Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt năm học 2015 - 2016 môn thi: Toán (hệ chuyên) thời gian làm bài: 150 phút

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NGÃI
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2015-2016
Môn thi: Toán (hệ chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1. (1,5 điểm)
 1) Cho biểu thức . Tìm tất cả các giá trị của x để 
 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol và đường thẳng , với . Tìm m để cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn .
Bài 2. (1,5 điểm) 
 1) Tìm tất cả các số nguyên thỏa mãn .
 2) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố đôi một khác nhau sao cho 
.
Bài 3. (2,5 điểm) 
 1) Giải phương trình .
 2) Giải hệ phương trình .
 3) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Bài 4. (3,5 điểm)
 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), (). Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại S. Đường thẳng SA cắt đường tròn tại điểm thứ hai là D. Gọi I là trung điểm của AD.
 a) Chứng minh rằng năm điểm S, O, B, C, I cùng nằm trên một đường tròn.
 b) Cho , bán kính đường tròn (O) là R. Tính theo d và R.
 c) Gọi BE là đường cao của tam giác ABC, M là giao điểm của SO và BC. Chứng minh rằng hai tam giác AEM và ABS đồng dạng.
 d) Giả sử hai đường cao của tam giác có độ dài lần lượt là 12 và 18. Chứng minh rằng đường cao còn lại có độ dài bé hơn 36.
Bài 5. (1,0 điểm) 
 Cho hình vuông ABCD và 2015 đường thẳng phân biệt thỏa mãn mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành hai hình thang có tỉ số diện tích là . Chứng minh rằng tồn tại 504 đường thẳng đồng quy tại một điểm. 
-------------------HẾT-------------------
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NGÃI
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 
NĂM HỌC 2015-2016
HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn thi: Toán (hệ chuyên)
Bài 1. (1,5 điểm)
 1) Cho biểu thức . Tìm tất cả các giá trị của x để 
 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol và đường thẳng với . Tìm m để cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn .
TÓM TẮT CÁCH GIẢI
ĐIỂM
1) * ĐK: (1)
 * Với đều kiện trên ta có 
 . 
 * 
So với điều kiện (1) ta được 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
2) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là , (2)
* (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi pt (2) có hai nghiệm phân biệt (3)
Theo hệ thức Viet ta có 
* 
So với điều kiện (3) ta được là giá trị cần tìm.
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Bài 2. (1,5 điểm)
 1) Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa mãn .
 2) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố đôi một khác nhau sao cho 
.
TÓM TẮT CÁCH GIẢI
ĐIỂM
, (1) 
(1) 
Ta có 
pt (1) có nghiệm khi và chỉ khi 
Vì (1) có nghiệm nguyên nên là số chính phương. Đặt , khi đó
Giải ra ta được 
* thay vào phương trình ta tìm được 
* thay vào phương trình ta tìm được 
Vậy các nghiệm của pt (1) là 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
2) Không mất tính tổng quát, giả sử (1)
Ta có (2)
Từ (1) suy ra (do c nguyên tố)
Lại có nên từ (2) ta có 
Vì b nguyên tố, nên . 
Thay và vào (2) ta có , mà là số nguyên tố khác nên . Vậy bộ các số thỏa mãn bài ra là và các hoán vị.
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Bài 3. (2,5 điểm)
1) Giải phương trình .
2) Giải hệ phương trình .
3) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức . (3)
TÓM TẮT CÁCH GIẢI
ĐIỂM
1) .
* ĐKXĐ: 
* Với điều kiện trên, phương trình tương đương:
 nhân lượng liên hợp
Với những giá trị của x thuộc tập xác định, ta thấy: VT(2) 3, do vậy phương trình (2) vô nghiệm. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
2) * ĐK : * Hệ tương đương 
Giải ra được nghiệm .
0,25đ
0,5đ
0,25đ
3) * TXĐ với mọi 
 * Viết lại (3)
TH 1. ta có khi đó (3) có nghiệm 
TH 2. , (3) là phương trình bậc 2. Phương trình (3) có nghiệm khi . , 
Vậy . 
0,25đ
0,25đ
Bài 4. (3,5 điểm)
 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), (). Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại S. Đường thẳng SA cắt đường tròn tại điểm thứ hai là D. Gọi I là trung điểm của AD.
 a) Chứng minh rằng năm điểm S, O, B, C, I cùng nằm trên một đường tròn.
 b) Cho , bán kính đường tròn (O) là R. Tính theo d và R.
 c) Gọi BE là đường cao của tam giác ABC, M là giao điểm của SO và BC. Chứng minh rằng hai tam giác AEM và ABS đồng dạng.
 d) Giả sử hai đường cao của tam giác đã cho có độ dài lần lượt là 12 và 18. Chứng minh rằng đường cao còn lại có độ dài bé hơn 36.
TÓM TẮT CÁCH GIẢI
ĐIỂM
Hình vẽ đúng
0,5đ
a) Chứng minh rằng năm điểm S, O, B, C, I cùng nằm trên một đường tròn.
Do SB, SC là hai tiếp tuyến của (O) tại B và C nên . Suy ra 4 điểm S, O, B, C cùng thuộc đường tròn đường kính SO.
Lại có (tính chất bán kính và dây cung) nên , suy ra I thuộc đường tròn đường kính SO. 
Vậy năm điểm S, O, B, C, I cùng nằm trên một đường tròn.
0,25đ
0,25đ
0,25đ
b) Cho , bán kính đường tròn (O) là R. Tính . theo d và R.
 Ta có vì I nằm giữa A và D
 , vì 
 , vì các tam giác vuông tại I
0,25đ
0,25đ
0,25đ
c) Gọi M là giao điểm của SO và BC. Chứng minh rằng hai tam giác AEM và ABS đồng dạng.
Xét hai tam giác vuông và ta có 
 (cùng chắn cung BC)
Suy ra (1)
Mặt khác tam giác vuông tại E, EM là trung tuyến nên 
Thay vào (1) ta có 
Gọi Bx là tia đối của tia BS. Ta có (Hệ quả góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một cung)
 cân tại M () suy ra nên . 
Suy ra (cùng bù với )
Xét tam giác và ABS ta có: , nên đồng dạng với .
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
d/ Gọi lần lượt là đường cao kẻ từ A, B, C; là diện tích tam giác ABC. Giả sử hai đường cao đã biết là . 
Áp dụng BĐT trong tam giác ta có
0,25đ
0,25đ
Bài 5. (1,0 điểm ) 
 Cho hình vuông ABCD và 2015 đường thẳng phân biệt thỏa mãn mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành hai hình thang có tỉ số diện tích là . Chứng minh rằng tồn tại 504 đường thẳng đồng quy tại một điểm. 
TÓM TẮT CÁCH GIẢI
ĐIỂM
Không mất tính tổng quát, gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. Giả sử đường thẳng bất kỳ trong 2015 đường thẳng đã cho cắt AB, CD lần lượt tại M, N và cắt HF tại I. 
Khi đó I là điểm cố định trên đoạn HF.
Gọi J, K, L lần lượt là các điểm khác nhau trên HF, EG sao cho . Lúc này mỗi đường thẳng đã cho và thỏa yêu cầu bài toán chỉ qua một trong bốn điểm I, J, K, L. 
Mặt khác nên theo nguyên lý Dirichlet tồn tại 504 đường thẳng đồng quy.
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Ghi chú :
	+ Mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải, học sinh giải cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa. Tổ chấm thảo luận thống nhất biểu điểm chi tiết cho các tình huống làm bài của học sinh.
	+ Bài Hình học, nếu không có hình vẽ nhưng học sinh thực hiện các bước giải có logic và đúng thì cho nửa số điểm tối đa của phần đó. Vẽ hình sai (về mặt bản chất) nhưng lời giải đúng thì không cho điểm.
	+ Điểm từng câu và toàn bài không làm tròn số.
---------------HẾT---------------

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NGÃI
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 
NĂM HỌC 2015-2016
Môn thi: Toán (hệ chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút
MA TRẬN ĐỀ 
Phân môn
 Mức độ
Mạch kiến thức
NHẬN BIẾT
THÔNG HIỂU
VẬN DỤNG
THẤP
VẬN DỤNG
CAO
CỘNG
Số học
Phương trình nghiệm nguyên
2a 
 0,25
2a
 0,5
1,5 đ
Tìm số nguyên tố 
2b 
 0,75
Đại số
Biến đổi biểu thức
1a 
 0,25
1a
 0,5
4,0 đ
Hàm số
1b 
 0,5
1b
 0,25
Phương trình
3a 
 0,25
3a
0,25
3a
 0,5
Hệ phương trình 
3b
 0,5
3b
 0,5
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
3c 
 0,25
3c
 0,25
Hình học
Đường tròn, tứ giác nội tiếp. Tính toán; chứng minh. 
4a
 1,25
4b
 0,5
4b,c
 0,75
4c,d
 1,25
3,5 đ
Nâng cao
Nguyên tắc Dirichlet 
5
 0,5
5
0,5
1,0
TỔNG CỘNG
2 điểm
2 điểm
3 điểm
3 điểm
10,0 đ
M
Nhận biết
Thông hiểu
Vận dụng thấp
Vận dụng cao
Bài 1. (1,5 điểm)
1) Tính toán biểu thức 
2) Hàm số và đồ thị 
0,25đ
0,5đ
 0,5đ
0,25đ
0
0
0
0
Bài 2. (1,5 điểm)
1) Phương trình nghiệm nguyên
2) Số nguyên tố
0
0
0,25đ
0 
0,5đ
0
0
0,75đ
Bài 3. (2,5 điểm)
1) Phương trình
2) Hệ phương trình
3) GTLN, GTNN
0
0
0
0,25đ
0
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0
Bài 4. (3,5 điểm)
 a)
 b)
 c)
 d)
1,25đ
0,5đ
0
0
0,25đ
0,25đ
0
0
0,75đ
0,5đ
Bài 5. (1,0 điểm)
Bài toán tổng hợp
0
0
0
0
0,5đ
0
0,5đ
0
Tổng cộng
2,0đ
2,0đ
3,0đ
3,0đ
d/ Giả sử hai đường cao của ta giác đã cho có độ dài lần lượt là 20, 12. Hỏi đường cao thứ ba có độ dài bé hơn bao nhiêu.
Không mất tính tổng quát, giả sử hai đường cao kẻ từ A, B lần lượt là . Nhớ với 
Gọi là đường cao kẻ từ C.
Ta có . Lúc đó 
Theo bất đẳng thức trong tam giác ta có 
Suy ra 
Hoặc 
d/ Cho tam giác ABC vuông tại C. Gọi lần lượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C. Tìm gái trị lớn nhất của .
Theo định lý pitago ta có 
Lại có 
Áp dụng BĐT trên ta có 
Suy ra 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi , hay tam giác ABC vuông cân tại C. 
Vậy GTLN của là , đạt được khi tam giác ABC vuông cân tại C.
1/ Tìm điểm P trên cung nhỏ BC sao cho tổng có giá trị nhỏ nhất.
Giải. 
Ta có dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi hay P là điểm chính giữa của cung nhỏ BC.
	Xét hai tam giác và ta có 
 chung, (cùng chắn cung nhỏ BD của đường tròn (O))
Suy ra 
 d/ Gọi H là trực tâm tam giác ABC và N là giao điểm của AH và BC. Chứng minh rằng: 
Gọi H là trực tâm tam giác ABC và N là giao điểm của AH và BC. Chứng minh rằng: 
Gọi diện tích các tam giác ABC, HBC, HAC, HAB lần lượt là thì và .
Do đó 
Theo BĐT Cô Si ta có 
Suy ra 
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi , suy ra 
Nên H vừa là trọng tâm, trực tâm và là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên tam giác ABC đều. Điều này không xảy ra do tam giác ABC nhọn ()
Vậy