI vuông góc với Δ và MI = 4
Bài (B 2011 NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ có phương trình: và hai điểm A(–2; 1; 1), B(–3; –1; 2). Tìm tọa độ điểm M thuộc Δ sao cho tam giác MAB có diện tích 3
Bài (D 2011 chuẩn) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng d: Viết phương trình đường thẳng đi qua A, vuông góc với d và cắt trục Ox.
Bài (D 2011 NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ: và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc Δ, có bán kính bằng 1 và tiếp xúc với mặt phẳng (P).
Bài (TN 2012 chuẩn) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2; 1; 1), B(0; 2; 5) và mặt phẳng (P): 2x – y + 5 = 0.
a. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và B.
b. Chứng minh (P) tiếp xúc với mặt cầu có đường kính AB.
Bài (TN 2012 NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 1; 2) và đường thẳng Δ có phương trình là .
a. Viết phương trình đường thẳng đi qua O và A.
b. Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và đi qua O. Chứng minh Δ tiếp xúc với (S).
Bài (CĐ 2012 chuẩn) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:
d1: và d2: 
	Chứng minh d1, d2 cắt nhau và viết phương trình mặt phẳng chứa d1, d2.
Bài (CĐ 2012 NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình: và mặt phẳng (P): 2x + y – 2z = 0. Đường thẳng Δ nằm trong (P) vuông góc với d tại giao điểm giữa d và (P). Viết phương trình đường thẳng Δ.
Bài (AA1 2012 chuẩn) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình: và điểm I(0; 0; 3). Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I, và cắt d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông tại I.
Bài (AA1 2012 NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình: , mặt phẳng (P): x + y – 2z + 5 = 0 và điểm A(1; –1; 2). Viết phương trình đường thẳng Δ cắt d và (P) lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm đoạn thẳng MN.
Bài (B 2012 chuẩn) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: và hai điểm A(2; 1; 0), B(–2; 3; 2). Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B và có tâm thuộc đường thẳng d.
Bài (B 2012 NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; 3), M(1; 2; 0). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B, C sao cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM.
Bài (D 2012 chuẩn) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + 10 = 0 và điểm I(2; 1; 3). Viết phương trình mặt cầu tâm I và cắt mặt phẳng (P) theo một đường tròn có bán kính bằng 4.
Bài (D 2012 NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình: và hai điểm A(1; –1; 2), B(2; –1; 0). Xác định tọa độ điểm M thuộc d sao cho tam giác AMB vuông tại M.
Bài (TN 2013 chuẩn) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(–1; 2; 1) và mặt phẳng (P) có phương trình: x + 2y + 2z – 3 = 0.
a. Viết phương trình tham số của đường thẳng d qua M và vuông góc với (P).
b. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ và tiếp xúc mặt phẳng (P).
Bài (TN 2013 NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(–1; 1; 0) và đường thẳng (d) có phương trình: .
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ và vuông góc với d.
b. Tìm điểm M thuộc d sao cho AM = 
Bài (CĐ 2013 chuẩn) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(4; –1; 3) và đường thẳng d: . Tìm tọa độ điểm đối xứng của A qua d.
Bài (CĐ 2013 NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(–1; 3; 2) và mặt phẳng (P): 2x – 5y + 4z – 36 = 0. Gọi I là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (P). Viết phương trình mặt cầu tâm I và đi qua điểm A.
Bài (AA1 2013 chuẩn) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ có phương trình: và điểm A(1; 7; 3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với Δ. Tìm điểm M thuộc Δ sao cho AM = 2
Bài (AA1 2013 NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + 3y + z – 11 = 0 và mặt cầu (S): x² + y² + z² – 2x + 4y – 2z – 8 = 0. Chứng minh mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S). Tìm tọa độ tiếp điểm của (P) và (S).
Bài (B 2013 chuẩn) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; 5; 0) và mặt phẳng (P): 2x + 3y – z – 7 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P). Tìm tọa độ điểm đối xứng với A qua (P).
Bài (B 2013 NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; –1; 1), B(–1; 2; 3) và đường thẳng (Δ): Viết phương trình đường thẳng đi qua A, vuông góc với hai đường thẳng AB và Δ.
Bài (D 2013 chuẩn) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(–1; –1; –2), B(0; 1; 1) và mặt phẳng (P): x + y + z – 1 = 0. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P). Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P).
Bài (D 2013 NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(–1; 3; –2) và mặt phẳng (P): x – 2y – 2z + 5 = 0. Tính khoảng cách từ A đến (P). Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và song song với (P).
Bài (AA1 2014) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – 2z – 1 = 0 và đường thẳng (d): . Tìm tọa độ giao điểm d và (P). Viết phương trình mặt phẳng chứa (d) và vuông góc với (P).
Bài (D 2014) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 6x + 3y – 2z – 1 = 0 và mặt cầu (S): x² + y² + z² – 6x – 4y – 2z – 11 = 0. Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn (C). Tìm tọa độ tâm của (C).
Bài (B 2014) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1; 0; –1) và đường thẳng d: . Viết phương trình mặt phẳng đi qua và vuông góc với d. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên d.
Bài (CĐ 2014) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm A(2; 1; –1), B(1; 2; 3) và mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 3 = 0. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P). Viết phương trình mặt phẳng chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng (P).
Bài (TN 2014) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; –1; 0) và mặt phẳng (P) có phương trình 2x – 2y + z – 1 = 0.
a. Viết phương trình tham số đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P).
b. Tìm điểm M thuộc (P) sao cho AM vuông góc với OA và độ dài đoạn AM bằng ba lần khoảng cách từ A đến (P).
Bài (THPTQG 2015) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; –2; 1), B(2; 1; 3) và mặt phẳng (P): x – y + 2z – 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB và xác định tọa độ giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng (P).