Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên quốc học môn : Toán thời gian làm bài: 150 phút

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC
 THỪA THIÊN HUẾ KHÓA NGÀY 19.6.2006
 * * * * * MÔN : TOÁN 
 Thời gian làm bài: 150 phút 
ĐỀ CHÍNH THỨC
Số báo danh: .......... Phòng: ........
Bài 1: (2,5 điểm)
Tìm các số thực biết : và .
Giải phương trình : .
Bài 2: (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O) có đường kính BD = 2R, dây AC của (O) vuông góc với BD tại H. Gọi P, Q, R, S theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AD, CD, CB.
Chứng tỏ : HA2 + HB2 + HC2 + HD2 = 4R2 .
Chứng minh tứ giác PQRS là tứ giác nội tiếp .
Chứng minh : PR + QS AB + AD .
Bài 3: (3 điểm) 
Đặt =; =. Chứng tỏ rằng : .
Chứng tỏ : 
 với mọi số thực .
Suy ra với là các số dương ta luôn có : .
Phân chia chín số : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 thành ba nhóm tuỳ ý, mỗi nhóm có ba số. Gọi T1 là tích của ba số của nhóm thứ nhất, T2 là tích của ba số của nhóm thứ hai và T3 là tích của ba số của nhóm thứ ba. Hỏi tổng : T1 + T2 + T3 có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu ?
Bài 4: (1 điểm)
 Một thùng sắt đậy kín hình lập phương. Biết rằng trong thùng chứa 9 khối có dạng hình cầu cùng bán kính, làm bằng chất liệu rất rắn .
 Chứng minh rằng nếu cạnh của thùng hình lập phương là a thì đường kính của các khối cầu bên trong nó nhỏ hơn hoặc bằng ()a.
 -------------------Hết---------------------
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC
 THỪA THIÊN HUẾ KHÓA NGÀY 19.6.2006
 * * * * * MÔN : TOÁN 
 THANG ĐIỂM - ĐÁP ÁN
Câu
 Nội dung
Điểm
1a
(1đ)
Ta có : và 
0,25
u3 và v3 là các nghiệm của phương trình: 
0,25
Do đó : hoặc 
0,25
Vậy: hoặc 
0,25
1b
(1,5đ)
Viết lại : 
0,25
0,25
Đặt : , phương trình trở thành: hay: 
0,25
Giải ra : 
0,25
Với , giải ra : 
0,25
Với ,giải ra : 
0,25
2a
(1đ)
A
O
S
R
Q
P
H
C
D
B
 HA2+ HB2 = AB2 
 HB2+ HC2 = BC2 
 HC2+ HD2 = CD2 
 HD2+ HA2 = DA2 
0,25
2(HA2+ HB2+ HC2+ HD2 )= AB2+ AD2 + BC2+ CD2 
0,25
 = 4R2 + 4R2 
0,25
Vậy : HA2+ HB2+ HC2+ HD2 = 4R2 
0,25
2b
(1đ)
Tứ giác HPBS nội tiếp : .
0,25
HPAQ là hình chữ nhật : . 
Do đó : .
0,25
Tương tự: 
0,25
Do nên SPQ+SRQ = 1800 
0,25
Chú ý: PQRS là hình thang cân.
2c
(1,5đ)
 Ta có : PRHP+HR 
0,25
Gọi E là trung điểm AB,ta có:HP HE =AB. Gọi F là trung điểm CD, 
HR HF =CD 
0,25
Do đó : PRAB +CD
0,25
Tương tự :QSBC +AD
0,25
Mà : AB=BC ; AD=CD 
0,25
 Do đó : PR + QS AB +AD 
0,25
3a
(1đ)
Cần chứng tỏ : 
0,25
Hay : (*)
0,25
Vế phải của (*) : 
0,25
Do : 2 =2 ; 3 =2 ; = =2 ; = nên (*) đúng .
0,25
Chú ý : Có thể trục căn ở mẫu của để chứng tỏ đẳng thức .
3b
(1đ)
Khai triển vế phải: được vế trái .
0,25
 Ta có : 
0,25
Đặt : x = , y = , z = ; x + y + z >0 vì a, b, c dương .
0,25
Từ đó hay : ++3.
0,25
3c
(1đ)
 Ta có : + + 3.
0,25
 = 1.2.3.4.5.6.7.8.9 = 72.72.70 > 713 
0,25
Do đó : + + > 213 mà:,,nguyên nên : + + 214.
0,25
Ngoài ra:214= 72 +72 +70 =1.8.9 + 3.4.6 +2.5.7,nên giá trị nhỏ nhất của ++ là 214 
0,25
 4
(1đ)
Gọi O là tâm của hình lập phương (L) đang xét. Dựng hình lập phương (L1) có cùng tâmO, có cạnh song song với cạnh của (L) và có độ dài cạnh là a-2r, với r là bán kính của các hình cầu. Chín tâm của 9 hình cầu đều nằm trong (L1) (hoặc ở trên mặt) . 
0,25
Chia (L1) thành 8 hình lập phương con bởi ba mặt phẳng qua O và song song với mặt của (L1) .Phải có một hình lập phương con (L2) trong chúng chứa ít nhất hai tâm hình cầu.
0,25
Đường chéo của hình lập phương con (L2) là :(a-2r) . 
Khoảng cách hai tâm hình cầu lớn hơn hoặc bằng 2r. 
0,25
Vì vậy (a-2r) 2r hay : 2r =(-3)a.
0,25