Kỳ thi olympic truyền thống 30 - 4 lần thứ 21 đề thi đề nghị môn: Toán ; lớp : 10

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP (TỈNH) TP HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG : THPT MẠC ĐĨNH CHI
	KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30 - 4 LẦN THỨ 21
Số Phách
	ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN: TOÁN ; LỚP : 10
Số phách
Câu hỏi 1: ( 4,0 điểm) 
Giải hệ phương trình 
Đáp án câu hỏi 1:
Điều kiện xác định: .
Phương trình thay vào ta được
.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được
 ;
vì .
Khi đó phương trình tương đương
Thay vào phương trình ta được
 (loại) (nhận).
Vậy hệ phương trình có nghiệm .
Câu hỏi 2: ( 4,0 điểm) 
Cho tam giác ABC có tanB = 3tanC. Gọi I là trung điểm của đoạn AB, O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và D là điểm sao cho . Chứng minh rằng OD^CI.
Đáp án câu hỏi 2:
Gọi A’, I’, O’ lần lượt là hình chiếu của A, I, O lên đường thẳng BC. 
Ta có: I’là trung điểm của BA’ và O’ là trung điểm của BC.
tanB = 3tanC suy ra các góc B, C đều là góc nhọn nên A’ thuộc đoạn BC và 
Ta được: 
 Ta có: OI ^ BI Þ
Nên = 0 + BC2 + BC2 – BC2 = 0. Suy ra OD^CI.
Câu hỏi 3: ( 3,0 điểm)
Cho là hai số thực dương thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của .
Đáp án câu hỏi 3:
Từ giả thiết, ta có:
 (vì ).
Đặt và ta dễ thấy và 	(1)
Từ giả thiết ta có , suy ra 	(2)
Từ (1) và (2) suy ra 
Theo BĐT Cauchy, ta có 
	(3)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Từ (1), (2) và (3) suy ra 
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng , khi .
Câu hỏi 4: ( 3,0 điểm) 
Tìm tất cả các số nguyên tố sao cho chia hết cho .
Đáp án câu hỏi 4:
	 đều khác . Không mất tính tổng quát ta giả sử . Khi đó từ giả thiết ta được hoặc 
* Trường hợp 1: , theo định lí Fermat ta có: 
* Trường hợp 2: , ta có 
 tồn tại 2 số nguyên dương sao cho 
Với , từ giả thiết ban đầu ta được:
Vậy 
Câu hỏi 5: ( 3,0 điểm) 
Tìm tất cả các tập hợp X là tập con của tập số nguyên dương thoả mãn các tính chất: X chứa ít nhất hai phần tử và với mọi thì tồn tại sao cho 
Đáp án câu hỏi 5:
	Giả sử tìm được tập hợp X thỏa mãn và là hai phần tử bé nhất của X. Khi đó, do cách xác định X nên tồn tại sao cho . Suy ra và do đó hoặc .
* Với vô lí.
* Với 
	+) Nếu thì tập hợp .
	+) Nếu , gọi là phần tử bé thứ ba của (tức là ). Khi đó tồn tại sao cho 
Do nên hoặc hoặc .
Nếu thì , vô lý. Vậy và 
Nhưng tồn tại sao cho , do đó . Mà , vô lý.
Vậy và .
Câu hỏi 6: ( 3,0 điểm)
Tìm các hàm số thỏa mãn điều kiện 
 (1).
Đáp án câu hỏi 6:
Giả sử tồn tại hàm số thỏa mãn điều kiện bài toán.
Đặt . Từ (1), cho , ta được
 (2)
Trường hợp 1: nếu hay ; từ (1) cho , ta được
.
Với hàm số luôn tồn tại thỏa điều kiện. Giả sử có một số nguyên thỏa mãn . Khi đó từ (1), cho , ta có .
suy ra hay (mâu thuẫn với giả thiết ).
Trường hợp 2: nếu . Từ (2), cho ta được
hoặc
suy ra hoặc . Tuy nhiên, ta chỉ xét .
Từ (1), cho ta được
 (3).
Từ (3) và , ta có . Từ (2), ta có
 (4).
Từ (1), cho ta được
 (5).
Từ (5), thay bởi , ta được
 ;
 (6).
Từ (3) và (6) ta có
 (7)
Từ (7) và , . Ta chứng minh được 
 . (Thỏa điều kiện bài toán).