Ôn tập môn Hình học lớp 10 - Chương III: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Chương III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1. Phương trình tham số.
* Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M0(x0 ; y0), có vec tơ chỉ phương là 
* Phương trình đường thẳng đi qua M0(x0 ; y0) và có hệ số góc k là: y – y0 = k(x – x0).
* Nếu có VTCP với thì hệ số góc của .
* Nếu có hệ số góc là k thì nó có một VTCP là .
2. Phương trình tổng quát.
* Phương trình của đường thẳng đi qua điểm M0(x0 ; y0) và có vec tơ pháp tuyến là:
a(x – x0) + b(y – y0) = 0 ( a2 + b2 
* Phương trình ax + by + c = 0 với a2 + b2 là phương trình tổng quát của đường thẳng
 nhận làm VTPT; ( b; -a ) làm vectơ chỉ phương 
* Đường thẳng cắt Ox và Oy lần lượt tại A(a ; 0) và B(0 ; b) có phương trình theo đoạn chắn là :
 * Cho (d) : ax + by + c = 0 * Nếu // d thì phương trình là : ax + by + m=0 (m c)
 * Nếu d thì phươnh trình là : bx – ay + m=0
3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng.
 Cho hai đường thẳng 
Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ta xét số nghiệm của hệ phương trình
 (I)
F Chú ý: Nếu a2b2c2 thì : 
4. Góc giữa hai đường thẳng. Góc giữa hai đường thẳng có VTPT được tính theo công thức:
5. Khoảnh cách từ một điểm đến một đường thẳng.Khoảng cách từ một điểm M0(x0 ; y0) đến đường thẳng
 : ax + by + c = 0 cho bởi công thức: 
 d(M0,) = 	
B. BÀI TẬP.
1/ Lập phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường thẳng (d) trong mỗi trường hơp sau:
(d) đi qua điểm M(1 ; 1) và có VTPT 
(d) đi qua điểm A(2 ; -1) và có hệ số góc k = - 1/2
(d) đi qua hai điểm A(2 ; 0) và B(0 ; -3).
(d) đi qua hai điểm M(1 ; -3) và N (2 ; 4 ).
(d) đi qua điểm A(1 ; -2) và song song với đường thẳng 2x – 3y – 3 = 0.
(d) đi qua điểm A(2 ; 1) và vuông góc với đường thẳng x – y + 5 = 0.
(d) đi qua điểm A(-4 ;3) và ccó hệ số góc k=2
2/ Cho đường thẳng 
Tìm điểm M nằm trên và cách điểm A(0 ; 1) một khoảng bằng 5.
Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng với đường thẳng x + y + 1 = 0.
Tìm điểm M trên sao cho AM ngắn nhất.
3/ Cho điểm M(1 ; 2). Hãy lập phương trình của đường thẳng qua M và chắn trên hai trục tọa độ hai đoạn có độ dài bằng nhau.
4/ Cho hai đường thẳng (d1): x + 2y + 4 = 0, (d2): 2x – y + 6 = 0.
Tính góc giữa hai đường thẳng.
Lập phương trình các đường phân giác của các góc giữa hai đường thẳng .
5/ Lập phương trình ba đường trung trực của tam giác có trung điểm các cạnh lần lượt là M(-1 ; 0), 
 N(4 ; 1), P(2 ; 4).
6/ Cho tam giác ABC, biết phương trình đường thẳng AB: x – 3y + 11 = 0, đường cao 
AH: 3x + 7y – 15 = 0, đường cao BH: 3x – 5y + 13 = 0. Tìm phương trình hai đường thẳng chứa hai cạnh còn lại của tam giác.
7/ Cho tam giác ABC có A(-2 ; 3) và hai đường trung tuyến : 2x – y + 1 = 0 và x + y – 4 = 0. Hãy viết phương trình ba đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác.
8/ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2 ; 5) và cách đều hai điểm A(-1 ; 2) và B(5 ; 4).
9/ Hai cạnh của hình bình hành có phương trình x – 3y = 0 và 2x + 5y + 6 = 0. Một đỉnh của hình bình hành là A(4 ; -1). Viết phương trình hai cạnh còn lại của hình bình hành đó.
10/ Cho đường thẳng  : x – y + 2 = 0 và hai điểm O(0 ; 0), A(2 ; 0)
Chứng tỏ rằng hai điểm O và A nằm cùng một phía đối với đường thẳng .
Tìm tọa độ điểm O’ là điểm đối xứng của O qua .
Tìm trên điểm B sao cho độ dài đường gấp khúc OBA ngắn nhất.
II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1. phương trình đường tròn.
* Phương trình đường tròn tâm I(a ; b), bán kính R là : (x – a)2 + (y – b)2 = R2.
* Nếu a2 + b2 – c > 0 thì phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn tâm 
 I(a ; b), bán kính R =
* Nếu a2 + b2 – c = 0 thì chỉ có một điểm I(a ; b) thỏa mãn phương trình: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0
* Nếu a2 + b2 – c < 0 thì không có điểm M(x ; y) nào thỏa mãn phương trình: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0
2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn.Tiếp tuyến tại điểm M0(x0 ; y0) của đường tròn tâm I(a ; b) có phương trình: (x0 – a)(x – x0) + (y0 – b)(y – y0) = 0 
B. BÀI TẬP.
1/ Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn? Tìm tâm và bán kính nếu có.
x2 + y2 - 6x + 8y + 100 = 0 b) x2 + y2 + 4x – 6y – 12 = 0 c) 2x2 + 2y2 – 4x + 8y – 2 = 0
2/ Trong mặt phẳng Oxy,lập phương trinh của đường tròn (C) có tâm I(2 ; 3) và thỏa mãn điều kiện sau :
 a) (C) có bán kính là 5 b) (C) đi qua gốc tọa độ
 c) (C) tiếp xúc với trục Ox. d) (C) tiếp xúc với đường thẳng  : 4x + 3y – 12 = 0
3/ Cho ba điểm A(1 ; 4), B(-7 ; 4), C(2 ; -5).
Lập phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC. 
b) Tìm tâm và bán kính của (C).
4/ Cho đường tròn (C) đi qua hai điểm A(-1 ; 2), B(-2 ; 3) và có tâm ở trên đường thẳng
 : 3x – y + 10 = 0
Tìm tọa độ tâm của (C) b)Tính bán kính R của (C) c)Viết phương trình của (C).
5/ Lập PTcủa đường tròn (C) đi qua hai điểm A(1 ; 2), B(3 ; 4) và tiếp xúc với đường thẳng 
 : 3x + y – 3 = 0.
6/ Lập phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với các trục tọa độ và đi qua điểm M(4 ; 2).
7/ Cho đường tròn (C): x2 + y2 – x - 7y = 0 và đường thẳng (d) :7x-y=0
Tìm tọa độ giao điểm của (C) và (d).Lập phương trình tiếp tuyến với (C) tại các giao điểm đó.
Tìm tọa độ giao điểm của hai tiếp tuyến.
8/ Cho đường tròn (C) : x2 + y2 – 6x + 2y + 6 = 0 và điểm A(1 ; 3)
Chứng tỏ điểm A nằm ngoài đường tròn (C).
Lập phương trình tiếp tuyến với (C) xuất phát từ điểm A.
9/ Lập phương trình tiếp tuyến với (C) : x2 + y2 - 6x + 2y = 0 biết tiếp tuyến :
Song song với đường thẳng (d) : x – 2y + 3 = 0 
b) Vuông góc với đường thẳng (d’) : 3x – y + 4 = 0
c) Tiếp tuyến có hệ số góc là k= - 2
10/ Cho đường tròn (C) : (x + 1)2 + (y – 2 )2 = 9 và điểm M(2 ; -1).
Chứng tỏ rằng qua M ta vẽ được hai tiếp tuyến (d1) và (d2) với (C).Hãy viết phương trình của (d1) và (d2).
Gọi M1 và M2 lần lượt là hai tiếp điểm của (d1) và (d2) với (C), hãy viết phương trình của đường thẳng (d) đi qua M1 và M2.
III. ELIP – HYPEBOL
A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
I.ELIP
II. HYPEBOL
1) Định nghĩa:
(E) = 
F1F2 = 2c, a > c>0
2) Phương trình chính tắc:
 = 1 với b2 = a2 – c2 
 a>c>0 và a>b>0
3) Hình dạng và các yếu tố: 
a) Hình dạng:
b) Các yếu tố:	
A1A2 = 2a: trục lớn
B1B2 = 2b : trục nhỏ
Cácđỉnh:A1(-a;0),A2(a;0), B1(0;-b),B2(0;b)
Các tiêu điểm: F1(-C;0), F2(C;0)
Tiêu cự: F1F2 = 2c
Bán kính qua tiêu của điểm M :
Tâm sai: e = (0<e<1)
Phương trình đường chuẩn:
(D1): x = - ; (D2): x = 
1) Định nghĩa:
 (H) = F1F2 = 2c, c > a
2) Phương trình chính tắc:
= 1 với b2 = c2 – a2
3) Hình dạng và các yếu tố 
a) Hình dạng:
b) Các yếu tố
A1A2 = 2a: trục thực
B1B2 = 2b : trục ảo
Các đỉnh:A1(-a;0), A2(a;0)
Các tiêu điểm: F1(-C;0), F2(C;0)
Tiêu cự: F1F2 = 2c
Bán kính qua tiêu của điểm M
Tâm sai: e = 
Phương trình đường chuẩn:
(D1): x = - ; (D2): x = 
Phương trình tiệm cận:
 (d1): y = -; (d2): y = 
B. BÀI TÂP
* Elip (E):
1/ Xác định độ dài hai trục, tiêu cự, tâm sai, tọa độ các tiêu điểm và các đỉnh của elip sau:
 a) b) 4x2 + 16y2 – 1 = 0 c) x2 + 4y2 = 1 d) x2 + 3y2 = 2
2/ Lập phương trình chính tắc của elip (E) biết.
A(0 ; - 2) là một đỉnh và F(1 ; 0) là một tiêu điểm của (E).
F1(-7 ; 0) là một tiêu điểm và (E) đi qua M(-2 ; 12)
Tiêu cự bằng 6, tâm sai bằng 3/5.
Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là x = 
(E) đi qua hai điểm M(4 ; ), N(.
3/ Tìm những điểm trên elip (E) : thỏa mãn :
Có bán kính qua tiêu điểm bên trái bằng hai lần bán kính qua tiêu điểm bên phải.
Nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông. 
4/ Cho elip (E) : . 
Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh ; tính tâm sai và vẽ (E).
Xác định m để đường thẳng d : y = x + m và (E) có điểm chung.
Viết phương trình đường thẳng đi qua M(1 ; 1) và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của AB.
*HYPEBOL (H) :
5/ Xác định độ dài trục thực, trục ảo ; tiêu cự ; tâm sai ; tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh và phương trình các đường tiệm cận của mỗi hyperbol (H) sau :( Vẽ (H) có phương trình ở câu a), b) và d))
 a) b) 4x2 – y2 = 1 c) 16x2 – 25y2 = 400 d) x2 – y2 = 1
6/ Lập phương trình chính tắc của hyperbol (H) biết :
Một tiêu điểm là (5 ; 0), một đỉnh là (- 4 ; 0). 
 b)Độ dài trục ảo là 12, tâm sai bằng 5/4.
c) Tâm sai bằng , (H) đi qua điểm A(-5 ; 3). 
d)(H) đi qua hai điểm A(6 ; -1), B(-8 ; 2.
7/ Tìm các điểm trên hyperbol (H) : 4x2 – y2 – 4 = 0 thỏa mãn :
Nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông. b)Có tọa độ nguyên.