Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 môn thi: Toán học thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

	SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO	KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS
	BÌNH ĐỊNH	KHOÁ NGÀY 18 – 3 – 2016 
	Đề chính thức	Môn thi: 	TOÁN
 	Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
 	Ngày thi: 18/3/2016
Bài 1 (5,0 điểm).
Tính tổng 
Tìm các giá trị nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức: .
Bài 2 (3,0 điểm).
Cho phương trình với là tham số.
Tìm giá trị của để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt thoả mãn điều kiện:
 .
Bài 3 (3,0 điểm)
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 4 (9,0 điểm).
Cho đường tròn (O) có đường kính BC =2R và điểm A thay đổi trên đường tròn (O) (A không trùng với B, C). Đường phân giác trong góc A của tam giác ABC cắt đường tròn tại điểm K (KA). Hạ AH vuông góc với BC.
Đặt AH =x. Tính diện tích S của tam giác AHK theo R và x.Tìm x sao cho S đạt giá trị lớn nhất.
Tính góc B của tam giác ABC biết rằng : .
Một đường thẳng d thay đổi cắt hai cạnh Ox, Oy của một góc nhọn xOy lần lượt tại hai điểm M, N nhưng luôn thoả hệ thức: . Chứng tỏ rằng đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định.
	SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO	KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS
	BÌNH ĐỊNH	KHOÁ NGÀY: 18 – 3 – 2016 
	ĐỀ CHÍNH THỨC	HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
	 (Bản hướng dẫn này có 03 trang)
Bài
Nội dung
Điểm
1a
2,5
Ta thấy :
1,5
Từ đó suy ra
0,5
0,5
1b
2,5
Ta có: (1)
Ta thấy y=-2 không phải là nghiệm pt (1) nên y -2 khi đó ta có:
pt 
1,0
Do mà suy ra
 mà 
1,0
Từ đó ta có các cặp nghiệm cần tìm là : 
0,5
2
Phương trình có hai nghiệm phân biệt (*)
0,5
Khi đó theo định lý Vi-et, ta có (1).
0,5
Bài toán yêu cầu (2).
1,0
Từ hệ (2) ta có: .
0,5
Kết hợp với (1) được 
Các giá trị này đều thoả mãn điều kiện (*) nên chúng là các giá trị cần tìm.
0,5
3
Đặt: 
Vì trong tam giác tổng hai cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại nên x, y, z >0
và 
0,5
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số dương, ta có :
0,5
1,0
0,5
Dấu “=” xảy ra Hay: 
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 26, đạt được khi .
0,5
4.1
2,0
Ta có AH//OK nên :
 (đvdt)
0,5
Mặt khác, ta có :
 (Áp dụng bất đẳng thức Côsi)
1,0
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy đạt giá trị lớn nhất là đạt được khi .
0,5
4.2
2,0
Theo định lý Pi ta go, ta có :
Do đó .
Ta có . 
1,0
Mà hay .
Tam giác OAH vuông tại H có nên là nửa tam giác đều, suy ra 
0,5
-Nếu H trên đoạn OB ta có tam giác OAB cân tại O, có nên là tam giác đều, suy ra 
 - Nếu H trên đoạn OC thì tương tự ta có: . 
 Vậy hoặc.
0,5
4.2
Do nên OM>1. Trên tia Ox lấy điểm D thoả OD=1 thì D nằm giữa hai điểm O, M.
Qua D kẻ đường thẳng song song với Oy cắt d tại I. 
Trên tia Oy lấy điểm E thoả OE=ID.
Ta có OEID là hình bình hành.
1,0
Từ đó ta có :
1,0
Khi đó :
Theo giả thiết thì: .
Do đó: . Hay OE=2.OD=2
1,0
Vậy E có định.
Do D, E cố định nên I cũng cố định. Vậy I là điểm cố định mà đường thẳng d luôn đi qua.
1,0