Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 thcs năm học 2010 - 2011 môn thi: Toán - Bảng B thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO 
NGHỆ AN 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS 
NĂM HỌC 2010 - 2011 
Môn thi: TOÁN - BẢNG B 
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) 
Câu 1 (5,0 điểm). 
 a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì 2n n 2  không chia hết cho 3. 
b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho 2n 17 là một số chính phương. 
Câu 2 (5,0 điểm) 
 a) Giải phương trình: 2x 4x+5 = 2 2x+3 
 b) Giải hệ phương trình: 
2
2
2x+y = x
2y+x = y



Câu 3 (3,0 điểm). 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2
4x+3A
x 1


Câu 4 (4,5 điểm) 
 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao BE, CF của 
tam giác ABC cắt nhau tại H. 
a) Chứng minh rằng BH.BE + CH.CF = 2BC 
b) Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC. Chứng minh rằng K(O). 
Câu 5 (2,5 điểm). 
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, một điểm I chuyển động trên cung BC 
không chứa điểm A (I không trùng với B và C). Đường thẳng vuông góc với IB tại I cắt đường 
thẳng AC tại E, đường thẳng vuông góc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh 
rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định. 
- - - Hết - - - 
Họ và tên thí sinh:................................................................................ Số báo danh: ..................................... 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
 SỞ GD&ĐT NGHỆ AN 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS 
NĂM HỌC 2010 - 2011 
ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC 
Môn: TOÁN - Bảng B 
------------------------------------------- 
Câu: Nội dung 
1. 
a, 
(2,5) 
*) Nếu 2n 3 n n 3   
nên 2n n 2 3   (1) 
*) Nếu 2n 3 n 2 3    
 2n n 2 3    (2) 
Từ (1) và (2) n Z  thì 2n n 2 3   
b, 
(2,5) 
Đặt 2 2m n 17  (m N) 
 2 2m n 17 (m n)(m n) 17 1.17        =17.1 
Do m + n > m - n 
m n 17 m 9
m n 1 n 8
   
  
   
Vậy với n = 8 ta có 2 2n 17 64 17 81 9     
2. 
a, 
(2.5) 
 Giải phương trình 2x 4x+5=2 2x+3 (1) 
Điều kiện: 
32x+3 0 x -
2
   
(1) 2x 4x+5-2 2x+3 0   
 2x 2x+1+2x+3-2 2x+3 1 0    
 2 2(x 1) ( 2x+3 1) 0     
x 1 0
2x+3 1 0
 
 
 
x 1
2x+3=1
 
 

 x 1   thỏa mãn điều kiện 
b, 
(2.5) 
Giải hệ phương trình 
2
2
2x+y=x
2y+x=y



Trừ từng vế 2 phương trình ta có: 2 2x y x y   
(x y)(x y 1) 0     
(1) 
(2) 
x y x y
x y 1 0 x 1 y
  
       
Ta có: 
*) 
x y x y
x(x 3) 0 x 0
  
 
   
Vậy (x; y) = (0;0); (3;3) 
*) 
2 2 2
x 1 y x 1 y x 1 y
2x+y = x 2 2y y (1 y) y y 1 0
       
   
        
 (*) 
Vì phương trình 2y y 1 0   vô nghiệm nên hệ (*) vô nghiệm 
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm (x; y) = (0; 0); (3; 3) 
3. 
Tìmgiá trị nhỏ nhất của 2
4x+3A
x 1


Ta có: 
2
2 2
4x+3 x 4x+4A 1
x 1 x 1

   
 
2
2
(x 2)A 1 1
x 1

    

Dấu "=" xảy ra x 2 0 x 2      
Vậy minA 1  khi x = -2 
4. 
a, 
(2,5) 
H
K
E
I
F O
B
A
C
Gọi I là giao điểm của AH và BC  AI  BC 
Ta có: BHI BCE (g, g) 
BH BI BH.BE BC.BI
BC BE
    (1) 
Ta có: CHI CBF (g, g) 
CH CI CH.CF BC.CI
CB CF
    (2) 
Từ (1) và (2) suy ra BH.HE + CH.CF = BC(BI + CI) = BC2 
b, 
(2,0) 
Gọi K là điểm đối xứng của H qua BC suy ra  HCB KCB 
Mà  FAI HCI (do tứ giác AFIC nội tiếp) 
S 
S 
hoặc x = 3 
    FAI BCK hay BAK BCK   
  tứ giác BACK nội tiếp đường tròn (O)  K  (O) 
5. 
 + Khi  0BAC 90   0BIC 90 . 
  F trùng với B, E trùng với C lúc đó EF là đường kính. 
  EF đi qua điểm O cố định. 
K
F
E
O
A
B
C
I
+ Khi BAC 900. 
Gọi K là điểm đối xứng của I qua EF. 
  EIF EAF  (cùng bù BIC ) 
  EKF EIF (Do I và K đối xứng qua EF) 
  EKF EAF  
 AKFE nội tiếp 
  KAB KEF  (cung chắn KF ) (1) 
  IEF KEF (Do K và I đối xứng qua EF) (2) 
  IEF BIK (cùng phụ KIE) (3) 
Từ (1), (2), (3)  KAB BIK  
  AKBI là tứ giác nội tiếp 
  K (O) 
 Mà EF là đường trung trực của KI  E, O, F thẳng hàng. 
+ Khi BAC > 900  BIC < 900 chứng minh tương tự. 
Vậy đường thẳng EF luôn đi qua điểm O cố định. 
- - - Hết - - -