Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp huyện năm học 2013 - 2014 môn thi: Toán lớp 8 thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

PHÒNG GD – ĐT CẨM GIÀNG
 THCS CẨM ĐIỀN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2013 - 2014
MÔN THI: TOÁN LỚP 8 
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1. (2,0 điểm)
	1. Rút gọn biÓu thøc B = 
	2. Cho abc = 2. Tính giá trị biểu thức A = 
Câu 2. (2,0 điểm)
	1. Giải phương trình sau: 
2. Giải phương trình nghiệm nguyên: 
Câu 3. (2,0 điểm)
	1. Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho dư 10, f(x) chia cho dư 22, f(x) chia cho được thương là và còn dư
2. Cho phương trình ( 2x – 3)2 = 5. Tính giá trị của biểu thức 
Câu 4. (3,0 điểm) 
 Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B, C).Tia AM cắt đường thẳng CD tại N . Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.
Chứng minh : ∆OEM vuông cân. 
Chứng minh : ME // BN.
Từ C kẻ CH BN ( H BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng.
Câu 5. (1,0 điểm)
	Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = 1.
Tìm GTLN và GTNN của x + y.
---------------Hết----------------
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG TOÁN 8
Câu 1
Hướng dẫn giải
(2.0 điểm)
1
(1.0 điểm)
a) phân tích mẫu 
= 3x3 – 19x2 + 33x – 9 = (3x3 – 9x2) – (10x2 – 30x) + (3x – 9) 
= (x – 3)(3x2 – 10x + 3) = (x – 3)[(3x2 – 9x) – (x – 3)] = (x – 3)2(3x – 1)
ĐKXĐ: (x – 3)2(3x – 1) 0 x 3 vaø x 
Phân tích tử:
 2x3 – 7x2 – 12x + 45 = (2x3 – 6x2 ) - (x2 - 3x) – (15x - 45) 
= (x – 3)(2x2 – x – 15)= (x – 3)[(2x2 – 6x) + (5x – 15)] = (x – 3)2(2x + 5)
với x 3 và x 
Thì B = = 
0.5
0.25
0.25
2 
(1.0 điểm)
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu 2
(2.0 điểm)
1 
(1.0 điểm)
đặt t = x2 – 2x. ta có phương trình ẩn t là :
t2 – 6t + 8 = 0
ó (t-2)(t-4) = 0
ó t = 2 hoặc t = 4
Với t = 2 ta có : x2 – 2x = 2. giải phương trình ta được x = 
Với t = 4 ta có : x2 – 2x = 4. giải phương trình ta được x = 
Vậy phương trình có 4 nghiệm là  ;  ;  ; 
0.25
0.25
0.25
0.25
2
(1.0 điểm)
vậy phương trình có nghiệm là ( 2014;-2014) và ( 2012 ; -2014)
0.25
0.5
0.25
Câu 3
(2.0 điểm)
1 
(1.0 điểm)
Giả sử f(x) chia cho được thương là và còn dư là .
Khi đó: 	
Theo đề bài, ta có:
Do đó: 
Vậy đa thức f(x) cần tìm có dạng: 
0.25
0.5
0.25
2
(1.0 điểm)
ta có ( 2x – 3)2 = 5
ó 4x2 – 12x + 4 = 0
ó x2 – 3x + 1 = 0
ó (x2 + 1)2 = (3x)2
ó x4 + 2x2 +1 = 9x2
ó x4 + 1 = 7x2
thay x4 + 1 = 7x2 vào A ta được A = -3/2
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu 4
(3.0 điểm)
(3.0 điểm)
Hình vẽ
a) Xét ∆OEB và ∆OMC
Vì ABCD là hình vuông nên ta có OB = OC 
 Và 
 BE = CM ( gt )
Suy ra ∆OEB = ∆OMC ( c .g.c)	
 OE = OM và 
Lại có vì tứ giác ABCD là hình vuông
 kết hợp với OE = OM ∆OEM vuông cân tại O
b) Từ (gt) tứ giác ABCD là hình vuông AB = CD và AB // CD
+ AB // CD AB // CN ( Theo ĐL Ta- lét) (*)
Mà BE = CM (gt) và AB = CD AE = BM thay vào (*)
Ta có : ME // BN ( theo ĐL đảo của đl Ta-lét)
c) Gọi H’ là giao điểm của OM và BN
Từ ME // BN ( cặp góc so le trong)
Mà vì ∆OEM vuông cân tại O
∆OMC ∆BMH’ (g.g)
 ,kết hợp ( hai góc đối đỉnh)
∆OMB ∆CMH’ (c.g.c) 
Vậy 
Mà CH BN ( H BN) H H’ hay 3 điểm O, M, H thẳng hàng ( đpcm)
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
0.5
0.5
0.5
Câu 5
(1.0 điểm)
(1.0 điểm)
Ta có: (x + y)2 + (x – y)2 (x + y)2 
2(x2 + y2) (x + y)2
Mà 	x2 + y2 = 1 (x + y)2 2 
- Xét 
	Dấu “=” xảy ra 
- Xét 
	Dấu “=” xảy ra 
	Vậy x + y đạt GTNN là .
0.5
0.25
0.25
Lưu ý khi chấm bài:
Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng.
Với bài 4, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm.