Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm Toán 10 - Bài 2: Tổng và hiệu hai vectơ (Có đáp án)

§2 TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Tổng hai vectơ 
a) Định nghĩa: Cho hai vectơ . Từ điểm A tùy ý vẽ rồi từ B 
vẽ khi đó vectơ được gọi là tổng của hai vectơ .
Kí hiệu (Hình 1.9)
Hình 1.9
b) Tính chất : 
+ Giao hoán : 
+ Kết hợp : 
+ Tính chất vectơ – không: 
2. Hiệu hai vectơ 
a) Vectơ đối của một vectơ.
Vectơ đối của vectơ là vectơ ngược hướng và cúng độ dài với vectơ 
Kí hiệu 
Như vậy và 
b) Định nghĩa hiệu hai vectơ: 
Hiệu của hai vectơ và là tổng của vectơ và vectơ đối của vectơ . Kí hiệu là 
3. Các quy tắc:
Quy tắc ba điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : 
Quy tắc hình bình hành : Nếu là hình bình hành thì 
Quy tắc về hiệu vectơ : Cho O , A , B tùy ý ta có : 
Chú ý: Ta có thể mở rộng quy tắc ba điểm cho n điểm thì 
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
DẠNG 1: Xác định độ dài tổng, hiệu của các vectơ.
1. Phương pháp giải.
Để xác định độ dài tổng hiệu của các vectơ 
Trước tiên sử dụng định nghĩa về tổng, hiệu hai vectơ và các tính chất, quy tắc để xác định định phép toán vectơ đó.
Dựa vào tính chất của hình, sử dụng định lí Pitago, hệ thức lượng trong tam giác vuông để xác định độ dài vectơ đó.
Hình 1.10
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho tam giác vuông tại có và .
Tính độ dài của các vectơ .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
(hình 1.10) 
Theo quy tắc ba điểm ta có 
Mà 
Do đó 
Ta có 
Vì vậy 
Gọi là điểm sao cho tứ giác là hình bình hành. 
Khi đó theo quy tắc hình bình hành ta có 
Vì tam giác vuông ở nên tứ giác là hình chữ nhật suy ra 
Vậy 
Ví dụ 2: Cho hình vuông có tâm là và cạnh . là một điểm bất kỳ. 
a) Tính 
	A. 	B. 	
	C. 	D.Cả A, B, C đều đúng
b) Chứng minh rằng không phụ thuộc vị trí điểm . Tính độ dài vectơ 
	A.2a	B.3a	C.a	D.4a
Lời giải:
(hình 1.11)
a) + Theo quy tắc hình bình hành ta có 
Hình 1.11
Suy ra . 
Áp dụng định lí Pitago ta có 
Vậy 
+ Vì O là tâm của hình vuông nên suy ra 
Vậy 
+ Do là hình vuông nên suy ra 
Mà suy ra 
b) Theo quy tắc phép trừ ta có
Suy ra không phụ thuộc vị trí điểm .
Qua kẻ đường thẳng song song với cắt tại .
Khi đó tứ giác là hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song) suy ra 
Do đó 
Vì vậy 
3. Bài tập luyện tập.
Bài 1.14: Cho tam giác đều cạnh . Tính độ dài của các vectơ sau .
	A. 	B. 	
	C.Cả A, B đều đúng	D.Cả A, B đều sai
Lời giải:
Bài 1.14: (Hình 1.45)Theo quy tắc trừ ta có 
Gọi là đỉnh của hình bình hành và là tâm hình nình hành đó. Khi đó ta có .
Ta có 
Suy ra 
Hình 1.45
Bài 1.15: Cho hình vuông có tâm là và cạnh . là một điểm bất kỳ. 
a) Tính 
	A. 	B. 
	C.Cả A, B đều đúng	D.Cả A, B đều sai
b) Tính độ dài vectơ 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Bài 1.15. (Hình 1.46)
a) Ta có 
Ta có suy ra
Hình 1.46
b) Áp dụng quy tắc trừ ta có
Lấy là điểm đối xứng của qua 
Khi đó 
Suy ra 
Bài 1.16: Cho hình thoi cạnh a và . Gọi O là tâm hình thoi.
Tính .
	A. 	B. 
	C.Cả A, B đều đúng	D.Cả A, B đều sai
Lời giải:
Bài 1.16: Ta có 
Bài 1.17: Cho bốn điểm A, B, C, O phân biệt có độ dài ba vectơ cùng bằng và 
a) Tính các góc 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
b) Tính 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Bài 1.17: a) Từ giả thiết suy ra ba điểm A, B, C tạo thành tam giác đều nhận O làm trọng tâm do đó 
b) Gọi I là trung điểm BC. Theo câu a) đều nên 
Bài 1.18: Cho góc . Trên Ox, Oy lấy hai điểm A, B . Tìm điều kiện của A,B sao cho nằm trên phân giác của góc .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Bài 1.18: Dựng hình bình hành OACB. Khi đó: 
Vậy nằm trên phân giác góc xOy là hình thoi .
DẠNG 2: Chứng minh đẳng thức vectơ.
1. Phương pháp giải.
Để chứng minh đẳng thức vectơ ta có các cách biển đổi: vế này thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế cùng bằng một đại lương trung gian. Trong quá trình biến đổi ta cần sử dụng linh hoạt ba quy tắc tính vectơ.
Lưu ý: Khi biến đổi cần phải hướng đích , chẳng hạn biến đổi vế phải, ta cần xem vế trái có đại lượng nào để từ đó liên tưởng đến kiến thức đã có để làm sao xuất hiện các đại lượng ở vế trái. Và ta thường biến đổi vế phức tạp về vế đơn giản hơn.
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho năm điểm . Khẳng định nào đúng?
a) 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
b) 
	A. 	
	B. 	
	C. 
	D. 
Lời giải:
a) Biến đổi vế trái ta có 
 ĐPCM
b) Đẳng thức tương đương với 
 (đúng) ĐPCM.
Ví dụ 2: Cho hình bình hành tâm . M là một điểm bất kì trong mặt phẳng. Khẳng định nào sau đây là đúng nhất? 
a) 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
b) 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
c) .
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
(Hình 1.12)
a) Ta có 
Theo quy tắc hình bình hành ta có suy ra 
Hình 1.12
b) Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: 
Tương tự: .
c) Cách 1: Vì ABCD là hình bình hành nên 
Cách 2: Đẳng thức tương đương với 
 (đúng do là hình bình hành)
Ví dụ 3: Cho tam giác . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của .Khẳng định nào sau đây là đúng nhất? 
a) 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
b) 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
c) với là điểm bất kì.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
(Hình 1.13)
a) Vì là đường trung bình của tam giác nên 
 suy ra tứ giác là hình bình hành
Hình 1.13
 là trung điểm của 
Do đó theo quy tắc ba điểm ta có
b) Vì tứ giác là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành ta có , kết hợp với quy tắc trừ 
Mà do là trung điểm của .
Vậy .
c) Theo quy tắc ba điểm ta có
Theo câu a) ta có suy ra .
3. Bài tập luyện tập.
Bài 1.19: Cho bốn điểm. Tìm khẳng định đúng nhất?
a) 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
b) 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Bài 1.19: a) Áp dụng quy tắc trừ ta có 
 (đúng)
b) Áp dụng quy tắc ba điểm ta có
 (đúng)
Bài 1.20: Cho các điểm . Khẳng định nào đúng nhất? 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Bài 1.20: Cách 1: Đẳng thức cần chứng minh tương đương với
 (đúng)
Cách 2: 
Bài 1.21: Cho hình bình hành tâm . M là một điểm bất kì trong mặt phẳng.Khẳng định nào đúng
a) 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
b) 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
c) 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Hình 1.47
Bài 1.21 a) Ta có do đó 
b) Theo quy tắc hình bình hành ta có
c) Theo câu b) ta có 
Theo quy tắc trừ ta có 
Mà suy ra 
Bài 1.22: Cho tam giác . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của . Khẳng định nào đúng?
a) 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
b) 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Hình 1.48
Bài 1.22: (Hình 1.48)
a) Vì nên
b) Vì và kết hớp với quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành ta có
Bài 1.23: Cho hai hình bình hành và có chung đỉnh A. Khẳng định nào đúng
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Bài 1.23: Theo quy tắc trừ và quy tắc hình bình hành ta có
Bài 1.24: Cho ngũ giác đều tâm O. Chứng minh rằng 
Lời giải:
Bài 1.24: Đặt 
Vì ngũ giác đều nên vectơ cùng phương với nên cùng phương với .
Tương tự cùng phương với suy ra .
Bài 1.25: Cho hình bình hành . Dựng . 
Chứng minh rằng: .
Lời giải:
Bài 1.25: Theo quy tắc ba điểm ta có 
Mặt khác suy ra