Luận văn Về đạo hàm suy rộng, điều kiện tối ưu và tính duy nhất nghiệm trong tối ưu không trơn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Lê Thanh Tùng
VỀ ĐẠO HÀM SUY RỘNG,
ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU
VÀ TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM
TRONG TỐI ƯU KHÔNG TRƠN
Chuyên nghành: Lý Thuyết Tối Ưu
Mã số: 62 46 20 01
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
T.p. Hồ Chí Minh năm 2012
Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự
nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh với 3 tháng tại
Trường Đại học Avignon và vùng Vaucluse, Pháp.
Người hướng dẫn khoa học : GS. TSKH. Phan Quốc Khánh
Phản biện 1: PGS.TS. Nguyễn Đình Huy
Phản biện 2: PGS.TS. Phạm Hoàng Quân
Phản biện 3: TS. Dương Đặng Xuân Thành
Phản biện độc lập 1: GS.TSKH. Vũ Ngọc Phát
Phản biện độc lập 2: PGS.TS. Đỗ Văn Lưu
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp nhà nước
họp tại................................................................................................
...........................................................................................................
vào hồi............giờ............ngày.............tháng............năm ...................
Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:
1. Thư viện Tổng hợp Quốc gia Tp.HCM
2. Thư viện trường Đại học Khoa học Tự Nhiên-HCM
MỞ ĐẦU
Điều kiện tối ưu cho tối ưu không trơn đã trở thành một trong những chủ đề
quan trọng nhất trong việc nghiên cứu các bài toán liên quan đến tối ưu. Nhiều
khái niệm đạo hàm khác nhau đã được giới thiệu để thiết lập những điều kiện
tối ưu. Ngoài thiết lập điều kiện tối ưu, đạo hàm suy rộng còn là một công cụ
quan trọng trong nghiên cứu tính duy nhất nghiệm địa phương. Trong ba thập
niên vừa qua, những chủ đề này đã được phát triển, tổng quát hóa và ứng dụng
trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học bởi nhiều nhà toán học trên toàn
thế giới. Mục đích của luận án này là khảo sát những vấn đề trên. Luận án
gồm năm chương. Trong Chương một, chúng tôi phát triển phép toán của tập
biến phân, được giới thiệu bởi Khánh và Tuấn (2008). Hầu hết các phép toán
thường dùng từ phép cộng, phép tích ánh xạ đến phép toán hợp, giao, tích Đề
các và các phép toán khác cho tập biến phân được thiết lập. Sau đó, chúng tôi
ứng dụng các phép toán cộng để thiết lập công thức liên hệ cho tập biến phân
của ánh xạ nghiệm của bất đẳng thức biến phân có tham số với tập biến phân
của dữ liệu. Thêm vào đó, phép toán cộng, tích ánh xạ và tích Đề các được
dùng để xây dựng những điều kiện tối ưu cho nghiệm yếu của một số bài toán
tối ưu véc tơ. Trong Chương hai, chúng tôi đưa ra khái niệm đạo hàm radial
trong và ngoài của ánh xạ đa trị và thu được những phép toán chính. Một số
ứng dụng trực tiếp của các phép toán này cho những bài toán tối ưu đặc biệt
được trình bày. Sau đó, chúng tôi thiết lập các điều kiện cần và đủ cấp cao cho
bài toán tối ưu véc tơ đa trị tổng quát với ràng buộc bất đẳng thức. Chương ba
dành cho việc sử dụng tập xấp xỉ cấp một và hai, được đưa ra bởi Jourani và
Thibault (1993) và Allali và Amaroq (1997), như đạo hàm suy rộng, để thiết
lập cả điều kiện cần và đủ cho nhiều loại nghiệm hữu hiệu của bài toán cân
bằng véc tơ không trơn với ràng buộc hàm số. Điều kiện tối ưu cấp một của
chúng tôi có thể áp dụng được trong nhiều trường hợp, khi những kết quả đã
có không thể áp dụng. Điều kiện cấp hai là mới. Trong Chương bốn, chúng
tôi xét bài toán tối ưu phân số đa mục tiêu không trơn trên không gian định
chuẩn. Sử dụng tập xấp xỉ bậc nhất và bậc hai, điều kiện tối ưu cấp một và
cấp hai được thiết lập. Với điều kiện đủ, giả thiết lồi không cần dùng. Kết quả
của chúng tôi có thể áp dụng ngay cả trong không gian vô hạn chiều và có hàm
số không liên tục. Chương năm thảo luận về điều kiện đủ cho tính duy nhất
nghiệm của bài toán cân bằng véc tơ không trơn mạnh và yếu. Cũng bằng cách
sử dụng tập xấp xỉ, kết quả của chúng tôi vẫn thỏa trong trường hợp hàm gián
đoạn tại điểm đang xét.
1
Chương 1. Tập biến phân: phép toán và ứng dụng trong
tối ưu không trơn
1. Mở đầu
Trong chương này, chúng tôi thiết lập các phép toán cơ bản có thể áp dụng
được của tập biến phân. Hầu hết các phép toán cơ bản từ phép cộng, phép tích
ánh xạ đến nhiều phép toán khác nhau trong giải tích được khảo sát. Điều này
cho thấy các phép toán của tập biến phân là khá cơ bản và đầy đủ. Mặc dù,
tập biến phân không so sánh được với đối đạo hàm Mordukhovich về sự phong
phú trong các phép toán, nhưng có lẽ chúng tốt hơn khi xét những tính chất
cấp cao. Chúng tôi cũng chú ý đến sự liên hệ giữ việc thiết lập các phép toán
và áp dụng một số phép toán để xây dựng các phép toán khác. Trong các ứng
dụng của các phép toán trên, chúng tôi cung cấp cách dùng trực tiếp phép toán
cộng để thiết lập công thức cho tập biến phân của ánh xạ nghiệm trong bài
toán bất đẳng thức biến phân có tham số. Hơn nữa, phép toán cộng, tích ánh
xạ và tích Đề các cũng được dùng để chứng minh điều kiện tối ưu cho nghiệm
yếu của một số bài toán tối ưu véc tơ đặc biệt.
Cho X và Y là các không gian định chuẩn thực, C ⊆ Y là một nón lồi đóng
với phần trong khác trống và F : X → 2Y . Với A ⊆ X, intA, clA (hoặc A¯),
bdA ký hiệu tương ứng với phần trong, bao đóng, biên của A. X∗ là không gian
đối ngẫu của X và BX là hình cầu đơn vị đóng trong X. Với x0 ∈ X, U(x0) ký
hiệu cho tập các lân cận của x0 ∈ X. Rk+ là tập những véc tơ có các tọa không
âm trong không gian k-chiều. Chúng tôi thường dùng những nón sau đây, với
A ⊆ X, C như trên và u ∈ X,
coneA = {λa | λ ≥ 0, a ∈ A},
cone+A = {λa | λ > 0, a ∈ A},
A(u) = cone(A+ u),
C∗ = {y∗ ∈ Y ∗ | 〈y∗, c〉 ≥ 0, ∀c ∈ C} (nón cực).
Một tập S trong một không gian tuyến tính được gọi là có dạng hình sao tại
x0 ∈ S nếu, với mọi x ∈ S và α ∈ [0, 1], (1− α)x0 + αx ∈ S. Một ánh xạ đa trị
H : X → 2Y giữa hai không gian tuyến tính được gọi là có dạng hình sao tại
x0 ∈ S trên tập có dạng hình sao S ⊆ domH nếu, với mọi x ∈ S và α ∈ [0, 1],
(1− α)H(x0) + αH(x) ⊆ H((1− α)x0 + αx).
Nếu C ⊆ Y là một nón (không cần lồi) và ta có, với mọi x ∈ S và α ∈ [0, 1],
(1− α)H(x0) + αH(x) ⊆ H((1− α)x0 + αx) + C,
2
ta nói rằng H là C-hình sao tại x0. Khi X và Y là các không gian định chuẩn,
F : X → 2Y được gọi là tựa lồi tại (x0, y0) ∈ grF nếu epiF ⊆ (x0, y0) +
TepiF (x0, y0).
2. Tập biến phân
Định nghĩa 2.1. (Khánh và Tuấn 2008) Tập biến phân loại 1 được định nghĩa
như sau:
V 1(F, x0, y0) = Limsup
x
F→x0, t→0+
1
t
(F (x)− y0), ...
V m(F, x0, y0, v1, · · · , vm−1) = Limsup
x
F→x0, t→0+
1
tm
(F (x)− y0 − tv1 − · · · tm−1vm−1).
Định nghĩa 2.2. (Khánh và Tuấn 2008) Tập biến phân loại 2 được định nghĩa
như sau:
W 1(F, x0, y0) = Limsup
x
F→x0
cone+(F (x)− y0), ...,
Wm(F, x0, y0, v1, · · · , vm−1) = Limsup
x
F→x0 t→0+
1
tm−1
(cone+(F (x)−y0)−v1−· · ·−tm−2vm−1).
Bằng cách sử dụng các công thức tương đương cho giới hạn trên theo dãy
của Painlevé-Kuratowski, chúng tôi thu được một số định nghĩa tương đương
của hai loại tập biến phân trong Mệnh đề 2.1 và 2.2.
Định nghĩa 2.3 Cho F : X → 2Y , (x0, y0) ∈ grF và v1, ..., vm−1 ∈ Y . Nếu giới
hạn trên trong định nghĩa V m(F, x0, y0, v1, ..., vm−1) trùng với giới hạn dưới
thì tập này được gọi là tập biến phân trùng cấp m loại 1 của F tại (x0, y0).
Nếu điều tương tự xảy ra cho Wm, ta nói rằng tập Wm đó được gọi là tập biến
phân trùng cấp m loại 2 của F tại (x0, y0).
3. Phép toán của hai loại tập biến phân
Trong phần này, chúng tôi xây dựng các phép toán đại số phép toán tập hợp,
phép toán tích ánh xạ của tập biến phân của các ánh xạ đa trị.
Mệnh đề 3.1 (Phép toán hợp). Cho Fi : X → 2Y , i = 1, ..., k, (x0, y0) ∈
k⋃
i=1
grFi, và I(x0, y0) = {i | (x0, y0) ∈ grFi}. Khi đó,
(i) V m(
k⋃
i=1
Fi, x0, y0, v1, ..., vm−1) =
⋃
i∈I(x0,y0)
V m(Fi, x0, y0, v1, ..., vm−1);
3
(ii) Wm(
k⋃
i=1
Fi, x0, y0, v1, ..., vm−1) =
⋃
i∈I(x0,y0)
Wm(Fi, x0, y0, v1, ..., vm−1).
Mệnh đề 3.2 (Phép toán giao). Cho Fi : X → 2Y , i = 1, ..., n, và (x0, y0) ∈
n⋂
i=1
grFi. Khi đó,
(i) V m(
n⋂
i=1
Fi, x0, y0, v1, ..., vm−1) ⊆
n⋂
i=1
V m(Fi, x0, y0, v1, ..., vm−1);
(i) Wm(
n⋂
i=1
Fi, x0, y0, v1, ..., vm−1) ⊆
n⋂
i=1
Wm(Fi, x0, y0, v1, ..., vm−1).
Mệnh đề 3.3 (Phép cộng cho V m). Cho Fi : X → 2Y ,
x0 ∈ domF1
⋂
int
k⋂
i=2
domFi, yi ∈ Fi(x0) và vi,1, ..., vi,m−1 ∈ Y với i = 1, ..., k.
Nếu Fi, i = 2, ...k có tập biến phân trùng V m(Fi, x0, y0, vi,1, ..., vi,m−1), tương
ứng, thì
k∑
i=1
V m(Fi, x0, yi, vi,1, ..., vi,m−1) ⊆ V m(
k∑
i=1
Fi, x0,
k∑
i=1
yi,
k∑
i=1
vi,1, ...,
k∑
i=1
vi,m−1).
Mệnh đề 3.4 (Phép cộng cho W 1). Cho Fi : X → 2Y , (x0, yi) ∈ grFi và Fi là
compact tại x0 for i = 1, ..., k. Khi đó,
k∑
i=1
W 1(Fi, x0, yi) ⊇W 1(
k∑
i=1
Fi, x0,
k∑
i=1
yi).
Mệnh đề 3.7 (Phép tích ánh xạ cho V m). Cho F : X → 2Y , G : Y →
2Z , (x0, y0) ∈ grF, (y0, z0) ∈ grG và imF ⊆ domG.
(i) Nếu G là Lipschitz quanh y0 thì, với
u1 ∈ V 1(F, x0, y0), ..., um−1 ∈ V m−1(F, x0, y0, u1, ..., um−2) và
v1 ∈ DbG(y0, z0)(u1), ..., vm−1 ∈ Db(m−1)G(y0, z0, v1, ..., vm−2)(um−1),
ta có
DbmG(y0, z0, u1, v1, ..., um−1, vm−1)(V m(F, x0, y0, u1, ..., um−1))
⊆ V m(G ◦ F, x0, z0, v1, ..., vm−1).
4
(ii) Nếu giả thiết thêm F có tập biến phân trùng loại 1 cấp m tại (x0, y0),
thì
DmG(y0, z0, u1, v1, ..., um−1, vm−1)(V m(F, x0, y0, u1, ..., um−1))
⊆ V m(G ◦ F, x0, z0, v1, ..., vm−1).
(iii) Nếu F là nửa liên tục dưới tại (x0, y0) thì
V m(GF, x0, z0, v1, ..., vm−1) ⊆ V m(G, y0, z0, v1, ..., vm−1).
Mệnh đề 3.8 (Phép tích ánh xạ cho Wm). Cho F : X → 2Y , G : Y →
2Z , (x0, y0) ∈ grF, (y0, z0) ∈ grG và imF ⊆ domG.
(i) Nếu F có dạng hình sao tại x0 và G là Lipschitz quanh y0, thì
DbG(y0, z0)[W
1(F, x0, y0)] ⊆ DG(y0, z0)[W 1(F, x0, y0)] ⊆ V 1(G◦F, x0.z0).
(ii) Nếu F là nửa liên tục dưới tại (x0, y0) thì
Wm(GF, x0, z0, v1, ..., vm−1) ⊆Wm(G, y0, z0, v1, ..., vm−1).
(iii) Nếu F−1 là nửa liên tục dưới tại (y0, x0) thì
W 1(G, y0, z0) ⊆W 1(G ◦ F, x0, z0).
Các phép toán cũng được thiết lập cho các toán tử khác như phép tích
Đề các, phép tích với ánh xạ khả vi, tích với ánh xạ tuyến tính liên tục, tích
trong, tích ngoài, phép chia, phép toán tìm max và min. Rất nhiều ví dụ đã
được trình bày để minh họa các phép toán trên. Chẳng hạn, Ví dụ 3.1 cho
thấy, phép toán giao không xảy ra dấu bằng. Ví dụ 3.3 khẳng định điều kiện
x0 ∈ domF1
⋂
int
k⋂
i=2
domFi không thể giảm nhẹ thành x0 ∈
k⋂
i=1
domFi trong
phép cộng.
Do phép toán tích ánh xạ có thể suy ra phép cộng như một trường hợp
riêng, chúng tôi xét tổng M + N của hai ánh xạ đa trị M,N : X → 2Y bằng
cách biểu diễn M + N như phép tích ánh xạ như sau. Gọi F : X → 2X×Y và
G : X × Y → 2Y , I là ánh xạ đồng nhất trên X và (x, y) ∈ X × Y ,
F = I ×M và G(x, y) = y +N(x).
Khi đó, dễ thấy M +N = G ◦ F .
5
Bây giờ, chúng tôi đưa ra một số định nghĩa về tập biến phân liên quan
như sau.
Định nghĩa 3.3. Cho ((x, z), y) ∈ grC, u1, ..., um−1 ∈ Y và w,w1, ..., wm−1 ∈
Z.
(i) Tập y-biến phân cấp m của ánh xạ G ◦ F tại (x, z) là tập
V m(G ◦y F, x, z, w1, ..., wm−1) := {w ∈ Z : ∃tn → 0+,∃(xn, yn, wn)→ (x, y, w),
∀n ∈ N, yn ∈ C(xn, z + tnw1 + ...+ tm−1n wm−1 + tmn wn)};
(ii) Tập giả biến phân cấp m của ánh xạ C tại (x, z) với w ∈ Z là tập
Vˆ m(C, (x, z[w]), y, w1, ..., wm−1) := {y ∈ Y : ∃tn → 0+,∃(xn, yn, wn)→
(x, y, w), y + tnyn ∈ C(xn, z + tnw1 + ...+ tm−1n wm−1 + tmn wn)}.
Định nghĩa 3.4. Cho ((x, z), y) ∈ cl(grS) và v1, ..., vm−1 ∈ Y , là tập y-biến
phân của M +N tại (x, z) là tập
V m(M+yN, x, z, v1, ..., vm−1) := {w ∈ Y : ∃tn → 0+,∃(xn, yn, wn)→ (x, y, w),
yn ∈ S(xn, z + tnv1 + ...+ tm−1n vm−1 + tmn wn}.
Khi đó, dễ thấy
V m(M +y N, x, z, v1, ..., vm−1) = V m(G ◦y F, x, z, v1, ..., vm−1).
Sử dụng những định nghĩa trên, chúng tôi thu được những phép toán tích ánh
xạ cho G và F trong các Mệnh đề 3.14 và 3.15. Sau đó, chúng tôi áp dụng phép
toán tích ánh xạ này để thiết lập phép cộng cho M,N : X → 2Y trong các
Mệnh đề 3.18 và 3.19.
4. Ứng dụng
Trước hết, chúng tôi áp dụng phép cộng để tính tập biến phân của ánh xạ
nghiệm của Bài toán bất đẳng thức biến phân tổng quát.
Cho F : W ×X → 2Z và N : X → 2Z là các ánh xạ đa trị giữa các không
gian định chuẩn và K là một tập con của X. Gọi
M(w, z) := {x ∈ K : z ∈ F (w, x) +N(x)}.
Khi K lồi, N(x) là nón pháp tuyến của K tại x và w là tham số, M là ánh xạ
nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân có tham số. Cho NK : W ×X →
6
2Z là ánh xạ đa trị xác định bởi NK(w, x) := N(x) với (w, x) ∈ W × K,
NK(w, x) := ∅ với (w, x) ∈ W × (X \K). Khi đó, M liên hệ với ánh xạ tổng
Q := F +NK bởi
x ∈M(w, z)⇐⇒ z ∈ Q(w, x).
Do đó, x′ ∈ Vˆ (M, (w, z[z′]), x) khi và chỉ khi z′ ∈ Vˆ (Q, (w, x[x′]), z) với bất cứ
(x′, z′) ∈ X × Z. Cho S : W ×X × Z → 2Z được xác định bởi
S(w, x, z) := F (w, x) ∩ (z −NK(w, x)).
Sử dụng phép cộng, ta có thể tính tập biến phân của ánh xạ nghiệm như trong
Mệnh đề 4.1.
Mệnh đề 4.1. Cho Z hữu hạn chiều ((w, z), x) ∈ gr(M) và S là nửa compact
theo hướng tại (w, x, z). Giả sử rằng
Vˆ (M, (w, z[0]), x) = {0X} ; {0X} /∈ Vˆ (M, (w, z[z′]), x) with z′ 6= 0Z ,
thỏa tại ((w, z), x) và
Vˆ (S, (w, x[0], y[0]), y) = {0}
thỏa với mọi z ∈ clS(w, x, z), thì, với x′ ∈ X,
V (M, (w, z), x) ⊆
{x′ ∈ X :
⋃
z∈clS(w,x,z)
(Vˆ (F, (w, x[x′]), z) + Vˆ (NK , (w, x[x′]), z − z)) 6= ∅}. (1)
Nếu, thêm vào đó,
Vˆ (F, (w, x[x′]), y) ∩ [y′ − Vˆ (N, (w, x[x′]), y − y)] ⊂ Vˆ (S, (w, x[x′], y[y′]), y)
thỏa với mọi z ∈ clS(w, x, z), khi đó (1) trở thành đẳng thức.
Tiếp theo, chúng tôi dùng các phép toán để xây dựng các điều kiện cần cho
nghiệm yếu của một số bài toán tối ưu đặc biệt. Cho X và Y là các không gian
định chuẩn, Y được sắp thứ tự từng phần bởi nón đóng và có đỉnh C với phần
trong khác rỗng, F : X → 2Y và G : X → 2X . Xét bài toán
(P1) minF (x′) với ràng buộc x ∈ X và x′ ∈ G(x).
Bài toán này có dạng tương đương là bài toán tối ưu không ràng buộc: min(F ◦
G)(x).
7
Mệnh đề 4.2. Giả sử với (P1), domF ⊆ ImG và G−1 là nửa liên tục dưới
tại (z0, x0). Nếu (x0, y0) nghiệm hữu hiệu yếu của (P1), thì
W 1(F+, z0, y0) ∩ −intC = ∅.
Để minh họa cho ứng dụng phép toán cộng, chúng tôi xét bài toán sau
(P2) minF (x) với ràng buộc g(x) ≤ 0,
với X, Y như (P1), F : X → 2Y và g : X → Y . Ký hiệu S = {x ∈ X | g(x) ≤
0Y }. Định nghĩa G : X → Y sao cho
G(x) =
{
0, nếu x ∈ S,
g(x), trường hợp khác.
Xét bài toán tối ưu đa trị không ràng buộc như sau. Với số dương s,
(PC) min(F + sG)(x).
Trong trường hợp đặc biệt, khi Y = R và F đơn trị, (PC) được dùng để
xấp xỉ (P2) trong phương pháp hàm phạt, xem Rockafellar và Wets (1997).
Mệnh đề 4.3. Cho x0 ∈ S, y0 ∈ F (x0) và F+ hoặc G+ có tập biến phân
trùng. Nếu (x0, y0) là nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của (PC) thì
(V 1(F+, x0, y0) + sV
1(G+, x0, 0)) ∩ −intC = ∅.
Các Ví dụ 4.1 và 4.2 chỉ ra rằng Mệnh đề 4.2 và 4.3 có thể áp dụng trong
khi phép toán của trên đạo hàm contingent trong Jahn và Khan (2002) không
thể áp dụng.
Chương 2. Đạo hàm radial cấp cao và điều kiện tối ưu
trong tối ưu không trơn
1. Mở đầu
Với tập A trong không gian định chuẩn X, nón contingent của A tại x¯ ∈ clA
là
TA(x¯) = {u ∈ X : ∃tn → 0+,∃un → u,∀n, x¯+ tnun ∈ A}.
Nón contingent chỉ mô tả những tính chất địa phương của tập và các ánh xạ
và thường chỉ thích hợp khi xét bài toán có giả thiết lồi. Nón radial (đóng) của
A tại x¯ ∈ clA được định nghĩa bởi
RA(x¯) = cone(A− x¯) = {u ∈ X : ∃tn > 0,∃un → u,∀n, x¯+ tnun ∈ A}
8
và có chứa những thông tin toàn cục về A. Ta có TA(x¯) ⊆ RA(x¯) và dấu bằng
xảy ra khi A là lồi (thực ra, chỉ cần A có dạng hình sao tại x¯). Do đó, đạo hàm
radial tương ứng, được trình bày lần đầu trong Taa (1997), có thể áp dụng
được cho bài toán không lồi và nghiệm tối ưu toàn cục. Trên đạo hàm radial
được giới thiệu bởi Flores-Bazan (2001), cũng có một số lợi thế so với các loại
trên đạo hàm khác. Trong Chương này, chúng tôi đưa ra khái niệm đạo hàm
radial trong và ngoài cấp cao của ánh xạ đa trị và thu được các phép toán
chính và ứng dụng của chúng.
2. Đạo hàm radial cấp cao và các phép toán của chúng
Định nghĩa 2.1. Cho F : X → 2Y là ánh xạ đa trị và u ∈ X.
(i) Đạo hàm radial ngoài cấp m của F tại (x0, y0) ∈ grF là
D
m
RF (x0, y0)(u) = {v ∈ Y : ∃tn > 0 , ∃(un, vn) → (u, v), ∀n, y0 +
tmn vn ∈ F (x0 + tnun)}.
(ii) Đạo hàm radial trong cấp m của F tại (x0, y0) ∈ grF là
DmRF (x0, y0)(u) = {v ∈ Y : ∀tn > 0 , ∀un → u,∃vn → v, ∀n, y0 +
tmn vn ∈ F (x0 + tnun)}.
Ví dụ 2.1 làm rõ chi tiết sự khác nhau giữa đạo hàm radial ngoài cấp hai và
đạo hàm contingent cấp hai.
Định nghĩa 2.2. Cho F : X → 2Y , (x0, y0) ∈ grF . Nếu DmRF (x0, y0)(u) =
DmRF (x0, y0)(u) với bất cứ u ∈ dom[D
m
RF (x0, y0)], khi đó ta gọi D
m
RF (x0, y0)
là đạo hàm radial trùng cấp m của F tại (x0, y0).
Chúng tôi thu được một số phép toán chính của đạo hàm radial cấp m.
Mệnh đề 2.1. Cho F1, F2 : X → 2Y , x0 ∈ int(domF1) ∩ domF2, và yi ∈
Fi(x0) với i = 1, 2. Giả sử rằng F1 có đạo hàm radial trùng cấp m tại (x0, y1).
Khi đó, với bất cứ u ∈ X,
D
m
RF1(x0, y1)(u) +D
m
RF2(x0, y2)(u) ⊆ D
m
R (F1 + F2)(x0, y1 + y2)(u).
Mệnh đề 2.2. Cho F : X → 2Y , G : Y → 2Z với ImF ⊆ domG, (x0, y0) ∈
grF và (y0, z0) ∈ grG.
(i) Giả sử rằng G có đạo hàm radial trùng cấp m tại (y0, z0). Khi đó, với
bất cứ u ∈ X,
D
m
RG(y0, z0)(D
1
RF (x0, y0)(u)) ⊆ D
m
R (G ◦ F )(x0, z0)(u).
9
(ii) Giả sử rằng G có đạo hàm radial trùng cấp 1 tại (y0, z0). Khi đó, với
bất cứ u ∈ X,
D
1
RG(y0, z0)(D
m
RF (x0, y0)(u)) ⊆ D
m
R (G ◦ F )(x0, z0)(u).
Chúng tôi cũng nhận được các phép toán cộng khác trong các Mệnh đề 2.5 -
2.7 rút ra từ các phép toán tích ánh xạ tương ứng.
Áp dụng các phép toán ở trên chúng tôi thu được một số điều kiện tối ưu
cho nghiệm Q-cực tiểu, được định nghĩa trong Định nghĩa 2.3 dưới đây, trong
một số bài toán tối ưu đặc biệt (P1) và (PC), đã được định nghĩa ở Chương
một, trong Mệnh đề 2.9 và 2.10.
Định nghĩa 2.3 (Hà 2010). Cho x0 ∈ A, y0 ∈ F (x0), và Q ⊆ Y là một nón
mở tùy ý khác rỗng, khác với Y . Chúng ta nói rằng (x0, y0) là một nghiệm
Q-cực tiểu của (P ) nếu, với mọi x ∈ A,
(F (x)− y0) ∩ (−Q) = ∅.
Mệnh đề 2.9. Cho ImG ⊆ domF , (x0, z0) ∈ grG, và (z0, y0) ∈ grF . Giả sử
rằng (x0, y0) là một nghiệm Q-cực tiểu của (P1).
(i) Nếu F có đạo hàm radial trùng cấp m tại (z0, y0), thì, với bất cứ u ∈ X,
D
m
RF (z0, y0)(D
1
RG(x0, z0)(u)) ∩ (−Q) = ∅.
(ii) Nếu F có đạo hàm radial trùng cấp 1 tại (z0, y0), thì, với bất cứ u ∈ X,
D
1
RF (z0, y0)(D
m
RG(x0, z0)(u)) ∩ (−Q) = ∅.
Mệnh đề 2.10. Cho domF ⊆ domG, x0 ∈ S, y0 ∈ F (x0) và F hoặc G có
đạo hàm radial trùng cấp m tại (x0, y0) hoặc (x0, 0), tương ứng. Nếu (x0, y0)
là một nghiệm Q-cực tiểu của (PC), khi đó, với bất cứ u ∈ X,
(D
m
RF (x0, y0)(u) + sD
m
RG(x0, 0)(u)) ∩ −Q = ∅.
Các Ví dụ 2.6 và 2.7 cho thấy rằng Mệnh đề 2.9 và 2.10 có thể áp dụng trong
khi các phép toán của trên đạo hàm contingent của Jahn và Khan (2002) không
dùng được.
3. Các điều kiện tối ưu
10
Cho X và Y là các không gian định chuẩn được sắp thứ tự từng phần
tương ứng bởi các nón lồi đóng có đỉnh C và D với phần trong khác rỗng. Cho
S ⊆ X,F : X → 2Y và G : X → 2Z . Trong phần này, chúng tôi khảo sát điều
kiện tối ưu cho bài toán tối ưu vec tơ đa trị với ràng buộc bất đẳng thức như
sau:
(P ) minF (x), với ràng buộc x ∈ S, G(x) ∩ (−D) 6= ∅.
Gọi A := {x ∈ S : G(x) ∩ (−D) 6= ∅} và F (A) := ⋃
x∈A
F (x). Giả sử rằng
F (x) 6= ∅ với mọi x ∈ X.
Mệnh đề 3.1. Cho domF ∪ domG ⊆ S và (x0, y0) là một nghiệm Q-cực tiểu
của (P ). Khi đó, với bất cứ z0 ∈ G(x0) ∩ (−D) và x ∈ X,
D
m
R (F,G)(x0, y0)(x) ∩ (−Q×−intD) = ∅.
Mệnh đề 3.2. Cho domF ∪ domG ⊆ S, x0 ∈ A, y0 ∈ F (x0) và z0 ∈
G(x0) ∩ (−D). Khi đó, (x0, y0) là một nghiệm Q-cực tiểu của (P ) nếu điều
kiện sau được thỏa
D
m
R (F,G)(x0, y0)(A− x0) ∩ −(Q×D(z0)) = ∅.
Nhiều loại nghiệm hữu hiệu khác nhau của (P) thực chất là nghiệm Q-cực tiểu
với nón Q được chọn thích hợp. Do đó, điều kiện tối ưu cho nghiệm Q-cực tiểu
có thể suy ra được những điều kiện tối ưu cho nhiều loại nghiệm hữu hiệu khác
nhau như trong Định lý 3.2 và 3.4.
Ví dụ 3.1 cho thấy điều kiện cần dùng đạo hàm radial cấp hai có thể áp
dụng được trong khi điều kiện cần dùng đạo hàm radial cấp một không áp
dụng được. Ví dụ 3.3 chỉ ra rằng không thể thay D bởi D(z0) trong điều kiện
cần trong Mệnh đề 3.1 để thu được sự khác biệt nhỏ hơn với điều kiện đủ trong
Mệnh đề 3.3. Một số thuận lợi của điều kiện đủ dùng đạo hàm radial cấp m
thay vì sử dụng tập biến phân hay trên đạo hàm contingent được minh họa
trong Ví dụ 3.4.
Chương 3. Các điều kiện tối ưu cấp một và cấp hai sử dụng
tập xấp xỉ cho bài toán cân bằng véc tơ có ràng buộc
1. Mở đầu
Bắt đầu từ năm 1994, khi Blum và Oettli đưa ra khái niệm bài toán cân bằng
là bài toán tổng quát của bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán tối ưu,
bài toán tổng quát này đã được nghiên cứu và phát triển mạnh mẽ. Tuy nhiên,
các kết quả chủ yếu tập trung vào sự tồn tại nghiệm, sự ổn định nghiệm, tính
11
đạt chỉnh của tập nghiệm và các phương pháp số để tính gần đúng nghiệm.
Rất ít kết quả trước đây khảo sát về điều kiện tối ưu cho các loại nghiệm của
bài toán cân bằng. Mặc dù có một số phần tương tự bài toán tối ưu hóa và bài
toán cân bằng, việc khảo sát chi tiết về điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng
cũng có những điểm khác biệt và đáng lưu ý. Sử dụng, tập xấp xỉ bậc nhất
và bậc hai như là đạo hàm tổng quát, chúng tôi thiết lập cả điều kiện cần và
đủ cho các loại nghiệm của bài toán cân bằng. Điều kiện tối ưu cấp một của
chúng tôi có thể áp dụng được trong nhiều trường hợp khi các kết quả trước
đây không áp dụng được. Điều kiện tối ưu cấp hai là mới.
2. Kiến thức chuẩn bị
Định nghĩa 2.1. (i) Một tập Af (x0) ⊆ L(X,Y ) được gọi là một xấp xỉ bậc
nhất (Jourani và Thibault 1993) của f : X → Y tại x0 ∈ X nếu tồn tại một
lân cận U của x0 sao cho, với mọi x ∈ U ,
f(x)− f(x0) ∈ Af (x0)(x− x0) + o(‖x− x0‖).
(ii) Một tập (Af (x0), Bf (x0)) ⊆ L(X,Y )× L(X,X, Y ) được gọi là một xấp xỉ
bậc hai (Allali và Amaroq 1998) của f : X → Y tại x0 ∈ X nếu
(a) Af (x0) là một xấp xỉ bậc nhất của f tại x0;
(b) f(x)− f(x0) ∈ Af (x0)(x− x0) +Bf (x0)(x− x0, x− x0) + o(‖x− x0‖2).
Cho X,Y và Z là các không gian định chuẩn, S ⊆ X là tập khác rỗng và
F : X × X → Y, g : X → Z là các ánh xạ. Cho C ⊆ Y và K ⊆ Z là nón
lồi đóng có đỉnh. Gọi Ω = {x ∈ S : g(x) ∈ −K} (tập các nghiệm chấp nhận
được), F (x,Ω) =
⋃
y∈Ω
F (x, y). Ký hiệu Fx0 : X → Y bởi Fx0(y) = F (x0, y) với
y ∈ X và giả sử, không mất tổng quát, rằng Fx0(x0) = 0. Bài toán cân bằng
véc tơ với ràng buộc (EP) được xét dựa vào các loại nghiệm như sau.
Định nghĩa 2.2.
(i) Nếu intC 6= ∅, một véc tơ x0 ∈ Ω là một nghiệm hữu hiệu yếu của (EP),
nếu tồn tại một lân cận U của x0 sao cho
F (x0, U ∩ Ω) 6⊆ −intC.
(ii) Một véc tơ x0 ∈ Ω được gọi là nghiệm hữu hiệu Henig của (EP) nếu
tồn tại một lân cận U của x0 và một nón lồi đóng có đỉnh H ⊆ Y với
C \ {0} ⊆ intH sao cho
F (x0, U ∩ Ω) ∩ (−H \ {0}) = ∅.
12
(iii) Một véc tơ x0 ∈ Ω được gọi là nghiệm hữu hiệu Benson của (EP) nếu
tồn tại một lân cận U của x0 sao cho
clcone(F (x0, U ∩ Ω) + C) ∩ (−C) = {0}.
(iv) Với m ≥ 1, một véc tơ x0 ∈ Ω được gọi là nghiệm hữu hiệu chặt cấp m
của (EP) nếu tồn tại một lân cận U của x0 và γ > 0 sao cho, với mọi
x ∈ U ∩ Ω \ {x0},
(F (x0, x) + C) ∩BY (0, γ‖x− x0‖m) = ∅.
3. Các điều kiện tối ưu cấp một
Bây giờ, chúng tôi thiết lập các điều kiện cần cấp một cho nghiệm hữu hiệu
yếu địa phương của (EP) và điều kiện đủ cấp một cho nghiệm hữu hiệu Henig,
Benson và chặt cấp một địa phương của (EP).
Định lý 3.1. Giả sử rằng C và K có phần trong khác rỗng, AFx0 (x0) và
Ag(x0) là những tập xấp xỉ bậc nhất p-compact tiệm cận của Fx0 và g, tương
ứng, tại x0. Nếu x0 là nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của (EP), thì, ∀u ∈
X,∃P ∈ p−AFx0 (x0),∃Q ∈ Ag(x0),∃(c∗, d∗) ∈ C∗ ×D∗ \ {(0, 0)} sao cho
〈c∗, P (u)〉+ 〈d∗, Q(u)〉 ≥ 0, 〈d∗, g(x0)〉 = 0.
Hơn nữa, với u thỏa 0 ∈ int(Q(u) + g(x0) + K) với mọi Q ∈ Ag(x0), ta có
c∗ 6= 0.
Định lý 3.2. Cho AFx0 (x0) và Ag(x0) là những tập xấp xỉ bậc nhất p-compact
tiệm cận của Fx0 và g, tương ứng, tại x0. Giả sử tồn tại nón có đỉnh H ⊆ Y
với C \ {0} ⊆ intH. Khi đó, x0 là nghiệm hữu hiệu Henig địa phương (tương
ứng với H) của (EP) nếu một trong các điều kiện dưới đây được thỏa.
(i) (Fx0 , g) : X → Y × Z là C ×K-liên thông đường tại x0; với mọi x ∈ Ω
và (P,Q) ∈ p−A(Fx0 ,g)(x0)∞ \ {0} ta có (P,Q)(L′x0,x(0+)) 6∈ −(C×K) và, với
(c∗, d∗) ∈ H∗ ×K∗ \ {(0, 0)},
〈c∗, y〉+ 〈d∗, z〉 > 0, 〈d∗, g(x0)〉 = 0, ∀(y, z) ∈ p− clA(Fx0 ,g)(x0)(L′x0,x(0+)).
(ii) (Fx0 , g) tựa lồi tại x0; với mọi x ∈ Ω và (P,Q) ∈ p−A(Fx0 ,g)(x0)∞ \{0}
ta có (P,Q)(x− x0) 6∈ −(C ×K) và, với (c∗, d∗) ∈ H∗ ×K∗ \ {(0, 0)},
〈c∗, y〉+ 〈d∗, z〉 > 0, 〈d∗, g(x0)〉 = 0, ∀(y, z) ∈ p− clA(Fx0 ,g)(x0)(x− x0).
Định lý 3.5. Nếu x0 ∈ Ω, AFx0 (x0) và Ag(x0) là những tập xấp xỉ bậc nhất
p-compact tiệm cận của Fx0 và g, tương ứng, tại x0. Khi đó, x0 là nghiệm hữu
hiệu Benson địa phương của (EP) khi một trong các điều kiện sau được thỏa.
13
(i) (Fx0 , g) : X → Y × Z là C ×K-liên thông đường tại x0; với mọi x ∈ Ω
và (P,Q) ∈ p−A(Fx0 ,g)(x0)∞ \ {0} ta có (P,Q)(L′x0,x(0+)) 6∈ −(C ×K)
và, với (c∗, d∗) ∈ H∗ ×K∗ \ {(0, 0)},
〈c∗, y〉+〈d∗, z〉 ≥ 0 〈d∗, g(x0)〉 = 0, ∀(y, z) ∈ p− clA(Fx0 ,g)(x0)(L′x0,x(0+)).
(ii) (Fx0 , g) tựa lồi tại x0; với mọi x ∈ Ω và (P,Q) ∈ p−A(Fx0 ,g)(x0)∞ \ {0}
ta có (P,Q)(x− x0) 6∈ −(C ×K) và, với (c∗, d∗) ∈ H∗ ×K∗ \ {(0, 0)},
〈c∗, y〉+〈d∗, z〉 ≥ 0, 〈d∗, g(x0)〉 = 0, ∀(y, z) ∈ p− clA(Fx0 ,g)(x0)(x−x0).
Định lý 3.6. Giả sử X có số chiều hữu hạn, x0 ∈ Ω, AFx0 (x0) và Ag(x0) là
những tập xấp xỉ bậc nhất p-compact tiệm cận của Fx0 và g, tương ứng, tại x0.
Giả sử rằng, với mọi u ∈ T (Ω, x0) với chuẩn đơn vị, mọi P ∈ p− clAFx0 (x0)∪
(p−AFx0 (x0)∞\{0}) và Q ∈ p− clAg(x0)∪(p−Ag(x0)∞\{0}), tồn tại (c∗, d∗) ∈
C∗ ×K∗ \ {(0, 0)} sao cho
〈c∗, Pu〉+ 〈d∗, Qu〉 > 0, 〈d∗, g(x0)〉 = 0.
Khi đó„ x0 là nghiệm hữu hiệu chặt địa phương cấp 1 của (EP).
Các Ví dụ 3.1-3.3 cho thấy rằng các kết quả của chúng tôi có thể áp dụng
được trong khi các kết quả trước đây không áp dụng được.
4. Các điều kiện tối ưu cấp hai
Trong phần này, chúng tôi thiết lập điều kiện cần cấp hai cho nghiệm hữu hiệu
yếu và điều kiện đủ cấp hai cho nghiệm hữu hiệu chặt cấp hai trong hai trường
hợp : Fx0 và g khả vi hoặc không khả vi Fréchet cấp một tại x0.
Định lý 4.1. Cho C là một đa diện, x0 ∈ Ω và d∗ ∈ K∗ với 〈d∗, g(x0)〉 = 0.
Giả sử (F ′x0(x0), BFx0 (x0)) và (g
′(x0), Bg(x0)) những tập xấp xỉ bậc hai p-
compact tiệm cận của Fx0 và g, tương ứng, tại x0 với Bg(x0) bị chặn theo
chuẩn.
Nếu x0 là nghiệm hữu hiệu yếu của (EP) thì, với bất cứ v ∈ T (G(d∗), x0),
tồn tại c∗ ∈ B, với B hữu hạn và cone(coB) = C∗, sao cho 〈c∗, F ′x0(x0)v〉 +
〈d∗, g′(x0)v〉 ≥ 0. Nếu, thêm vào đó, c∗ ◦ F ′x0(x0) + d∗ ◦ g′(x0) = 0, thì hoặc,
với M ∈ p− clBFx0 (x0) và N ∈ p− clBg(x0),
〈c∗,M(v, v)〉+ 〈d∗, N(v, v)〉 ≥ 0
hoặc, với M ∈ p−BFx0 (x0)∞ \ {0},
〈c∗,M(v, v)〉 ≥ 0.
14
Định lý 4.2. Giả sử rằng X hữu hạn chiều, x0 ∈ Ω và (g′(x0), Bg(x0)) là
những tập xấp xỉ bậc hai p-compact tiệm cận của Fx0 và g, tương ứng, tại x0
với Bg(x0) bị chặn theo chuẩn. Giả sử tồn tại (c∗, d∗) ∈ C∗0 ×K∗0 sao cho, với
mọi v ∈ T (Ω, x0) với ‖v‖ = 1 và 〈c∗, F ′x0(x0)v〉 = 〈d∗, g′(x0)v〉 = 0,
(i) với mọi M ∈ p− clBFx0 (x0) và N ∈ p− clBg(x0), ta có
〈c∗,M(v, v)〉+ 〈d∗, N(v, v)〉 > 0;
(ii) với mọi M ∈ p−BFx0 (x0)∞ \ {0}, ta có
〈c∗,M(v, v)〉 > 0.
Khi đó, x0 là nghiệm hữu hiệu chặt cấp hai của (EP).
Khi Fx0 và g không khả vi Fréchet cấp một tại x0, sử dụng tập xấp xỉ bậc
nhất của Fx0 và g thay cho F
′
x0 và g
′(x0), chúng tôi thu được điều kiện tối ưu
cấp hai trong các Định lý 4.3 và 4.4. Các ví dụ áp dụng điều kiện tối ưu cấp
hai được minh họa trong các Ví dụ 4.1-4.4.
Chương 4. Các điều kiện tối ưu cấp một và cấp hai cho bài
toán tối ưu phân số đa mục tiêu
1. Mở đầu
Tối ưu phân số là một trong những chủ đề của tối ưu đã được nghiên cứu tương
đối nhiều. Cùng với nhiều đóng góp với tối ưu vec tơ, một lĩnh vực rất quan
trọng với những ứng dụng thực tế có ý nghĩa do sự xuất hiện của nhiều tiêu chí
trong các mô hình khoa học, kinh tế và kỹ thuật, tối ưu phân số đa mục tiêu
cũng trở nên hấp dẫn với nhiều nhà nghiên cứu. Những nỗ lực không ngừng
để giải quyết với những bài toán không trơn, dựa vào nhiều loại đạo hàm tổng
quát khác nhau, có thể được tìm thấy trong các công trình trước đây cho tối
ưu phân số. Nhiều giả thiết lồi chặt, đặc biệt là trong điều kiện đủ, đã được
giảm nhẹ dần bởi các khái niệm lồi yếu. Chúng tôi nhận thấy rằng hầu hết
các kết quả trước đây trong tối ưu phân số đều xét trong không gian hữu hạn
chiều và rất ít kết quả cho điều kiện tối ưu cấp hai. Giả thiết lồi vẫn chưa có
thể giảm bớt hoàn toàn. Đó là những lý do thúc đẩy chúng tôi khảo sát trong
chương này bài toán tối ưu phân số đa mục tiêu. Để tránh hoàn toàn giả thiết
lồi chặt, chúng tôi dùng tập xấp xỉ bậc nhất và bậc hai như là đạo hàm suy
rộng.
2. Kiến thức chuẩn bị
Cho X,Y là các không gian định chuẩn, K ⊆ Y và C ⊆ Rm là các nón lồi đóng
có đỉnh với phần trong khác rỗng. Chúng tôi xét bài toán tối ưu phân số đa
15
mục tiêu như sau:
(P ) minϕ(x) =
(
f1(x)
g1(x)
, ...,
fm(x)
gm(x)
)
s.c. h(x) ∈ −K,
với fi, gi : X → R, i = 1, 2, ...,m, h : X → Y và tất cả gi liên tục.
Với m ∈ N, f : X → Y được gọi là m−calm tại x0 nếu tồn tại L > 0 và lân
cận U của x0 sao cho, với mọi x ∈ U ,
‖f(x)− f(x0)‖ ≤ L‖x− x0‖m.
Khi đó, L được gọi là hệ số calm của f . (1-calm được gọi đơn giản là calm.)
3. Tính chất và phép toán của tập xấp xỉ
Trong những Mệnh đề sau, một số phép toán cần thiết cho điều kiện tối ưu
của (P), được trình bày.
Mệnh đề 3.1. Cho fi : X → Y and λi ∈ R, với i = 1, 2, ..., k. Cho Afi(x0) là
các xấp xỉ bậc nhất của fi tại x0, tương ứng. Khi đó, các khẳng định sau thỏa.
(i)
k∑
i=1
λiAfi(x0) là một xấp xỉ bậc nhất của
k∑
i=1
λifi tại x0.
(ii) Cho Yi là các không gian định chuẩn, fi : X → Yi, i = 1, ...k, f =
(f1, f2, ..., fk) và Af1(x0), ..., Afk(x0) là các xấp xỉ bậc nhất của f1, ..., fk,
tương ứng, tại x0. Khi đó, Af1(x0)× . . .×Afk(x0) là một xấp xỉ bậc nhất
của f tại điểm đó.
(iii) Cho Y là một không gian Hilbert và f, g : X → Y , 〈f, g〉(x) = 〈f(x), g(x)〉.
Nếu Af (x0), Ag(x0) là các xấp xỉ bậc nhất của f và g tại x0 và f