Kỳ thi khảo sát chất lượng học sinh giỏi năm học 2015 - 2016 môn thi: Toán - lớp 9 thcs thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

PHÒNG GD&ĐT SẦM SƠN
Số báo danh
........................
TRƯỜNG THCS NGUYỄN HỒNG LỄ
KỲ THI KSCL HỌC SINH GIỎI 
Năm học 2015 - 2016
Môn thi: TOÁN - Lớp 9 THCS
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu)
Câu I (4,0 điểm): Cho biểu thức Q = 
1. Rút gọn Q.
2. Tìm giá trị của x để Q = 2016 - 2016.
Câu II (5,0 điểm).
1.Giải phương trình 
2. Giải hệ phương trình: 
Câu III (4,0 điểm).
1. Cho A = (với n > 1). 
Chứng minh A không phải là số chính phương.
2. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: xy2 + 2xy – 243y + x = 0
Câu IV (6,0 điểm) : Cho đường tròn tâm O cố định .Một đường thẳng d cố định cắt (O) tại A,B;M là điểm chuyển động trên d (ở ngoài đoạn AB).Từ M kẻ hai tiếp tuyến MP và MN với đường tròn.
1.CMR:Đường tròn đi qua ba điểm M,N,P luôn đi qua một điểm cố định khác O.
2.Tìm tập hợp các tâm I của đường tròn đi qua M,N,P.
3.Tìm trên d một điểm M sao cho tam giác MNP là tam giác đều.
Câu V (1,0 điểm) : Cho x, y,z là các số thực dương thoả mãn x + y+ z = 3. Chứng minh rằng: 
 .
----- HẾT -----
 Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Câu
Ý
Lời giải (vắn tắt)
Điểm
I
(4,0đ)
1
(2,5đ)
Điều kiện: .
Với x ≥ 0 và x ¹ 1, dùng phương pháp “hữu tỷ hóa” biểu thức Q bằng cách:
 đặt ta có:
0, 5
0,50
0,50
.
0,5
0,5
2
(1,5đ)
Q = 2016 - 2016 Û = 2016 - 2016
Û
0,50
Û 
0,50
Kết hợp với ĐKXĐ: x ≥ 0 và x ¹ 1 Þ x = 4064256 là giá trị cần tìm
0,50
II
(4,0đ)
1
(2,0đ)
Để phương trình có nghiệm thì : 
0,25
. 
0,50
0,50
Chứng minh được 
0,50
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2}
0,25
2
(2,0đ)
Điều kiện: 
Nếu x > y 0 thì VT(2) >0, VP(2) < 0 nên hệ phương trình vô nghiệm.
Nếu y > x 0 thì VT(2) 0 nên hệ phương trình vô nghiệm.
0,75
Nếu x= y kết hợp với 1 ta có hpt:
Kết hợp với điều kiện ta được 
0,75
0,50
III
(4,0đ)
1
(2,0đ)
0,50
với , n > 1 thì > 
0,50
và < 
0,50
Vậy << không là số chính phương 
 đpcm
0,50
2
(2,0đ)
Ta có xy2 + 2xy – 243y + x = 0 x(y + 1)2 = 243y (1)
0,50
Từ (1) với chú ý rằng (y + 1; y) = 1 ta suy ra (y + 1)2 là ước của 243.
suy ra (y + 1)2 =9 hoặc 81
0,50
Với (y + 1)2 = 9 
Với (y + 1)2 = 81 
Vậy (x, y) = (54, 2) ; (24, 8)
1. 0
IV
(6,0đ)
1
(2.5 đ)
.Gọi K là trung điểm của AB. 
Chứng minh được tứ giác MNOK nội tiếp được trong một đường tròn(1)
Chứng minh được tứ giác MNOP nội tiếp được trong một đường tròn(2)
Từ (1) và (2) suy ra được M,N,O,K,P nội tiếp được trong một đường tròn.
Suy ra K là điểm cố định cần tìm.
0,50
0,50
0,50
1, 0
2
(2,0đ)
. Tâm I của đường tròn đi qua M,N,P là trung điểm của OM.
Từ I hạ IJ vuông góc với AB.Dễ thấy IJ = (1/2).OK=const.
Vậy có thể phán đoán quĩ tích của I là đường thẳng song song với AB cách AB một khoảng bằng một nửa đoạn OK trừ đoạn XY với X,Y lần lượt là trung điểm của OA và OB.
0,50
0,50
1,0
3
(1.5 đ)
Giả sử tam giác MNP đều thế thì: OM = 2.OP = 2R.
MK2 = MO2 - OK2 = 4R2 - OK2 = const.
Từ đó có hai điểm M thảo mãn bài ra.
0,50
0,50
0,50
V(1đ)
0,50
Áp dụng BĐT Bunhiaxcopki
Ta cần chứng minh (*)
Thật vây: đặt 
0,50
BĐT cuối cùng hiển nhiên đúng do đpcm.
0,50
Chú ý: 
1) Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định.
2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải bảo đảm không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong tổ chấm.
3) Điểm bài thi là tổng điểm không làm tròn.