Kỳ khảo sát học sinh giỏi năm học: 2015 - 2016 môn: Toán - Lớp 7 thời gian: 120 phút ( không kể thời gian giao đề)

 	 PHềNG GD & ĐT TP. HỘI AN KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
đề chính thức
 TRƯỜNG THCS NGUYỄN BỈNH KHIấM	 NĂM HỌC: 2015 - 2016	 Mụn: Toỏn - Lớp 7 
	 Thời gian: 120 phỳt ( Khụng kể thời gian giao đề)
==================
	Đề thi này gồm 01 trang
Bài 1(2,0 đ).
Cho x, y, z 0 và x-y-z =0
Tớnh giỏ trị biểu thức A = 
Cho x, y, z thoả món x.y.z =1.
Chứng minh: 
Bài 2 (2,0 đ): 
Cõu 1: Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh: a) 3x2 + 5y2 =12
 	 b) 
Cõu 2: Cho x, y là những số dương và x+y =6. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P=
Bài 3(2,0đ):
Độ dài cỏc cạnh của một tam giỏc tỉ lệ với nhau như thế nào,biết nếu cộng lần lượt độ dài từng hai đường cao của tam giỏc đú thỡ cỏc tổng này tỷ lệ theo 3:4:5.
Bài 4 (2,0đ): Ba mỏy xay xay được 359 tấn thúc. Số ngày làm việc của cỏc mỏy tỉ lệ với 3:4:5, số giờ làm việc của cỏc mỏy tỉ lệ với 6, 7, 8, cụng suất cỏc mỏy tỉ lệ nghịch với 5,4,3. Hỏi mỗi mỏy xay được bao nhiờu tấn thúc.
Bài 5 (2,0đ): 
 Cho tam giỏc ABC (AB > AC ) , M là trung điểm của BC . Đường thẳng vuụng gúc với tia phõn giỏc của gúc A tại M cắt cạnh AB , AC lần lượt tại E và F . 
 Chứng minh :
EH = HF 
.
 .
BE = CF .
ĐÁP ÁN- HƯỚNG CHẪM CHẤM TOÁN 7
Cõu
Nội dung cần đạt
Điểm từng phần
Điểm toàn phần
1a
Từ x-y-z =0
Suy ra x=y+z
y= x-z
-z=y-x
Tớnh được giỏ trị biểu thức A = 
0,25
0,25
0,5
1.0
1b
Từ xyz =1 
Suy ra 
0,5
0,5
1,0
2.1a
3x2 + 5y2 =12 3(x2 +1)=5(3-y2) 
Do (3,5) =1 nờn suy ra x2 +1 5 hay x2 +1 =5m (mZ)
và 3-y23 hay 3-y2 =3n ( nZ)
Ta cú 3.5m=5.3n => m=n
Với m=1 => x=1 hoặc x=-1
n = 1 => y = 0
Vậy ta cú ( 2,0) và (-2,0) là 2 cặp ( x,y) thỏa món
0,25
0,25
0,5
2.1b
Ta cú: . 
Vỡ 	
	Vỡ và , là số chớnh phương nờn
	 hoặc hoặc .
+ Với 
+ Với (loại)
+ Với và 
Vậy 
0,25
0,25
0,5
2.2
Đặt x=3+a thỡ y=6-3-a=3-a
Thay vào P ta được
P=
P đạt giỏ trị nhỏ nhất là khi a=0 
tức x=3 và y=3 
0,5
0,5
1,0
3a
Gọi độ dài cỏc cạnh tam giỏc là a, b, c ; cỏc đường cao tương ứng với cỏc cạnh đú là ha , hb , hc .
Ta cú: (ha +hb) : ( hb + hc ) : ( ha + hc ) = 3 : 4 : 5
Hay: (ha +hb) = ( hb + hc ) =( ha + hc ) = k ,( với k 0).
Suy ra: (ha +hb) = 3k ; ( hb + hc ) = 4k ; ( ha + hc ) = 5k .
Cộng cỏc biểu thức trờn, ta cú: ha + hb + hc = 6k.
Từ đú ta cú: ha = 2k ; hb =k ; hc = 3k.
Mặt khỏc, gọi S là diện tớch , ta cú:
a.ha = b.hb =c.hc
 a.2k = b.k = c.3k
 = = 
0,25
0,25
0,25
0,25
1,0
4
Gọi x1, x2 x3 lần lượt là số ngày làm việc của 3 mỏy
ị (1)	
Gọi y1, y2, y3 lần lượt là số giờ làm việc của cỏc mỏy
ị (2)	
Gọi z1, z2, z3 lần lượt là cụng suất của 3 mỏy
ị 5z1 = 4z2 = 3z3 Û (3)	
Mà 	x1y1z1 + x2y2z2 + x3y3z3 = 359 (3)	
Từ (1) (2) (3) ị
ị x1y1z1 = 54;	x2y2z2 = 105;	x3y3z3 = 200	Vậy số thúc mỗi đội lần lượt là 54, 105, 200 
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
1,5
5
 Vẽ hình đúng 
0,25
3,5
5a
C/m được (g-c-g) Suy ra EH = HF (đpcm)
0,5
5b
Từ Suy ra 
Xét có là góc ngoài suy ra 
 có là góc ngoài suy ra 
 vậy 
 hay (đpcm).
0,25
0,25
0,25
5c
áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AFH : 
 ta có HF2 + HA2 = AF2 hay (đpcm)
0,5
5d
C/m Suy ra AE = AF và 
Từ C vẽ CD // AB ( D EF ) C/m được 
 và có (cặp góc đồng vị) 
do do đó cân CF = CD ( 2)
Từ (1) và (2) suy ra BE = CF 
0,5
0,5
0,25
0,25
Chỳ ý:+ HS vẽ hỡnh sai cõu nào thỡ khụng chấm điểm cõu đú
 + HS làm cỏch khỏc đỳng kết quả vẫn cho điểm tối đa