Kỳ thi trung học phổ thông quốc gia năm 2016 môn thi: Toán thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2016
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu I (1,0 điểm)
	1. Cho số phức . Tìm phần thực và phần ảo của số phức 
	2. Cho . Tính giá trị của biểu thức 
Câu II (1,0 điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 
Câu III (1,0 điểm). Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị. Gọi x1, x2 là hai điểm cực trị đó, tìm m để 
Câu IV (1,0 điểm). Tính tích phân 
Câu V (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm , và . Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng BC.
Câu VI (1,0 điểm)\
	1. Giải phương trình 
	2. Học sinh A thiết kế bảng điều khiển điện tự mở cửa phòng học của lớp mình. Bảng gồm 10 nút, mỗi nút được ghi một số từ 0 đến 9 và không có hai nút nào được ghi cùng một số. Để mở cửa cần nhấn liên tiếp 3 nút khác nhau sao cho 3 số trên 3 nút đó theo thứ tự đã nhấn tạo thành một dãy số tăng và có tổng bằng 10. Học sinh B không biết quy tắc mở cửa trên, đã nhấn ngẫu nhiên liên tiếp 3 nút khác nhau trên bảng điều khiển. Tính xác suất để B mở được cửa phòng học đó.
Câu VII (1,0 điểm). Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC = 2a. Hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AC, đường thẳng A'B tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 450. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và chứng minh A'B vuông góc với B'C.
Câu VIII (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BD. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng BC, BD và P là giao điểm của hai đường thẳng MN, AC. Biết đường thẳng AC có phương trình , và hoành độ điểm A nhỏ hơn 2. Tìm tọa độ các điểm P, A và B.
Câu IX (1,0 điểm). Giải phương trình
Câu X (1,0 điểm). Xét các số thực x,y thỏa mãn 
	1. Tìm giá trị lớn nhất của x + y.
	2. Tìm m để đúng với mọi x,y thỏa mãn (*)
Lời giải
Câu I:
	1. 
	2. 
	 (Do )
Câu II:
Ÿ Tập xác định D = R.
Ÿ Sự biến thiên
	Hàm số đồng biến trên đoạn và 
	Hàm số nghịch biến trên và 
	Hàm số đạt cực đại tại và x = 1, y cực đại = 
	Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yct = 0
Ÿ Giới hạn: 
	Bảng biến thiên
Câu III:
Để hàm có 2 cực trị x1, x2 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
Theo viet: 
Theo đề ta có: 
Câu IV:
Đặt 
Vậy I = 88.
Câu V:
Ta có: 
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC
Gọi H là hình chiếu của A trên BC
Phương trình đường thẳng BC:
Ta có 
 Vậy điểm H có tọa độ 
Câu VI:
	1) 
	2) Để mở cửa cần nhấn liên tiếp 3 nút khác nhau tạo thành dãy số tăng và có tổng bằng 10
Liệt kê ra các trường hợp thỏa mãn sau:
Gọi là số cách để B mở được cửa phòng : 8 cách
Ta có không gian mẫu 
Vậy xác suất để B mở được cửa phòng là 
Câu VII
Gọi H là trung điểm AC thì và hay A'H là chiều cao lăng trụ.
Khi đó, HB là hình chiếu của A'B trên đáy (ABC). Do đó,
 vuông cân tại B, AC =2a nên 
 nên 
Diện tích: 
Thể tích 
Ta có 
Như vậy AA'B'B là hình bình hành có cạnh bên nên là hình thoi, suy ra (1).
Mặt khác, 
Từ (1) và (2) suy ra, 
Câu VIII
Gọi I là trung điểm BD, hay I là tâm đường tròn
Ta có do 
Đồng thời nên 4 điểm A, B, M, N cùng thuộc đường tròn đường kính AB. Do đó, 
Như vậy, nên 4 điểm A, I, N, P cùng thuộc một đường tròn.
Suy ra , hay P là trung điểm AC.
MN đi qua có phương trình 
P là giao của MN và AC nên tọa độ thỏa mãn hệ 
 vuông tại M, P là trung điểm AC nên 
Giả sử 
BC đi qua có phương trình 
. BD đi qua N, vuông góc AN có phương trình .
B là giao của BC và BD nên tọa độ thỏa mãn hệ 
Câu IX:
Đk: 
Đặt , phương trình trở thành:
TH1: 
Thử lại kiểm tra ta được 
TH 2: 
Do 
Đặt , phương trình trên trở thành
Từ các TH trên, ta được nghiệm duy nhất 
Câu X:
a) Điều kiện 
từ (*) ta có 
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm, ta có
Suy ra 
Ta thấy thỏa mãn điều kiện (*) và 
Vậy GTLN của x + y là 7
b) Có 
Kết hợp với (**) ta có 
Với . Khi đó
Với đặt 
Xét , với 
f'(t) liên trục trên . Vì nên tồn tại sao cho f'(a) = 0
Suy ra f(t) nghịch biến trên (3;a) và đồng biến trên (a;7)
Có 	(1)
Ta chứng minh với và 
Với 
Với 
Vậy 	(2)
Từ (1), (2) thỏa mãn bài toán.
Ta có thỏa mãn bài toán và 
Vậy GTLN của P là