Kỳ thi khảo sát lớp 12 năm học 2014 - 2015 môn: Toán thời gian làm bài: 180 phút; (không kể thời gian giao đề)

 1 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TỈNH ĐĂK NÔNG 
KỲ THI KHẢO SÁT LỚP 12 NĂM HỌC 2014-2015 
Môn: TOÁN 
Thời gian làm bài: 180 phút; 
(không kể thời gian giao đề) 
Bài 1. (2.0 điểm) Cho hàm số 2 1
1
xy
x
+
=
+
 có đồ thị ( )C . 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số. 
2. Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C , biết tiếp tuyến có hệ số góc 1k = . 
Bài 2. (1.0 điểm) Tính tích phân 
1
2
0
( 1)I x x dx= −∫ 
Bài 3. (1.0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm (1; 2;3)M − và mặt 
phẳng ( )P có phương trình 2 2 5 0x y z− + − = . 
 1. Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( )P . 
 2. Viết phương trình mặt phẳng ( )Q đi qua điểm M và song song với mặt phẳng ( )P . 
Bài 4. (1.0 điểm) Cho lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C , có đáy ABC là tam giác vuông cân 
tại B . Biết 3 AB cm= , ' 3 2 BC cm= . 
1. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho; 
2. Tính góc hợp bởi đường thẳng 'BC và ( ' ')mp ACC A . 
Bài 5. (1.0 điểm) Giải phương trình 2sin 2 sin
4 4 2
x x
pi pi   
− + + =   
   
 . 
Bài 6. (1.0 điểm) Với các chữ số của tập hợp { }0;1;2;3;4;5 , viết được bao nhiêu số tự 
nhiên gồm 5 chữ số, trong đó có hai chữ số 1, ba chữ số còn lại khác nhau từng đôi và 
khác 1. 
Bài 7. (1.0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy các điểm ( 2; 2)A , (2 2;0)B và 
( 2; 2)C − . Các đường thẳng (d1) và (d2) cùng đi qua gốc tọa độ và hợp với nhau góc 
45o. Biết rẳng (d1) cắt đoạn AB tại M và (d2) cắt đoạn BC tại N. Khi tam giác OMN có 
diện tích bé nhất, hãy tìm M và viết phương trình các đường thẳng (d1) và (d2) 
Bài 8. (1.0 điểm) Giải hệ phương trình sau ( )
2 23 2 4 3 4
4 2 2 2
x y xy x y
x y x y xy
 + + = −

+ + = + −
 . 
Bài 9. (1.0 điểm) Với các số dương x và y có tổng bé hơn 1. 
Chứng minh rằng 1 4 9 36
1x y x y
+ + ≥
− −
. 
-----HẾT----- 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
www.NhomToan.com
Cảm ơn thầy Nguyễn Thành Hiển https://www.facebook.com/HIEN.0905112810 đã chia sẻ đến 
www.laisac.page.tl
 1 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TỈNH ĐĂK NÔNG 
KỲ THI KHẢO SÁT LỚP 12 NĂM HỌC 2014-2015 
Môn: TOÁN 
Thời gian làm bài: 180 phút; 
(không kể thời gian giao đề) 
HƯỚNG DẪN CHẤM 
Bài Đáp án Điểm 
1 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số 2 1
1
xy
x
+
=
+
. 1,0 
 Tập xác định: { }\ 1D = −
 
Giới hạn: lim 2
x
y
→+∞
= , lim 2
x
y
→−∞
= , suy ra 2y = là tiệm cận ngang của đồ thị 
1 1
lim , lim
x x
y y
+ −→− →−
= −∞ = +∞ , suy ra 1x = − là tiệm cận đứng của đồ thị 
0,25 
Đạo hàm: ( )2
1
' 0, 1
1
y x
x
= > ∀ ≠ −
+
Bảng biến thiên: 
2
-∞
+∞
+
+∞-1
2
+
-∞
y
y'
x
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ); 1−∞ − và ( )1;− +∞ 
Hàm số không có cực trị 
0,25 
 Đồ thị: 
Với x = 0 ta có y = 1 
Với x = – 2 ta có y = 3 
0,5 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
 2 
 2. Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C , biết tiếp tuyến có hệ số góc 1k = . 1,0 
 Giả sử ( )0 0;M x y là tọa độ tiếp điểm. 
Theo giả thiết ta có ( )
0
0 2
00
01
'( ) 1 1
21
x
y x
xx
=
= ⇔ = ⇔ 
= −+ 
0,5 
 Với 0 00 1x y= ⇒ = . Phương trình tiếp tuyến là: 1y x= + 0,25 
 Với 0 02 3x y= − ⇒ = . Phương trình tiếp tuyến là: 5y x= + 0,25 
2 
Tính tích phân 
1
2
0
( 1)I x x dx= −∫ 1,0 
Ta có 
1
3 2
0
( 2 )I x x x dx= − +∫ 0,25 
14 3 2
0
2
4 3 2
x x x 
= − + 
 
 0,5 
 1
12
I = 0,25 
3 1. Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( )P là: 
( )( ) 1 2( 2) 2.3 5, 2
1 4 4
d M P
− − + −
= =
+ +
 (đơn vị độ dài) 0,5 
 2. Viết phương trình mặt phẳng ( )Q đi qua điểm M và song song với mặt 
phẳng ( )P . 0,5 
 Mặt phẳng ( )P có véctơ pháp tuyến ( )1; 2;2n = − . Vì ( ) //( )Q P nên 
( )1; 2;2n = − cũng là một véctơ pháp tuyến của ( )Q . 0,25 
 Phương trình của mặt phẳng ( )Q là: 1.( 1) 2.( 2) 2( 3) 0x y z− − + + − = 
Hay 2 2 11 0x y z− + − = 0,25 
4 1. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho; 0,5 
 Vẽ hình: 0,5 
 3 
H
C'
B'
A'
C
BA
Diện tích đáy của khối lăng trụ: 9
2
S = (cm2) 
 Chiều cao của khối lăng trụ: 2 2' ' 3h CC BC BC= = − = (cm) 0,25 
 Thể tích của khối lăng trụ đã cho: ( )39 27. .32 2V S h cm= = = 0,25 
 2. Tính góc hợp bởi đường thẳng 'BC và ( ' ')mp ACC A . 0,5 
 Gọi H là trung điểm của cạnh AC , suy ra 'HC là hình chiếu của 'BC lên 
mặt phẳng ( )' 'ACC A . 0,25 
 Do đó ( )( ) ( )', ' ' ', 'BC ACC A BC HC= 0,25 
Ta có tam giác 'BHC vuông tại H , cạnh 3 2
2
BH cm= . 0,25 
 Ta có  1sin ' ' 30
' 2
oBHHC B HC B
BC
= = ⇒ = . Vậy ( )( )', ' ' 30oBC ACC A = 0,25 
5 Biến đổi phương trình đã cho thành 
sin 2 sin sin
4 4 4
x x
pi pi pi   
− − = − +   
   
0,25đ 
⇔ ( )2cos sin sin
4 4
x x x
pi pi   
− − = − +   
   
⇔ ( )2cos sin cos
4 4
x x x
pi pi   
− = −   
   
0,25đ 
 Với cos 0
4
x
pi 
− = 
 
, ta có 
4 2
x kpi pi pi− = + hay là 
4
x kpi pi= − + 0,25đ 
 4 
Với ( ) 1s in x
2
= , ta có 
2
6
5 2
6
x k
x k
pi
pi
pi
pi

= +


= +

Ta có 3 họ nghiệm 
4
2
6
5 2
6
x k
x k
x k
pi
pi
pi
pi
pi
pi

= − +


= +


 = +

0,25đ 
6 Trường hợp trong số tự nhiên có chữ số 0: 
Có 2 24 44. . 288C A = số tự nhiên 
(Có 4 cách đưa số 0 vào các hàng của số tự nhiên, mỗi cách chọn số 0 ta 
có 24C cách đưa số 1 vào hai hàng của số tự nhiên. Còn lại 2 hàng, có 
2
4A cách chọn 2 chữ số (trong các chữ số 2, 3, 4, 5) để đưa vào). 
0,5đ 
 Trường hợp trong số tự nhiên không có chữ số 0: 
Có 2 35 4. 240C A = số tự nhiên. 
Kết quả có 528 số tự nhiên. 
0,5đ 
7 Gọi α là góc giữa (d1) với chiều dương trục hoành, β là góc giữa (d2) với 
chiều dương trục hoành, với α + β = 45o. 
Ta có 
2
cos
2
cos
OM
ON
α
β

=



=

 . 
Như vậy tam giác OMN có diện tích là 
1
. . .sin 45
2
oS OM ON= 
Hay là 2
2cos .cos
S
α β= 
Hay là ( )
2
cos45 coso
S
α β= + − 
0,25đ 
 Tam giác OMN có diện tích bé nhất với điều kiện ( )cos 1α β− = , tức là 
α β= . 
Và ta có 
8
pi
α β= = 
0,25đ 
 Lúc này (d1) là phân giác của góc AOB , do đó điểm M chia đoạn AB theo 
tỷ số 1
2
OAk
OB
= − = − 
Tọa độ điểm M sẽ là 
2
2( 2 1)
M
M
x
y
=

= −
0,25đ 
 5 
 Phương trình đường thẳng 1( ) : tan 8d y x
pi
= hay là ( )1( ) : 2 1d y x= − , 
Đường thẳng (d2) đối xứng với (d1) qua trục hoành nên phương trình 
đường thẳng ( )2( ) : 2 1d y x= − + . 
0,25đ 
Xét hệ phương trình sau ( )
2 23 2 4 3 4 (*1)
(*2)4 2 2 2
x y xy x y
x y x y xy
 + + = −

+ + = + −
 . 
Ta phân tích phương trình (*1): 2 23 2 4 3 4x y xy x y+ + = − 
Trở thành ( ) ( )3 2 2 1 0x y y x+ − + = 
Hay là 3 2 0
2 1 0
x y
y x
+ =

− + =
0,25đ 
 Còn phương trình (*2): ( )4 2 2 2x y x y xy+ + = + − được phân tích thành 
( )22 0x y+ − = 
Hay là 2 0x y+ − = 
0,25đ 
Xét hệ 
3 2 0
2
x y
x y
+ =

+ =
, ta có hệ vô nghiệm 
0,25đ 
Xét hệ 
2 1 0
2
y x
x y
− + =

+ =
, ta có 23 8 7
11 4 7
x
y
 = −

= +
0,25đ 
 Đặt 1 x y z− − = , ta có 1x y z+ + = , ta cần chứng minh 1 4 9 36
x y z
+ + ≥ . 
0,25đ 
 Do 1x y z+ + = , nên ta đặt lại ax
a b c
=
+ +
, 
by
a b c
=
+ +
 và cz
a b c
=
+ +
, với a, b và 
c là các số dương. Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 
4( ) 9( ) 36a b c a b c a b c
a b c
+ + + + + +
+ + ≥ 
0,25đ 
 Hay là 4 4 9 91 4 9 36b c a c a b
a a b b c c
+ + + + + + + + ≥ 
Hay là 4 4 9 9 22b c a c a b
a a b b c c
+ + + + + ≥ 
0,25đ 
 Hay là 4 9 4 9 22b a c a c b
a b a c b c
     
+ + + + + ≥     
     
Áp dụng bất đẳng thức Cô - si 3 lần ta có điều phải chứng minh. 
Dấu bằng xảy ra: 1 4 9 36
x y z
+ + = khi và chỉ khi 
4 9 4 9 22b a c a c b
a b a c b c
     
+ + + + + =     
     
Như vậy 
2
3
b a
c a
=

=
. Lúc này 
1
6
1
3
x
y

=


=

. 
0,25đ 
Cảm ơn thầy Nguyễn Thành Hiển https://www.facebook.com/HIEN.0905112810 đã chia sẻ đến 
www.laisac.page.tl