Ôn tập môn Toán 12 - Chuyên đề : Bài toán liên quan hàm số

Chuyªn ®Ò : bµi to¸n liªn quan hµm sè
1, Xét sự biến thiên của hàm số y = f(x).
B1: Tìm miền xác định D của hàm số.
B2: Tính đạo hàm f ’(x). Tìm x thuộc D sao cho f ’(x) hoặc không xác định.
B3: Lập bảng biến thiên của hàm số hoặc trục số.
B4: Kết luận.
2, Xác định m để hàm số y = f(x, m) đồng biến (hay nghịch biến) trên khoảng D.
B1: Tìm miền xác định của hàm số.
B2: Tính đạo hàm f’(x).
B3: Lập luận cho các trường hợp 
f ’(x) 0 với .
f ’(x) 0 với .
3, Tìm cực trị của hàm số.
Phương pháp 1: Tìm cực trị bằng cách sử dụng bảng biến thiên
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số f(x)
Bước 2: Tìm y', giải phương trình y' = 0.
Bước 3: Lập bảng biến thiên và kết luận:
* Nếu y' đổi dấu từ - sang + khi qua điểm  (từ trái sang phải) thì hàm số đạt cực tiểu tại .
* Nếu y' đổi dấu từ + sang - khi qua điểm  (từ trái sang phải) thì hàm số đạt cực tiểu tại .
Phương pháp 2: Tìm cực trị bằng cách sử dụng đạo hàm cấp 2
Bước 1: Tìm tập xác định.
Bước 2: Tính y'. Giải phương trình y' = 0 và kí hiệu  (i=1,2,...) là các nghiệm của nó.
Bước 3: Tính  f"(x) và f"() rồi kết luận:
* Nếu f"()<0 thì hàm số đạt cực đại tại .
* Nếu f"()>0 thì hàm số đạt cực tiểu tại .
4, Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: 
Dạng 1.Viết PTTT của đồ thị hàm số tại điểm 
Dạng 2. Viết PTTT của đồ thị hàm số , biết rằng TT có hệ số góc là k
Hoành độ tiếp điểm là n0 => => y0=f(x0)
PTTT: y=k(x- x0)+y0 
* Phương trình đường thẳng qua A, B lần lượt trên Ox, Oy (không trùng O) có hệ số góc 
Dạng 3. Viết PTTT của đồ thị hàm số biết rằng TT đi qua điểm M(a; b).
Gọi d qua M và có hệ số góc k: y=k(x-a)+b.
d là PTTT có nghiệm
5, GTLN,GTNN của hàm số : 
Bài toán 1. Cho hàm số y=f(x) liên tục trên khoảng (a;b) thì lập bảng biến thiên.	
Bài toán 2.	Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] Hãy tìm và .
Cách giải 	1, Tìm các điểm tới hạn x1, x2, ., xn của f(x) trên đoạn [a;b].
	2, Tính f(a), f(xi), f(b).
	3, ; 
VD 1. Tìm m sau cho hàm số: 
1, y = x3 – 2(m – 1)x2 + (m-1)x ĐB / R.	2, y = mx3 – 2m x2 + (m – 2)x NB / R.
3, y = x3 + 3x2 + (m -3)x + 4 NB/ .	4, y = (m + 3)cos2x + (2 – 2m)x ĐB / R.	
VD 2. Cho hàm số . Tìm độ dài dây cung tạo bởi đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số với đường tròn (C) : 
VD 3. Cho hàm số: . Tìm m để hàm số đạt cực đại tại điểm x=1.
VD 4. Tìm m để y = x3 - 3( m + 1 )x2 + 3(m2 + 2 )x + 1 – m đạt cực trị tại x1 , x2 thỏa x12 + x22 = 10 
VD 5. Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ 
VD 6. Cho hàm số , Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương. 
VD 7. Cho hàm số (1) . Đường thẳng (): cắt (C) tại A, B, M(0;1) phân biệt. Gọi D là điểm cực tiểu của (C). Tìm để .
VD 8. Cho hàm số (1). Gọi lần lượt là các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số (1). Tìm điểm thuộc trục hoành sao cho tam giác có diện tích bằng 2. 
VD 9. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại thoả mãn 
VD 10. Cho hàm số . Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác ABC vuông ở .
VD 11. Cho hàm số Tìm m để (1) có cực đại, cực tiểu , đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cùng với O tạo thành một tam giác vuông tại O.
VD 12. Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 3m3 (1). Tìm m để (Cm) có 2 điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48. 
VD 13. Cho hàm số (1) . Xác định để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng .
VD 14. [ĐHB11] Cho hàm số . Tìm để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị , , sao cho ; trong đó thuộc trục tung, và là hai điểm cực trị còn lại.
VD 15. [ĐHA12] Tìm để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông.
VD 16. Cho hàm số (1). Viết phương trình đường thẳng đi qua M(1;3) cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho .
VD 17. Cho hàm số (1). Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ thoả mãn điều kiện .
VD 18. Cho hàm số Tìm m để đường thẳng y=-2x+m cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng .
VD 19. Tìm m để d: y=x+4 cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt A, 
B, C sao cho tam giác MBC có diện tích bằng 4. (Điểm B, C có hoành độ khác 0, M(1;3))
VD 20. Tìm m để đồ thị (Cm): cắt Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng.
VD 21. Cho hàm số (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) , biết tiếp tuyến song song với .
VD 22. Cho hàm số (C). Viết phương trình tiếp tuyến qua .
VD 23. Cho hàm số . Tìm trên đồ thị (C) điểm M sao cho tiếp tuyến với (C) tại M cắt hai đường tiệm cận tại A, B sao cho (I là giao điểm hai đường tiệm cận). 
VD 24. Cho hàm số . Gọi I(1;2). Tìm trên (C) điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với IM. 
VD 25. Cho hàm số . Viết pttt với (C) biết tiếp tuyến tạo với hai đường tiệm cận của (C) thành tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất.
VD 26. Cho hàm số 
 Viết pttt của (C) sao cho tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho OA=4OB.
VD 27. Cho hàm số . Gọi là hệ số góc của tiếp tuyến tại giao điểm của với trục hoành và là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
VD 28. Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
1, trên đoạn 	2, trên đoạn 
VD 29. Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
1, trên đoạn 	2, trên đoạn 
VD 30. Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
1, 	2, trên đoạn 
VD 31. Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
1, trên đoạn 	2, trên đoạn 
VD 32. Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
1, 	2,
3, trên đoạn 	4, trên đoạn 
VD 33. Tìm tất cả các giá trị của m để: có đúng một nghiệm.
VD 34. Tìm tất cả các giá trị của m để: có nghiệm.
VD 35. Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình: 
 có nghiệm .