Kỳ thi học sinh giỏi lớp 9 thcs môn thi: Toán thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS 
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH CẤP THÀNH PHỐ 
 KHÓA THI NGÀY 22/03/2016 
 Môn thi: TOÁN 
 Thời gian làm bài:150 phút 
 (không kể thời gian phát đề) 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
 (Đề thi gồm 02 trang) 
Bài 1. (2 điểm) 
Cho hai số thực phân biệt a , b thỏa điều kiện ab a b  . 
Tính giá trị của biểu thức 
a b
A ab
b a
   
Bài 2. (3 điểm) 
Giải phương trình : 
4 3
5 1 2
5
x
x x

    
Bài 3. (3 điểm) 
Cho 2 số x1 và x2 là các nghiệm của phương trình 
2 0x ax b   , đồng thời 21
1
2
x  
và 
2
2
1
2
x  cũng là các nghiệm của phương trình 2 2 2
1 1
( ) 0
2 2
x a x b     . Tìm a 
và b. 
Bài 4. (4 điểm) 
a) Cho 2 số thực , ( 0)x y x y  . Chứng minh rằng: 
2
2 2 1 2
xy
x y
x y
 
   
 
b) Trong một hình vuông có cạnh bằng 1, ta lấy 5 điểm tùy ý. Chứng minh rằng 
luôn tồn tại 2 điểm có khoảng cách không vượt quá 
2
2
 . 
Bài 5. (5 điểm) 
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Một đường tròn (K) 
qua A tiếp xúc với cạnh BC tại D, cắt AB, AC lần lượt tại P, Q và cắt (O) tại E khác 
A. Tia ED cắt (O) tại F khác E. Chứng minh rằng: 
a)  CAD FAB . 
b) 
.
.
PQ DP DQ
BC DB DC
 
Còn tiếp trang sau 
 Bài 6. (3 điểm) 
Chiều 13/3, Công ty khai thác thủy lợi hồ Dầu Tiếng - Phước Hòa cho biết đã kết 
thúc đợt xả nước đẩy mặn xuống sông Sài Gòn. Đây là lần xả nước thứ 5 từ đầu năm, 
giúp người dân Sài Gòn đảm bảo nước sinh hoạt, phục vụ nông nghiệp. 
Đợt xả nước công suất 30 m3/s kéo dài trong 3 ngày, mặn đã được đẩy ra các cửa 
sông. Theo đơn vị này, sau đợt xả, mực nước trong hồ cao khoảng 20 m, trữ lượng gần 
850 triệu m3. 
Tuy giúp các nhà máy nước hạ lưu hoạt động được nhưng nhiều chuyên gia bày tỏ 
lo lắng bởi trữ lượng tại các hồ đầu nguồn thấp trong khi dự báo đợt hạn mặn có thể kéo 
dài đến tháng 5. Hiện các hồ phải căn kéo trong việc xả nước đẩy mặn để phục vụ cho 
nông nghiệp và hoạt động sản xuất nước. 
Về nguyên nhân xâm nhập mặn, ông Phạm Thế Vinh - Viện Khoa học Thủy lợi 
miền Nam - cho rằng, hạn mặn diễn ra mạnh vì El Nino kéo dài khiến khu vực Nam bộ rất 
ít mưa. Ngoài ra, việc triều cường kéo dài đến tháng 2, 3 khiến nước mặn đi sâu vào các 
cửa sông . Ông Bùi Thanh Giang - Phó tổng giám đốc Công ty cấp nước Sài Gòn 
(Sawaco) - cho biết, năm nay trữ lượng nước về các hồ đầu nguồn giảm mạnh . Trong đó, 
lượng nước tích trữ của hệ thống hồ Dầu Tiếng - Phước Hòa trên thượng nguồn sông Sài 
Gòn hiện chỉ đạt khoảng 70%. Lưu lượng của hồ Trị An trên sông Đồng Nai chỉ đạt 
khoảng 80% so với trung bình hằng năm .Về giải pháp lâu dài, Sawaco kiến nghị UBND 
TP HCM cho phép xây dựng hồ trữ nước thô cho nguồn nước sông Sài Gòn với vốn thực 
hiện từ ngân sách. Ngoài ra, đơn vị cũng đề xuất nâng cao công nghệ xử lý nước nhưng 
việc này đỏi hỏi chi phí đầu tư, vận hành cao (Nguồn vnexpress.net). 
a) Hãy cho biết lượng nước mà hồ Dầu Tiếng đã xả ra trong 3 ngày vừa qua? 
b) Nếu tiếp tục xả 20% lượng nước hiện có để ngăn mặn (với tốc độ xả như trên) thì 
công việc này sẽ mất khoảng bao nhiêu ngày. 
c) Giả sử việc xả nước chống mặn diễn ra liên tục từ hôm nay (22/3) đến hết ngày 
15/5, tính lượng nước mà hồ đã xả ra trong khoảng thời gian này. 
HẾT 
ĐÁP ÁN 
Bài 1. (2 điểm) 
Cho hai số thực phân biệt a , b thỏa điều kiện ab a b  . 
Tính giá trị của biểu thức 
a b
A ab
b a
   
2 2 2 2 2 2 2( ) 2
2
a b a b a b a b ab a b
A ab
b a ab ab
    
      (2đ)
Bài 2. (3 điểm) Giải phương trình : 
4 3
5 1 2
5
x
x x

    
Điều kiện: 
1
5
x 
4 3 4 3 4 3
5 1 2
5 55 1 2
x x x
x x
x x
  
     
  
 (1đ)
3 3
4 4
5 1 2 5 5 1 3 2 2 0
x x
x x x x
 
   
 
           
 (1đ)
3
3
4
4
5( 2) 2
0 2
5 1 3 2 2
x
x
x x
x
x x

   
        
 (1đ) 
Bài 3. (3 điểm) 
Cho 2 số x1 và x2 là các nghiệm của phương trình 
2 0x ax b   , đồng thời 21
1
2
x  và 
2
2
1
2
x  cũng là các nghiệm của phương trình 2 2 2
1 1
( ) 0
2 2
x a x b     . Tìm a và b. 
Theo định lý Viete ta có : 
1 2 1 2 ; ;x x a x x b    (0,5đ)
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2
1 1 1 1 1 1
 ; ( )( ) 
2 2 2 2 2 2
x x a x x b          (0,5đ) 
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2
1 1 1 3
2 2 2 2
x x a x x a          (0,5đ) 
2 2 2
1 2 1 2
3 3
( ) 2 2 2
2 2
x x x x a a b        (0,5đ) 
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 1 1
( )( ) ( )
2 2 2 2 4 2
x x b x x x x b          (0,5đ) 
2 2
1 2
3 3
0
2 4
x x a b        (0,5đ) 
Thử lại điều kiện có nghiệm, ta nhận 
3
0, 
4
a b   
Bài 4. (4 điểm) 
a) Cho 2 số thực , ( 0)x y x y  . Chứng minh rằng: 
2
2 2 1 2
xy
x y
x y
 
   
 
2
2 2 2 2 2 2 21 2 ( ) ( ) (1 ) 2( )
xy
x y x y x y xy x y
x y
 
          
 
 (0,5đ) 
4 2 2 2( ) 2 ( ) (1 ) 2( ) 0x y xy x y xy x y         (0,5đ) 
4 2 2( ) 2( ) (1 ) (1 ) 0x y x y xy xy        (0,5đ) 
2
2( ) (1 ) 0x y xy       (Đúng) (0,5đ) 
Cách khác: Đặt 
1
1
xy
z xy yz zx
x y

      

2 2 2 2( ) 2( ) 2x y z x y z xy yz zx          đpcm 
b) Trong một hình vuông có cạnh bằng 1, ta lấy 5 điểm tùy ý. Chứng minh rằng luôn tồn 
tại 2 điểm có khoảng cách không vượt quá 
2
2
 . 
Ta chia hình vuông đã cho thành 4 hình vuông nhỏ có cạnh bằng 
1
2
. (0,5đ) 
Theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại 2 điểm cùng thuộc một hình vuông nhỏ 
nên khoảng cách giữa chúng không vượt quá đường chéo hình vuông này. (1đ) 
Đường chéo hình vuông nhỏ là 
2
2
đpcm. (0,5đ) 
Bài 5. (5 điểm) 
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Một đường tròn (K) 
qua A tiếp xúc với cạnh BC tại D, cắt AB, AC lần lượt tại P, Q và cắt (O) tại E khác 
A. Tia ED cắt (O) tại F khác E. Chứng minh rằng: 
a)  CAD FAB . 
b) 
.
.
PQ DP DQ
BC DB DC
 
a)  CAD FAB 
Ta có  ACB AFB (cùng chắn cung AB) (0,5đ) 
 ADB AED (cùng chắn cung AD) (0,5đ) 
   0 0180 180ADC ADB AED ABF     (0,5đ) 
Suy ra ∆ADC ∽∆ABF  CAD FAB (0,5đ) 
b) 
.
.
PQ DP DQ
BC DB DC
 
∆ADC ∽∆ABF 
AD CD
AB BF
 (0,5đ) 
∆PDB ∽∆DAB  
AD DP
AB DB
 (0,5đ) 
 . .
CD DP
DB DC DP BF
BF DB
   (0,5đ) 
∆PDQ ∽∆CFB  
.PQ DQ DQ BC
FB
BC FB PQ
   (0,5đ) 
. .
. .
.
DQ BC PQ DP DQ
DB DC DP
PQ BC DB DC
    (1đ) 
Bài 6. (3 điểm) 
a/ Lượng nước xả ra trong 1 ngày: 24.3600.30 = 2 592 000 m3 (0,5đ) 
Lượng nước xả ra trong 3 ngày: 2 592 000 . 3 = 7 776 000 m3 (0,5đ) 
b/ 20% lượng nước hiện có: 850 triệu m3 . 20% = 170 triệu m3 (0,5đ) 
Số ngày dùng để xả lượng nước trên: 170. 106 : 2 592 000 ≈ 65,5 ngày (0,5đ) 
c/ Từ 22/3 đến hết 15/5 có 55 ngày (0,5đ) 
Lượng nước xả ra là : 55. 2 592 000 = 142 560 000 m3 (0,5đ)