Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm bài "Phương trình lượng giác cơ bản"

§➋. PT LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Chương 1:
Tóm tắt lý thuyết
Ⓐ
➊.Phương trình sinx = a
 > 1: PT vô nghiệm
 £ 1: PT có các nghiệm
. x = arcsina + k2p, k Î Z;
‚. x = p – arcsina + k2p, k Î Z
³Chú ý:
sinf(x) = sing(x) Û 
sinx = sinb0 Û 
³Các trường hợp đặc biệt:
.sinx = 1 Û x = + k2p
‚.sinx = –1 Û x = – + k2p
ƒ.sinx = 0 Û x = kp
 ➋. Phương trình cosx = a
 > 1: PT vô nghiệm
 £ 1: PT có các nghiệm
.x = arccosa + k2p, k Î Z;
‚.x = – arccosa + k2p, k Î Z
³Chú ý:
cosf(x) = cosg(x) Û f(x) = ± g(x) + k2p, k Î Z
cosx = cosb0 Û x = ± b0 + k3600, k Î Z
³Các trường hợp đặc biệt:
.cosx = 1 Û x = k2p
‚.cosx = –1 Û x = p + k2p
ƒ.cosx = 0 Û x = + kp
 ➌. Phương trình tanx = a
ĐK: x ¹ + kp (k Î Z).
PT có nghiệm x = arctana + kp, k Î Z;
³Chú ý:
tanf(x) = tang(x) Ûf(x) = g(x) + kp, k Î Z
tanx = tanb0 Û x = b0 + k1800, k Î Z
³Các trường hợp đặc biệt:
.tanx = 1 Û x = + kp
‚.tanx = –1 Û x = – + kp
ƒ.tanx = 0 Û x = kp
 ➍. Phương trình cotx = a
ĐK: x ¹ kp (k Î Z).
PT có nghiệm x = arccota + kp, k Î Z;
³Chú ý:
cotf(x) = cotg(x) Û f(x) = g(x) + kp, k Î Z
cotx = cotb0 Û x = b0 + k1800, k Î Z
³Các trường hợp đặc biệt:
.cotx = 1 Û x = + kp
‚.cotx = –1 Û x = – + kp
ƒ.cotx = 0 Û x = + kp 
Phân dạng bài tập
Ⓑ
 ①. Dạng 1: Phương trình sinx = a
Q. Bài tập minh họa:
Tập nghiệm của phương trình là
A. .	B. .
C. .	D. .
Lời giải
Ta có: , .
Nghiệm của phương trình là
A. .	B. .
C. .	D. .
Lời giải
Tập nghiệm của phương trình là
A. .
B. .
C. .
D. .
Lời giải
Ta có 
Nghiệm của phương trình là
A. ; .
B. ; .
C. ; .
D. ; .
Lời giải
Ta có: .
Nghiệm của phương trình là
A. .	B. .
C. .	D. .
Lời giải
.
 ②. Dạng 2: Phương trình cosx = a
Q. Bài tập minh họa:
Giải phương trình sau .
A. .	B. .
C. .	D. .
Lời giải
Ta có: .
Nghiệm của phương trình là
A. .	B. .
C. .	D. .
Lời giải
Ta có .
Phương trình lượng giác có nghiệm là
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Ta có .
Nghiệm của phương trình là
A. .	B. .
C. .	D. .
Lời giải
Ta có .
Tập nghiệm của phương trình là
A. .
B. .
C. .
D. .
Lời giải
.
 ③. Dạng 3: Phương trình tanx = a
Q. Bài tập minh họa:
Tập nghiệm của phương trình là
A. .	B. .
C. .	D. .
Lời giải
 .
Nghiệm của phương trình là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
.	
Nghiệm của phương trình là
A. .	B. .
C. .	D. .
Lời giải
().
Số nghiệm của phương trình trên khoảng là
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
.
.
Vậy phương trình có nghiệm trên khoảng .
Tất cả các nghiệm của phương trình là
A. .	B. .
C. .	D. .
Lời giải
Điều kiện 
thỏa mãn điều kiện.
 ④. Dạng 4: Phương trình cotx = a
Q. Bài tập minh họa:
Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là .	
Tất cả các nghiệm của phương trình là:
A. , .	B. , .
C. , .	D. , .
Lời giải
Ta có: 
, .
Nghiệm của phương trình đã cho là: , .
Số nghiệm của phương trình trên khoảng là
A. .	B. .	C. .	D. 
Lời giải
Ta có: .
, mà nên .
³Bài tập rèn luyện
Nghiệm của phương trình là
A. .	B. .
C. .	D. .
Giải phương trình sau .
A. .	B. .	
C. .	D. .
Nghiệm của phương trình là
A. .	B. .
C. .	D. .
Phương trình lượng giác có nghiệm là
A. .	B. .	C. .	D. .
Nghiệm đặc biệt nào sau đây là sai?
A. .	B. .
C. 	D. .
Nghiệm của phương trình là
A. .	B. .
C. .	D. .
 là một họ nghiệm của phương trình nào sau đây?
A. .	B. .	C. .	D. .
Phương trình , thuộc có nghiệm là
A. .	B. .
C. .	D. .
Nghiệm của phương trình là
A. .	B. .	C. .	D. .
Nghiệm của phương trình là
A. .	B. .
C. .	D. .
Tập nghiệm của phương trình là
A. .
B. .
C. .
D. .
Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là
A. .	B. .	C. .	D. .
Phương trình có nghiệm là
A. .	B. .
C. .	D. .
Tập nghiệm của phương trình là
A. .	B. .
C. .	D. .
Phương trình có nghiệm là
A. .	B. .
C. .	D. .
Trong các phương trình sau, phương trình nào vô nghiệm?
A. .	B. .	
C. .	D. .
Nghiệm của phương trình là
A. ; .	B. ; .
C. ; .	D. ; .
Phương trình có tập nghiệm là
A. .	B. .
C. .	D. .
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. .	B. .
C. .	D. .
Nghiệm của phương trình là
A. .	B. .
C. .	D. .
Trong các phương trình sau có bao nhiêu phương trình có nghiệm?
A. .	B. .	C. .	D. .
Tập nghiệm của phương trình là
A. .	B. .
C. .	D. .
Tập nghiệm của phương trình là
A. .	B. .
C. .	D. .
Tập nghiệm của phương trình là
A. .	B. .
C. .	D. .
Tất cả các nghiệm của phương trình là:
A. , .	B. , .
C. , .	D. , .
Tập nghiệm của phương trình là
A. .	B. .
C. .	D. .
Họ nghiệm của phương trình là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Khẳng định nào sau đây là sai?
A. 	B. 
C. 	D. 
Phương trình có nghiệm khi:
A. .	B. .	C. .	D. .
Nghiệm của phương trình là
A. 	B. .	C. .	D. .
Nghiệm của phương trình là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Nghiệm của phương trình .
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho là nghiệm của phương trình nào sau đây
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho là nghiệm của phương trình nào sau đây
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho phương trình , nghiệm của phương trình là:
A. 	B. 	C. 	D. .
Phương trình có nghiệm là
A. .	B. .	C. .	D. .
Trong các phép biến đổi sau, phép biến đổi nào sai?
A. .	B. .
C. .	D. .
Nghiệm của phương trình là
A. 	B. .
C. 	D. 
Phương trình có một nghiệm là
A. .	B. .	C. .	D. .
Giải phương trình .
A. , .	B. , .
C. , .	D. , .
Phương trình có nghiệm là:
A. .	B. .
C. .	D. .
Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
A. .	B. .
C. .	D. .
Gọi là nghiệm trong khoảng của phương trình , nếu biểu diễn với , là hai số nguyên và là phân số tối giản thì bằng bao nhiêu?
A. .	B. .	C. .	D. .
Nghiệm của phương trình: là.
A. .	B. .
C. .	D. .
Trong khoảng phương trình có tập nghiệm bằng
A. .	B. .
C. .	D. .
Tìm tất cả các nghiệm của phương trình .
A. .	B. .
C. .	D. .
Tổng tất cả các nghiệm của phương trình trong khoảng bằng . Vậy bằng bao nhiêu?
A. .	B. .	C. .	D. .
Số nghiệm của phương trình trên khoảng là
A. .	B. .	C. .	D. 
Cho như hình vẽ dưới đây. Nghiệm của phương trình được biểu diễn trên đường tròn lượng giác là những điểm nào?
A. Điểm , điểm .	B. Điểm , điểm .
C. Điểm , điểm .	D. Điểm , điểm .
Nghiệm của phương trình là
A. .	B. .
C. .	D. .
Phương trình có bao nhiêu nghiệm trên đoạn ?
A. 	B. 	C. 	D. 
Số nghiệm của phương trình trên đoạn là
A. .	B. .	C. .	D. .
Tập các giá trị của tham số để phương trình có nghiệm là
A. .	B. .	C. .	D. .
Phương trình có bao nhiêu nghiệm trên khoảng ?
A. 	B. 	C. 	D. 
Phương trình có bao nhiêu nghiệm thuộc ?
A. .	B. .	C. .	D. .
Phương trình có các nghiệm là
A. .	B. .
C. .	D. .
Phương trình có hai họ nghiệm có dạng và , . Khi đó, tính ?
A. .	B. .	C. .	D. .
Số nghiệm của phương trình: thuộc khoảng là
A. .	B. .	C. .	D. .
Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình ?
A. .	B. .	C. .	D. .
Số nghiệm của phương trình trên khoảng là
A. .	B. .	C. .	D. .
Xét đường tròn lượng giác như hình vẽ. Biết lần lượt là các điểm đối xứng của qua gốc Nghiệm của phương trình được biểu diễn trên đường tròn lượng giác là những điểm nào?
A. Điểm , điểm 	B. Điểm điểm 
C. Điểm điểm 	D. Điểm điểm 
Số nghiệm của phương trình trên đoạn đoạn là
A. 3.	B. 1.	C. 4.	D. 2.
Nghiệm của phương trình là
A. .	B. .
C. .	D. .
Tập nghiệm của phương trình là
A. .	B. .
C. .	D. .
Phương trình có tập nghiệm là
A. .	B. .
C. .	D. .
Cho hàm số, số nghiệm thuộc của phương trình là
A. 2.	B. 0.	C. 1.	D. 3.
Nghiệm của phương trình là
A. ; .	B. ; .
C. ; .	D. ; .
Phương trình có nghiệm là
A. .	B. .	C. .	D. .
Phương trình có nghiệm khi
A. .	B. .	C. .	D. .
Tập nghiệm của phương trình là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Trong các phương trình sau phương trình nào vô nghiệm?
A. .	B. .
C. 	D. .
Phương trình có bao nhiêu nghiệm trên khoảng ?
A. 	B. 	C. 	D. 
Cho phương trình có nghiệm khi Khi đó bằng
A. 	B. 	C. 	D. 
Tập nghiệm của phương trình là
A. .	B. .
C. .	D. .
Phương trình có mấy nghiệm trong nửa khoảng ?
A. .	B. .	C. .	D. .
Phương trình có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn ?
A. .	B. .	C. .	D. .
Tất cả các nghiệm của phương trình là
A. .	B. .
C. .	D. .
Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Biết các nghiệm của phương trình có dạng và ,; với là các số nguyên dương. Khi đó bằng
A. 4.	B. 3.	C. 5.	D. 6.
Phương trình vô nghiệm khi là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Số nghiệm của phương trình trên đoạn là:
A. 4.	B. 2.	C. 3.	D. Vô số.
Số nghiệm của phương trình thuộc đoạn là
A. .	B. .	C. .	D. .
Giải phương trình .
A. .	B. .
C. .	D. .
Giải phương trình .
A. .	B. .
C. .	D. .
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm?
A. 	B. 	C. 	D. 
Tính tổng các nghiệm trong đoạn của phương trình: 
A. 	B. 	C. 	D. 
Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình trên đoạn .
A. .	B. .	C. .	D. .
Phương trình: vô nghiệm khi m là:
A. .	B. .	C. .	D. 
Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm biểu diễn trên đường tròn lượng giác là 2 điểm
?
A. .	B. .	C. .	D. .
Tìm tổng các nghiệm của phương trình trên .
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho phương trình là tham số. Số các giá trị nguyên của để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt trên là
A. .	B. .	C. .	D. 
Cho phương trình . Tính tổng các nghiệm thuộc khoảng của phương trình trên.
A. .	B. .	C. .	D. .
Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là . Khi đó bằng
A. 12.	B. 13.	C. 14.	D. 11
BẢNG ĐÁP ÁN
1.D
2.C
3.A
4.B
5.C
6.B
7.A
8.C
9.D
10.C
11.A
12.B
13.A
14.D
15.A
16.B
17.C
18.D
19.A
20.A
21.D
22.C
23.C
24.D
25.D
26.B
27.C
28.C
29.A
30.D
31.C
32.C
33.C
34.B
35.C
36.C
37.D
38.C
39.C
40.D
41.A
42.C
43.C
44.A
45.D
46.A
47.D
48.D
49.D
50.A
51.D
52.A
53.D
54.B
55.D
56.D
57.A
58.C
59.C
60.D
61.A
62.D
63.B
64.C
65.A
66.D
67.C
68.A
69.B
70.B
71.D
72.B
73.A
74.B
75.C
76.C
77.D
78.C
79.D
80.C
81.C
82.C
83.D
84.D
85.B
86.C
87.B
88.D
89.C
90.D
91.D
92.B
93.C
Hướng dẫn giải
Câu 1:	 
Câu 2:	 Ta có: .
Câu 3:	 Ta có .
Câu 4:	 Ta có .
Câu 5:	 
Câu 6:	 .
Câu 7:	 Với ta có: .
Do đó là một họ nghiệm của phương trình .
Câu 8:	 
Câu 9:	 .
Câu 10:	 
Ta có .
Câu 11:	 Ta có 
Câu 12:	 
Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là .
Câu 13:	 Ta có 
.
Câu 14:	 .
Câu 15:	 Theo công thức nghiệm đặc biệt thì .
Câu 16:	 Vì là nên phương trình vô nghiệm.
Câu 17:	 Ta có: .
Câu 18:	 .
Câu 19:	 Ta có:
Ø .
Ø .
Ø .
Đáp án sai : .
Câu 20:	 .
Câu 21:	 Do có tập giá trị là nên các phương trình có nghiệm; phương trình vô nghiệm do 
Câu 22:	 Ta có .
Câu 23:	 .
Câu 24:	 Ta có phương trình .
Vậy tập nghiệm của phương trình là .
Câu 25:	 Ta có: 
, .
Nghiệm của phương trình đã cho là: , .
Câu 26:	 Ta có: , .
Câu 27:	
Lời giải
Câu 28:	
Lời giải
Ta có: Suy ra C là đáp án sai
Câu 29:	
Lời giải
Phương trình có nghiệm khi do .
Câu 30:	
Lời giải
. Vậy chọn D
Câu 31:	 .
Câu 32:	 Ta có: 
Câu 33:	 Ta có: 
Câu 34:	 Ta có:
Câu 35:	 
Câu 36:	 
Câu 37:	 
Ta có , nên đáp án D sai.
Câu 38:	 * Ta có: .
Câu 39:	 . Vậy là một nghiệm của pt đã cho.
Câu 40:	 Ta có , .
Câu 41:	 Theo công thức nghiệm đặc biệt thì .
Câu 42:	 + Phương trình phương trình vô nghiệm.
+ Phương trình phương trình có nghiệm.
+ Phương trình phương trình có nghiệm.
+ Phương trình mà nên phương trình có nghiệm.
Câu 43:	 Phương trình .
Với . Suy ra và .
Vậy .
Câu 44:	 .
Câu 45:	 .
Suy ra trong khoảng phương trình đã cho có tập nghiệm là .
Câu 46:	 Ta có .
Câu 47:	 .
Với .
Vậy .
Câu 48:	 Ta có: .
, mà nên .
Câu 49:	 .
Các cung lượng giác , lần lượt được biểu diễn trên đường tròn lượng giác bởi các điểm và .
Câu 50:	 ().
Câu 51:	 Cách 1:
Ta có , với 
+) Lại có nên 
+) Lại có nên 
Vậy phương trình có 20 nghiệm trên đoạn 
Cách 2:
Dùng đường tròn lượng giác, trên đoạn phương trình có 2 nghiệm, tương tự với Có 10 đoạn như vậy, trên mỗi đoạn có 2 nghiệm nên suy ra phương trình đã cho có 2.10=20 trên chọn đáp án	D. 
Câu 52:	 .
Ta có: .
Ta được .
Có giá trị , ứng với nghiệm của phương trình trên .
Câu 53:	 Ta có: có nghiệm
khi và chỉ khi .
Câu 54:	 Ta có: .
Ø Trường hợp 1: .
Vì .
Vậy có tất cả có giá trị tương ứng với trường hợp có nghiệm là:
; ; ; ; ; ; ; .
Ø Trường hợp 2: .
Vì .
Vậy có tất cả có giá trị tương ứng với trường hợp có nghiệm là:
; ; ; ; ; ; ; 
Vậy trên khoảng phương trình đã cho có tất cả là nghiệm.
Câu 55:	 , mà .
, .
Suy ra , .
Vậy có nghiệm thuộc .
Nhận xét: Hàm số tuần hoàn với chu kì , nên trên mỗi đoạn có độ dài bằng một chu kì thì phương trình có đúng một nghiệm. Mà đoạn được chia làm đoạn có độ dài bằng 1 chu kì dạng , , , nên phương trình đã cho có nghiệm.
Câu 56:	 Ta có: 
Câu 57:	 .
 .
Câu 58:	 Cách 1:
.
+) Xét .
+) Xét .
Vậy phương trình có 2 nghiệm trên .
Cách 2:
Hàm số là hàm số tuần hoàn với chu kì . Trên mỗi khoảng có độ dài bằng chu kì thì phương trình luôn có đúng hai nghiệm.
Do đó trên thì phương trình có đúng hai nghiệm.
Câu 59:	 .
Câu 60:	 .
.
Vậy phương trình có nghiệm trên khoảng .
Câu 61:	 
Ta có: .
Dựa vào đường tròn lượng giác ta có điểm biểu diễn nghiệm của phương trình là điểm điểm .
Câu 62:	 Tự luận
- Xét 
Chỉ có một nghiệm 
- Xét 
Chỉ có một nghiệm 
Vậy phương trình có 2 nghiệm thuộc đoạn .
Câu 63:	 
Câu 64:	 Ta có 
Câu 65:	 
.
Câu 66:	 Ta có
Do đó
Trường hợp 1. Với 
Do nên 
Suy ra ta được .
Trường hợp 2. Với 
Do nên 
Suy ra ta được ta được .
Vậy có 3 nghiệm thuộc của phương trình là ; ; .
Câu 67:	 Ta có: .
Câu 68:	 Điều kiện: .
Ta có: .
Kết hợp với điều kiện ta được .
Câu 69:	 Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 
Câu 70:	 Ta có:
.
Câu 71:	 .
Ta có nên phương trình vô nghiệm.
Câu 72:	 Ta có: .
Ø Trường hợp 1: .
Vì .
Vậy có tất cả có giá trị tương ứng với trường hợp có nghiệm là:
; ; ; ; ; ; ; .
Ø Trường hợp 2: .
Vì .
Vậy có tất cả có giá trị tương ứng với trường hợp có nghiệm là:
; ; ; ; ; ; ; 
Vậy trên khoảng phương trình đã cho có tất cả là nghiệm.
Câu 73:	 Ta có: 
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 
Suy ra: 
Câu 74:	 Phương trình: .
Kết luận: Vậy phương trình tập nghiệm .
Câu 75:	 Ta có: .
Do 
Mặt khác do .
Vậy phương trình có nghiệm 
Câu 76:	 Ta có .
.
Vậy họ nghiệm này có hai nghiệm thuộc đoạn là .
.
Vậy họ nghiệm này có một nghiệm thuộc đoạn là .
Vậy phương trình ban đầu có ba nghiệm thuộc đoạn .
Câu 77:	 Điều kiện 
thỏa mãn điều kiện.
Câu 78:	 ; 
TH1: ; lớn nhất
Chọn 
TH2: ; nhỏ nhất
Chọn 
Khi đó tổng cần tìm là: .
Câu 79:	 
.
Câu 80:	 +) , phương trình có nghiệm khi 
+) , phương trình vô nghiệm khi 
Chọn đáp án C
Câu 81:	 ĐKXĐ: .
Khi đó: .
Mà nên . Kết hợp với điều kiện, suy ra nghiệm của
phương trình trên đoạn là .
Câu 82:	 Ta có .
Vì Phương trình có 1 nghiệm trên đoạn 
Câu 83:	 Ta có : .
Giải  : .
Giải  : , phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình có họ nghiệm là .
Câu 84:	 Ta có: .
Câu 85:	 Phương trình đã cho tương đương với phương trình 
Vì nên 
Vậy nên có 2 giá trị chọn B
Câu 86:	
Lời giải
Điều kiện để phương trình có nghĩa 
Khi đó, phương trình so sánh với đk
Vậy, tổng các nghiệm trong đoạn của phương trình là: .
Câu 87:	 Ta có .
Vì nên .
+ Với . Ta có . Suy ra .
+ Với . Tương tự . Suy ra .
Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình đã cho trên là .
Câu 88:	 Theo lý thuyết phương trình vô nghiệm khi: .
Câu 89:	 Ta thấy 2 điểm M và N là các giao điểm của đường thẳng vuông góc với trục tung tại điểm với đường tròn lượng giác ⇒ M và N là các điểm biểu diễn tập nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản: ⇒ Đáp án.	C. 
Câu 90:	 Ta có: 
.
Mà nên . Do nên 
.
Câu 91:	 Phương trình đã cho tương đương với phương trình 
có 1 nghiệm là trên 
Suy ra 
Câu 92:	 Ta có: .
+ Xét .
Do . Vì nên không có giá trị .
+ Xét .
Do . Vì nên có hai giá trị là: .
 Với .
 Với .
Do đó trên khoảng phương trình đã cho có hai nghiệm và .
Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho trong khoảng là: .
Câu 93:	 Tập xác định:.
Ta có: 
.
Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là .