Kỳ thi chọn học sinh giỏi quốc gia thpt năm 2016 môn : Toán thời gian : 180 phút (không kể thời gian giao đề)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT 
NĂM 2016 
Môn : TOÁN 
Thời gian : 180 phút (không kể thời gian giao đề) 
Ngày thi thứ nhất : 06/01/2016 
Bài 1 (5 điểm). Giải hệ phương trình 
 
2
2 2
2 2 2
6 3
2 1 , ,
6 3 2 0
x y z
x y z x y z
x y y z
   

    
    
 
Bài 2 (5 điểm) a) Cho dãy số  na xác định bởi    2 2ln 2 1 ln 1na n n n     , với 1, 2,...n  
Chứng minh chỉ có hữu hạn số n sao cho  
1
2
na  . 
b) Cho dãy số  nb xác định bởi    2 2ln 2 1 ln 1nb n n n     , với 1, 2,...n  Chứng minh tồn tại 
vô hạn số n sao cho  
1
2016
nb  . 
Trong đó  x là ký hiệu phần lẻ của số thực x :    x x x  . 
Bài 3 (5 điểm). Cho tam giác ABC có B, C cố định, A thay đổi sao cho tam giác ABC nhọn. Gọi D là 
trung điểm của BC và E, F tương ứng là hình chiếu vuông góc của D lên AB, AC. 
a) Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. EF cắt AO và BC lần lượt tại M và 
N. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN đi qua một điểm cố định. 
b) Các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF tại E, F cắt nhau tại T. Chứng minh 
T thuộc một đường thẳng cố định. 
Bài 4 (5 điểm). Người ta trồng hai loại cây khác nhau trên một miếng đất hình chữ nhật kích thước 
m n ô vuông (mỗi ô trồng một cây). Một cách trồng cây được gọi là ấn tượng nếu như: 
i) Số lượng cây được trồng của hai loại cây bằng nhau; 
ii) Số lượng chênh lệch của hai loại cây trên mỗi hàng không nhỏ hơn một nửa số ô của hàng đó và 
số lượng chênh lệch của hai loại cây trên mỗi cột không nhỏ hơn một nửa số ô của cột đó. 
a) Hãy chỉ ra một cách trồng cây ấn tượng khi 2016m n  . 
b) Chứng minh nếu có một cách trồng cây ấn tượng thì cả m và n đều là bội của 4. 
-----------------------------------------------------------HẾT------------------------------------------------------- 
 Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. 
 Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT 
NĂM 2016 
Môn : TOÁN 
Thời gian : 180 phút (không kể thời gian giao đề) 
Ngày thi thứ hai : 07/01/2016 
Bài 5 (6 điểm). Tìm tất cả các số thực a để tồn tại hàm số :f   thỏa mãn: 
i)  1 2016f  ; 
ii)     f x y f y f x ay    với mọi ,x y . 
Bài 6 (7 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  O (với tâm O) có các góc ở đỉnh B và C 
đều nhọn. Lấy điểm M trên cung BC không chứa A sao cho AM không vuông góc với BC. AM cắt 
trung trực của BC tại T. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AOT cắt  O tại N ( N A ). 
a) Chứng minh  BAM CAN . 
b) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp và G là chân đường phân giác trong góc A của tam giác 
ABC. AI, MI, NI cắt  O lần lượt tại D, E, F. Gọi P và Q tương ứng là giao điểm của DF với AM và 
DE với AN. Đường tròn đi qua P và tiếp xúc với AD tại I cắt DF tại H ( H D ), đường tròn đi qua 
Q và tiếp xúc với AD tại I cắt DE tại K ( K D ). 
Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác GHK tiếp xúc với BC. 
Bài 7 (7 điểm). Số nguyên dương n được gọi là số hoàn chỉnh nếu n bằng tổng các ước số dương 
của nó (không kể chính nó). 
a) Chứng minh rằng nếu n là số hoàn chỉnh lẻ thì n có dạng 
2sn p m , 
trong đó p là số nguyên tố có dạng 4 1k  , s là số nguyên dương có dạng 4 1h  và m là số nguyên 
dương không chia hết cho p. 
b) Tìm tất cả các số nguyên dương 1n  sao cho 1n  và 
 1
2
n n 
 đều là các số hoàn chỉnh. 
-----------------------------------------------------------HẾT------------------------------------------------------- 
 Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. 
 Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.