Ôn tập môn Toán 12 - Chủ đề 1: Hàm số và các vấn đề liên quan

ÔN TẬP TỐT NGHIỆP 2016.
Chủ đề 1: Hàm số và các vấn đề liên quan.
Tiết 1: Hàm số bậc 3( khảo sát vẽ và biện luận nghiệm).
KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN & VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
1. Tập xác định của hàm số
2. Sự biến thiên
Tìm giới hạn tiệm cận (nếu có)
Tính đạo hàm y’. Giải phương trình y’ = 0
Lập bảng biến thiên
Kết luận về đồng biến - nghịch biến và cực trị.
3. Đồ thị: Tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ (nếu dễ), tìm thêm vài điểm đặc biệt rồi vẽ đồ thị
SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐƯỜNG
Cho hai đường cong (C1): y = f (x) và (C2): y = g (x) .
Ph.trình: f (x) = g (x) (*) gọi là ph.trình hoành độ giao điểm của (C1) và (C2).
Số nghiệm ph.trình (*) chính là số giao điểm của (C1 ) và (C2).
BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PH.TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ
Dùng đồ thị ( C ) của hàm số y = f(x), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình F (x,m ) = 0
Biến đổi ph.trình F(x,m ) = 0 f (x)=g(m) (*)
Pt (*) là ph.trình hoành độ giao điểm của (C): y = f (x) và đ.thẳng d: y = g (m) Số nghiệm ph.trình đã cho chính là số giao điểm của (C) và d.
Dựa vào đồ thị (C) để biện luận (Lưu ý các giá trị cực trị ( nếu có) của hàm số).
Ví dụ1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số: 
a).(C )
b). Dựa vào đồ thị (C ) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 	 	
Giải
a)
Tập xác định: .
Giới hạn: ; 
	Bảng biến thiên: 
Hàm số đồng biến trên , nghịch biến trên 
Hàm số đạt cực đại tại , đạt cực tiểu tại 
Điểm đặc biệt: 
Điểm uốn: 	
-3
-2
-1
0
1
-4
0
-2
-4
0
Đồ thị:
Nhận xét: Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
Xét phương trình: (1)
Số nghiệm của pt (1) là số giao điểm của đồ thị ( C) và đường thẳng (d) y = -m - 4, dựa vào đồ thị ta được.
-m – 4 > 0 m (1) có một nghiệm đơn
-m - 4 = 0 m =-4 => (1) có nghiệm kép một nghiệm đơn 
-4 (1) có 3 nghiệm đơn.
-m-4 = -4 m = 0=> (1) có nghiệm kép một nghiệm đơn
-m-40 => (1) có một nghiệm đơn.
2) Cho hàm số y = - x3 + 6x2 – 9x + 2 (C). 
 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C). 
 b. Dựa vào đồ thị (C) tìm m để phương trình: x3 – 6x2 + 9x + m = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Giải: 
Học sinh tự làm.
Xét phương trình : 
Số nghiệm của pt (1) là số giao điểm của đồ thị ( C) và đường thẳng (d) y = m +2
Để phương trình (1 ) có 3 nghiệm phân biệt .
III. Bài tập áp dụng:
Bài 1. Cho hàm số có đồ thị (C). 
 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
 b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x3 – 3x2 – 9x + 11 + m = 0.
Bài 2. Cho hàm số (C): . 
 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
 b. Tìm m để phương trình : có 6 nghiệm phân biệt
Bài 3. Cho hàm số , m là tham số thực. Tìm m để đường thẳng y = -x +1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt. ĐS: m 8/9
Bài 4. Cho hàm số y = x3 – 2x2 + (1 – m)x + m (1), m là số thực. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 thỏa mãn điều kiện: 
 ĐS: -1/4 < m <1, m 0 
Tiết 2: Hàm số bậc 4.
Hàm số trùng phương::
	· Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.
Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho hàm số .
Khảo sát và vẽ (C ).
Dựa vào (C ) biện luận theo m số nghiệm của pt: .
Giải:
Tập xác định: 
Giới hạn: ; 
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số đồng biến trên , nghịch biến trên 
	Hàm số đạt cực đại tại , đạt cực tiểu tại 
	Điểm đặc biệt:
-2
-1
0
1
-2
5
-4
-3
-4
5
Đồ thị
Nhận xét: Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.
b.Xét pt: 
Số nghiệm của pt (1) là số giao điểm của đồ thị ( C) và đường thẳng (d) y = m -3.
Nếu (1)vô nghiệm.
Nếu pt(1) có 2 nghiệm.
Nếu pt(1)có 3 nghiệm.
Nếu pt (1) có 4 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 2: Cho hàm số (C): y = - x4 + 2x2 – 2. 
 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) 
 b. Dựa vào đồ thị (C), tìm m để phương trình – x4 + 2x2 – m2 – 1 = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
Giải: 
Học sinh tự làm.
Xét pt: .
Số nghiệm của pt (1) là số giao điểm của đồ thị ( C) và đường thẳng (d) y = .
Dựa vào đồ thị ý a pt (1) có 4 nghiệm phân biệt (vl).
Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn.
Bài tập áp dụng: 
1) Cho hàm số (C): y = x4 – 6x2 + 5
 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) 
 b. Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm pt : - x4 + 6x2 + 3 + m = 0.
2) Cho hàm số có đồ thị (C).
 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
 b. Dựa vào đồ thị (C), tìm m để phương trình có 3 nghiệm.
3) Cho hàm số (C): y 
 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) . 
 b. Với giá trị nào của m phương trình có đúng 6 nghiệm thực phân biệt.
4) Cho hàm số : y = x4 – (3m + 4)x2 + m2 (C). Tìm m để (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.
 ĐS : m > - 4/5, m0
5) Cho hàm số y = - x4 + (m + 1)x2 – m + 1, (Cm). Tìm m để đường thẳng y = 1 cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn hoặc bằng 3 và các hoành độ đó lập thành cấp số cộng.
 ĐS: m = 9, m = 1/9.
Tiết 3. 
 Hàm phân thức hữu tỉ: 
 Ví dụ 1: Cho hàm số : 
Khảo sát và vẽ (C ).
Tìm m để (C ) cắt (d) y = mx + 2m – 1 taị 2 điểm phân biệt A, B.
Giải:
Tập xác định 
.
Hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng 
Giới hạn:	 ; là tiệm cận đứng
; là tiệm cận ngang
Bảng biến thiên:
-∞ -1 +∞ 
 - -
-1 +∞
 -∞ -1
Hàm số không có cực trị 
	Điểm đặc biệt
-3
-2
-1
0
1
-5/2
-4
||
2
1/2
Đồ thị: 
Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm hai đường tiệm cậnlàm tâm đối xứng.
Hoành độ giao điểm của (C ) và d là nghiệm của pt:
Xét (1) .
Để (C ) cắt d tại 2 điểm phân biệt ↔pt (1) có 2 nghiệm phân biệt khác (-1) 
Ví dụ 2. Cho hàm số có đồ thị là (C).
Khảo sát và vẽ (C )
 Tìm m để đường thẳng (d): cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm: (1)
Điều kiện: . Khi đó: 
 (2)
 (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt
	 (2) có hai nghiệm phân biệt khác 
Vậy giá trị cần tìm là .
Ví dụ 3 : Cho hàm số có đồ thị là .
Khảo sát và vẽ (C ) với m = -2.
 Tìm m để đường thẳng (d): cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt sao cho .
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm: (1)
Điều kiện: 
Khi đó: (2)
 (d) cắt tại hai điểm phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt
	 (2) có hai nghiệm phân biệt khác 
 (*)
 	Đặt với là hai nghiệm của phương trình (2).
 	Theo định lý Viet ta có: 
	Khi đó: 	 
 	 [thỏa mãn (*)] 
Vậy giá trị cần tìm là .
Bài tập áp dụng:
Cho hàm số có đồ thị (C).
 Khảo sát và vẽ (C ).
 Đường thẳng cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B. Tìm để đường thẳng cắt (C) tại hai điểm phân biệt C,D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
HD: 
Bài 2. Chứng minh rằng đường thẳng luôn cắt đồ thị (C) của hàm số tại hai điểm phân biệt . Tìm để đoạn ngắn nhất.
HD: 
Bài 3. Tìm để đường thẳng cắt đồ thị (C) của hàm số tại hai điểm phân biệt sao cho tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính 
HD:.
Tiết 4. Phương trình tiếp tuyến .
Kiến thức cơ bản: 
1. Tiếp tuyến của hàm số (C) y = f(x) tại điểm x0 (C).
 B1: Với x0 (C) f(x0) 
 B2: Tìm hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại x0 : 
 B3: Phương trình tiếp tuyến của (C) tại x0 có dạng : y 
 2. Tiếp tuyến của hàm số (C) y = f(x) khi biết hệ số góc k.
 B1: Gọi điểm M(x0; y0) (C) Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại x0: 
 B2: Vì tiếp tuyến có hệ số góc k = k, giải pt tìm x0 f(x0)
 B3: Phương trình tiếp tuyến của (C) tại x0 có dạng : y 
Chú ý: + Nếu tiếp tuyến song song đường thẳng: y = kx + m thì có hệ số góc = k
+ Nếu tiếp tuyến vuông góc đường thẳng: y = kx + m thì có hệ số góc .k = - 1
 + Nếu tiếp tuyến tạo với trục 0x một góc thì có hệ số góc = .
 3. Tiếp tuyến của hàm số (C) y = f(x), biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xA; yA) (C)
 B1: Gọi điểm M(x0; y0) (C) Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại x0: 
 B2: Phương trình tiếp tuyến của (C) tại x0 có dạng : y 
 B3: Tiếp tuyến đi qua điểm A , giải pt tìm x0
 B4: Thế x0 vào B2 ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm
 CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Cho hàm số có đồ thị là . Viết phương trình tiếp tuyến của tại các giao điểm của và đường thẳng . 
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm: (1)
Điều kiện: 
Khi đó: 
Suy ra tọa độ các giao điểm là 
Ta có: 
	 	Phương trình tiếp tuyến tại A là 
 	Phương trình tiếp tuyến tại B là 
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề bài là và 
Ví dụ 2: Cho hàm số có đồ thị là . Viết phương trình tiếp tuyến của , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng . 
Lời giải
Gọi là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C) 
Ta có: 
 	Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 
	Với : pttt: 
Với : pttt: 
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề bài là và . 
Ví dụ 3: Cho hàm số có đồ thị là . Viết phương trình tiếp tuyến của , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng .
Lời giải
	Ta có: 
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng nên hệ số góc của tiếp tuyến là 
Gọi là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C) 
 Hệ số góc của tiếp tuyến 
	Với : pttt: 
Với : pttt: (loại)
Vậy tiếp tuyến thỏa đề bài là 
Ví dụ 4: Cho hàm số có đồ thị là . Viết phương trình tiếp tuyến của , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng .
Lời giải
Ta có: 
Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng nên hệ số góc của tiếp tuyến là 
Gọi là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C) 
 	Hệ số góc của tiếp tuyến 
	Với : pttt: 
Với : pttt: 
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề bài là và 
Ví dụ 5: Lập phương trình tiếp tuyến của (C): biết rằng tiếp tuyến đi qua 
Lời giải
Gọi là tiếp điểm . 
Ta có 
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại là:
 	 (1)
Vì tiếp tuyến đi qua A(2;– 4) , nên 
	Khi : Phương trình tiếp tuyến là 
Khi : Phương trình tiếp tuyến là .
Bài tập áp dụng.
1) Cho hàm số (C): . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng – 2 Đ/S: y = -25x + 18 
2)(KD -10) Cho hàm số .Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng . ĐS: y = - 6x + 10 
3) Viết phương trình tiếp tuyến của (C):, biết tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất
 ĐS:
4)(KB-08) Cho hàm số y = 4x3 – 6x2 + 1 (1). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M(–1;–9). 
 ĐS: y = 24x + 15 hay y = x 
 5)(KA-09) Cho hàm số (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến tạo với Ox, Oy một tam giác cân tại O. Đ/S: y = -x – 2
6) Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến cắt các trục lần lượt tại hai điểm sao cho ĐS: , 
Tiết 5. Cực trị.
Kiến thức cơ bản: 
Xác định tham số để hàm số đạt cực trị tại x = a. 
 + Hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x = a và chứng minh 
 + Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x = a và chứng minh 
 + Hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x0 , y0 và chứng minh 
 Xác định tham số để hàm số có cực trị
 Với hàm số bậc ba đạo hàm là một tam thức bậc hai : f ’(x) = Ax2 + Bx + C, (A 0). 
 + Hàm số f(x) đạt một cực đại và một cực tiểu khi và chỉ khi phương trình f ’(x) = 0 có hai 
 nghiệm phân biệt 
 + Hàm số f(x) không có cực trị khi và chỉ khi phương trình f ’(x) = 0 có nghiệm kép hoặc vô
 nghiệm 
 Với hàm số trùng phương, ta có y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b) , 
 + Hàm số có ba cực trị (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 
 Khi đó hàm số có hai cực tiểu, một cực đại khi a > 0; có hai cực đại, một cực tiểu khi a < 0.
 + Hàm số có một cực trị (1) vô nghiệm hoặc có 1 nghiệm x = 0 .
Các ví dụ: 
Ví dụ 1. Cho hàm số . Tìm để hàm số đạt cực tiểu tại .
Lời giải
Tập xác định: . Đạo hàm: 
Điều kiện cần:
 Hàm số đạt cực tiểu tại 
Điều kiện đủ:
Với , ta có: , 
Bảng biến thiên
 Từ BBT ta suy ra không thỏa.
Với , ta có: , 
Bảng biến thiên
 CĐ 
 CT
 Từ BBT ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại . 
Vậy giá trị cần tìm là .
Ví dụ 2: Cho hàm số . Tìm để hàm số có hai điểm cực trị.
Lời giải
Tập xác định: . Đạo hàm: 
 Hàm số có hai điểm cực trị có hai nghiệm phân biệt 
Vậy giá trị cần tìm là .
Ví dụ 3. Cho hàm số . Tìm để hàm số có 3 điểm cực trị.
Lời giải
Tập xác định: . Đạo hàm: 
Hàm số có ba điểm cực trị có ba nghiệm phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0
Vậy giá trị cần tìm là .
Bài tập áp dụng:
Tìm để hàm số: đạt cực tiểu tại 
HD: 
Tìm để hàm số 
a) Có ba điểm cực trị	b) Có cực đại mà không có cực tiếu.
HD: a)	b)
Tìm để hàm số đạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn 
HD:
Tìm để đồ thị hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu là và đường thẳng đi qua hai điểm tạo với đường thẳng một góc 
HD: 
Cho hàm số: . Xác định để hàm số có ba điểm cực trị và các điểm cực trị này thỏa
	a) Lập thành 1 tam giác đều.
	b) Lập thành 1 tam giác vuông.
	c) Lập thành 1 tam giác có diện tích bằng 32.
HD: 	a)	b)	c)
Tiết 6. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến.
Kiến thức cơ bản.
Định lí : Cho hàm số xác định trên khoảng .
 đồng biến trên K .
 nghịch biến trên K .
(chỉ xét trường hợp tại một số hữu hạn điểm trên khoảng )
Các ví dụ:
Ví dụ 1: 
 Cho hàm số . Tìm để hàm số luôn đồng biến trên .
Lời giải
Tập xác định: . Đạo hàm: 
Hàm số luôn đồng biến trên 
Trường hợp 1: Xét 
+ Với , ta có , suy ra thỏa.
+ Với , ta có , suy ra không thỏa.
Trường hợp 2: Xét , khi đó:
Từ hai trường hợp trên, ta có giá trị cần tìm là .
Ví dụ 2: 
Cho hàm số . Tìm để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
Lời giải
Tập xác định: 
Đạo hàm: . Dấu của là dấu của biểu thức .
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định , (y’=0 chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm ) 
Vậy giá trị cần tìm là .
Ví dụ3. Cho hàm số . Tìm để hàm số đồng biến trên khoảng .
Lời giải
Tập xác định: 
 Đạo hàm: . Dấu của là dấu của biểu thức .
Hàm số đồng biến trên khoảng , 
	Vậy giá trị cần tìm là .
Bài tập áp dụng: 
Tìm m để hàm số hàm số nghịch biến trên tập xác định. HD: 
Xác định để hàm số .
a) Đồng biến trên R.	b) Đồng biến trên .
HD: a) 	b)
Tìm để hàm số đồng biến trên khoảng .
	HD: 
Tìm để hàm số nghịch biến trên khoảng .
HD: .
Cho hàm số .
a) Định để hàm số đồng biến trên khoảng .
b) Định để hàm số đồng biến trên khoảng .
HD: a)	b) 
Tìm để hàm số đồng biến trên khoảng HD: 
Tìm để hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng1. HD: .
Tiết 7. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Kiến thức cơ bản:
 Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên khoảng (a;b):
Lập bảng biến thiên rồi dựa vào đó để kết luận.
Tìm GTLN-GTNN của hàm số trên đoạn (ta không cần lập bảng biến thiên) 
Xét hàm số đã cho liên tục trên đoạn .
Tìm đạo hàm và tìm các điểm tới hạn của trên đoạn .
Tính các giá trị 
Số lớn nhất trong các số là GTLN cần tìm. Số nhỏ nhất trong các số là GTNN cần tìm.
Các ví dụ :
Ví dụ1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng 
Lời giải
Tập xác định . Đạo hàm: . 
Bảng biến thiên
0 2 
 + 0 - 
 0 0 
Vậy khi 
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = trên đoạn .
Lời giải.
Hàm số đã cho liên tục trên đoạn .Ta có . 
Từ đó, khi và khi .
Bài tập áp dụng: 
Bài 1. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:
 a) trên đoạn b) trên đoạn 
c) trên đoạn 	d) trên đoạn .
Bài 2. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:
 	a) 	 	 b) 
 c) d) 
Bài 3. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:
 a) trên đoạn 	 	b) .