Kỳ thi học sinh giỏi lớp 12 thpt môn thi: Toán thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT 
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH CẤP THÀNH PHỐ 
 KHÓA THI NGÀY 09/03/2016 
 Môn thi: Toán 
 Thời gian làm bài:150 phút 
 (không kể thời gian phát đề) 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
 (đề thi gồm 01 trang) 
Bài 1. (3 điểm) 
Giải phương trình: 
2
2 ( 1)(2 ) 41
x x
x
x x
 
   . 
Bài 2. (4 điểm) 
Giải hệ phương trình: 
2
2 2
2
3 3
1
( )( 2) 2ln
1
( 2)log log 1
y y
x y x xy y
x x
x x y y x
  
    
  

   
Bài 3. (3 điểm) 
Cho ,x y là các số thực thỏa mãn: 2 2
3
2( )
2
x y x y    . Tìm giá trị lớn 
nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
2 2
6 2( 1)( 1)
( 1) ( 1)
x y
P
x y
  

  
. 
Bài 4. (3 điểm) 
Tìm m để phương trình: (sin 2 1) 1 ( 3)(sin cos )m x m x x     có đúng 
hai nghiệm phân biệt trên đoạn [0; ]
2

. 
Bài 5. (4 điểm) 
Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD biết AB = 2, CD = 2 3 , 
  090ABC BAD  và góc giữa AD và BC bằng 300. 
Bài 6. (3 điểm) 
Trong một buổi tọa đàm về “Tình yêu tuổi học đường” tại lớp 12A, có tất 
cả 21 bạn tham gia và có 4 cặp có tình cảm với nhau (không có học sinh nào 
thuộc về nhiều cặp). Cô giáo chọn ra 5 bạn để tham gia một trò chơi tập thể. 
Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà trong đó, có ít nhất một cặp có tình cảm với 
nhau? 
 HẾT 
ĐÁP ÁN 
Bài 1. (3 điểm) Giải phương trình: 
2
2 ( 1)(2 ) 41 (*)
x x
x
x x
 
   . 
Lời giải. 
Điều kiện    
2( 1)(2 )
0 1;0 1;2
x x
x
x
 
     . (0,5đ) 
Vế trái của (*) dương nên 
4
0 0x
x
   , do đó, ta chỉ cần xét  1;2x và ta có: 
3 2( 1)(2 ) 4x x x x x    
 (0,5đ) 
3 3( ) 2(2 ) ( )(2 ) 0x x x x x x        
Đặt 3 0, 2 0u x x v x      thì ta có 
2 22 0 ( )( 2 ) 0
2 0
u v uv u v u v
u v
u v
      

    (1đ)
Phương trình thứ hai vô nghiệm vì ,u v không thể đồng thời bằng 0. Do đó 
3
3 3 3
2
2 2 2
u v x x x
x x x x x
    
        
So sánh điều kiện, ta thấy nghiệm này thỏa mãn nên phương trình (*) 
có nghiệm duy nhất là 3 2x  (1đ) 
Bài 2. (4 điểm) Giải hệ phương trình: 
2
2 2
2
3 3
1
( )( 2) 2ln
1
( 2)log log 1
y y
x y x xy y
x x
x x y y x
  
    
  

   
Lời giải. 
Điều kiện xác định: ,x y R  
Phương trình đầu 3 3 2 22( ) 2ln( 1) 2ln( 1)x y x y y y x x          
3 2 3 22 2ln( 1) 2 2ln( 1)x x x x y y y y          
Xét 3 2( ) 2 2ln( 1)f t t t t t     (1đ) 
 Tập xác định: R 
2
2
2
'( ) 3 2
1
f t t
t
  

 Đặt 2 1; 1u t u   
=>
3
2 2
2
2 2 3 5 2
3 2 3( 1) 2
1
u u
t u
u ut
 
      

= 
2( 1)(3 3 2)
0
u u u
u
  
 1u  
3 24 ( 1)(2 ) 0x x x x x      
/ ( ) 0f t  t R  hay ( )f t là hàm đồng biến trên R 
Từ ( ) ( )f x f y x y   (1đ) 
Thay vào phương trình thứ hai, ta được: 3(2 2)log 1x x x   
x = 1 không là nghiệm  x  1 (0,25đ) 
Phương trình 3
1
log ( 0, 1)
2 2
x
x x x
x

   

VT là hàm đồng biến trên (0, ) (0,25đ) 
VP nghịch biến trên từng khoảng ( ;1) à (1;+ )v  (0,25đ) 
 nên phương trình trên có không quá 2 nghiệm. (0,25đ) 
Nhẩm được 3x  và 
1
3
x  là nghiệm (0,5đ) 
Suy ra phương trình có đúng 2 nghiệm là 3x  và 
1
3
x  . 
Kết luận : Tập nghiệm của hệ là : (x ;y) 
1 1
(3;3);( ; )
3 3
 
 
  
(0,5đ) 
Bài 3. (3 điểm) 
Cho ,x y là các số thực thỏa mãn: 2 2
3
2( )
2
x y x y    . Tìm giá trị lớn 
nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
2 2
6 2( 1)( 1)
( 1) ( 1)
x y
P
x y
  

  
. 
Lời giải. 
2 2 2 23 12( ) ( 1) ( 1)
2 2
x y x y x y         
Đặt 1, 1a x b y    
Ta có P = 12 – 4ab với a2 + b2 = 
1
2
 (1đ) 
Do 
2 2 2 2( ) 2a b ab a b     nên 11 13P  (1đ) 
GTLN của P là 13 khi 
3 1
( , ) ;
2 2
x y
 
  
  
(0,5đ) 
GTNN của P là 11 khi 
1 1
( , ) ;
2 2
x y
 
  
 
 (0,5đ) 
Bài 4. (3 điểm) 
Tìm m để phương trình: (sin 2 1) 1 ( 3)(sin cos )m x m x x     (*) có 
đúng hai nghiệm phân biệt trên đoạn [0; ]
2

. 
Lời giải. 
Đặt sin cos (1 2)t x x t    , (0,5đ) 
 (*)
2 21 ( 3) ( ) 3 1mt m t m t t t        (**) 
t = 1 không thỏa phương trình (**) 
(**)
2
3 1
( ) (1 2)
t
m f t t
t t

    
 
(0,5đ) 
2
/
2 2
3 2 1
( ) 0 (1; 2]
( )
t t
f t t
t t
 
   

Suy ra f đồng biến trên (1; 2] (0,5đ) 
Ứng với mỗi (1; 2)t ptrình sin cost x x  có đúng 2 nghiệm (0; )
2
x


(0,75đ) 
Như vậy (*) có đúng hai nghiệm phân biệt trên đoạn [0; ]
2

 khi 
8 7 2
( 2)
2
m f

  
(0,75đ) 
Bài 5. (4 điểm) 
Cho tứ diện ABCD có AB = 2, CD = 2 3 ,   090ABC BAD  và góc giữa 
AD và BC bằng 300. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. 
Lời giải. 
Dựng hình chữ nhật ABCE. Ta có AB, CE vuông góc với mp(ADE) và (AD,AE) =300. 
J I
CE
A B
D
K O
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, AE; K là tâm đường tròn ngoại tiếp ADE; O là 
tâm mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp D.ABCE. (1đ) 
Suy ra OK  (ADE) và OI  (ABCD), KJ AE (1đ) 
 OIJK là hình chữ nhật. (0,5đ) 
Ta có 2 2 2 2DE DC CE   (0,5đ) 
2 2
2sin( , )
DE
AK
AD AE
   (0,5đ) 
2 2 2 2 3OA AK OK AK IJ      (0,5đ) 
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng 3. 
Bài 6. (3 điểm) 
Trong một buổi tọa đàm về “Tình yêu tuổi học đường” tại lớp 12A, có tất 
cả 21 bạn tham gia và có 4 cặp có tình cảm với nhau (không có học sinh nào 
thuộc về nhiều cặp). Cô giáo chọn ra 5 bạn để tham gia một trò chơi tập thể. 
Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà trong đó, có ít nhất một cặp có tình cảm với 
nhau? 
Lời giải. 
Gọi A là nhóm các học sinh có tình cảm với nhau (gồm 8 học sinh) và B là nhóm các 
học sinh còn lại (gồm 13 học sinh) (0,25đ) 
* Trường hợp 1: Có đúng 1 cặp có tình cảm với nhau. 
 Đầu tiên chọn 1 cặp có tình cảm với nhau: Có 4 cách chọn. (0,25đ) 
 Tiếp theo ta chọn 3 học sinh trong đó không có 2 em nào có tình cảm với nhau, 
có 4 trường hợp: 
+ 3 HS thuộc nhóm A: Có 32 cách chọn. (0,25đ) 
+ 2 HS thuộc nhóm A và 1 HS thuộc nhóm B: Có 2 2 1
3 13.2 .CC cách chọn. (0,25đ) 
+ 1 HS thuộc nhóm A và 2 HS thuộc nhóm B: Có 1 2
3 13.2.C C cách chọn. (0,25đ) 
+ 3 HS thuộc nhóm B: Có 3
13C cách chọn. (0,25đ) 
Như vậy số cách chọn trong trường hợp 1 là 3 2 2 1 1 2 3
3 13 3 13 134(2 .2 . .2. )C C C C C   
=3672 (0,25đ) 
* Trường hợp 2: Có đúng 2 cặp có tình cảm với nhau. 
 Đầu tiên chọn 2 cặp có tình cảm với nhau: Có 2
4 6C  cách chọn. (0,25đ) 
 Tiếp theo ta chọn 1 học sinh còn lại: có 1
17C cách chọn. (0,25đ) 
Như vậy số cách chọn trong trường hợp 2 là 1
176 102C  . (0,25đ) 
Vậy tổng cộng có 3774 cách chọn ra 5 bạn mà trong đó, có ít nhất một cặp có tình cảm 
với nhau. (0,5đ)