Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp trường năm học 2015 - 2016 đề thi môn: Toán thời gian: 180 phút không kể thời gian giao đề

SỞ GD & ĐT THÁI NGUYÊN CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
TRƯỜNG THPT TRẠI CAU	 Độc lập - Tự do _ Hạnh phúc
 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
 NĂM HỌC 2015-2016
 ĐỀ THI MÔN: TOÁN
 Thời gian: 180 phút không kể thời gian giao đề
Câu I: (4,0 điểm) Cho hàm số: 	(1)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
Viết phương trình tiếp tuyến của , biết tiếp tuyến đó cắt đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại sao cho , với .
Câu II:( 5,0 điểm)
Giải hệ phương trình: 
Giải phương trình: 
Câu III:( 4,0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho hình chữ nhật có , điểm thuộc vào đường thẳng có phương trình: . Đường thẳng đi qua và trung điểm của đoạn có phương trình: . Tìm tọa độ của và , biết điểm có hoành độ dương.
Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn . Gọi lần lượt là các điểm di động trên cung nhỏ , sao cho thẳng hàng. Gọi , lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên các đường thẳng tương ứng và lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên các đường thẳng . Gọi là giao điểm của hai đường thẳng và . Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác (theo ).
Câu IV:( 3,0 điểm) Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, tam giác đều cạnh và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng đáy bằng .
Tính thể tích khối chóp theo .
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và theo .
Câu V:( 2,0 điểm) Cho là ba số dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Câu VI:(2,0 điểm) Cho dãy số được xác định: .
 Xét dãy số . Tìm . 
------------------HẾT------------------
TRƯỜNG THPT TRẠI CAU	 ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN
 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
 NĂM HỌC 2015-2016
Câu
Ý
Lời giải
Điểm
I
1
Cho hàm số: . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2,0
TXĐ: 
0,25
 Þ phương trình đường TCN: y = 2
 Þ phương trình đường TCĐ: x = 2
0,5
Þ Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.
 Hàm số không có cực trị.
0,5
Bảng biến thiên: 
0,25
Giao điểm với trục tung: A(0; 3/2)
Giao điểm với trục hoành: B(3/2;0)
0,25
Đồ thị:
0,25
2
Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đó cắt đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho , với I(2;2).
2,0
Gọi 
PTTT của (C) tại M: 
0,5
Do và tam giác AIB vuông tại I Þ IA = IB nên hệ số góc của tiếp tuyến k = 1 hoặc k = -1. vì nên ta có hệ số góc tiếp tuyến k = -1.
0,5
0,5
Þ có hai phương trình tiếp tuyến:
 ; 
0,5
II
1
Giải hệ phương trình: 
2,5
Đk: 
0,5
 Pt(2) 
1,0
Pt(1) 
1,25
Hệ đã cho tương đương: 
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: 
0,75
2
Giải phương trình: 
2,5
Đk: (*)
0,5
Pt tương đương: 
0,75
0,75
Nghiệm thỏa mãn (*)
Phương trình có 2 họ nghiệm: 
0,5
III
1
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho hình chữ nhật có , điểm thuộc vào đường thẳng có phương trình: . Đường thẳng đi qua và trung điểm của đoạn có phương trình: . Tìm tọa độ của và , biết điểm có hoành độ dương.
2,0
Gọi , M là trung điểm AB, I là giao điểm của AC và d2: 3x – 4y – 23 = 0.
Ta có đồng dạng 
0,5
Mà nên ta có: 
Vậy C(1;5).
0,5
Ta có: 
0,5
Do 
0,5
2
Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn . Gọi lần lượt là các điểm di động trên cung nhỏ , sao cho thẳng hàng. Gọi , lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên các đường thẳng tương ứng và lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên các đường thẳng . Gọi là giao điểm của hai đường thẳng và . Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác (theo ).
2,0
Chứng minh góc 
Kẻ KH vuông góc với BC (H thuộc BC), ta có:
 (tứ giác PEBD nội tiếp)
Suy ra: 
Tương tự, ta chứng minh được: 
Vậy (do PQ là đường kính)
0,5
Chứng minh :
Thật vậy, xét hình thang vuông vuông tại D và D’ nên , dấu “=” xảy ra khi 
0,5
Xét tam giác . Ta có: 
Vậy diện tích lớn nhất của tam giác bằng khi 
1,0
IV
1
Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, tam giác đều cạnh và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng đáy bằng .
Tính thể tích khối chóp theo .
1,5
H, M lần lượt là trung điểm của AB và CD
Ta có: 
0,5
Góc giữa (SCD) và mặt đáy là 
0,25
Ta có 
0,25
0,5
2
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và theo .
1,5
Kẻ đường thẳng d đi qua A và d//BD. Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ đường thẳng D đi qua H , D ^ d và D cắt d tại J, D cắt BD tại I. trong (SHI) kẻ HK vuông góc với SI tại K.
Khi đó: 
0,5
Ta có đồng dạng 
0,5
Xét vuông tại H, ta có: 
Vậy 
0,5
V
Cho là ba số duơng. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2,0
0,75
0,75
Vậy 
 = với 
0,75
f’(t)
f(t)
t
1
+¥
4 
0
+
-
1/4
0
0 
Vậy giá trị lớn nhất của khi 
0,75
VI
Cho dãy số đuợc xác định: .
 Xét dãy số . Tìm . 
2,0
Ta có .
Khi đó: 
Đặt . Khi đó ta có dãy mới được xác định bởi:
0,25
Chứng minh là dãy tăng:
Xét hiệu: 
Do nên suy ra dãy là dãy tăng.
0,25
Chứng minh (xn) không bị chặn hay :
Giả sử (xn) bị chặn, do dãy tăng và bị chặn nên tồn tại giới hạn hữu hạn.
Giả sử dãy (xn) có giới hạn hữu hạn, đặt .
Từ công thức truy hồi 
Lấy giới hạn hai vế, ta được: (không thỏa mãn)
Do đó dãy đã cho không có giới hạn hữu hạn.
0,5
Ta có: 
Mà: 
0,5
Do đó, ta có: 
Mà nên 
0,5