Một số câu hình trong các đề thi thử năm 2016

MỘT SỐ CÂU HÌNH TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ NĂM 2016 
GV : PHẠM VĂN BÌNH – THPT HẬU LỘC 2 
ĐỀ BÀI 
Câu 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi I là trung điểm 
AB, H là giao điểm của BD với IC. Các mặt phẳng (SBD) và (SIC) cùng vuông góc với 
đáy. Góc giữa (SAB) và (ABCD) bằng 060 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng 
cách giữa hai đường thẳng SA và IC. 
Câu 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác ABCD, có ABD là tam giác đều cạnh 
a, BCD là tam giác cân tại C có 
 0120BCD = , SA a= và ( )SA ABCD⊥ .Tính thể tích khối 
chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD). 
Câu3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với 2 , AD 3AB a a= = . 
Mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Biết 
đường thẳng SD tạo với mặt đáy một góc 450. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và 
khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD. 
Câu 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Tam giác SAB đều và 
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Biết 2 3SD a= và góc tạo 
bởi đường thẳng SC với mặt phẳng (ABCD) bằng 030 . Tính theo a thể tích khối chóp 
S.ABCD và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC). 
Câu 5 Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, 3
2
aSD = . Hình chiếu vuông 
góc H của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của đoạn AB . Gọi K là trung điểm 
của đoạn AD . Tính theo a thể tích khối chóp .S ABCD và khoảng cách giữa hai đường 
thẳng HK và SD . 
Câu 6 Cho hình chóp ABCDS. có đáy ABCD là hình chữ nhật .Biết )(ABCDSA ⊥ , SC hợp 
với mặt phẳng )(ABCD một góc α với 
5
4
tan =α , aAB 3= và aBC 4= . Tính thể tích của 
khối chóp ABCDS. và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng )(SBC . 
Câu 7 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy, cạnh bên cùng bằng a. Gọi M là 
trung điểm của SC. Tính thể tích của hình chóp S.ABCD và khoảng cách từ S đến 
mp(ABM) theo a. 
Câu 8 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC = 2a, 
góc ACB bằng 030 . Hình chiếu vuông góc của B’ lên (ABC) là trung điểm H của AB ; 
góc giữa cạnh bên BB’ và mặt đáy bằng 060 . Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ và 
khoảng cách giữa hai đường AA’ và BC theo a. 
Câu 9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, 
cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc 600. Gọi M, 
N lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA và SB. Tính theo a thể tích khối chóp 
S.ABCD và khoảng cách từ S đến mặt phẳng (DMN). 
Câu 10 Cho hình chóp S.ABC có mặt bên (SBC) là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên 
SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), lấy điểm M trên cạnh BC sao cho MC = 2MB. Biết 
góc
 0
 120BAC = , tính thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng 
SM và AC theo a. 
Câu11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, các mặt bên (SAB), (SAD) 
cùng vuông góc với (ABCD), góc giữa đường thẳng SB và mặt đáy bằng 600. Gọi M, N 
lần lượt là trung điểm của đoạn AD và CD, MN = 
2
2a
. TínhV S.BMN và khoảng cách 
giữa hai đường thẳng BM, SN theo a. 
Câu 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, 060=
∧
ABC . Cạnh bên 
SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc 060 . Gọi I là trung 
điểm BC, H là hình chiếu vuông góc của A lên SI.Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Tính 
khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD) theo a. 
Câu 13 Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I và có cạnh bằng a, 
góc BAD bằng 060 .Gọi H là trung điểm của IB và SH vuông góc với mặt phẳng ( )ABCD . 
Góc giữa SC và mặt phẳng ( )ABCD bằng 045 . Tính thể tích của khối chóp .S AHCD và 
tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( )SCD . 
Câu 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác 
vuông tại S, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AD 
sao cho HA=3HD. Gọi M là trung điểm của AB. Biết rằng 2 3SA a= và đường thẳng SC 
tạo với đáy một góc 030 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ M đến 
mặt phẳng (SBC). 
Câu 15 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. hình chiếu vuông góc 
của A’ trên ( )ABC là trung điểm cạnh AB, góc giữa đường thẳng A’C và mặt đáy bằng 
060 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng 
(ACC’A’). 
Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, 3SA a= và SA vuông 
góc với mặt phẳng đáy. Biết tam giác SAB cân và góc giữa SD với mặt đáy bằng 300. 
Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.Tính khoảng cách giữa hai đg thẳng BD và SC. 
Câu 17 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I. Cạnh SA vuông 
góc với mặt phẳng (ABCD), 3SA a= . Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật 
ABCD bằng 3
3
a
 , góc 30oACB∠ = . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng 
cách giữa hai đường thẳng AC và SB. 
Câu 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với cạnh AB=2a, AD=a. Hình 
chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AB, SC tạo với đáy một góc 
bằng 450. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A tới (SCD). 
Câu 20 Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy (ABCD), đáy ABCD là 
hình chữ nhật có AD = 3a, AC = 5a, góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 450. 
Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và tính góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng 
(SBC). 
HƯỚNG DẪN 
Câu 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi I là trung điểm AB, H 
là giao điểm của BD với IC. Các mặt phẳng (SBD) và (SIC) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa 
(SAB) và (ABCD) bằng 060 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường 
thẳng SA và IC. 
Ta có S.ABCD ABCD
1V SH.S
3
= , 
2
ABCDS a= 
Do (SIC),(SBD) cùng vuông với đáy suy ra SH (ABCD)⊥ 
Dựng ( )HE AB SHE AB⊥ ⇒ ⊥ , suy ra 
SEH là góc giữa (SAB) và (ABCD) 
 0SEH 60⇒ = 
Ta có 0SH HE. tan 60 3HE= = HE HI 1 a a 3HE SH
CB IC 3 3 3
= = ⇒ = ⇒ = 
Suy ra 
3
2
S.ABCD ABCD
1 1 a 3 3aV SH.S . .a
3 3 3 9
= = = 
Gọi P là trung điểm của CD, suy ra AP song song vớiCI 
( ) ( )( ) ( )( )d SA,CI d CI, SAP d H, SAP⇒ = = 
Dựng HK AP⊥ , suy ra ( ) ( )SHK SAP⊥ 
Dựng ( ) ( )( )HF SK HF SPA d H, SPA HF⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = Do SHK∆ vuông tại H 2 2 21 1 1HF HK HS⇒ = + (1) 
Dựng DM AP⊥ , ta thấy DM HK= 2 2 2 2
1 1 1 1
HK DM DP DA
⇒ = = + 
Thay vào (1) ta có 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 4 1 3 8HF DP DA HS a a a a⇒ = + + = + + =
aHF
2 2
⇒ = . 
Vậy ( ) ad SA,CI
2 2
= . 
Câu 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác ABCD, có ABD là tam giác đều cạnh 
a, BCD là tam giác cân tại C có 
 0120BCD = , SA a= và ( )SA ABCD⊥ .Tính thể tích khối 
chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD). 
HD Gọi I là trung điểm của BD. Vì tam giác ABD đều vàtam giác BCD cân tại C nên 
AI BD
CI BD
⊥
 ⊥
 Suy ra A, I, C thẳng hàng, AC BD⊥ Tam giác ABD đều cạnh a, suy ra 
1 3
; ;
2 2
aBD a BI a AI= = = 
 Tam giác BCD cân tại C và 
 0120BCD = nên 
 060BCI = . 
 0 0
3
;
tan 60 sin 60 32 3
BI a BI aIC BC= = = = 
 *) 3 3 2 3
2 6 3
a a aAC AI IC= + = + = 
Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc nên có diện tích: 
21 3
.
2 3ABCD
aS AC BD= = 
 Suy ra thể tích khối chóp .S ABCD là: 31 3.
3 9ABCD
V SA S a= = (đvtt). 
Tính khoảng cách 
 Gọi K là hình chiếu của A trên đường thẳng SI, suy ra AK SI⊥ Mặt khác 
BD AC
AK BD
BD SA
⊥
⇒ ⊥ ⊥
 nên ( )AK SBD⊥ . Vậy ( )( );d A SBD AK= 
Tam giác SAI vuông tại A và có đường cao AK nên: 
 2 2 2 2
1 1 1 7 21
3 7
aAK
AK AS AI a
= + = ⇒ = 
 Ta có đường thẳng AC cắt mặt phẳng SBD tại I và 3 2 1
6 33
IC a
IA a
= = . 
Suy ra: ( )( ) ( )( )1 1 21; ;3 3 21
ad C SBD d A SBD AK= = = . 
M
F
K
P
E
I
H
S
D
C
B
A
K
I
C
D
B
A
S
CH
A
B
D
S
I
K
Câu 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Tam giác SAB đều và 
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Biết 2 3SD a= và góc tạo 
bởi đường thẳng SC với mặt phẳng (ABCD) bằng 030 . Tính theo a thể tích khối chóp 
S.ABCD và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC). 
 Gọi H là trung điểm của AB. Suy ra ( )SH ABCD⊥
và 
 030SCH = . 
Ta có: 2 3SHC SHD SC SD a∆ = ∆ ⇒ = = . 
Xét tam giác SHC vuông tại H ta có: 
0
0
.sin .sin 30 3
.cos .cos30 3
SH SC SCH SC a
HC SC SCH SC a
= = =
= = =
Vì tam giác SAB đều mà 3SH a= nên 2AB a= . Suy ra 
2 2 2 2BC HC BH a= − = . Do đó, 2. 4 2ABCDS AB BC a= = . 
Vậy, 
3
.
1 4 6
.
3 3S ABCD ABCD
aV S SH= = . 
 Câu3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với 
2 , AD 3AB a a= = . Mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông 
góc với mặt đáy. Biết đường thẳng SD tạo với mặt đáy một góc 450. Tính thể tích của 
khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD. 
Gọi hình chiếu của S trên AB là H. 
Ta có , ( ) ( ) , ( ) ( ) ( )SH AB SAB ABCD AB SAB ABCD SH ABCD⊥ ∩ = ⊥ ⇒ ⊥ 
( )SH ABCD⊥ , suy ra góc giữa SD và (ABCD) là 
 = 045SDH . 
Khi đó tam giác SHD vuông cân tại H, suy ra = = 2SH HD a , 
Khi đó thể tích lăng trụ là 
3
.
1 4 3
.
3 3S ABCD ABCD
aV SH S= = (đvtt) 
Kẻ Ax//BD nên BD//(SAx) mà (SAx)SA ⊂ 
(BD,SA) (BD,(SAx)) (B, (SAx)) 2 (H,(SAx))d d d d⇒ = = = 
Gọi I, K lần lượt là hình chiếu của H trên Ax và SI 
Chứng minh được ⊥ (SAx)HK 
 Tính được = 2 93
31
a
HK . 
4 93(BD,SA) 2 (H,(SAx)) 2HK
31
ad d⇒ = = = 
Đặt ( 0) 3 , 2 , NB , 5, 10AD x x AB x AN x x DN x BD x= > ⇒ = = = = = 
Xét tam giác BDN có 

2 2 2 7 2
cos
2 . 10
BD DN NBBDN
BD DN
+ −
= = 
Vì 2BA HA= nên ( )( ) ( )( ), 2 ,d B SAC d H SAC= 
Gọi I là hình chiếu của H lên AC và K là hình chiếu của H lên SI. Ta có: 
AC HI⊥ và AC SH⊥ nên ( )AC SHI AC HK⊥ ⇒ ⊥ . Mà, ta lại có: HK SI⊥ . 
Do đó: ( )HK SAC⊥ . 
Vì hai tam giác SIA và SBC đồng dạng nên . 6
3
HI AH AH BC aHI
BC AC AC
= ⇒ = = . 
Suy ra, 
2 2
.HS HIHK
HS HI
= =
+
66
11
a
. 
Vậy , ( )( ) ( )( ) 2 66, 2 , 2
11
ad B SAC d H SAC HK= = = 
Câu 5 Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, 3
2
aSD = . Hình chiếu vuông 
góc H của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của đoạn AB . Gọi K là trung 
điểm của đoạn AD . Tính theo a thể tích khối chóp .S ABCD và khoảng cách giữa hai 
đường thẳng HK và SD . 
Từ giả thiết ta có SH là đường cao của hình chóp S.ABCD và 
2 2 2 2 2 2 2 23( ) ( ) ( )
2 2
a aSH SD HD SD AH AD a a= − = − + = − − = 
Diện tích của hình vuông ABCD là 2a , 
3
2
.
1 1
. .
3 3 3S ABCD ABCD
aV SH S a a= = = 
Từ giả thiết ta có / / / /( )HK BD HK SBD⇒ 
Do vậy: ( , ) ( , ( ))d HK SD d H SBD= (1) 
Gọi E là hình chiếu vuông góc của H lên BD, F là hình chiếu vuông góc của H lên SE 
Ta có , ( )BD SH BD HE BD SHE BD HF⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ mà HF SE⊥ nên suy ra 
E
O 
K
H 
B 
A D 
C 
S
F 
( ) ( , ( ))HF SBD HF d H SBD⊥ ⇒ = (2) 
+) 
 0 2.sin .sin 45
2 4
a aHE HB HBE= = = 
+) Xét tam giác vuông SHE có: 
2 2
2
.
. 4
. .
32( )
4
a
aSH HE aHF SE SH HE HF
SE a
a
= ⇒ = = =
+
 (3) 
 +) Từ (1), (2), (3) ta có ( , )
3
ad HK SD = . 
 Tính thể tích của khối chóp S.ABCD 
Câu 6 Cho hình chóp ABCDS. có đáy ABCD là hình chữ nhật .Biết )(ABCDSA ⊥ , SC hợp với 
mặt phẳng )(ABCD một góc α với 
5
4
tan =α , aAB 3= và aBC 4= . Tính thể tích của khối chóp 
ABCDS. và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng )(SBC . 
Xác định đúng góc α=
∧
SCA 
Thể tích 3165.
5
4
.4.3.
3
1
.
3
1
aaaaSASV ABCDSABCD === 
Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC) 
Xác định dược khoảng cách ( ) ( ) AHSBCAdSBCDd == (,(, 
Tính đúng ( )
5
12)(, aAHSBCDd == 
Câu 7 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy, cạnh bên cùng bằng a. Gọi M là 
trung điểm của SC. Tính thể tích của hình chóp S.ABCD và khoảng cách từ S đến 
mp(ABM) theo a. 
a) Ta có 
.
1
.
3S ABCD ABCD
V S SH= Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều có các cạnh bên bằng nhau và 
( )SH ABCD⊥ . Ta có 2=ABCDS a 
Xét tam giác SAC vuông tại S nên SH là trung tuyến và là đường cao của tam giác nên ta có 
2 21 2 ( 2 )
2 2
aSH AC AC a= = = 
α
4a
3a
H
B C
DA
S
Vậy: 
3
2
.
1 2 2
. .
3 2 6S ABCD
a aV a= = □ 
b) Vì M là trung điểm SC nên mp(ABM) cắt SD tại N là trung điểm SD. 
Ta có 
. . .S ABMN S ABN S BMNV V V= + Mặt khác . . .
1
2S ABD S BCD S ABCD
BCD ABD V V V∆ = ∆ ⇒ = = 
Xét tỉ số .
.
. . 1
. . 2
S ABN
S ABD
V SA SB SN
V SA SB SD
= = (vì N là trung điểm SD) .
.
. . 1 1 1
.
. . 2 2 4
S BMN
S BCD
V SB SM SN
V SB SC SD
= = = 
3 3
. . . . . . . .
1 1 1 1 3 3 2 2
.
2 4 4 8 8 8 6 16S ABMN S ABN S BMN S ABD S BCD S ABDC S ABCD S ABCD
a aV V V V V V V V= + = + = + = = = □ 
Mà ABMN là hình thang cân có AB = a ; 
2 23a a a 11
đ caoMK
4
a a 3MN ;AN
6 42 2 1
= − == = ⇒ 
2
ABMN
a
a
a 11 3a 112S .
2 4 16
+
⇒ = = .Mà S.ABMNS.ABMN ABMN
ABMN
3V1V S .d d
3 S
= ⇒ = 
( )( )
3
S, ABM 2
3a 2
a 2216d d
113a 11
16
= = = 
H
B C
A
D
S
N
M
Câu 8 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC = 2a, 
góc ACB bằng 030 . Hình chiếu vuông góc của B’ lên (ABC) là trung điểm H của AB ; 
góc giữa cạnh bên BB’ và mặt đáy bằng 060 . Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ và 
khoảng cách giữa hai đường AA’ và BC theo a. 
Từ giả thiết suy ra HB / là chiều cao của lăng trụ. Góc giữa cạnh bên BB’ và mặt đáy 
bằng góc 0/ 60=BHB
A 
B C
A/ 
B/ 
C
H 
K 
I 
l
H
M
C
A
B
S
oAB sin 30 .BC a= =
o a 3AC cos30 .BC
2
= = 
2
ABC
1 a 3S AB.AC
2 2
= =
aBH
2
= ; o a 3B'H BH.tan 60
2
= = 
3
ABC.A'B'C' ABC
3aV B'H.S
4
= = Ta có AA’ // BB’ 
Suy ra 
( ) ( )( ) ( )( )
( )( )
AA ', AA ', ' ' A, ' '
2 , ' '
= =
=
d BC d BCC B d BCC B
d H BCC B
 Dựng HK BC⊥ tại K; HI BK⊥ tại I 
Ta có HK BC BC HI
B'H BC
⊥
⇒ ⊥ ⊥
Suy ra ( )HI BCC 'B'⊥ 0 a 3HK BH.sin 60
4
= = 
2 2 2
1 1 1 15
' 10
= + ⇒ =
aHI
HI HK HB
Vậy ( ) 15AA ', 5=
ad BC 
Câu 9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, 
cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc 600. Gọi M, 
N lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA và SB. Tính theo a thể tích khối chóp 
S.ABCD và khoảng cách từ S đến mặt phẳng (DMN). 
Ta có SA ⊥ (ABCD) ⇒ AC là hình chiếu của SC trên (ABCD) ⇒ 060=
∧
SCA 
1560tan;5 022 aACSAaCDADAC ===+= 
.
3
152
..
3
1
.
3
1 3
.
a
SAADABSASV
ABCDABCDS
=== 
Trong mp(SAD) kẻ SH ⊥ DM, ta có AB ⊥ (SAD) mà MN // AB ⇒ MN ⊥ (SAD) ⇒ MN ⊥ SH ⇒ SH ⊥ (DMN) 
⇒ SH = d(S, (DMN)) 
∆SHM ~ ∆DAM 
31
152
2
.
2
.
22
a
AMAD
DASA
DM
DASA
SH
DM
SM
DA
SH
=
+
==⇒=⇒ . 
B
A
N
S
C
M
D
H
Câu 10 Cho hình chóp S.ABC có mặt bên (SBC) là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên 
SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), lấy điểm M trên cạnh BC sao cho MC = 2MB. Biết 
góc
 0
 120BAC = , tính thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng 
SM và AC theo a. 
Hình chiếu của SB và SC trên (ABC) là AB và AC, mà SB = SC nên AB = AC. 
Áp dụng định lí hàm cosin vào tam giác ABC ta có : 
 BC2 = 2AB2 – 2AB2cos1200 ⇔ a2 = 3AB2 ⇔ 
3
aAB = 
Mà 
2
2 2 2 2 2
3 3
a aSA =SB -AB = a SA = − ⇒ ; 
2 2
01 1 3 3
. .sin120
2 2 3 2 12∆ABC
a aS = AB AC = = 
 ⇒ 
2 31 2 3 2
3 12 363S ABC
a a aV = = (dvtt) > 
Áp dụng định lí hàm cosin vào tam giác ABM ta có: 
2
2 2 2 02 . cos120
9 3
a aAM AB MB AB MB AM= + − = ⇒ =
3
aAM BM⇒ = = . 
Do đó tam giác AMB cân tại M nên 0 030 90 (1)BAM ABM MAC AM AC∠ = ∠ = ⇒ ∠ = ⇒ ⊥ 
 Mặt khác: ( ( )) (2)SA SC do SA ABC SA AC⊥ ⊥ ⇒ ⊥ 
Từ (1) và (2) ta có: ( ) (3)AC SAM⊥ Kẻ ( )AH SM H SM⊥ ∈ (4) 
Từ (3) và (4) ta được: ( )
2 2
. 2
, ( )
21
SA AMd AC SM AH a dvdd
SA AM
= = =
+
Câu11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, các mặt bên (SAB), (SAD) 
cùng vuông góc với (ABCD), góc giữa đường thẳng SB và mặt đáy bằng 600. Gọi M, N 
lần lượt là trung điểm của đoạn AD và CD, MN = 
2
2a
. TínhV S.BMN và khoảng cách 
giữa hai đường thẳng BM, SN theo a. 
Thể tích và khoảng cách: 
Từ giả thiết suy ra SA vuông góc với (ABCD).Góc giữa đường thẳng SB và mặt đáy là góc SBA = 600. MN = 
⇒ AC = 2a ⇒ cạnh hv ABCD bằng a. 
SBMN = SABCD – SDMN - SBMA- SBCN 
23
8
a
= SA = AB.tan600= 3a ; VSBMN = 3
1
SA.SBMN = 8
33a
* Ta có BM ⊥ AN ⇒ BM ⊥ (SAN) và BM cắt (SAN) tại I 
Trong (SAN): kẻ IK ⊥ SN ⇒ IK là đoạn vuông góc chung của BM và SN 
. d(MB,SN) = IK. Ta có: AN = 5
2
a
, AI = 
5
5
a
, IN = 
3 5
10
a
 và SN=
17
2
a
∆ IKN và ∆ SAN đồng dạng⇒
SN
IN
SA
IK
=
⇒
85
33. a
SN
INSAIK == . Vậy VSBMN = 8
33a
,d(MB,SN) =
85
33a 
EI
A D
B C
S
H
K
Câu 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi 
cạnh a, 060=
∧
ABC . Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy 
một góc 060 . Gọi I là trung điểm BC, H là hình chiếu vuông góc của A lên SI.Tính thể 
tích khối chóp S.ABCD. Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD) theo a. 
a) Do ∧ABC =600 nên tam giác ABC đều, suy ra 2ABCD 3S a 2= và AC a= 
Mặt khác 060)( =⇒⊥
∧
SCAABCDSA 
3
0
S.ABCD ABCD
1 aSA AC.tan 60 a 3 V SA.S .
3 2
⇒ = = ⇒ = = 
b)Ta có 
2 2
2 2 2 2
HS HS.IS AS AS 4
IS IS IS IA AS 5
= = = =
+
( )( ) ( )( )4d H, SCD d I, SCD5⇒ = ( )( ) ( )( )
2 2d B, SCD d A, SCD
5 5
= = ( vì I là trung điểm BC và AB//(SCD)) 
Gọi E là trung điểm CD, K là hình chiếu của A lên SE, ta có AE ⊥ DC⇒DC ⊥ (SAE)⇒AK ⊥ (SCD) 
Suy ra ( )( ) ( )( )
2 2
2 2 2 SA.AE 2a 15d H, SCD d A, SCD AK
5 5 5 25SA AE
= = = =
+
. 
Câu 13 Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I và có cạnh bằng a, 
góc BAD bằng 060 .Gọi H là trung điểm của IB và SH vuông góc với mặt phẳng ( )ABCD . 
Góc giữa SC và mặt phẳng ( )ABCD bằng 045 . Tính thể tích của khối chóp .S AHCD và 
tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( )SCD . 
Ta có ( )SH ABCD⊥ ⇒ HC là hình chiếu vuông góc của 
SC trên ( )ABCD 

 
 0( ,( )) 45SC ABCD SCH⇒ = = 
Theo giả thiết 
 060BAD BAD= ⇒ ∆ 
đều BD a⇒ = ;
3 3
;
4 2
a
HD a AI= = 
 và 2 3AC AI a= = 
Xét SHC△ vuông cân tại H , ta có:
22
2 2 3 13
4 2 4
a a
SH HC IC HI a
    = = + = + =        
Vậy 3
.
1 1 1 39
. . .
3 3 2 32S AHCD AHCD
V SH S SH AC HD a= = = 
Trong ( )ABCD kẻ HE CD⊥ và trong ( )SHE kẻ HK SE⊥ (1). Ta có: 
( ) (2)
( ( ))
CD HE
CD SHE CD HK
CD SH SH ABCD
 ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥
 ⊥ ⊥
Từ (1) và (2) suy ra ( ) ( ,( ))HK SCD d H SCD HK⊥ ⇒ = 
Xét HED△ vuông tại E , ta có 0 3 3.sin 60
8
HE HD a= = 
Xét SHE△ vuông tại H , ta có 
2 2
. 3 39
4 79
SH HE
HK a
SH HE
= =
+
Mà ( ,( )) 4 4 4 39( ,( )) ( ,( ))
( ,( )) 3 3 3 79
d B SCD BD
d B SCD d H SCD HK a
d H SCD HD
= = ⇒ = = = 
Do / /( )AB SCD ⇒ ( ,( )) ( ,( ))d A SCD d B SCD= = 39
79
a 
Câu 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác 
vuông tại S, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AD 
sao cho HA=3HD. Gọi M là trung điểm của AB. Biết rằng 2 3SA a= và đường thẳng SC 
tạo với đáy một góc 030 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ M đến 
mặt phẳng (SBC). 
Vì ( )SH ABCD⊥ nên 
 ( )
 0, ( ) 30 .SCH SC ABCD= = 
Trong tam giác vuông SAD ta có 2 .SA AH AD= 
2 2312 4 ; 3 ;
4
a AD AD a HA a HD a⇔ = ⇒ = = = 0. 3 .cot30 3SH HA HD a HC SH a⇒ = = ⇒ = = 
2 2 2 2 .CD HC HD a⇒ = − = 
Suy ra 2. 8 2ABCDS AD CD a= = . Suy ra 
3
.
1 8 6
. .
3 3S ABCD ABCD
aV SH S= = 
I
B C
DA
S
H
E
K
Vì M là trung điểm AB và AH // (SBC) nên 
 ( ) ( ) ( )1 1, ( ) ,( ) , ( ) .
2 2
d M SBC d A SBC d H SBC= = (1) 
Kẻ HK BC⊥ tại K, 'HH SK⊥ tại '.H Vì ( )BC SHK⊥ nên 
' ' ( ).BC HH HH SBC⊥ ⇒ ⊥ (2) 
Trong tam giác vuông SHK ta có 
2 2 2 2
1 1 1 11 2 6 2 66
' .
11' 24 11
aHH a
HH HK HS a
= + = ⇒ = = (3) 
Từ (1), (2) và (3) suy ra ( ) 66, ( ) .
11
d M SBC a= 
Câu 15 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. hình chiếu vuông góc 
của A’ trên ( )ABC là trung điểm cạnh AB, góc giữa đường thẳng A’C và mặt đáy bằng 
060 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng 
(ACC’A’). 
+ Gọi H là trung điểm của AB, suy ra ( )'A H ABC⊥ và ( )( ) 
 0' , ' 60A C ABC A CH= = . Do đó 
0 3
' . tan 60
2
aA H CH= = Thể tích của khối lăng trụ là 
3
. ' ' '
3 3
' .
8ABC A B C ABC
aV A H S∆= = 
 +Gọi I là hình chiếu vuông góc của của H trên AC; K là hình chiếu vuông góc của 
H trên A’I. Suy ra ( )( ), ' 'HK d H ACC A= 
Ta có 
 3.sin
4
aHI AH IAH= = 2 2 2
1 1 1 3 13
' 26
aHK
HK HI HA
= + ⇒ = (0,25) 
Do đó ( )( ) ( )( ) 3 13, ' ' 2 , ' ' 2
13
ad B ACC A d H ACC A HK= = = 
Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, 3SA a= và SA vuông 
góc với mặt phẳng đáy. Biết tam giác SAB cân và góc giữa SD với mặt đáy bằng 300. 
Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.Tính khoảng cách giữa hai đg thẳng BD và SC. 
A B 
D C 
K H 
S 
'H
M 
a 
 Câu 17 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I. Cạnh SA vuông 
góc với mặt phẳng (ABCD), 3SA a= . Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật 
ABCD bằng 3
3
a
 , góc 30oACB∠ = . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng 
cách giữa hai đường thẳng AC và SB. 
a. Do ( )SA ABCD⊥ và 
SAB cân nên 3AB SA a= = 
O
ED
B C
A
S
F
H
Góc giữa SD với mặt đáy là góc 
 030SDA = Trong tam giác SAD có 
0
0tan 30 3tan 30
SA SAAD a
AD
= ⇒ = = 
2
. 3 . 3 3 3ABCDS AB AD a a a⇒ = = =
2 3
.
1 1
. . . 3.3 3 3
3 3S ABCD ABCD
V SA S a a a⇒ = = = 
b. Qua C kẻ đường thẳng song song với BD, cắt AD tại E. Do BD//CE⇒ BD//(SCE) 
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1, , , ,
2
d BD SC d BD SCE d O SCE d A SCE⇒ = = =
 Kẻ 
( )AF , SAFCE F CE CE⊥ ∈ ⇒ ⊥ Kẻ ( ),AH SF H SF AH CE AH SCE⊥ ∈ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ 
( )( ),d A SCE AH⇒ = 
Có 2 6 , 2 3AE AD a CE BD a= = = = 1 1 . 6 . 3. AF.CE AF= 3
2 2 2 3ACE
AE CD a aS AE CD a
CE a
= = ⇒ = = 
Trong tam giác SAF có: 2 2 2
1 1 1 3
2
aAH
AH AF SA
= + ⇒ = Vậy 
( ) ( )( )1 1 3, ,
2 2 4
ad BD SC d A SCE AH= = =
Ta có 2 32 2
3
aAC AI R= = = . Suy ra .cos 30oBC AC a= = ; 3.sin 30
3
o aAB AC= = . 
2 3
.
3ABCD
aS AB BC= = . Suy ra 
3
.
1
.
3 3S ABCD ABCD
aV S SA= = . 
Kẻ qua B đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng CD tại E. Khi đó AC song 
song với mặt phẳng (SBE). 
Dựng AF vuông góc với BE tại F, dựng AH vuông góc với SF tại H. 
Ta nhận thấy ( )AH SBE⊥ .Suy ra ( ) ( )( ), ,d AC SB d A SBE AH= = . 
Tam giác SAE có: 3SA a= ; .cos30
2
o aAF AB= = ; 
90oSAE∠ = . 2 2 2
1 1 1 39
13
aAH
AH SA AF
= + ⇔ = . 
. 
A D
B C
S
H M
P
Câu 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với cạnh AB=2a, AD=a. Hình 
chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AB, SC tạo với đáy một góc bằng 
450. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A tới (SCD). 
Ta có HC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD) suy ra 
(SC;(ABCD))=(SC;AC)=SCH =45 0 
HC=a 2 suy ra SH=a 2 
= = =
SABCD ABCD
a
V SH S SH AB AD
31 1 2 2
. . .
3 3 3
Gọi M là trung điểm CD, P là hình chiếu của H lên SM khi đó HM ⊥CD; CD ⊥SH suy ra 
CD ⊥HP mà HP ⊥ SM suy ra HP ⊥ (SCD) Lại có AB//CD suy ra AB// (SCD) suy ra 
d(A;(SCD))=d(H;(SCD))=HP 
Ta có = +
HP HM HS
2 2 2
1 1 1
 suy ra HP= a 6
3
 vậy d(A;(SCD))= a 6
3
Câu 20 Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy (ABCD), đáy ABCD là 
hình chữ nhật có AD = 3a, AC = 5a, góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 450. 
Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và tính góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng 
(SBC). 
Tính thể tích và... 
- Tính thể tích 
 +) Ta có: 2 2 4AB AC BC a= − = 
 +) Mà ( ) ( )( )
 
 0, 45SCD ABCD SDA= = 
 nên SA = AD = 3a 
 Do đó: 3
.
1
. 12
3S ABCD ABCD
V SA S a= = (đvtt) 
- Tính góc 
 +) Dựng điểm K sao cho SK AD=
 
 Gọi H là hình chiếu vuông góc của 
 D lên CK, khi đó: ( )DK SBC⊥ . Do đó: ( )( )
 
,SD SBC DSH= 
 +) Mặt khác . 12
5
DC DK aDH
KC
= = , 
2 2 3 2SD SA AD a= + = 
2 2 3 34
5
aSH SD DH= − = 
 Do đó: ( )( )
 
 017, arccos arccos 34 27 '5
SHSD SBC DSH
SD
= = = ≈ 
S 
A 
B C 
D 
K 
H