Kỳ thi vào chuyên toán học 2016 - 2017 thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

TRƯƠNG QUANG AN =QUẢNG NGÃI KỲ THI VÀO CHUYÊN TOÁN HỌC 2016-2017
 Khóa ngày 1 tháng 6 năm 2016
ĐỀ CHÍNH THỨC	 Môn: TOÁN CHUYÊN 
SỐ BÁO DANH:.. Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
	 Đề gồm có 01 trang
Câu 1:(2.0 điểm) 
Rút gọn 
b) Không sử dụng máy tính, chứng minh là số nguyên.
Câu 2:(2.0 điểm) 
a) Giải phương trình: 
b) Cho phương trình có hai nghiệm nguyên dương biết a, b là hai số thỏa mãn 5a + b = 22.Tìm hai nghiệm đó.
Câu 3:(3,5 điểm) 
Cho đường tròn (O; R) cố định có đường kính AB cố định và CD là một đường kính thay đổi không trùng với AB. Tiếp tuyến của đường tròn (O;R) tại B cắt AC và AD lần lượt tại E,F. 
a) Chứng minh .
b) Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp trong một đường tròn. 
c) Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD. Chứng minh điểm I nằm trên một đường thẳng cố định.	
Câu 4:(1,5 điểm) 
Cho các số dương a, b, c thoả mãn a + b + c =2016. Chứng minh rằng:
 . 
Dấu bằng xảy ra khi nào?
Câu 5:(1,0 điểm) 
	Cho hình chữ nhật ABCD có độ dài các cạnh là các số nguyên và bình phương độ dài đường chéo chia hết cho diện tích của nó. Chứng minh ABCD là hình vuông.
--------------------HẾT----------------------
	 HƯỚNG DẪN CHẤM
(Đáp án, hướng dẫn này có 4 trang)
Yêu cầu chung
* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng.
* Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải sau có liên quan. Ở câu 3 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì cho điểm 0.
* Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,25 điểm. Đối với điểm thành phần là 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm.
* Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng bài.
* Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài.
Câu
Nội dung
Điểm
1
a)
Ta có: 
1,0 điểm
0,25
0,25
0,5
 b) 
Vậy Q là số nguyên.
1,0 điểm
0,5
0,25
0,25
2
a) ĐK: 
1,0 điểm
0,25
0,25
0,25
0,25
Gọi là hai nghiệm nguyên dương của phương trình.
Ta có: . 
Khi đó : 
Khi đó: a = – 58 và b = 312 thoả 5a + b = 22. Và phương trình có nghiệm là x1 = 6; x2 = 52.
1,0 điểm
0,25
0,5
0,25
3
I
E
B
C
A
D
F
M
O
Hình vẽ chỉ cần dùng để giải được câu a cho điểm tối đa.
3,5 điểm
0,5
a) Trong tam giác vuông ABE có: 
 Trong tam giác vuông ABF có: 
 Ta có: 
0,25
0,25
0,5
b) Ta có: 
Mặt khác: .
Suy ra: 
Vậy tứ giác CDFE nội tiếp.
0,25
0,25
0,25
0,25
c) I là giao điểm của trung trực CD và trung trực của EF, I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDFE. Gọi M là trung điểm của EF. MI vuông góc với EF nên MI song song với AB.
Ta có 
Suy ra: AM vuông góc với CD nên AM song song với OI.
Do đó AOIM là hình bình hành nên IM=AO=R (không đổi).
Vậy I thuộc đường thẳng d cố định là đường thẳng song song với tiếp tuyến tại B và cách tiếp tuyến này một khoảng bằng R.
0,25
0,25
0,25
0,25
4
Ta có: 
Suy ra:
Tương tự: 
Do đó:
Dấu bằng xảy ra khi 
1,5 điểm
0,5
0,5
0,25
0,25
5
Gọi là hai cạnh của hình chử nhật 
Theo giả thiết ta có: 
Đặt d=(a,b), ta có: với (x,y)=1, 
Suy ra: 
Ta có:
Tương tự: , suy ra x=y nên a=b.
Vậy ABCD là hình vuông.
1,0 điểm
0,25
0,25
0,25
0,25