Ôn tập môn Đại số lớp 10 - Bài 1: Mệnh đề và mệnh đề chứa biến

 -1- 
Chương 1: Mệnh đề-Tập hợp 
 
§1. Mệnh đề và mệnh đề chứa biến 
1. Mệnh đề mệnh đề chứa biến 
a) Mệnh đề 
Mệnh đề lơgic (gọi tắt là mệnh đề) là một câu khẳng định hoặc đúng hoặc sai. 
Một mệnh đề khơng thể vừa đúng vừa sai. 
Một câu khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng. Một câu khẳng định sai gọi là mệnh đề 
sai. 
 Ví dụ 1: 
a) Gĩc vuơng cĩ số đo 800 (là mệnh đề sai) 
b) Số 7 là một số nguyên tố (là mệnh đúng) 
c) Hơm nay trời đẹp quá ! (khơng là mệnh đề) 
d) Bạn cĩ khỏe khơng ? (khơng là mệnh đề) 
 Ví dụ 2: Trong các câu sau đậy câu nào là mệnh đề? Nếu là mệnh đề hãy xác định xem 
mệnh đề đĩ đúng hay sai. 
 a) Khơng được đi lối này! 
 b) Bây giờ là mấy giờ? 
 c) Chiến tranh thế giới lần thứ hai kết thúc năm 1946. 
 d) 16 chia 3 dư 1. 
 f) 2003 khơng là số nguyên tố. 
 e) 5 là số vơ tỉ. 
 Chú ý: 
 + Các câu hỏi, câu cảm thán, câu mệnh lệnh khơng phải là mệnh đề. 
 + Mệnh đề thường được kí hiệu bằng các chữ cái in hoa. 
 Ví dụ: Q: “ 36 chia hết cho 12” 
 + Một câu mà chưa thể nĩi đúng hay sai nhưng chắc chắn nĩ chỉ đúng hoặc sai, khơng 
thể vừa đúng vừa sai cũng là mệnh đề. 
 Ví dụ: “Cĩ sự sống ngồi Trái Đất” là mệnh đề. 
b) Mệnh đề chứa biến 
Những câu khẳng định mà tính đúng-sai của chúng tùy thuộc vào giá trị của biến được 
gọi là những mệnh đề chứa biến. 
 Ví dụ: Cho P(x): “x > x2 “ với x là số thực. Khi đĩ: 
 P(2) là mệnh đề sai, P(1/2) là mệnh đề đúng. 
2. Mệnh đề phủ định 
 Cho mệnh đề P. Mệnh đề “Khơng phải P” được gọi là mệnh đề phủ định của P và kí 
hiệu là P . Mệnh đề P đúng nếu P sai và P sai nếu P đúng. 
 Chú ý: Mệnh đề phủ định của P cĩ thể diễn đạt theo nhiều cách khác nhau 
Ví dụ: P: “ 5 là số vơ tỉ”. Khi đĩ mệnh đề 
P cĩ thể phát biểu : “ 5 khơng phải là số vơ tỉ” hoặc “ 5 là số hữu tỉ”. 
3. Mệnh đề kéo theo 
 +Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề “Nếu P thì Q” được là mệnh đề kéo theo 
+Kí hiệu là PQ. 
+ Mệnh đề kéo theo chỉ sai khi P đúng Q sai. 
 * PQ cịn được phát biểu là “P kéo theo Q”, 
“P suy ra Q” hay “Vì P nên Q” 
Ví dụ: Cho tứ giác ABCD. Xét hai mệnh đề 
P : “ Tứ giác ABCD là một hình chữ nhật “ 
 -2- 
Q : “ Tứ giác ABCD là một hình bình hành “ 
 PQ: “ Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD là hình bình hành “. 
 QP “ Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì tứ giác ABCD là hình chữ nhật “. 
* Trong tốn học, định lí là một mệnh đề đúng, thường cĩ dạng : PQ 
 P gọi là giả thiết, Q gọi là kết luận. Hoặc 
 P(x) là điều kiện đủ để cĩ Q(x) 
 Q(x) là điều kiện cần để cĩ P(x) 
 Hoặc điều kiện đủ để cĩ Q(x) là P(x) 
 điều kiện cần để cĩ P(x) là Q(x) 
4. Mệnh đề đảo-Mệnh đề tương đương 
a) Mệnh đề đảo: 
 Cho mệnh đề PQ. Mệnh đề QP được gọi là mệnh đề đảo của PQ 
b) Mệnh đề tương đương 
+ Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” (P khi và chỉ khi Q) được gọi là mệnh đề tương 
đương, 
+ Kí hiệu PQ 
+Mệnh đề PQ đúng khi PQ đúng và QP đúng và sai trong các trường hợp cịn 
lại. 
 ( hay PQ đúng nếu cả hai P và Q cùng đúng hoặc cùng sai) 
Các cách đọc khác: 
 P tương đương Q 
P là điều kiện cần và đủ để cĩ Q 
 Điều kiện cần và đủ để cĩ P(x) là cĩ Q(x) 
 Ví dụ 1: Xét các mệnh đề 
A: “36 chia hết cho 4 và chia hết cho 3”; 
 B: “36 chia hết 12” 
 Khi đĩ: A đúng; B đúng 
 AB: “36 chia hết cho 4 và chia hết cho 3 nếu và chỉ nếu 36 chia hết 12”. đúng 
Ví dụ 2: Mệnh đề “Tam giác ABC là tam giác cĩ ba gĩc bằng nhau nếu và chỉ nếu tam 
giác cĩ ba cạnh bằng nhau” là mệnh đề gì? Mệnh đề đúng hay sai? Giải thích. 
 Xét P:” Tam giác ABC là tam giác cĩ ba gĩc bằng nhau” 
 Q:” Tam giác cĩ ba cạnh bằng nhau” 
 Khi đĩ P Q đúng; QP đúng. Vậy PQ 
6. Các kí hiệu  và  
Kí hiệu  (với mọi): )(," xPXx ” hoặc “ )(: xPXx ” 
 Kí hiệu  (tồn tại) :“ )(, xPXx ” hoặc “ )(: xPXx ” 
 Phủ định của mệnh đề “ x X, P(x) ” là mệnh đề “xX, P(x) ” 
Phủ định của mệnh đề “ x X, P(x) ” là mệnh đề “xX, P(x) ” 
 Ví dụ: Các biết tính đúng/sai của các mệnh đề sau? Nêu mệnh đề phủ định. 
a) n  *, n2-1 là bội của 3 
b) x  , x2-x+1>0 
c) x  , x2=3 
d)  n  , 2n + 1 là số nguyên tố 
e) n  , 2n ≥ n+2. 
* Trong tốn học, định lí là một mệnh đề đúng, thường cĩ dạng : PQ 
 P gọi là giả thiết, Q gọi là kết luận. Hoặc 
 P(x) là điều kiện đủ để cĩ Q(x) 
 -3- 
 Q(x) là điều kiện cần để cĩ P(x) 
 Hoặc điều kiện đủ để cĩ Q(x) là P(x) 
 điều kiện cần để cĩ P(x) là Q(x) 
 -4- 
* Mệnh đề tương đương 
+ Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” (P khi và chỉ khi Q) được gọi là mệnh đề tương 
đương. Kí hiệu PQ 
+Mệnh đề PQ đúng khi PQ đúng và QP đúng và sai trong các trường hợp cịn 
lại. ( hay PQ đúng nếu cả hai P và Q cùng đúng hoặc cùng sai) 
Các cách đọc khác: 
 P tương đương Q 
P là điều kiện cần và đủ để cĩ Q 
 Điều kiện cần và đủ để cĩ P(x) là cĩ Q(x). 
Bổ sung: 
Trong lơgic tốn, một phân ngành lơgic học, cơ sở của mọi ngành tốn học, mệnh đề, hay 
gọi đầy đủ là mệnh đề lơgic là một khái niệm nguyên thủy, khơng định nghĩa. 
Chú ý:(mệnh đề) 
1. Trong thực tế cĩ những mệnh đề mà tính đúng sai của nĩ luơn gắn với một thời gian và 
địa điểm cụ thể: đúng ở thời gian hoặc địa điểm này nhưng sai ở thời gian hoặc địa điểm khác. 
Nhưng ở bất kì thời điểm nào, địa điểm nào cũng luơn cĩ giá trị chân lí đúng hoặc sai. 
Ví dụ: Sáng nay bạn An đi học. 
Trời mưa. 
Học sinh tiểu học đang đi nghỉ hè. 
2. Ta thừa nhận các luật sau đây của lơgic mệnh đề: 
Luật bài trùng: Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng, hoặc sai; khơng cĩ mệnh đề nào khơng 
đúng cũng khơng sai. 
Luật mâu thuẫn: Khơng cĩ mệnh đề nào vừa đúng lại vừa sai. 
3. Cĩ những mệnh đề mà ta khơng biết (hoặc chưa biết) đúng hoặc sai nhưng biết "chắc 
chắc" nĩ nhận một giá trị. 
Ví dụ: Trên sao Hỏa cĩ sự sống. 
Chú ý:(mệnh đề kéo theo) 
1. Trong lơgic, khi xét giá trị chân lí của mệnh đề a b người ta khơng quan tâm đến mối 
quan hệ về nội dung của hai mệnh đề a, b. Khơng phân biệt trường hợp a cĩ phải là nguyên 
nhân để cĩ b hay khơng, mà chỉ quan tâm đến tính đúng, sai của chúng. 
Ví dụ: 
"Nếu mặt trời quay quanh trái đất thì Việt Nam nằm ở Châu Âu" ← mệnh đề 
đúng. Vì ở đây hai mệnh đề a = "mặt trời quay quanh trái đất" và b = "Việt Nam nằm ở 
Châu Âu" đều sai. 
"Nếu tháng 12 cĩ 31 ngày thì mỗi năm cĩ 13 tháng" ← mệnh đề sai. 
Chú ý:(mệnh đề tương đương) 
Hai mệnh đề a, b tương đương với nhau hồn tồn khơng cĩ nghĩa là nội dung của chúng 
như nhau, mà nĩ chỉ nĩi lên rằng chúng cĩ cùng giá trị chân lí (cùng đúng hoặc cùng sai). 
Ví dụ: 
"Tháng 12 cĩ 31 ngày khi và chỉ khi trái đất quay quanh mặt trời" là mệnh đề đúng. 
"12 giờ trưa hơm nay Tuấn cĩ mặt ở Hà Nội nếu và chỉ nếu vào giờ đĩ anh đang ở 
thành phố Hồ Chí Minh" là mệnh đề sai. 
"Hình vuơng cĩ một gĩc tù khi và chỉ khi 100 là số nguyên tố" là mệnh đề đúng. 
 -5- 
Giải bài tốn bằng suy luận 
Ví dụ:Tại Tiger Cup 98 cĩ bốn đội lọt vào vịng bán kết: Việt Nam, Singapor, Thái Lan 
và Inđơnêxia. Trước khi thi đấu vịng bán kết, ba bạn Dung, Quang, Trung dự đốn như sau: 
 Dung: Singapor nhì, cịn Thái Lan ba. 
 Quang: Việt Nam nhì, cịn Thái Lan tư. 
 Trung: Singapor nhất và Inđơnêxia nhì. 
Kết quả, mỗi bạn dự đốn đúng một đội và sai một đội. Hỏi mỗi đội đã đạt giải mấy? 
Giải: Kí hiệu các mệnh đề: 
d1, d2 là hai dự đốn của Dụng. 
q1, q2 là hai dự đốn của Quang. 
t1, t2 là hai dự đốn của Trung. 
 Vì Dung cĩ một dự đốn đúng và một dự đốn sai, nên cĩ hai khả năng: 
 Nếu G(d1) = 1 thì G(t1) = 0. Suy ra G(t2) = 1. Điều này vơ lí vì cả hai đội Singapor và 
Inđơnêxia đều đạt giải nhì. 
Nếu G(d1) = 0 thì G(d2) = 1. Suy ra G(q2) = 0 và G(q1) = 1. Suy ra G(t2) = 0 và G(t1) = 1. 
 Vậy Singapor nhất, Việt Nam nhì, Thái Lan ba cịn Inđơnêxia đạt giải tư. 
1. Số vơ tỉ 
Trong tốn học, số vơ tỉ là số thực khơng phải là số hữu tỷ, nghĩa là khơng thể biểu diễn 
được dưới dạng tỉ số a/b , với a, b là các số nguyên. 
Ví dụ: Số thập phân vơ hạn cĩ chu kỳ thay đổi: 0.1010010001000010000010000001... 
Số = 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 7... 
Số pi = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 
74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679... 
Số lơgarít tự nhiên e = 2,71828 18284 59045 23536... 
Nếu như mọi số hữu tỉ đều cĩ biểu diễn thập phân hoặc hữu hạn (số thập phân hữu hạn, ví 
dụ: 1/2=0,5) hoặc vơ hạn tuần hồn (số thập phân vơ hạn tuần hồn, ví dụ:1/11= 0.090909...) 
thì số vơ tỉ cĩ biểu biễn thập phân vơ hạn nhưng khơng tuần hồn. 
Căn bậc hai của tất cả các số nguyên 
 Ta cĩ thể chứng minh rằng căn bậc hai của bất kỳ số nguyên nào cũng phải hoặc là số 
nguyên hoặc là số vơ tỉ. 
 Lấy số nguyên bất kỳ r. Thí dụ, r = 2. 
 Trong hệ nhị phân, 2 = 102 
 Vậy, như ở trên, nếu = m/n thì, trong hệ nhị phân: 
 m
2
 = 102 n
2
 trong đĩ m, n là số nguyên 
 Trường hợp n = 1 khơng thể xảy ra, vì ta biết khơng phải là số nguyên. 
 Lập luận như trên, vế trái cĩ số chẵn số 0 (trong hệ nhị phân) ở cuối, nhưng vế phải lại 
cĩ số lẻ số 0 ở cuối. Vậy giả thiết là số hữu tỉ phải sai. 
 Với số nguyên r bất kỳ, cũng chứng minh như trên trong hệ r-phân: 
 m
2
 = 10r n
2
 trong đĩ m, n là số nguyên 
 Nếu n = 1 thì m2 = 10r = r, vậy là số nguyên. 
 Cịn nếu n ≠ 1 thì, như trên, một số bình phương trong hệ r-phân phải cĩ số chẵn số 0 
(trong hệ r-phân) ở cuối. Do đĩ trong đẳng thức này vế trái cĩ số chẵn số 0 ở cuối nhưng vế 
phải lại cĩ số lẻ số 0 ở cuối. Vậy khơng thể là số hữu tỉ. 
 2. Số chính phương 
Số chính phương hay cịn gọi là số hình vuơng là số nguyên cĩ căn bậc 2 là một số 
nguyên, hay nĩi cách khác, số chính phương là bình phương (lũy thừa bậc 2) của một số 
nguyên khác. 
Ví dụ:4 = 2²; 9 = 3²; 1.000.000 = 1.000² 
 -6- 
Số chính phương hiển thị diện tích của một hình vuơng cĩ chiều dài cạnh bằng số nguyên 
kia. 
 -7- 
§1 MỆNH ĐỀ 
1.1 Xét xem các câu sau, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến? 
 a) 7+x=3 b) 7+5=6 c) 4+x<3 
 d) 
3
2
 cĩ phải là số nguyên khơng? e) 5 +4 là số vơ tỉ. 
1.2. Tìm giá trị của x để được một mệnh đúng, mệnh đề sai 
 a) P(x):”3x2+2x1=0” b) Q(x):” 4x+3<2x1”. 
1.3. Cho tam giác ABC. Lập mệnh đề PQ và mệnh đề đảo của nĩ, rồi xét tính đúng sai, với: 
 a) P: “ Gĩc A bằng 900” Q: “ BC2=AB2+AC2” 
 b) P: “ A B ” Q: “ Tam giác ABC cân”. 
1.4. Phát biểu bằng lới các mệnh đề sau. Xét tính đúng/sai và lập mệnh đề phủ định của chúng 
 a)  x  : x2=1 b)  x  :x2+x+2≠0 
1.5. Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau và phát biểu mệnh đề phủ định của nĩ 
 a) 
1
3 2
3 2
 

 b)  
2
2 8 8  
 c)  
2
3 12 là số hữu tỉ 
d) x=2 là nghiệm của phương trình 
2 4
0
2
x
x



1.6. Tìm giá trị của m để được mệnh đề đúng, mệnh đề sai. 
 a) P(m): “ m< m” b) Q(m): “m<
1
m
” c) R(m): “ m=7m”. 
1.7. Phát biểu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng 
 a) P: “ 15 khơng chia hết cho 3” 
 b) Q: “ 7 3 ” 
1.8. Lập mệnh đề PQ và xét tính đúng sai của nĩ, với: 
 a) P: “2<3” Q: “4<6” 
 b) P: “10=1” Q: “100=0”. 
1.9. Cho số thực x . Xét mệnh đề P: “ x là số hữu tỉ”, Q: “ x 2 là một số hữu tỉ” 
 a) Phát biểu mệnh đề PQ và xét tính đúng sai 
 b) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề trên 
 c) Chỉ ra một giá trị x mà mệnh đề đảo sai. 
1.10. Cho số thực x . Xét mệnh đề P: “ x 2=1”, Q: “ x =1” 
 a) Phát biểu mệnh đề PQ 
 b) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề trên và xét tính đúng sai 
 c) Chỉ ra một giá trị x mà mệnh đề PQ sai. 
1.11. Cho số thực x . Xét mệnh đề P: “ x là số nguyên”, Q: “ x +2 là một số nguyên” 
 a) Phát biểu mệnh đề PQ 
 b) Phát biểu mệnh đề QP 
 c) Xét tính đúng sai của PQ, QP. 
1.12. Cho tam giác ABC. Xét mệnh đề P: “AB=AC”, Q: “Tam giác ABC cân” 
 a) Phát biểu PQ, cho biết tính đúng sai 
 b) Phát biểu mệnh đề đảo QP. 
1.13. Cho tam giác ABC. Phát biểu mệnh đề đảo của các mệnh đề sau: 
 a) Nếu AB=BC=CA thì tam giác ABC đều; 
 b) Nếu AB>BC thì C A ; 
 c) Nếu A=900 thì ABC là tam giác vuơng. 
 -8- 
1.14. Dùng kí hiệu  hoặc  để viết các mệnh đề sau: 
 a) Cĩ một số nguyên khơng chia hết cho chính nĩ; 
 b) Mọi số thức cộng với 0 đều bằng chính nĩ; 
 c) Cĩ một số hữu tỉ nhỏ hơn nghịch đảo của nĩ; 
 d) Mọi số tự nhiên đều lớn hơn số đối của nĩ. 
1.15. Phát biểu bằng lời các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng 
 a)  x  : x2≤ 0 b)  x  : x2≤0 
 c)  x  : 
2 1
1
1
x
x
x

 

 d)  x  : 
2 1
1
1
x
x
x

 

 e)  x  : x 2+ x +1>0 f)  x  : x 2+ x +1>0 
1.16.Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của nĩ 
 a)  x  : x .1= x 
 b)  x  : x . x =1 
 c)  n  : n<n2 
1.17. Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và chĩ biết tính đúng saicủa chúng 
 a) Mọi hình vuơng là hình thoi; 
 b) Cĩ một tam giác cân khơng phải là tam giác đều; 
1.18. Xét xem các mệnh đề sau đây đúng hay sai và lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề: 
a) x , 4x
2
-1= 0. 
b) x , n
2+1 chia hết cho 4. 
c)  x , (x-1)
2 
  x-1. 
1.19. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Nếu sai, hãy sửa lại cho đúng: 
a) x , x > x2. 
b)  x , |x| < 3  x< 3. 
c)  x N, n2+1 khơng chia hết cho 3. 
d)  a , a2=2. 
1.20. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Nếu sai, hãy sửa lại cho đúng: 
 A: ” 15 là số nguyên tố” 
 B: ” a  , 3a=7” 
 C: “ a  , a2≠3” 
1.21. Phát biểu các định lý sau, sử dụng khái niệm "điều kiện đủ": 
a) Trong mặt phẳng, nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuơng gĩc một đường thẳng 
thứ ba thì hai đường thẳng ấy song song nhau. 
b) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng cĩ diện tích bằng nhau. 
c) Nếu một số tự nhiên tận cùng là chữ số 5 thì chia hết cho 5. 
d) Nếu a+b > 5 thì một trong hai số a và b phải dương. 
1.22. Phát biểu các định lý sau, sử dụng khái niệm "điều kiện cần": 
a) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúngcĩ các gĩc tươmg ứmg bằng nhau. 
b) Nếu tứ giác T là một hình thoi thì nĩ cĩ hai đường chéo vuơng gĩc nhau. 
c) Nếu một số tự nhiên chia hết cho thì nĩ chia hết cho 3. 
d) Nếu a=b thì a2=b2 . 
1.23. Phát biểu định lí sau, sử dụng “điều kiện cần và đủ” 
 “Tam giác ABC là một tam giác đều khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác cân và cĩ 
một gĩc bằng 600” 
1.24. Hãy sửa lại (nếu cần) các mệnh đề sau đây để được mệnh đề đúng: 
a) Để tứ giác T là một hình vuơng, điều kiện cần và đủ là nĩ cĩ bốn cạnh bằng nhau. 
b) Để tổng hai số tự nhiên chia hết cho 7, điều kiện cần và đủ là mỗi số đĩ chia hết cho 
7. 
c) Để ab>0, điều kiện cần là cả hai số a và b điều dương. 
 -9- 
d) Đề một số nguyên dương chia hết cho 3, điều kiện đủ là nĩ chia hết cho 9. 
1.25. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Giải thích. 
a) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng cĩ diện tích bằng nhau. 
b) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng. 
c) Một tam giác là tam giác vuơng khi và chỉ khi cĩ một gĩc(trong) bằng tổng hai gĩc 
cịn lại. 
d) Một tam giác là tam giác đều khi và chỉ khi nĩ cĩ hai trung tuyến bằng nhau và cĩ 
một gĩc bằng 600. 
BÀI TẬP THÊM 
1. Xét đúng (sai)của mệnh đề sau : 
a/ Hình thoi là hình bình hành 
b/ Số 4 khơng là nghiệm của phương trình : x2  5x + 4 = 0 
c/ ( 2 > 3 )  (3 < ) d/ (
3
11
 > 
2
7
)  (42 < 0) 
e/ (5.12 > 4.6)  (2 < 10) f) (1< 2 )  7 là số nguyên tố 
2. Phủ định các mệnh đề sau : 
a/ 1 < x < 3 b/ x  2 hay x  4 
c/ Cĩ một ABC vuơng hoặc cân 
d/ Mọi số tự nhiên đều khơng chia hết cho 2 và 3 
e/ Cĩ ít nhất một học sinh lớp 10A học yếu hay kém. 
f/ x< 2 hay x=3. 
g/ x  0 hay x>1. 
h/ Pt x
2
 + 1 = 0 vơ nghiệm và pt x+3 =0 cĩ nghiệm 
3. Xét đúng (sai)mênh đề và phủ định các mệnh đề sau : 
a/ x  R , x2 + 1 > 0 b/ x  R , x2  3x + 2 = 0 
c/ n  N , n2 + 2 chia hết cho 4 d/ n  Q, 2n + 1  0 
e/ a  Q , a2 > a f) x  R , x2 +x chia hết cho 2. 
4.Dùng bảng đúng (sai)để chứng minh: 
 a) A B = B A b) A B A B   
 c) A B A B   d) ( ) ( ) ( )A B C A B A C      
B. SUY LUẬN TỐN HỌC 
5. Phát biểu định lý sau dưới dạng "điều kiện đủ" 
a/ Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng đồng dạng. 
b/ Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau. 
c/ Nếu a + b > 2 thì a > 1 hay b > 1 
d/ Nếu một số tự nhiên cĩ chữ số tận cùng là số 0 thì nĩ chia hết cho 5. 
e/ Nếu a + b < 0 thì ít nhất một trong hai số phải âm. 
6. Phát biểu định lý sau dưới dạng "điều kiện cần" 
a/ Hình chữ nhật cĩ hai đường chéo bằng nhau. 
b/ Nếu hai tam giác bằng nhau thì nĩ cĩ các gĩc tương ứng bằng nhau. 
c/ Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nĩ chia hết cho 3. 
d/ Nếu a = b thì a3 = b3. 
 -10- 
e/ Nếu n2 là số chẵn thì n là số chẵn. 
7.Dùng phương pháp phản chứng, CMR : 
a/ Nếu n2 là số chẵn thì n là số chẵn. 
b/ Nếu n2 là số chẵn thì n là số chẵn. 
c/ Nếu x2 + y2 = 0 thì x = 0 và y = 0 
d/ Nếu x = 1 hay y = 
2
1
 thì x + 2y  2xy  1 = 0 
d/ Nếu x  
2
1
 và y  
2
1
 thì x + y + 2xy  
2
1
e/ Nếu x.y chia hết cho 2 thì x hay y chia hết cho 2. 
f) Nếu d1// d2 và d1// d3 thì d2 // d3. 
8. Chứng minh vơi mọi số nguyên dương n, ta cĩ: 
a) 1 + 3 + 5 + 7 + . . . . . . . . . + (2n – 1) = n2 
b) 2 + 4 + 6 + 8 + . . . . . . . . . . + (2n) = n(n +1) 
c) 1 + 2 + 3 + 4 + . . . . . . . . . + n = 
2
)1n(n 
 a) 1.2 + 2.3 + 3.4 + . . . . . + n.(n + 1) = 
3
)2n)(1n(n 
b) 
1n
n
)1n.(n
1
.........
4.3
1
3.2
1
2.1
1



 
c) 
1n2
n
)1n2).(1n2(
1
.........
7.5
1
5.3
1
3.1
1



 
d) 1
2
 + 2
2
 + 3
2
 + . . . . . . . . . . + n
2
 = 
6
)1n2)(1n(n 
e) 1
3
 + 2
3
 + 3
3
 + . . . . . . + n
3
 = 
4
)1n(n 22 
f) 2
 1
 + 2
2
 + 2
3
 + . . . . .+ 2
 n
 = 2(2
 n
 – 1) 
g) 3
1
 + 3
2
 + 3
3
 + . . . . + 3
 n
 = 
2
3
( 3
 n
 – 1 ) 
h) n
 3 +2n chia hết cho 3 
i) n3 +11n chia hết cho 6 
j) n3 +5n chia hết cho 6 
k) 3 2n + 63 hết 72 
l) 3
 2n + 1 + 2 n + 2 chia hết cho 7 
m) 6
 2n + 3
 n + 2 + 3
 n chia hết cho 11 
n) 3
 2n – 2 n chia hết cho 7 
o) 4
 n + 15.n – 1 chia hết cho 9 
§1 MỆNH ĐỀ 
1.3. a) PQ: “ Nếu gĩc A bằng 900 thì BC2=AB2+AC2” đúng 
 QP: “ Nếu BC2=AB2+AC2 thì gĩc A bằng 900 ” đúng 
b) PQ: “ A B thì tam giác ABC cân” đúng 
 Q P:” “Nếu tam giác ABC cân thì A B ” sai (vì cĩ thể A C 
1.4. a)  x  : x2=1; “ Cĩ một số thực mà bình phương của nĩ bằng 1” sai 
  x  : x2≠1; “ Với mọi số thực, bình phương của nĩ đều khác 1” 
b)  x  :x2+x+2≠0; “ Với mọi số thực đều cĩ x2+x+2≠0”  đúng 
  x  :x2+x+2=0 
 -11- 
1.5. a) Đúng. P : “
1
3 2
3 2
 

” 
b) Sai. P :  
2
2 8 8  
 c) Đúng vì  
2
3 12 =27 là số hữu tỉ. P : “  
2
3 12 là số vơ tỉ” 
d) Sai. P :” x=2 khơnglà nghiệm của phương trình 
2 4
0
2
x
x



” 
1.8. Lập mệnh đề PQ và xét tính đúng sai của nĩ, với: 
 a) Nếu 2<3 thì 4<6  Sai 
 b) Nếu 10=1 thì 100=0  Đúng 
1.9. a) Nếu x là số hữu tỉ thì x 2 là một số hữu tỉ  Đúng 
 b) Nếu x 2 là một số hữu tỉ thì x là số hữu tỉ 
 c) Khi x = 2 mệnh đề đảo sai. 
1.10. b) mệnh đề đảo đúng 
 c) x =1 thì PQ sai. 
1.11. a) PQ đúng 
 b) QP đúng 
1.12. a) Nếu AB=AC thì tam giác ABC cân đúng 
 b) Nếu tam giác ABC cân thì AB=AC , khi AB=BC≠AC  mđ sai 
1.13. a) Nếu tam giác ABC đều thì AB=BC=CA cả hai đúng 
 b) Nếu AB>BC thì C A ;  đúng và mđ đảo đúng 
 c) Nếu A=900 thì ABC là tam giác vuơng.  đúng và mđ đảo sai (vuơng tại B hoặc C) 
1.14. a)  n  : n khơng chia hết cho n b)  x  : x +0=0 
 c)  x  : x <
1
x
 d)  n  : n>n 
1.15. Phát biểu bằng lời các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng 
 a) Bình phương mọi số thực đều nhỏ hơn hoặc bằng 1 sai 
b) Cĩ một số thực mà bình phương của nĩ nhỏ hơn hoặc bằng 0đúng 
 c) Với mọi số thực , sao cho
2 1
1
1
x
x
x

 

 Sai 
d) Cĩ số thực, sao cho 
2 1
1
1
x
x
x

 

 Đúng 
 e) Với mọi số thực x , sao cho x 2+ x +1>0 đúng 
f) Cĩ một số thực x , sao cho x 2+ x +1>0 đúng 
1.16. a)  x  : x .1≠ x  sai 
 b)  x  : x . x ≠1 đúng 
 c)  n  : n≥n2  đúng 
1.17. a) “Cĩ ít nhất một hình vuơng khơng phải là hình thoi” sai 
 b) “Mọi tam giác cân là tam giác đều” sai 
1.18. Xét xem các mệnh đề sau đây đúng hay sai và lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề: 
a)  x , 4x2-1= 0 sai; mđ phủ “  x  , 4x2-1≠0” 
b)  n , n2+1 chia hết cho 4 Sai vì 
Nếu n là số tự nhiên chẳn : n =2k (kN) 
n2+1 = 4k2+1 khơng chia hết cho 4 
Nếu n là số tự nhiên le : n = 2k+1 (kN) 
n2+1 = 4(k2+k)+2 khơng chia hết cho 4 
 Mđ phủ định “  n  , n2+1 khơng chia hết cho 4” 
c)  x , (x-1)2  x-1.  Sai khi x =0 
mđ phủ định “ x  ,(x-1)2 =x-1” 
 -12- 
H
G
PQ
MN
A
B C
1.19. a) đúng, ví dụ x =1/10 
b) sai, vì khi x <3  | x |<3 sai khi x =8 
 Sửa lại : “ x  , | x |<3 x <3” 
c) đúng (giải thích) 
d) sai. Sửa lại “a , a2≠2” 
1.20. tương tự 1.19 
1.21. Phát biểu các định lý sau, sử dụng khái niệm "điều kiện đủ": 
a) Trong mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt cùng vuơng gĩc một đường thẳng thứ ba là điều kiện đủ 
để hai đường thẳng ấy song song nhau. 
b) Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để chúng cĩ diện tích bằng nhau. 
c) Số tự nhiên tận cùng là chữ số 5 là điều kiện đủ để số đĩ chia hết cho 5. 
d) a+b > 5 là điều kiện đủ để một trong hai số a và b dương. 
1.22. Phát biểu các định lý sau, sử dụng khái niệm "điều kiện cần": 
a) Điều kiện cần để hai tam giác bằng nhau là chúng cĩ các gĩc tươmg ứmg bằng nhau. 
b) Điều kiện cần để tứ giác T là một hình thoi là nĩ cĩ hai đường chéo vuơng gĩc nhau. 
c) Điều kiện cần để một số tự nhiên chia hết cho là nĩ chia hết cho 3. 
d) Điều kiện cần để a=b là a2=b2 . 
1.23. Phát biểu định lí sau, sử dụng “điều kiện cần và đủ” 
 “Tam giác ABC là một tam giác đều là điều kiện cần và đủ để tam giác ABC là tam giác cân và cĩ một 
gĩc bằng 600” 
1.24. Hãy sửa lại (nếu cần) các mệnh đề sau đây để được mệnh đề đúng: 
a) Sai. “Tứ giác T là một hình vuơng là điều kiện đủ để nĩ cĩ bốn cạnh bằng nhau” 
b) Sai. “Tổng hai số tự nhiên chia hết cho 7 là điều kiện cần để mỗi số đĩ chia hết cho 7. 
c) Sai. “ ab>0 là điều kiện cần để hai số a và b dương” 
d) Đúng. 
1.25. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Giải thích. 
a) Sai. Vì khi diện tích bằng nhau thì chỉ cần 1 cạnh và đường cao ứng với cạnh đĩ bằng nhau 
b) Sai. 
c) Đúng. Vì Nếu ABC vuơng tại A thì B C A  . Ngược lại nếu B C A  thì 
0 0 0180 2 180 90A B C A A       
d) Đúng. Vì ABC đều thì 2 trung tuyến bằng nhau. 
Ngược lại, nếu BM=CN. Lấy Q đối xứng của C qua N, P đối x ứng B qua M 
Khi đĩ AQBC và APCB là hai hình bình hành bằng nhau 
Mà CQ=BP AB=AC ABC cân. 
 -13- 
§2 TẬP HỢP 
1. Tập hợp là khái niệm cơ bản của tốn học, khơng định nghĩa . 
 - Tập hợp thường được kí hiệu bằng các chữ cái in hoa như: A, B, C, D, .... các phần tử của tập 
hợp đặt trong cặp dấu { }. 
 - Để chỉ phần tử a thuộc tập hợp A ta viết a A, ngược lại ta viết a  A. 
 - Tập hợp khơng chứa phần tử nào gọi là tập rỗng. Khí hiệu  
2. Cách xác định tập hợp: cĩ 2cách 
 - Liệt kê các phần tử : mỗi phần tử liệt kê một lần, giữa các phần tử cĩ dấu phẩy hoặc dấu 
chấm phẩy ngăn cách. Nếu số lượng phần tử nhiều cĩ thể dùng dấu ba chấm 
VD : A = 1; 3; 5; 7 
 B =  0 ; 1; 2; . . . . ;100  
 C={1;3;5;...;15;17} 
 - Chỉ rõ tính chất đặc trưng của các phần tử trong tập hợp, tính chất này được viết sau dấu 
gạch đứng 
 VD : A = x N | x lẻ và x <9 ; B= {x  | 2x2-5x+3=0} 
3. Tập con : Nếu tập A là con của B, kí hiệu: AB hoặc B A. 
 Khi đĩ A B  x( xA  xB) 
 Ví dụ: A={1;3;5;7;9}, B={1;2;3;...;10} 
 Cho A ≠  cĩ ít nhất 2 tập con là  và A. 
 Tính chất: A  A ,  A với mọi A 
 Nếu A  B và B  C thì A  C 
4. Tập hợp bằng nhau: 
 A=B  A  B và B  A hay A=B  x (x  A  x  B) 
 Ví dụ : C={xR | 2x2-5x+2=0}, D={
2
1
,2 }  C=D 
 - Biểu đồ Ven 
 Ta cĩ *     
BÀI TẬP §2 
2.1. Viết các tập sau bằng cách liệt kê các phần tử 
A= { x  | 2x25x+2=0} 
B= {n  | n là bội của 12 khơng vượt quá 100} 
C = {xR | (2x-x
2
)(2x
2
-3x-2) = 0} 
D = {xZ | 2x
3
-3x
2
-5x = 0} 
E = {xZ | |x| < 3 } 
F = {x | x=3k với kZ và -4 < x < 12 } 
G= {Các số chính phương khơng vượt quá 100} 
H= {n  | n(n+1)≤ 20}. 
I={ x | x là ước nguyên dương của 12} 
J={ x | x là bội nguyên dương của 15} 
K= {n  | n là ước chung của 6 và 14} 
L= { n  | n là bội của 6 và 8} 
2.2. Viết các tập sau theo cách chỉ ra tính chất đặc trưng 
A={2;3;5;7} B= {1;2} 
C={2;4;6;8;...;88;90} D={4;9;16;25} 
2.3. Trong các tập sau tập nào là tập rỗng? 
 A = {x | x
2
-x+1=0 } 
 B = {x | x
2
-4x+2= 0} 
 C = {x | 6x
2
-7x+1= 0} 
 -14- 
 D = {x | | x| < 1} . 
2.4. Trong các tập sau, tập nào là con của tập nào? 
 A = {1,2,3} B = { xN | x<4 } 
 C = (0;+ ) D = { xR | 2x
2
-7x+3= 0} . 
2.5. Tìm tất cả các tập con của các tập sau: 
 a) A = {1;2} b) B= {1;2;3;4}. 
 c) C=  d) D= {} 
2.6. Tìm tất cả các tập X sao cho: 
 {1,2}  X {1,2,3,4,5} . 
2.7. Tập A = {1,2,3,4,5,6} cĩ bao nhiêu tập con gồm hai phần tử ? Để giải bài tốn , hãy liệt kê 
tất cả các tập con của A gồm hai phần tử rồi đếm số tập con này. Hãy thử tìm một cách giải 
khác. 
2.8. Liệt kê tất cả các phần tử của mỗi tập sau: 
 R={3k-1| k  , -5≤ k ≤5} 
 S={x  | 3<|x|≤ 
19
2
} 
T= { x  | 2x25x+2=0} 
BÀI TẬP THÊM 
1. Liệt kê các phần tử của tập hợp sau : 
a/ A = {x  N / x < 6} 
b/ B = {x  N / 1 < x  5} 
c/ C = {x  Z , /x /  3} 
d/ D = {x  Z / x2  9 = 0} 
e/ E = {x  R / (x  1)(x2 + 6x + 5) = 0} 
f/ F = {x  R / x2  x + 2 = 0} 
g/ G = {x  N / (2x  1)(x2  5x + 6) = 0} 
h/ H = {x / x = 2k với k  Z và 3 < x < 13} 
i/ I = {x  Z / x2 > 4 và /x/ < 10} 
j/ J = {x / x = 3k với k  Z và 1 < k < 5} 
k/ K = {x  R / x2  1 = 0 và x2  4x + 3 = 0} 
l/ L = {x  Q / 2x  1 = 0 hay x2  4 = 0} 
2. Xác định tập hợp bằng cách nêu tính chất : 
a/ A = {1, 3, 5, 7, 9} b/ B = {0, 2, 4} 
c/ C = {0, 3, 9, 27, 81} d/ D = {3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4} 
e/ E ={2, 4, 9, 16, 25, 36} f/ F = {
3
1
, 
5
2
, 
7
3
, 
9
4
} 
3. Tìm tất cả các tập con của tập hợp sau : 
a/ A = {a, b} b/ B = {a, b, c} 
c/ C = {a, b, c, d} d) A = {1, 2, 3, 4} 
4. Cho A = {1, 2, 3, 4} ; B = {2, 4, 3} ; C = {2, 3} ; D = {2, 3, 5} 
a/ Liệt kê tất cả các tập cĩ quan hệ  
b/ Tìm tất cả các tập X sao cho C  X  B 
c/ Tìm tất cả các tập Y sao cho C  Y  A 
5. Cho A = {x / x là ước nguyên dương của 12} ; 
B = {x  N / x < 5} ; C = {1, 2, 3} ; 
D = {x  N / (x + 1)(x  2)(x  4) = 0} 
a/ Liệt kê tất cả các tập cĩ quan hệ  
b/ Tìm tất cả các tập X sao cho D  X  A 
c/ Tìm tất cả các tập Y sao cho C  Y  B 
 -15- 
§3 CÁC PHÉP TỐN TRÊN TẬP HỢP 
 1.Phép giao 2. Phép hợp 3. Hiệu của 2 tập hợp 
AB = x|xA và xB 
xAB 





Bx
Ax
Tính chất 
A  A=A 
A   =  
A  B=B  A 
AB = x| xA hoặc xB 
xAB  




Bx
Ax
Tính chất 
A  A=A 
A  =A 
A  B= B  A 
A\ B = x| xA và xB 
xA\B x Ax B 
Tính chất 
A\  =A 
A\A=  
A\B≠B\A 
4. Phép lấy phần bù: Nếu A  E thì CEA = E\A = x ,xE và xA 
 Ví dụ 1: Cho A= {1;2;3;4}, B= {1;3;5;7;9} , C= {4;5;6;7}. 
 Tính AB, (AB) C, AC, (AB) C, A\ B, A\ C 
BÀI TẬP §3 
3.1. Cho các tập A = {0 ; 1; 2; 3}, B = {0 ; 2; 4; 6}, C = {0 ; 3; 4; 5}. Tính 
 A  B, B  C, C\A, (A  B)\ (B  C) 
3.2. Cho A = {xN | x < 7} và B = {1 ; 2 ;3 ; 6; 7; 8} 
a) Xác định A  B ; AB ; A\B ; B\ A 
b) CMR : (A  B)\ (AB) = (A\B) (B\ A) 
3.3. Cho R={3k-1| k  , -5≤ k ≤5}, S={x  | 3<|x|≤ 
19
2
}, 
 T= { x  | 2x24x+2=0}. Tính R  S, S  T, R\S 
3.4. Cho A={0;2;4;6;8}, B={0;1;2;3;4}, C={0;3;6;9}. Tính 
 a) (A  B)  C và A  (B  C). Cĩ n hận xét gì về hai kết quả? 
 b) (A  B)  C 
 d) (A  B)  C 
 e) (A \ B)  C 
3.5. Cho A={0;2;4;6;8;10}, B={0;1;2;3;4;5;6}, C={4;5;6;7;8;9;10}. Tính 
 a) B  C, A  B, B  C, A\B, C\B b) A  (B  C) 
 c) (A  B)  C d) A  (B  C) 
e) (A  B)  C f) (A\B)  (C\B) 
3.6. Cho E = { x | 1  x < 7} 
 A= { x | (x2-9)(x2 – 5x – 6) = 0 } 
 B = { x | x là số nguyên tố  5} 
a) Chứng minh rằng B  E 
b) Tìm CEB ; CE(AB) 
c) Chứng minh rằng : E \ (A B)= (E \A)  ( E \B) 
E \ ( AB) = ( E \A)  ( E \ B)
 -16- 
§4 CÁC TẬP HỢP SỐ 
1. Các tập số đã học 
 , *, , , 
2. Các tập con thường dùng của 
Tên gọi, ký hiệu Tập hợp Hình biểu diễn 
Tập số thực (-;+) 
Đoạn [a ; b] xR, a  x  b 
Khoảng (a ; b ) 
Khoảng (- ; a) 
Khoảng(a ; + ) 
xR, a < x < b 
xR, x < a 
xR, a< x  
Nửa khoảng [a ; b) 
Nửa khoảng (a ; b] 
Nửa khoảng (- ; a] 
Nửa khoảng [a ;  ) 
xR, a  x < b 
xR, a < x  b 
xR, x  a 
xR, a  x  
 [a ; b]= xR, a  x  b,.....R+=[0;+), R=(;0] 
 Chú ý 1: Cĩ hai cách biểu diễn các khoảng, nửa khoảng, đoạn trên trục số: Hoặc gạch 
bỏ phần khơng thuộc khoảng hay đoạn đĩ, hoặc tơ đậm phần trục số thuộc khoảng hay đoạn 
đĩ. 
 Ví dụ: Biểu diễn các khoảng, nửa khoảng, đoạn sau trên trục số theo hai cách 
 (2;5), [3;1], ([1;4] 
 Chú ý 2: 
 -Tìm giao của các khoảng ta biểu diễn các khoảng đĩ trên cùng một trục số. Phần cịn 
lại sau khi đã gạch bỏ chính là giao của hai tập hợp. 
 -Tìm hợp của các khoảng ta viết các khoảng đĩ trên cùng một trục số,sau đĩ tiến hành 
tơ đậm từng khoảng. Hợp của các khoảng là tất cả các tơ đậm trên trục số. 
 -Tìm hiệu của hai khoảng (a;b)\(c,d) ta tơ đậm khoảng (a;b) và gạch bỏ khoảng (c;d), 
phần tơ đậm cịn lại là kết quả cần tìm. 
 Ví dụ: Tính 
 a) (1;2]  [1;3) = [1;2] 
 b) [3;
1
2
)  (1;+ ) =[1; 
1
2
) 
 c) (
1
2
;2)  (1;4) =( 
1
2
;4) 
 d) (
1
2
;2]\(1;4) =( 
1
2
;1] 
BÀI TẬP §4-C1 
4.1. Viết lại các tập sau về kí hiệu khoảng, đoạn, nửa khoảng. Biểu diễn chúng trên trục số. 
 A={ x  | x ≥ 3} 
 B={ x  | x <8} 
 C={ x  | 1< x < 10} 
 D={ x  | 6 < x ≤ 8} 
 E={ x  | 
1
2
≤ x ≤ 
5
2
} 
 F={ x  | x1<0} 
4.2. Viết các khoảng, đoạn sau về dạng kí tập hợp 
//////////// [ 
 )///////////////////// 
////////////( ) 
///////// 
///////////////////( 
///