Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm Hình học 10 - Bài 4: Trục tọa độ và hệ trục tọa độ (Có đáp án)

§4 TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT : 
I.TRỤC TỌA ĐỘ:
Hình 1.30
1. Định nghĩa: Trục tọa độ (Trục , hay trục số ) là một đường thẳng trên đó ta đã xác định một điểm O và một vectơ đơn vị ( tức là )
Điểm O được gọi là gốc tọa độ , vec tơ được gọi là vectơ đơn vị của trục tọa độ. Kí hiệu (O ; ) hay hoặc đơn giản là 
2. Tọa độ của vectơ và của điểm trên trục:
+ Cho vec tơ nằm trên trục (O ; ) thì có số thực a sao cho với . Số a như thế được gọi là tọa độ của vectơđối với trục (O ; )
+ Cho điểm M nằm trên (O ; ) thì có số m sao cho . Số m như thế được gọi là tọa độ của điểm M đối với trục (O ; )
Như vậy tọa độ điểm M là trọa độ vectơ 
3. Độ dài đại số của vec tơ trên trục :
Cho hai điểm A, B nằm trên trục thì tọa độ của vectơ kí hiệu là và gọi là độ dài đại số của vectơ trên trục 
Như vậy 
Tính chất :
+ 
+ 
+ 
II. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
1. Định nghĩa: Hệ trục tọa độ gồm hai trục vuông góc và với hai vectơ đơn vị lần lượt là . Điểm O gọi là gốc tọa độ, gọi là trục hoành và gọi là trục tung.
Kí hiệu hay 
Hình 1.31
2. Tọa độ điểm, tọa độ vec tơ .
+ Trong hệ trục tọa độ nếu thì cặp số được gọi là tọa độ của vectơ , kí hiệu là hay . 
x được gọi là hoành độ, y được gọi là tung độ của vectơ 
+ Trong hệ trục tọa độ , tọa độ của vectơ gọi là tọa độ của điểm M, kí hiệu là hay . x được gọi là hoành độ, y được gọi là tung độ của điểm M.
Nhận xét: (hình 1.31) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M lên và thì 
Như vậy hay 
3. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm tam giác.
 + Cho và M là trung điểm AB. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là 
 + Cho tam giác có . Tọa độ trọng tâm của tam giác là và 
4. Biểu thứ tọa độ của các phép toán vectơ.
Cho ; và số thực k. Khi đó ta có : 
 1) 
 2) 
 3) 
 4) cùng phương () khi và chỉ khi có số k sao cho 
 5) Cho thì 
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
DẠNG 1: Tìm tọa độ của một điểm; tọa độ vectơ; độ dài đại số của vectơ và chứng minh hệ thức liên quan trên trục (O ; )
1. Phương pháp giải.
Sử dụng các kiến thức cơ bản sau:
Điểm M có tọa độ 
Vectơ có độ dài đại số là 
Nếu a, b lần lượt là tọa độ của A, B thì 
Các tính chất 
+ 
+ 
+ 
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Trên trục tọa độ (O ; ) cho 3 điểm A ; B ; C có tọa độ lần lượt là
 –2 ; 1 và 4.
a) Tính tọa độ các vectơ 
b) Chứng minh B là trung điểm của AC.
Lời giải:
a) Ta có 
b) Ta có suy ra B là trung điểm AC
Ví dụ 2: Trên trục tọa độ (O; ) cho 4 điểm bất kỳ. Chứng minh 
Lời giải:
Cách 1: Giả sử tọa độ các điểm A, B, C, D lần lượt là a, b, c, d.
Ta có 
Cộng vế với vế lại ta được 
Cách 2: 
3. Bài tập luyện tập.
Bài 1.80.Trên trục tọa độ (O; ) Cho 2 điểm A và B có tọa độ lần lượt và .
a)Tìm tọa độ điểm M sao cho 
	A. 	B. 	C. 	D. 
b)Tìm tọa độ trung điểm I của AB 
	A. 	B. 	C. 	D. 
c)Tìm tọa độ điểm N sao cho 	
	A. 	B. 	
	C. 	D. 
Lời giải:
Bài 1.80: a) b) c) 
Bài 1.81.Trên trục (O ; ) cho 3 điểm A ; B ; C có tọa độ lần lượt là a ; b ; c . Tìm điểm I sao cho : 
	A. 	B. 	
	C. 	D. 
Lời giải:
Bài 1.81: 
Bài 1.82. Trên trục tọa độ (O ; ) cho 4 điểm có tọa độ lần lượt là và thỏa mãn hệ thức. Chứng minh rằng 
Lời giải:
Bài 1.82: Ta có 
DẠNG 2: Tìm tọa độ điểm, tọa độ vectơ trên mặt phẳng .
1. Phương pháp.
Để tìm tọa độ của vectơ ta làm như sau
Dựng vectơ . Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên . Khi đó với 
Để tìm tọa độ điểm A ta đi tìm tọa độ vectơ 
Nếu biết tọa độ hai điểm suy ra tọa độ được xác định theo công 
thức 
Chú ý: nếu H nằm trên tia (hoặc ) và nếu H nằm trên tia đối tia (hoặc )
2. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ . Cho điểm . 
Tìm tọa độ của các điểm
Hình 1.32
a) đối xứng với M qua trục hoành
	A. đối xứng với M qua trục hoành suy ra 
	B. đối xứng với M qua trục hoành suy ra 
	C. đối xứng với M qua trục hoành suy ra 
	D. đối xứng với M qua trục hoành suy ra 
b) đối xứng với M qua trục tung
	A. đối xứng với M qua trục tung suy ra 
	B. đối xứng với M qua trục tung suy ra 
	C. đối xứng với M qua trục tung suy ra 
	D. đối xứng với M qua trục tung suy ra 
c) đối xứng với M qua gốc tọa độ
	A. đối xứng với M qua gốc tọa độ suy ra 
	B. đối xứng với M qua gốc tọa độ suy ra 
	C. đối xứng với M qua gốc tọa độ suy ra 
	D. đối xứng với M qua gốc tọa độ suy ra 
Lời giải:
(hình 1.32)
a) đối xứng với M qua trục hoành suy ra 
b) đối xứng với M qua trục tung suy ra 
c) đối xứng với M qua gốc tọa độ suy ra 
Ví dụ 2: Trong hệ trục tọa độ (O; ; ), cho hình vuông tâm I và có . Biết điểm B thuộc trục (O; ) và cùng hướng với . Tìm tọa độ các vectơ và 
	A. 	B.	
	C. 	D. Cả A, B, C đều đúng
Lời giải:
(hình 1.33)
Từ giả thiết ta xác định được hình vuông trên mặt phẳng tọa độ
(hình bên)
Vì điểm suy ra 
Do đó 
Vậy và 
Hình 1.33
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ . Cho hình thoi cạnh a và . Biết A trùng với gốc tọa độ O, C thuộc trục và . Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi 
	A. 
	B. 
	C. 
	D. 
Lời giải:
(hình 1.34)
Từ giả thiết ta xác định được hình thoi trên mặt phẳng tọa độ 
Gọi I là tâm hình thoi ta có 
Suy ra 
Hình 1.34
3. Bài tập luyên tập.
Bài 1.83: Trong hệ trục tọa độ (O; ; ), Cho tam giác đều cạnh a, biết O là trung điểm BC, cùng hướng với , cùng hướng .
a) Tính tọa độ của các đỉnh của tam giác 
	A. 	B. 	
	C. 	D.Cả A, B, C đều đúng
b) Tìm tọa độ trung điểm E của AC
	A. 	B. 	C. 	D. 
c) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Bài 1.83: a) 
b) 
c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều trùng với trọng tâm 
Bài 1.84: Trong hệ trục tọa độ (O; ; ), Cho hình thoi tâm O có . Biết và cùng hướng, và cùng hướng.
a) Tính tọa độ các đỉnh của hình thoi
	A. 
	B. 
	C. 
	D. 
b) Tìm tọa độ trung điểm I của BC và trọng tâm tam giác 
	A. 	B. 	
	C. 	D. 
Lời giải:
Bài 1.84: a) 
b) 
Bài 1.85: Cho hình bình hành có và chiều cao ứng với cạnh AD = 3, . Chọn hệ trục tọa độ sao cho và cùng hướng, . Tìm Khẳng định sai?
	A. 	
	B.
	C.
	D.
Lời giải:
Bài 1.85: Kẻ 
Bài 1.86: Cho lục giác đều . Chọn hệ trục tọa độ (O; ; ), trong đó O là tâm lục giác đều , cùng hướng với , cùng hướng . Tính tọa độ các đỉnh lục giác đều , biết cạnh của lục giác là 6 .
	A. 
,	B. 
	C. 
	D. 
Lời giải:
Bài 1.86: ĐS: 
DẠNG 3: Xác định tọa độ điểm, vectơ liên quan đến biểu thức dạng 
1. Phương pháp.
Dùng công thức tính tọa độ của vectơ
Với ; và số thực k, khi đó và 
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng , cho 3 vecto: 
Tìm tọa độ của vectơ sau
a) với và 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
b) và 
	A. 	B. 	
	C. Ca A, B đều đúng	D. Cả A, B đều sai
Lời giải:
a) Ta có suy ra 
b) Ta có suy ra ;
 và suy ra 
Ví dụ 2: Cho . Tìm tọa độ của vectơ biết 
a) 
	A. 	B. 	C. 	D. 
 b) 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
a) Ta có 
Suy ra 
b) Ta có 
Suy ra 
Ví dụ 3: Cho ba điểm và 
a) Xác định tọa độ vectơ 
	A. 	B. 	C. 	D. 
b) Tìm điểm M sao cho 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
a) Ta có suy ra 
b) Gọi , ta có 
Suy ra 
Do đó 
Vậy 
3. Bài tập luyện tập. 
Bài 1.87.Cho các vecto . 
Tìm tọa độ vectơ biết 
a) 
	A. 	B. 	
	C. 	D. 
b) 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Bài 1.87: ĐS: a) b) 
Bài 1.88. Cho ba điểm và 
a) Tìm tọa độ vectơ 
	A. 	B. 	C. 	D. 
b) Tìm điểm M sao cho 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Bài 1.88: ĐS: a) b)
DẠNG 4: Xác định tọa độ các điểm của một hình
1. Phương pháp.
Dựa vào tính chất của hình và sử dụng công thức
+ M là trung điểm đoạn thẳng suy ra 
+ G trọng tâm tam giác suy ra 
+ 
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho tam giác có .
a) Tìm tọa độ trung điểm M sao cho C là trung điểm của đoạn MB
	A. 	B. 	C. 	D. 
b) Xác định trọng tâm tam giác 
	A. 	B. 	C. 	D. 
b) Tìm điểm D sao cho là hình bình hành
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
a) C là trung điểm của MB suy ra 
và 
Vậy 
b) G là trọng tâm tam giác suy ra
 và 
Vậy 
c) Gọi 
Ta có: là hình bình hành suy ra
 .
Vậy 
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho và . Xác định tọa độ các điểm C, D sao cho tứ giác là hình bình hành biết I là trọng tâm tam giác . Tìm tọa tâm O của hình bình hành .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Vì I là trọng tâm tam giác nên 
suy ra 
Tứ giác là hình bình hành suy ra
Điểm O của hình bình hành suy ra O là trung điểm AC do đó
3. Bài tập luyện tập. 
Bài 1.89: Cho ba điểm 
Tìm tọa độ trung điểm cạnh BC và tọa độ trọng tâm của tam giác 
	A. 	B. 
	C.Cả A, B đều đúng	D. Cả A, B đều sai
Tìm tọa độ điểm D sao cho là hình bình hành 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Bài 1.89: a) Trung điểm BC là , trọng tâm của tam giác là 
b) Tứ giác là hình bình hành 
Bài 1.90: Trong mặt phẳng tọa độ cho . Xác định tọa độ các điểm C, D sao cho tứ giác là hình bình hành và I là trung điểm cạnh CD. Tìm tọa tâm O của hình bình hành .
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Bài 1.90: Do là trung điểm của CD nên đặt 
Tứ giác là hình bình hành 
Vậy 
Bài 1.91: Cho tam giác có , đỉnh C nằm trên và trọng tâm G nằm trên trục . Tìm tọa độ đỉnh C
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Bài 1.91: Từ giả thiết ta có 
G là trọng tâm tam giác nên 
Vậy 
Bài 1.92: Cho tam giác có lần lượt là trung điểm của . Biết . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác .
	A. 	B. 
	C. 	D.Cả A, B, C đều đúng
Lời giải:
Bài 1.92: Ta có 
N là trung điểm AC suy ra 
M là trung điểm BC suy ra 
Bài 1.93: Cho tam giác có . A' là điểm đối xứng của A qua B, B' là điểm đối xứng của B qua C, C' là điểm đối xứng của C qua A. 
a) Tìm tọa độ các điểm A', B', C'
	A. 	B. 	
	C.	D.Cả A, B, C đều đúng
b) Chứng minh các tam giác và có cùng trọng tâm.
Lời giải:
Bài 1.93: a) A' là điểm đối xứng của A qua B suy ra B là trung điểm của AA' do đó . Tương tự 
b) Trọng tâm của tam giác và có cùng tọa độ là 
DẠNG 5: Bài toán liên quan đến sự cùng phương của hai vectơ. Phân tích một vectơ qua hai vectơ không cùng phương.
1. Phương pháp.
Cho ; . Vectơ cùng phương với vectơ () khi và chỉ khi có số k sao cho 
Chú ý: Nếu ta có cùng phương 
Để phân tích qua hai vectơ không cùng phương, ta giả sử . Khi đó ta quy về giải hệ phương trình 
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho 
a) Khẳng định nào sau đây đúng 
	A. hai vectơ không cùng phương
	B. hai vectơ cùng phương
	C. hai vectơ song song
	D. hai vectơ ngược chiều
b) Phân tích vectơ qua 
	A. 	B. 	
	C. 	D. 
Lời giải:
a) Ta có và không cùng phương
b) Giả sử . Ta có 
Suy ra 
Ví dụ 2: Cho và . Tìm m để hai vecto cùng phương.
	A. và 	B. và 
	C. và 	D. và 
Lời giải:
+ Với : Ta có 
Vì nên hai vectơ không cùng phương 
+ Với : Ta có cùng phương khi và chỉ khi 
Vậy với và là các giá trị cần tìm.
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ , cho ba điểm .
a) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh một tam giác.
b) Xác định điểm D trên trục hoành sao cho ba điểm A, B, D thẳng hàng.
	A. 	B. 	C. 	D. 
c) Xác định điểm E trên cạnh BC sao cho 
	A. 	B. 	C. 	D. 
d) Xác định giao điểm hai đường thẳng DE và AC 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
a) Ta có . Vì suy ra và không cùng phương
Hay A, B, C là ba đỉnh một tam giác.
b) D trên trục hoành 
Ba điểm A, B, D thẳng hàng suy ra và không cùng phương
Mặt khác do đó 
Vậy 
c) Vì E thuộc đoạn BC và suy ra 
Gọi khi đó 
Do đó 
Vậy 
d) Gọi là giao điểm của DE và AC.
Do đó cùng phương suy ra (1)
 cùng phương suy ra (2)
Từ (1) và (2) suy ra và 
Vậy giao điểm hai đường thẳng DE và AC là 
3. Bài tập luyên tập.
Bài 1.94. Trong mặt phẳng tọa độ cho 4 điểm và . 
a) Bộ ba trong 4 điểm trên bộ nào thẳng hàng 
	A. A, B, D thẳng hàng	B. A, B,C thẳng hàng	
	C. A, C, D thẳng hàng	D. C, B, D thẳng hàng
b) Chứng minh và không cùng phương
c) Phân tích qua và 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Bài 1.94: a) A, B, D thẳng hàng
b) . Vì và không cùng phương
c) . 
Bài 1.95. Trong mặt phẳng tọa độ cho 4 điểm và . Tìm giao điểm của 2 đường thẳng AC và BD
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Bài 1.95: Gọi là giao điểm AC và BD suy ra cùng phương và cùng phương
Mặt khác
 suy ra (1)
suy ra thế vào (1) ta có 
Vậy là điểm cần tìm. 
Bài 1.96. Cho 
a) Chứng minh và không cùng phương
b) Đặt . Tìm sao cho cùng phương với và .
	A. hoặc 	B. hoặc 
	C. hoặc 	D. hoặc 
Lời giải:
Bài 1.96: b) Ta có 
 cùng phương với và khi và chỉ khi có sô sao cho 
Do đó 
Suy ra hoặc 
Bài 1.97. Cho tam giác có . Tìm điểm M trên đường thẳng BC sao cho 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Lời giải:
Bài 1.97: Ta có 
Gọi 
Suy ra hoặc 
Vậy có hai điểm thỏa mãn 
Bài 1.98. Cho ba điểm 
a) Chứng minh ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác.
b) Xác định tọa độ điểm D biết D thuộc đoạn thẳng BC và .
	A. 	B. 	C. 	D. 
c) Xác định tọa độ giao điểm của AD và BG trong đó G là trọng tâm tam giác .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Bài 1.98: a) Ta có . Vì và không cùng phương
b) Ta có 
Do đó 
c) Ta có . Gọi là giao điểm của AD và BG.
Do đó cùng phương suy ra 
 cùng phương suy ra tồn tại 
Từ đó 
Bài 1.99. Tìm trên trục hoành điểm P sao cho tổng khoảng cách từ P tới hai điểm A và B là nhỏ nhất, biết:
a) và 
	A. 	B. 	C. 	D. 
b) và 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải:
Bài 1.99. a) Dễ thấy điểm A, B nằm ở hai phía với trục hoành 
Ta có . Dấu bằng xảy ra cùng phương với 
Suy ra 
b) Dễ thấy A, B cùng phía với trục hoành. Gọi A' là điểm đối xứng với A qua trục hoành, suy ra và 
Ta có . Dấu bằng xảy ra cùng phương với 
Suy ra 
Bài 1.100: Cho hình bình hành có và tâm . Biết điểm nằm trên đường thẳng AB và điểm D có hoành độ gấp đôi tung độ. Tìm các đỉnh còn lại của hình bình hành.
	A. 	B. 	
	C. 	D. Cả A, B, C đều đúng
Lời giải:
Bài 1.100: I là trung điểm AC nên 
Gọi 
Vì cùng phương nên