Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm Toán 10 - Bài 3: Tích của một vectơ với một số (Có đáp án)

§3 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa: Tích của vectơ với số thực là một vectơ, kí hiệu là , cùng hướng với cùng hướng với nếu , ngược hướng với nếu và có độ dài bằng 
Quy ước: và 
2. Tính chất :
3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương
 cùng phương () khi và chỉ khi có số thỏa 
Điều kiện cần và đủ để thẳng hàng là có số k sao cho 
4. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương.
Cho không cùng phương . Với mọi vectơ luôn được biểu diễn với là các số thực duy nhất. 
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
DẠNG 1: Dựng và tính độ dài vectơ chứa tích một vectơ với một số.
1. Phương pháp giải.
 Sử dụng định nghĩa tích của một vectơ với một số và các quy tắc về phép toán vectơ để dựng vectơ chứa tích một vectơ với một số, kết hợp với các định lí pitago và hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính độ dài của chúng.
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho tam giác đều cạnh . điểm là trung điểm . tính độ dài của chúng.
a) 
	A.a	B.2a	C.3a	D.4a	
b) 
	A. 	B. 	C. 	D.	
c) 
	A. 	B. 	C. 	D.	
d) 
	A. 	B. 	C. 	D.	
Lời giải:
(Hình 1.14)
a) Do suy ra theo quy tắc ba điểm ta có
Vậy 
Hình 1.14
b) Vì nên theo quy tắc trừ ta có 
Theo định lí Pitago ta có 
Vậy 
c) Gọi là trung điểm , là điểm đối xứng của qua và là đỉnh của hình bình hành .
Khi đó ta có suy ra theo quy tắc hình bình hành ta có 
Gọi là hình chiếu của lên 
Vì 
Xét tam giác vuông ta có 
Ta lại có 
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác ta có
Vậy 
d) Gọi là điểm nằm trên đoạn sao cho , thuộc tia sao cho .
Khi đó 
Do đó 
Ta có , 
Áp dụng định lí Pitago cho tam tam giác vuông ta có
Vậy 
Ví dụ 2: Cho hình vuông cạnh . 
a) Chứng minh rằng không phụ thuộc vào vị trí điểm M. 
b) Tính độ dài vectơ 
	A. 	B. 	C. 	D.	
Lời giải:
(Hình 1.15)
a) Gọi là tâm hình vuông.
Theo quy tắc ba điểm ta có 
Mà nên 
Suy ra không phụ thuộc vào vị trí điểm M
Hình 1.15
b) Lấy điểm trên tia sao cho khi đó
 do đó 
Mặt khác 
Suy ra 
3. Bài tập luyện tập.
Bài 1.26. Cho tam giác đều cạnh . Gọi điểm , lần lượt là trung điểm . Dựng các vectơ sau và tính độ dài của chúng.
a) 
	A. 	B. 	C. 	D. 	
b) 
	A. 	B. 	C. 	D.	
c) 
	A. 	B. 	C. 	D. 	
c) 
	A. 	B. 	C. 	D.	
Lời giải:
Bài 1.26: a) Theo quy tắc ba điểm ta có
Suy ra 
Hình 
b) Theo quy tắc trừ ta có 
c) Gọi là điểm đối xứng của qua , điểm là là đỉnh của hình bình hành , theo quy tắc hình bình hành ta có 
Gọi là hình chiếu của lên .
Vì 
Áp dụng định lí Pitago ta có 
Suy ra .
d) Lấy các điểm sao cho 
Suy ra 
Do đó 	
Bài 1.27: Cho hình vuông cạnh . 
a) Chứng minh rằng không phụ thuộc vào vị trí điểm M. 
b) Tính độ dài vectơ 
	A. 	B. 	C. 	D.	
Lời giải:
Bài 1.27: Gọi là tâm hình vuông.
Theo quy tắc ba điểm ta có 
Mà nên 
Suy ra không phụ thuộc vào vị trí điểm M
b) 
DẠNG 2: Chứng minh đẳng thức vectơ.
1. Phương pháp giải.
Sử dụng các kiến thức sau để biến đổi vế này thành vế kia hoặc cả hai biểu thức ở hai vế cùng bằng biểu thức thứ ba hoặc biến đổi tương đương về đẳng thức đúng:
Các tính chất phép toán vectơ 
Các quy tắc: quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành và quy tắc phép trừ
Tính chất trung điểm:
M là trung điểm đoạn thẳng AB
M là trung điểm đoạn thẳng AB(Với O là điểm tuỳ ý)
Tính chất trọng tâm:
G là trọng tâm của tam giác ABC++=
G là trọng tâm của tam giác ABC++=(Với O là điểm tuỳ ý)
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho tứ giác . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD, O là trung điểm của IJ .Khẳng định nào sau đây đúng?
a) 
	A. 	B. 
	C. 	D. 	
b) 
	A. 	B. 
	C. 	D. 	
c) với M là điểm bất kì
	A. 	B. 
	C. 	D. 	
Lời giải:
(Hình 1.16)
a) Theo quy tắc ba điểm ta có
Tương tự 
Hình 1.16 14
Mà I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD nên 
Vậy đpcm
b) Theo hệ thức trung điểm ta có 
Mặt khác O là trung điểm IJ nên 
Suy ra đpcm
c) Theo câu b ta có do đó với mọi điểm M thì 
 đpcm
Ví dụ 2: Cho hai tam giác và có cùng trọng tâm G. Gọi lần lượt là trọng tâm tam giác . Chứng minh rằng 
Lời giải:
Vì là trọng tâm tam giác nên 
Tương tự lần lượt là trọng tâm tam giác suy ra
 và 
Công theo vế với vế các đẳng thức trên ta có
Mặt khác hai tam giác và có cùng trọng tâm G nên 
 và 
Suy ra 
Ví dụ 3: Cho tam giác có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Chọn khẳng định đúng? 
a) 
	A. 	B. 
	C. 	D. 	
b) 
	A. 	B. 
	C. 	D. 	
c) 
	A. 	B. 	
	C. 	D.	
Lời giải:
Hình 1.17)
a) Dễ thấy nếu tam giác vuông
Nếu tam giác không vuông gọi D là điểm đối xứng của A qua O khi đó 
(vì cùng vuông góc với AC)
(vì cùng vuông góc với AB)
Hình 1.17
Suy ra là hình bình hành, do đó theo quy tắc hình bình hành thì (1)
Mặt khác vì O là trung điểm của AD nên (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
b) Theo câu a) ta có
 đpcm
c) Vì G là trọng tâm tam giác nên 
Mặt khác theo câu b) ta có 
Suy ra 
Ví dụ 4: Cho tam giác với và có trọng tâm G. Gọi lần lượt là hình chiếu G lên cạnh .
Chứng minh rằng 
Lời giải:
(hình 1.18)
Hình 1.18
Trên tia GD, GE, MF lần lượt lấy các điểm N, P, Q sao cho và dựng hình bình hành 
Ta có 
 (*)
Ta có , mặt khác là trọng tâm tam giác nên suy ra 
Vậy 
Ta có và (góc có cặp cạnh vuông góc với nhau)
Suy ra 
 và 
Ta có thẳng hàng do đó là trung điểm của 
Theo quy tắc hình bình hành và hệ thức trung điểm ta có
Vậy .
Ví dụ 5: Cho tam giác với các cạnh . Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng 
Lời giải:
Cách 1: (Hình 1.19)Gọi D là chân đường phân giác góc A
Do D là đường phân giác giác trong góc A nên ta có
Hình 1.19
Do I là chân đường phân giác nên ta có : 
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh
Cách 2: (hình 1.20)Qua C dựng đường thẳng song song với AI cắt BI tai B’;song song với BI cắt AI tại A’
Ta có (*)
Theo định lý Talet và tính chất đường phân giác trong ta có : 
Tương tự : 
Hình 1.20
Từ (1) và (2) thay vào (*) ta có : 
3. Bài tập luyện tập.
Bài 1.28: Cho tam giác . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của .Chọn khẳng định đúng
a) 
	A. 	B. 
	C. 	D. 	
b) với O là điểm bất kỳ.
	A. 	B. 
	C. 	D. 	
Lời giải:
Bài 1.28: (hình 1.49) 
a) 
b) 
Hình 1.49
Bài 1.29: Cho tam giác ABC .Gọi H là điểm đối xứng với B qua G với G là trọng tâm tam giác. Chọn khẳng định đúng?
a), 
	A. 	B. 
	C.Cả A, B đều đúng	D.Cả A, B đều sai	
b) với M là trung điểm của BC 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Bài 1.29: a) Ta có 
b) 
Bài 1.30: Cho tam giác có điểm M thuộc cạnh BC. Chọn khẳng định đúng? 
	A. 	B. 
	C. 	D. 	
Lời giải:
Bài 1.30: Ta có 
Bài 1.31: Cho hai hình bình hành và có chung đỉnh A. Chọn khẳng định đúng? 
	A. 	B. 
	C. 	D. 	
Lời giải:
Bài 1.31: Ta có:
Bài 1.32: Cho tam giác đều tâm O. M là điểm tùy ý trong tam giác. Hạ MD, ME, MF tương ứng vuông góc với BC, CA, AB. Chọn khẳng định đúng? 
	A. 	B. 
	C. 	D. 	
Lời giải:
Hình 1.50
Bài 1.32: (hình 1.50) Qua M kẻ các đường thẳng song song với các cạnh D ABC, các đường thẳng này lần lượt cắt tại các điểm như hình vẽ. Dễ thấy ta có các tam giác đều và các hình bình hành . 
Ta có: , , . 
Cộng từng vế 3 đẳng thức và nhóm ta được: 	
Bài 1.33: Trong mặt phẳng cho tam giác ABC. Một đường thẳng là đường thẳng bất kỳ. Gọi G là trọng tâm và A’, B’, C’, G’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B, C, G lên đường thẳng .Chọn khẳng định đúng?
	A. 	B. 
	C. 	D. 	
Bài 1.34: Cho vectơ đôi một khác phương và tổng của vectơ bất kì trong n vectơ trên cùng phương với vectơ còn lại. Chứng minh rằng tổng vectơ cho ở trên bằng vectơ không.
Lời giải:
Bài 1.34: Giả sử n vectơ là . Đặt 
Vì tổng của vectơ bất kì trong n vectơ trên cùng phương với vectơ còn lại do đó cùng phương với hai vectơ nên .	
Bài 1.35: Cho tam giác với các cạnh . Gọi I là tâm và D, E, F lần lượt là tiếp điểm của cạnh BC, CA, AB của đường tròn nội tiếp tam giác . M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh rằng:
a) 
b) 
c) 
d) 
Lời giải:
Bài 1.35: (hình 1.51)
a) Gọi là bán kính đường tròn nội tiếp ta có
Theo ví dụ 5 ta có 
Hình 1.51
b) Ta có 
Theo câu a) ta có 
Suy ra 
c) Ta có 
Kết hợp ví dụ 5 suy ra
d) 
 với là nửa chu vi.
Tương tự ta có :
Bài 1.36: Cho tam giác . M là điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Chứng minh rằng : 
Lời giải:
Hình 1.52
Bài 1.36: (hình 1.52)Gọi A' là giao điểm AM với BC ta có (*)
Mặt khác 
Và (1) 
Mặt khác (2) 
Thay (1) và (2) vào (*) ta được điều phải chứng minh.
Bài 1.37: Cho đa giác lồi (); là vectơ đơn vị vuông góc với (xem ) và hướng ra phía ngoài đa giác. Chứng minh rằng 
 (định lý con nhím)
Lời giải:
Hình 1.53
Bài 1.37: (hình 1.53)Ta chứng minh bằng quy nạp
Với đẳng thức trở thành 
(đúng vì đẳng thức này tương đương với đẳng thức ở bài 11)
Giả sử đúng với 
Gọi là vectơ đơn vị vuông góc với và hướng ra ngoài tam giác 
Theo giả thiết quy nạp ta có 
 (1)
Mặt khác xét tam giác ta có (2)
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.	
Bài 1.38: Cho đa giác lồi () với I là tâm đường tròn tiếp xúc các cạnh của đa giác; gọi là véc tơ đơn vị cùng hướng với véc tơ . Chứng minh rằng 
Lời giải:
Hình 1.54
Bài 1.38: (hình 1.54)Gọi là các tiếp điểm đường tròn nội tiếp với cạnh 
Xét tứ giác có và 
Suy ra . Mặt khác dó đó 
Tương tự ta có 
Xét đa giác lồi theo định lý con nhím ta có
Mà suy ra đpcm.	
Bài 1.39: Cho tam giác vuông tại A. I là trung điểm của đường cao AH. Chứng minh rằng : .
Lời giải:
Bài 1.39: Ta có , 
Suy ra 
Mà và nên suy ra 
Hay . 
DẠNG 3: Xác định điểm M thoả mãn một đẳng thức vectơ cho trước
1. Phương pháp giải.
Ta biến đổi đẳng thức vectơ về dạng trong đó điểm A và đã biết. Khi đó tồn tại duy nhất điểm M sao cho , để dựng điểm M ta lấy A làm gốc dựng một vectơ bằng vectơ suy ra điểm ngọn vectơ này chính là điểm M.
Ta biến đổi về đẳng thức vectơ đã biết của trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho hai điểm A, B phân biệt. Xác định điểm M biết 
Lời giải:
Hình 1.21
(hình 1.21)
 Ta có 
M nằm trên tia AB và 
Ví dụ 2: Cho tứ giác . Xác định điểm sao cho 
a) 
	A. M là trung điểm AE, với E là trung điểm AC
	B. M là trung điểm AF, với F là trung điểm AB
	C. M là trung điểm AG, với G là trọng tâm ABC
	D. M là trung điểm AI, với I là trung điểm BC	
b) 
	A. N là trung điểm của KH, K, H lần lượt là trung điểm của AC, BD	
	B. N là trung điểm của KH, K, H lần lượt là trọng tâm tam giác ABC, BCD	
	C. N là trung điểm của KH, K, H lần lượt là trung điểm của AD, BC	
	D. N là trung điểm của KH, K, H lần lượt là trung điểm của AB, CD	
c) 
	A. P là trung điểm , là trọng tâm tam giác 
	B. P là trung điểm , là trọng tâm tam giác 
	C. P là trung điểm , là trọng tâm tam giác 
	D. P là trung điểm , là trọng tâm tam giác 	
Lời giải:
(hình 1.22) 
a) 
Gọi I là trung điểm BC suy ra 
Do đó 
Suy ra M là trung điểm AI
Hình 1.22
b) Gọi K, H lần lượt là trung điểm của AB, CD ta có
N là trung điểm của KH
c) Gọi là trọng tâm tam giác khi đó ta có 
Suy ra 
 là trung điểm .
Ví dụ 3: Cho trước hai điểm A, B và hai số thực , thoả mãn Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn 
Từ đó, suy ra với điểm bất kì M thì
Lời giải:
Ta có: 
Vì A, B cố định nên vectơ không đổi, do đó tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn điều kiện. 
Từ đó suy ra
 đpcm.
3. Bài tập luyện tập.
Bài 1.40: Xác định điểm M biết 	
Bài 1.41: Xác định các điểm I, J, K, L biết
	A. I là điểm đối xứng của A qua B.	B.I là trung điểm AB
	C.Cả A, B đều đúng	D.Cả A, B đều sai	
	A. 	B. 	C. 	D. 	
	A. 	B. 	C. 	D. 	
	A. 	B. 	C. 	D. 	
Bài 1.42: Cho tứ giác . Tìm điểm cố định I và hằng số k để hệ thức sau thỏa mãn với mọi M
	A. Với J là trung điểm của AB, suy ra I là trung điểm của JC, k=1
	B. Với J là trung điểm của AB, suy ra I là trung điểm của JC, k=4
	C. Với J là trung điểm của AB, suy ra I là trung điểm của JC, k=2
	D. Với J là trung điểm của AB, suy ra I là trung điểm của JC, k=3	
	A. 	B. 
	C. 	D. 
	A. 	B. 
	C. 	D. 	
Lời giải:
Bài 1.42: a) Cho 
Với J là trung điểm của AB, suy ra I là trung điểm của JC
b) 
c) 	
Bài 1.43: Cho tam giác với các cạnh . Tìm điểm M sao cho 
	A. trung điểm AB
	B. trực tâm ABC
	C. trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác
	D. trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Lời giải:
Bài 1.43: trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác	
Bài 1.44: Cho tam giác và ba số thức không đồng thời bằng không. Chứng minh rằng:
a) Nếu thì tồn tại duy nhất điểm M sao cho 
b) Nếu thì không tồn tại điểm N sao cho 
Lời giải:
Bài 1.44: a) Vì 
Không mất tính tổng quát giả sử 
Suy ra 
Do đó tồn tại duy nhất điểm M
b) Giả sử tồn tại điểm N và 
Ta có (mâu thuẫn với là tam giác)	
Bài 1.45: Cho n điểm và n số mà 
a) Chứng minh rằng có duy nhất điểm G sao cho.
Điểm G như thế gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm gắn với hệ số . Trong trường hợp các hệ số bằng nhau(ta có thể chọn các đều bằng 1 ) thì G gọi là trọng tâm của hệ điểm 
b) Chứng minh rằng nếu G là tâm tỉ cự nói ở câu a) thì với điểm M bất kỳ ta có 
Lời giải
Bài 1.45: O là điểm tùy ý, ta có:
Suy ra G xác định duy nhất
DẠNG 4: Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương.
1. Phương pháp giải.
Sử dụng các tính chất phép toán vectơ, ba quy tắc phép toán vectơ và tính chất trung điểm, trọng tâm trong tam giác.
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho tam giác . Đặt .
 a) Hãy dựng các điểm M, N thỏa mãn: 
b) Hãy phân tích qua các véc tơ và .
	A. 	B. 	
	C. 	D.Cả A, B, C đều đúng	
 c) Gọi I là điểm thỏa: . Chứng minh thẳng hàng 	
Hình 1.23
Lời giải (hình 1.23)
a) Vì suy ra M thuộc cạnh AB và ; , suy ra N thuộc tia BC và .
b) Ta có: 
.
c) Ta có: 
 A, I, N thẳng hàng.
Ví dụ 2: Cho tam giác , trên cạnh BC lấy M sao cho , trên đoạn AM lấy N sao cho . G là trọng tâm tam giác . 
a) Phân tích các vectơ qua các véc tơ và 
	A. 	B. 
	C.Cả A, B đều đúng	D.Cả A,B đều sai	
b) Phân tích các vectơ qua các véc tơ và 
	A. 	B. 
	C.Cả A, B đều đúng	D.Cả A,B đều sai	
Lời giải 
(hình 1.24)
Hình 1.24
a) Theo giả thiết ta có: và 
suy ra 
b) Vì G là trọng tâm tam giác nên suy ra 
Ta có 
 Ví dụ 3: Cho hình bình hành . Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh AB và CD sao cho và G là trọng tâm tam giác . Phân tích các vectơ qua các véc tơ và 
	A. 	B. 
	C. 	D.Cả A, B, C đều đúng	
Hình 1.25
Lời giải:
(hình 1.25) 
Ta có: 
Vì G là trọng tâm tam giác nên 
Suy ra 
3. Bài tập luyện tập.
Bài 1.46: Cho tam giác ABC .Lấy các điểm M,N,P sao cho , ,
a) Biểu diễn các vectơ theo các vectơ và
	A. 	B. 	
	C. 	D.Cả A, B, C đều đúng	
b) Biểu diễn các vectơ, theo các vectơ và
	A. 	B. 
	C.Cả A, B đều đúng	D.Cả A,B đều sai	
c) Có nhận xét gì về ba điểm M, N, P thẳng hàng?
	A. 	B. 	C. 	D.	
Lời giải:
Bài 1.46: a) 
b) 
M, N, P thẳng hàng	
Bài 1.47: Cho tam giác ABC.Gọi I, J là hai điểm xác định bởi 
a)Tính theo và .
	A. 	B. 
	C. 	D. 	
b)Đường thẳng IJ đi qua trọng tâm G của tam giác 
	A. 	B. 
	C. 	D. 	
Lời giải:
Bài 1.47: a) 
b) suy ra IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC.	
Bài 1.48. Cho tam giác có trọng tâm G. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho và J là điểm trên BC kéo dài sao cho .
a) Hãy phân tích theo và . 
	A. 	B. 
	C. Cả A,B đều đúng	D.Cả A, B đều sai	 
b) Hãy phân tích theo và .
	A. 	B. 
	C. 	D. 	
Lời giải:
Bài 1.48: a) Ta có: 
b) Gọi M là trung điểm BC, ta có:
Bài 1.49: Cho hai vectơ không cùng phương. Tìm x sao cho
a) và cùng phương
	A. 	B. 	C. 	D.	
b) và cùng hướng
	A. 	B. 	C. 	D.	
Lời giải:
Bài 1.49: a) cùng phương với có số thực k sao cho 
b) cùng phương với có số thực k dương sao cho 
DẠNG 5: Chứng minh hai điểm trùng nhau, hai tam giác cùng trọng tâm
1. Phương pháp giải.
Để chứng minh hai điểm và trùng nhau, ta lựa chọn một trong hai cách sau :
 Cách 1: Chứng minh 
 Cách 2: Chứng minh với O là điểm tuỳ ý.
Để chứng minh hai tam giác và cùng trọng tâm ta làm như sau:
Cách 1: Chứng minh là trọng tâm trùng với là trọng tâm 
Cách 2: Gọi là trọng tâm(tức ta có ) ta đi chứng minh 
2. Các ví dụ. 
Ví dụ 1: Chứng minh rằng khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.
Lời giải:
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC suy ra 
Do đó 
 hay I trùng với J
Ví dụ 2: Cho tam giác , trên các cạnh AB, BC, CA ta lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho . Chứng minh rằng hai tam giác và có cùng trọng tâm.
Lời giải:
Giả sử suy ra 
Cách 1: Gọi G, G' lần lượt là trọng tâm và 
Suy ra và (*)
Ta có 
Tương tự 
Và 
Cộng vế với vế từng đẳng thức trên ta được 
Kết hợp với (*) ta được 
Suy ra điều phải chứng minh
Cách 2: Gọi G là trọng tâm tam giác suy ra 
Ta có: 
Vậy hai tam giác và có cùng trọng tâm.
Ví dụ 3: Cho lục giác . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh . Chứng minh rằng hai tam giác và có cùng trọng tâm.
Lời giải:
(hình 1.26)
Hình 1.26
Gọi G là trọng tâm của suy ra (*)
Mặt khác Kết hợp với (*) ta được 
Suy ra G là trọng tâm của .
Hình 1.27
Vậy và có cùng trọng tâm.
Ví dụ 4: Cho hai hình bình hành và chung đỉnh A. Chứng minh rằng hai tam giác và cùng trọng tâm.
Lời giải:
(hình 1.27)
Gọi G là trọng tâm tam giác suy ra 
 (1)
Mặt khác theo quy tắc phép trừ và hình bình hành ta có
 (2)
Từ (1) và (2) ta có hay G là trọng tâm tam giác 
3. Bài tập luyện tập.
Bài 1.50. Cho các tam giác có G, G’ lần lượt là trọng tâm . Chứng minh rằng: . Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm .
Lời giải:
Bài 1.50: Ta có 
Suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm là 
Bài 1.51. Cho tam giác, vẽ các hình bình hành . 
Chứng minh rằng có cùng trọng tâm. 
Lời giải:
Bài 1.51: G là trọng tâm 
Ta có 
Suy ra 
Do đó G là trọng tâm 
Bài 1.52. Cho tam giác có A' là điểm đối xứng của A qua B, B' là điểm đối xứng của B qua C, C' là điểm đối xứng của C qua A. Chứng minh các tam giác và có cùng trọng tâm.
Lời giải:
Bài 1.52: Tam giác và có cùng trọng tâm
 (đúng)
Bài 1.53. Cho tứ giác . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng hai tam giác và có cùng trọng tâm. 
Lời giải:
Bài 1.53: G là trọng tâm 
Ta có 
Suy ra 
Do đó G là trọng tâm 
Bài 1.54. Cho tam giác . Gọi A', B' ,C' là các điểm xác định bởi , , 
Chứng minh rằng và cùng trọng tâm
Lời giải:
Bài 1.54: G là trọng tâm 
Ta có 
 (1)
Tương tự ta có Cộng vế với vế lại ta được 
Suy ra 
Do đó G là trọng tâm 
Bài 1.55. Cho và có cùng trọng tâm G, gọi là trọng tâm các tam giác .Chứng minh rằng cũng có trọng tâm G
Lời giải:
Bài 1.55: Vì và có cùng trọng tâm G suy ra 
Vì là trọng tâm các tam giác nên 
Suy ra do đó G là trọng tâm 
Bài 1.56. Cho tứ giác có trọng tâm G. Gọi lần lượt là trọng tâm các tam giác . Chứng minh rằng G cũng là trọng tâm tứ giác 
Lời giải:
Bài 1.56: G là trọng tâm tứ giác (*)
Vì là trong tâm , tương tự ta có
, , 
Do đó (*) (đúng) đpcm
Bài 1.57. Cho tam giác đều và M là một điểm nằm trong tam giác. Gọi lần lượt là điểm đối xứng M qua BC, CA, AB. Chứng minh rằng tam giác và có cùng trọng tâm.
Lời giải:
Bài 1.57: Gọi D, E, F tương ứng là giao điểm của với các cạnh BC, CA, AB. O là trọng tâm đều 
Ta có 
Mặt khác theo bài tập 6 (dạng 2) thì 
Suy ra do đó O là trọng tâm tam giác 
Bài 1.58. Cho các tam giác , điểm O nằm trong tam giác. Gọi lần lượt là hình chiếu của O lên BC, CA, AB. Lấy các điểm lần lượt thuộc các tia sao cho . Chứng minh O là trọng tâm tam giác 
Lời giải:
Bài 1.58: Ta có 
 (Theo định lý con nhím)
Do đó O là trọng tâm tam giác 
DẠNG 6: Tìm tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện vectơ cho trước.
1. Phương pháp giải.
Để tìm tập hợp điểm M thỏa mãn mãn điều kiện vectơ ta quy về một trong các dạng sau
- Nếu với A, B phân biệt cho trước thì M thuộc đường trung trực của đoạn AB.
- Nếu với A, B, C phân biệt cho trước thì M thuộc đường tròn tâm C, bán kính bằng .
- Nếu với A, B, C phân biệt và k là số thực thay đổi thì 
 + M thuộc đường thẳng qua A song song với BC với 
 + M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC và cùng hướng với 
 + M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC và ngược hướng với 
- Nếu với A, B, C thẳng hàng và k thay đổi thì tập hợp điểm M là đường thẳng BC
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho tam giác 
a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thỏa mãn : .’
b) Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn : .
	A. quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính .
	B. quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính .
	C. quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính .
	D. quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính .	
Lời giải:
a) Ta có: 
I tồn tại và duy nhất.
b) Với I là điểm được xác định ở câu a, ta có:
 và nên
Vậy quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính .
Ví dụ 2: Cho tam giác . Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn điều kiện sau :
a) 
	A. M là đường trung trực của EF , E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC suy ra
	B. M là đường thẳng đi qua A song song vơi BC
	C. M là đường tròn tâm I bán kính .
	D.Cả A, B, C đều sai	
b) với k là số thực thay đổi 
	A. M là đường trung trực của EF , E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC suy ra
	B. M là đường thẳng đi qua A song song vơi BC
	C. M là đường tròn tâm I bán kính .
	D. Với H là điểm thỏa mãn , M là đường thẳng đi qua E và song song với HB, E là trung điểm của AB
Hình 1.28
Lời giải:
(hình 1.28) 
a) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC suy ra
 và 
 Khi đó 
Vậy tập hợp các điểm M là đường trung trực của EF
b) Ta có 
Với H là điểm thỏa mãn 
Suy ra 
Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua E và song song với HB
Ví dụ 3: Cho tứ giác . Với số k tùy ý, lấy các điểm M và N sao cho . Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng MN khi k thay đổi. 
	A. tập hợp điểm I là đường thẳng OO', O, O' lần lượt là trung điểm của AC và BD,
	B. tập hợp điểm I là đường thẳng OO', O, O' lần lượt là trung điểm của AD và BC,
	C. tập hợp điểm I là đường thẳng OO', O, O' lần lượt là trung điểm của AB và DC,
	D. Cả A, B, C đều sai	 
Lời giải:
(hình 1.29)
Hình 1.29
Gọi O, O' lần lượt là trung điểm của AD và BC, ta có 
 và 
Suy ra 
Tương tự vì O, I lần lượt là trung điểm của AD và MN nên 
Do đó 
Vậy khi k thay đổi, tập hợp điểm I là đường thẳng OO'
3. Bài tập luyện tập.
Bài 1.59. Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
a) 
	A. Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính với I là trung điểm của AB
	B. Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính với I là trung điểm của AB
	C. Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính với I là trung điểm của AB
	D. Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính với I là trung điểm của AB	
b) 	
Lời giải:
Bài 1.59: a) Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính với I là trung điểm của AB
b) Gọi K là điểm thoả mãn: 
L là điểm thoả mãn: 
Ta có:
Tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng KL.
Bài 1.60. Cho DABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
a) với k là số thực thay đổi
b) cùng phương với véc tơ 
c) (HD: dựng hình bình hành ABCD)
Lời giải:
Bài 1.60: a) Ta có: 
Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua A và song song với cạnh BC của DABC.
b) Gọi J là trung là điểm AB, I là trung điểm JC ta có 
Do đó cùng phương với M thuộc đường thẳng đi qua I và song song với BC.
Bài 1.61. Cho DABC. Tìm tập hợp điểm M trong các trường hợp sau:
Lời giải:
Bài 1.61: a) Gọi K là điểm thoả mãn: 
L là điểm thoả mãn: 
Ta có:
Þ Tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng KL.
b) Với I là trung điểm của BC. Gọi J là điểm thoả mãn: 
Ta có: 
Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm J bán kính .	
Bài 1.62: Cho tứ giác .
a)Xác định điểm O sao cho : .
b)Tìm tập hợp điểm M thoả mãn hệ thức 
Lời giải:
Bài 1.62: a) với I là trung điểm BD
b) 
Vậy tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn OA.	
Bài 1.63: Cho lục giác đều ABCDEF . Tìm tập hợp các điểm M sao cho :
 nhận giá trị nhỏ nhất 
Lời giải:
Bài 1.63: Gọi P là trọng tâm của , Q là trọng tâm của 
 + =
 Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đoạn PQ
Vậy tập hợp các điểm M cần tìm là mọi điểm thuộc đoạn PQ 	
Bài 1.64: Trên hai tia và của góc lấy hai điểm M, N sao cho với a là số thực cho trước. tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thằng MN
Bài 1.64: Gọi hai điểm lần lượt thuộc tia và sao cho . Giả sử khi đó ta có . Do đó tập hợp điểm I là đoạn 	
DẠNG 7: Xác định tính chất của hình khi biết một đẳng thức vectơ
1. Phương pháp giải.
Phân tính được định tính xuất phát từ các đẳng thức vectơ của giả thiết, lưu ý tới những hệ thức đã biết về trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác và kết quả " với là hai vectơ không cùng phương "
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và DC của tứ giác . Các đoạn thẳng AN và BM cắt nhau tại P. Biết . tứ giác là hình gì?
	A. hình bình hành	B.hình thang	C.hình chữ nhật	D.hình vuông	
Lời giải:
Ta có: 
 là hình bình hành.
Ví dụ 2: Cho tam giác có các cạnh bằng a, b, c và trọng tâm G thoả mãn: là tam giác gì ?
	A.đều	B.cân tại A	C.thường	D.Vuông tại B	
Lời giải:
G là trọng tâm tam giác nên 
Suy ra 
Vì và là hai vecơ không cùng phương, do đó (*) tương đương với:
 hay tam giác đều.
Ví dụ 3: Cho tam giác có trung tuyến AA' và B' , C' là các điểm thay đổi trên CA, AB thoả mãn . Chứng minh BB', CC' là các trung tuyến của tam giác .
Lời giải:
Giả sử 
Suy ra 
và 
Mặt khác A' là trung điểm của BC nên 
Do đó 
hay 
Vì không cùng phương suy ra do đó B', C' lần lượt là trung điểm của CA, AB
Vậy BB', CC' là các trung tuyến của tam giác .
3. Bài tập luyên tập.
Bài 1.65: Cho tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại O thoả mãn . tứ giác là hình gì?
	A. hình bình hành	B.hình thang	C.hình chữ nhật	D.hình vuông	
Lời giải:
Bài 1.65: Đặt 
Suy ra 
Do đó nên tứ giác là hình bình hành.	
Bài 1.66: Cho có BB', CC' là các trung tuyến, A' là điểm trên BC thoả mãn . Chứng minh AA' cũng là trung tuyến của tam giác .
Lời giải:
Bài 1.66: Ta có 
 AA' cũng là trung tuyến của tam giác .	
Bài 1.67: Cho có A', B', C' là các điểm thay đổi trên BC, CA, AB sao cho đồng quy và thoả mãn Chứng minh là các trung tuyến của tam giác .
Lời giải:
Bài 1.67: Giả sử 
Tương tự ta có , 
Suy ra .
Mặt khác theo định lí Xêva ta có nên 
Vậy là các trung tuyến của tam giác 
Bài 1.68: Cho 4 điểm A, B, C, D; I là trung điểm AB và J thuộc CD thoả mãn . Chứng minh J là trung điểm của CD.
Lời giải:
Bài 1.68: 
Gọi K là trung điểm DC suy ra do đó hay J là trung điểm của CD.	
Bài 1.69: Cho tứ giác . Giả sử tồn tại điểm O sao cho và . Chứng minh rằng ABCD là hình chữ nhật.
Lời giải:
Hình 1.55
Bài 1.69: (hình 1.55) Gọi M, N, P, Q là trung điểm của AB, BC, CD, DA từ phương trình thứ hai ta được:
 thẳng hàng và O là trung điểm MP 
 thẳng hàng và O là trung điểm NQ. 
Ta có cân tại O nên , cân tại O nên suy ra .
Tương tự suy ra là hình bình hành
Mà N, Q là trung điểm của BC, AD nên 
Suy ra là hình chữ nhật.	
Bài 1.70: Cho tam giác nội tiếp đường tròn tâm O, gọi G là trọng tâm tam giác . A', B', C' là các điểm thỏa mãn:. Chứng minh rằng G là trực tâm tam giác .
Lời giải:
Bài 1.70: G là trọng tâm tam giác nên 
Do đó 
Suy ra G là trực tâm tam giác 	
Bài 1.71: Cho tam giác nội tiếp đường tròn tâm O, gọi H là trực tâm tam giác . A', B', C' là các điểm thỏa mãn:. Chứng minh rằng H là trọng tâm tam giác .
Lời giải:
Bài 1.71: H là trực tâm tam giác suy ra 
Do đó hay H là trọng tâm tam giác .
Bài 1.72: Cho tam giác và điểm M nằm trong tam giác. Đường thẳng AM cắt BC tại D, BM cắt CA tại E và CM cắt AB tại F. Chứng minh rằng nếu thì M là trọng tâm tam giác .
Lời giải:
Bài 1.72: Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau
Cho ba véc tơ đôi một không cùng phương và thỏa mãn điều kiện : 
Chứng minh rằng : . Thật vậy :
Dễ thấy thì suy ra ngay n, n’, p, p’ cũng phải khác không.
Từ giả thiết ta có : 
vì một véc tơ chỉ phân tích được một cách duy nhất qua hai véc tơ không cùng phương nên 
Trở lại bài toán
Ta có 
Mặt khác , tương tự và 
(với )
Do đó ta có 
Mặt khác ta cũng có 
Áp dụng bổ đề suy ra hay M trùng trọng tâm tam giác 
DẠNG 8: Chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị liên quan đến độ dài vectơ
1. Phương pháp.
Sử dụng bất đẳng thức cơ bản:
Với mọi vectơ ta luôn có
+ , dấu bằng xảy ra khi cùng hướng
+ , dấu bằng xảy ra khi ngược hướng
Đưa bài toán ban đầu về bài toán tìm cực trị của với M thay đổi
+ Nếu M là điểm thay đổi trên đường thẳng khi đó đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của M lên .
+ Nếu M là điểm thay đổi trên đường tròn (O) khi đó đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của tia OI với đường tròn; đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của tia IO với đường tròn
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1. Cho tam giác và đường thẳng d. Tìm điểm M thuộc đường thẳng d để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất 
Lời giải:
Gọi I là đỉnh thứ tư của hình bình hành thì 
Khi đó : 
Vậy đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của I lên đường thẳng d.
Ví dụ 2: Cho tam giác và là các tam giác thay đổi, có trọng tâm G và G' cố định. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng 
Giải: Vì và nên
Do đó: 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi các vectơ cùng hướng 
Vậy giá trị nhỏ nhất T là
3. Bài tập luyên tập.
Bài 1.73: Cho tam giác , đường thẳng d và ba số sao cho . Tìm điểm M thuộc đường thẳng d để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. 
Lời giải:
Bài 1.73: Do nên tồn tại duy nhất điểm I sao cho .
Ta có 
Do đó 
Suy ra nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của I lên đường thẳng d	 
Bài 1.74: Cho tam giác . Tìm điểm M trên đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác sao cho 
a) Đạt giá trị lớn nhất
b) Đạt giá trị nhỏ nhất
Lời giải:
Bài 1.74: G là trọng tâm tam giác ta có 
a) M là giao điểm của tia GO với (C)
b) M là giao điểm của tia OG với (C)
Bài 1.75: Cho tứ giác và là các tứ giác thay đổi, có trọng tâm G và G' cố định. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng 
Lời giải:
Bài 1.75: ĐS: 
Bài 1.76: Cho tam giác . M, N, P lần lượt là các điểm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho . Chứng minh rằng các đoạn thẳng AM, BN, CP là ba cạnh của một tam giác nào đó.
Do đó các đoạn thẳng AM, BN, CP là ba cạnh của một tam giác nào đó.
Lời giải:
Bài 1.76: Ta có 
Suy ra 
Vì và không cùng phương nên không thể xảy ra dấu bằng do đó 
. Tương tự ta có 
Bài 1.77 : Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng với mọi điểm M thuộc cạnh AB và không trùng với các
đỉnh ta có: 
Lời giải:
Bài 1.77: 
Hay 
Bài 1.78: Cho tứ giác , M là điểm thuộc đoạn CD. Gọi lần lượt là chu vi của các tam giác . Chứng minh rằng .
Lời giải:
Bài 1.78: Ta có: 
và 
Từ đó suy ra 
Hay 
Bài 1.79: Trên đường tròn tâm O bán kính bằng 1 lấy điểm ở cùng phía v