Kì thi tuyển sinh vào lớp 10 trường thpt năm học 2011 - 2012 môn toán (chung) thời gian 120 không kể thời gian giao đề

Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o phó thä
K× thi tuyÓn sinh vµo líp 10 tr­êng THPT chuyªn hïng v­¬ng
§Ò chÝnh Thøc
N¨m häc 2011-2012
M«n TOÁN (Chung)
Thêi gian 120 kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò 
§Ò thi cã 1 trang
-----------------------------------
Câu 1 (2,0 điểm)
	Cho biểu thức: 
Tìm x để P có nghĩa
Rút gọn P
Tìm x để P<0
Câu 2 (2,0 điểm)
	1)Giải phương trình : 
	2)Giải hệ phương trình 
Câu 3 (2,0 điểm)
	 Cho hàm số y=-2x2 có đồ thị (P)
Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm M ,N biết M,N thuộc P có hoành độ lần lượt là -1 và 2
Lập phương trình đường thẳng d song song với MN cắt P tại 2 điểm có hoành độ x1 ; x2 thỏa mãn 
Câu 4 (3,0 điểm)
	Trên đường tròn (O) đường kính AB lấy điểm M (khác A và B).Gọi H là trung điểm MB . E,F là chính giữa cung nhỏ AM và BM của đường tròn (O).Tiếp tuyến của (O) tại F cắt AM tại P 
Chứng minh tứ giác HFPM là hình chữ nhật
Chứng minh góc EFH=450
Qua A kẻ đường thẳng (d) song song với PH .Đường thẳng (d) cắt đường tròn (O) tại tại D ( D khác A) .Chứng minh D, O, H thẳng hàng 
Câu 5 (1,0 điểm)
	 Cho các số thực dương a, b thỏa mãn a+b=4ab .Chứng minh rằng 
------------Hết---------------
Họ và tên thí sinh............................................................... Số báo danh...............
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o phó thä
K× thi tuyÓn sinh vµo líp 10 tr­êng THPT chuyªn hïng v­¬ng
§Ò chÝnh Thøc
N¨m häc 2011-2012
M«n TOÁN (chuyªn)
Thêi gian lµm bµi 150 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) 
§Ò thi cã 1 trang
C©u 1. (3,0 điểm)
Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc tho¶ m·n : a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca.
TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: 
Cho 
Chøng minh r»ng x + y lµ mét sè tù nhiªn.
C©u 2. (2,0 ®iÓm)
Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 
Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh : 
C©u 3. (1,0 ®iÓm)
	T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn n sao cho lµ mét sè 
chÝnh ph­¬ng.
C©u 4. (3,0 ®iÓm)
	Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp trong ®­êng trßn (O). Gäi D lµ ®iÓm thay ®æi trªn cung 
nhá AB cña ®­êng trßn (O), (D kh«ng trïng víi A, B).
1) Trong tr­êng hîp ACBD lµ tø gi¸c ngo¹i tiÕp mét ®­êng trßn, chøng minh r»ng
	AC + BD = AD + BC.
	2) Trong tr­êng hîp ABC lµ tam gi¸c ®Òu, chøng minh r»ng DA + DB = DC.
	3) Trong tr­êng hîp tam gi¸c ABC cã AB lµ c¹nh nhá nhÊt, trªn c¹nh AC vµ BC lÊy
	C¸c ®iÓm M, N t­¬ng øng sao cho AM = BD vµ BN = AD. Chøng minh r»ng khi D 
thay ®æi trªn cung nhá AB cña ®­êng trßn (O) th× trung ®iÓm I cña ®o¹n th¼ng MN
lu«n thuéc mét ®­êng trßn cè ®Þnh.
C©u 5. (1,0 ®iÓm)
	Cho a, b, c lµ sè thùc d­¬ng, chøng minh r»ng:
-----------HÕt-----------
 Hä vµ tªn thÝ sinh: ......................................................Sè b¸o danh:...................
C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm
I- Vòng 1
Câu 1 (2,0 điểm)
	Cho biểu thức: 
1)Tìm x để P có nghĩa
2)Rút gọn P
3)Tìm x để P<0
Hướng dẫn:
1) ta có nên P có nghĩa khi 
2)
3) để P<0 vì nên kết hợp với điều kiện V 
Câu 2 (2,0 điểm)
	1)Giải phương trình : 
	2)Giải hệ phương trình 
Hướng dẫn:
HD 1) ĐKXĐ x khác 1
x=1 loại vậy PT có nghiêm x=2
2)ĐKKXĐ Đặt 
ta có 
Giải ra 
Câu 3 (2,0 điểm)
	 Cho hàm số y=-2x2 có đồ thị (P)
1)Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm M ,N biết M,N thuộc P có hoành độ lần lượt là -1 và 2
2)Lập phương trình đường thẳng d song song với MN cắt P tại 2 điểm có hoành độ x1 ; x2 thỏa mãn 
Hướng dẫn:
Vì M;N thuộc P nên Tọa độ M(-1;-2) N(2-8) .Phương trình đường thẳng đi qua MNcó dạng y=ax+b vì (d) đi qua M; N nên a; b là nghiệm của hệ phương trình
 vậy đường thẳng đi qua MN là y=-2x-4
Phương trình đường thẳng (d) có dạng y=mx+n vì d// y=-2x-8
nên m=-2 
mặt khác tọa độ (d) và (P) là nghiệm của hệ 
để (d) cắt (P) thì PT (1) phải có 2 nghiệm phân biệt suy ra 
mặt khác theo viet ta phải có suy ra thỏa mãn 
vậy phương trình đường thẳng (d) là y=-2x-2
Câu 4 (3,0 điểm)
	Trên đường tròn (O) đường kính AB lấy điểm M (khác A và B).Gọi H là trung điểm MB . E,F là chính giữa cung nhỏ AM và BM của đường tròn (O).Tiếp tuyến của (O) tại F cắt AM tại P 
1)Chứng minh tứ giác HFPM là hình chữ nhật
2)Chứng minh góc EFH=450
3)Qua A kẻ đường thẳng (d) song song với PH .Đường thẳng (d) cắt đường tròn (O) tại tại D ( D khác A) .Chứng minh D, O, H thẳng hàng 
Hướng dẫn:
1)Vì H là trung điểm MB ;F là trung điểm cung MB nên F,H,O thẳng hàng và OH MB
ta có nên tứ giác MHFP là hình chữ nhật
2) ta có nên tam giác ÈO vuông cân tại O suy ra góc EFO = 450
3)Gọi FO cắt (d) tại D/ do AD///PH nên ( so le) mà ( t/c Hình chữ nhât) suy ra nên tứ giác AD/MF nội tiếp suy ra D/ thuộc (O) vậy D/D
Cách khác Nối F với B ta có tứ giác BHPF là hình bình hành suy ra FB//PH.
Kẻ FO cắt (O) tại D’ ta suy ra AD’//FB.
Suy ra AD’//PH
Mà AD//PH
Suy ra: D trùng D’. 
Câu 5 (1,0 điểm)
	 Cho các số thực dương a, b thỏa mãn a+b=4ab .Chứng minh rằng 
Hướng dẫn:
Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho 2 dãy 
ta có 
 và 
ta có 
vậy dấu bằng xảy ra khi a=b=
 Cách 2:Ta có theo BĐT Cô si cho 2 số dương a;b ta có Dấu bằng xảy ra khi a=b=
 Đặt Q = Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho 2 dãy 
dãy và ta có: 
vậy dấu bằng xảy ra khi a=b=
Cách 3
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có 
Từ đó:
Vì luôn đúng
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
2- Vòng 2
C©u 1. (3,0 điểm)
Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc tho¶ m·n : a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca.
TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: 
Cho 
Chøng minh r»ng x + y lµ mét sè tù nhiªn.
Hướng dẫn:
Từ GT suy ra 
thay vào P=3
trục căn bậc 3 
C©u 2. (2,0 ®iÓm)
Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 
Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh :
Hướng dẫn:
1)ĐKXĐ đặt 
2)ĐKXĐ 
Đặt ta có 
C©u 3. (1,0 ®iÓm)
	T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn n sao cho lµ mét sè 
chÝnh ph­¬ng.
Hướng dẫn:
Giả sử A là số chính phương
+ Nếu n < 2010 thì A < 0, không thỏa mãn.
+ Nếu thì A = 0, thỏa mãn.
+ Nếu n > 2012 thì đặt 
và 
Ta có 
 suy ra 
Mặt khác, theo giả thiết A là số chính phương nên tồn tại các số tự nhiên a và b sao cho 
, trái với điều kiện m > 2.
Trường hợp này không có n thỏa mãn.
Kết luận : 
Cách 2
Nếu n= 2001 hoặc 2011; hoặc 2012 thi là 3 số thỏa mãn 
Nếu n lẻ thì (n-2010;n-2011)=(n-2011;n-2012)=(n-2010;n-2012)=1 để tích là 3 số chính phương thì n-210;n-2011;n-2012 là ba số chính phương 
xét n chẵn ta có (n-2010;n-2012)=2;(n-2010;n-2011)=(n-2011;n-2012)=1 để tích la số chính phương thì 
suy ra 2(c2-a2)=2
Vậy n=2010;n=2011;n=2012
C©u 4. (3,0 ®iÓm)
	Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp trong ®­êng trßn (O). Gäi D lµ ®iÓm thay ®æi trªn cung 
nhá AB cña ®­êng trßn (O), (D kh«ng trïng víi A, B).
1) Trong tr­êng hîp ACBD lµ tø gi¸c ngo¹i tiÕp mét ®­êng trßn, chøng minh r»ng
	AC + BD = AD + BC.
	2) Trong tr­êng hîp ABC lµ tam gi¸c ®Òu, chøng minh r»ng DA + DB = DC.
	3) Trong tr­êng hîp tam gi¸c ABC cã AB lµ c¹nh nhá nhÊt, trªn c¹nh AC vµ BC lÊy
	c¸c ®iÓm M, N t­¬ng øng sao cho AM = BD vµ BN = AD. Chøng minh r»ng khi D 
thay ®æi trªn cung nhá AB cña ®­êng trßn (O) th× trung ®iÓm I cña ®o¹n th¼ng MN
lu«n thuéc mét ®­êng trßn cè ®Þnh.
Hướng dẫn:
1)Theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau ta có 
AM=AQ,BN=BP; CQ=CP;DM=DN ta có AC+BD=AQ+CQ+BN+DN=AM+MD+BP+CP=AD+BC ( đpcm)
2)Trên DC đặt DE=DB vì nên tam giác BDE đều suy ra BE=BD(1)
 xét tam giác ABD và tam giác CBE có suy ra 
suy ra AD=CE(2) từ (1) & (2) ta có DA+DB=DE+EC=DC ( đpcm)
3)
 LÊy ®iÓm K ®èi xøng víi B qua I . Ta chøng minh ®­îc KMI = BNI(cgc) . suy ra suy ra BN // KM vµ BN = KM .
 XÐt hai AMK vµ BDA
Cã BD = AM, AD = KM vµ ADB = KMA ( v× cïng bï gãc ACB = KMC).
Suy ra ADB = KMA (c.g.c)
 Suy ra AB = AK nªn KAB c©n cã I là trung điểm BK tõ ®ã suy ra AI BI. Nªn I thuéc ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB khi D di ®éng trªn cung AB.
C©u 5. (1,0 ®iÓm)
	Cho a, b, c lµ sè thùc d­¬ng, chøng minh r»ng:
Hướng dẫn:
Đăt x=a; y=2b;z=3c Áp dụng BBĐ 
ta có 
Áp dụng BĐ T 
Ta có 
Tương tự
Tương tự 
Từ (1) ;(2) ;(3) ta có 
Vì 
Cách khác: 
C©u 5. (1,0 ®iÓm)
§Æt v× a, b, c lµ sè thùc d­¬ng nªn x, y, z lµ c¸c sè thùc d­¬ng.	
BÊt ®¼ng thøc: 
Trë thµnh 
¸p dông víi a.b, c kh«ng ©m vµ A,B d­¬ng. DÊu "=" x¶y ra khi ta cã: 
 (1) DÊu "=" x¶y ra khi 
T­¬ng tù ta cã:
(2) DÊu "=" x¶y ra khi 
 (3) DÊu "=" x¶y ra khi 
Céng vÕ víi vÕ cña (1); (2) vµ (3) ta ®­îc:
L¹i cã 3(xy+yz+zx) (x+y+z)2.
(§PCM) DÊu "=" x¶y ra khi 
Cách 3
Đặt 
Bất đẳng thức trở thành:
Ta có:
Tương tự:
Cộng vế các bất đẳng thức trên, ta được:
Ta chỉ cần chứng minh:
Thật vậy:
Tương tự: 
Suy ra (Điều phải chứng minh).
Bất đẳng thức được chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o
Phó Thä 
kú thi chän häc sinh giái líp 9 THcs cÊp tØnh
n¨m häc 2010-2011
ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi có một trang
Câu 1 (4 điểm) a) Cho . Tính giá trị của biểu thức
.
b) Tính tổng
S = .
(mỗi số hạng trong tổng trên có dạng , với n và 1 n 60).
Câu 2 (3 điểm)Giải hệ phương trình
Câu 3 (4 điểm)a) Tìm số nguyên dương n để là số chính phương.
b) So sánh M và N biết .
Câu 4 (2 điểm)Cho a, b, c là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
Câu 5 (7 điểm)
Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Qua B kẻ tiếp tuyến d của đường tròn (O). MN là một đường kính thay đổi của đường tròn (M không trùng với A, B). Các đường thẳng AM và AN cắt đường thẳng d lần lượt tại C và D. 
a) Chứng minh .
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của tích .
c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNC thuộc một đường thẳng cố định.
d) Gọi I là giao điểm của CO và BM. Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E, cắt đường thẳng d tại F. Chứng minh ba điểm C, E, N thẳng hàng.
––––––––––––––––––– Hết ––––––––––––––––––––
Họ và tên thí sinh .................................................................................... SBD ...................
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
	SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ 
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2010-2011
MÔN TOÁN
(Hướng dẫn chấm thi đề chính thức có 5 trang)
I. Một số chú ý khi chấm bài
· Hướng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách, khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết và hợp logic.
· Thí sinh làm bài cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với biểu điểm của Hướng dẫn chấm.
· Tổ chấm có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm. Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn số.
II. §¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm
Đáp án
Điểm
Câu 1 (4 điểm) 
a) Cho . Tính giá trị của biểu thức
.
b) Tính tổng
S = .
(mỗi số hạng trong tổng trên có dạng , với n và 1 n 60).
a) (2 điểm). Từ giả thiết, suy ra 
0,50
 (1) 
0,50
Tương tự ta có: (2)
0,50
Từ (1) và (2) suy ra: x + y = 0 hay x = – y. Suy ra T = 0
0,50
b) (2điểm). Với k là số tự nhiên khác 0 ta có:
 = 
0,75
Cho k lần lượt nhận các giá trị 1, 2, , 60. Ta được:
0,75
Vậy S = 
0,5
Câu 2 (3 điểm)
Giải hệ phương trình
Viết lại hệ đã cho dưới dạng
0,25
Đặt t = x – 2 thì x = t + 2, thế vào phương trình thứ nhất của hệ ta được
0,50
Khi đó có hệ phương trình
	 (I)
0,25
Do vai trò bình đẳng trong hoán vị vòng quanh của t, y, z nên ta có thể giả sử 
t = max. 
0,25
1) Trường hợp . Từ hệ (I) ta có
Do đó t = y = z = 1.
0,75
2) Trường hợp . Tương tự ta có: 
Do đó t = y = z = 1. 
0,75
Nghiệm của hệ phương trình đã cho là: (x: y: z) = (3: 1: 1)
0,25
Câu 3 (4 điểm)
a) Tìm số nguyên dương n để B = n4 + n3 + n2 + n + 1 là số chính phương.
 b) So sánh M và N biết .
a) (2 điểm). Đặt n4 + n3 + n2 + n + 1 = k2 (1) (với k nguyên dương)
0,25
Ta có (1) 4n4 + 4n3 + 4n2 + 4n + 4 = 4k2
 (2n2 +n)2 +2n2 +(n+2)2 = (2k)2
0,75
 (2k)2 > (2n2 +n)2
 (2k)2 (2n2 +n+1)2 (do k và n nguyên dương) 
 4n4 + 4n3 + 4n2 + 4n + 4 (2n2 +n+1)2
 (n+1)(n-3) 0 
 n 3
 n 
0,75
Thay các giá trị của n vào (1), chỉ có n = 3 thoả mãn đề bài.
0,25
b) (2 điểm). Đặt . Ta có: 
0,50
Xét: 
0,50
Vì 
0,50
Nên 
0,50
Câu 4 (2 điểm)
Cho a, b, c là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
Đặt (x,y,z > 0)
0,50
Khi đó: 
0,50
Do đó
0,50
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 
(với t R, t > 0)
0,50
Câu 5 (7 điểm)
Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Qua B kẻ tiếp tuyến d của đường tròn (O). MN là một đường kính thay đổi của đường tròn (M không trùng với A, B). Các đường thẳng AM và AN cắt đường thẳng d lần lượt tại C và D. 
a) Chứng minh .
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của tích .
c) Ch/minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNC thuộc một đường thẳng cố định.
 d) Gọi I là giao điểm của CO và BM. Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E, cắt đường thẳng d tại F. Chứng minh ba điểm C, E, N thẳng hàng
Hình vẽ: 
a) (1,5 điểm). Ta có , . Suy ra: 
Do đó và đồng dạng.
0,75
0,75
b) (2 điểm). Ta có: (1)
0,50
Lại có (2)
0,50
Từ (1) và (2), suy ra 
0,50
Dấu “=” xảy ra khi MN vuông góc với AB
0,50
c) (2 điểm). Gọi P là tâm đường tròn ngoại tiếp , K là trung điểm của CD, S là giao điểm của AK với MN.
Ta thấy tứ giác MNDC là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm P nên , . Suy ra: MN vuông góc với AK
0,75
Lại có: PO vuông góc với MN nên AK song song với OP, mà PK song song với AO. Suy ra: tứ giác AOPK là hình bình hành, hay KP = AO =R
0,75
Vì d là đường thẳng cố đinh, PK = R không đổi nên P thuộc đường thẳng song song với d, cách d một khoảng R cố định.
0,50
d) (1,5 điểm). Trước hết ta chứng minh bài toán: Nếu tam giác ABC có các điểm M, N, P thẳng hàng và lần lượt thuộc các đường thẳng AB, BC, CA thì: 
 = 1.
Thật vậy: Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt MN tại D, ta có:
 và .
Do đó ta có điều phải chứng minh.
0,50
Áp dụng bài toán trên vào tam giác ACO với ba điểm thẳng hàng là B, I, M, ta có:
 (1)
Tương tự với tam giác BCO và ba điểm thẳng hàng là A, I, F ta có: (2)
0,25
Từ (1) và (2) ta có . Do đó MF // AB (định lí Ta lét đảo)
Mà AB BC MF BC 
0,25
Ta có (cùng phụ với góc EAB)
 (tứ giác AMEB nội tiếp)
 Tứ giác MEDC nội tiếp 
0,25
 . Do đó: ME EC (3)
Lại có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ME EN (4) 
Từ (3) và (4) suy ra M, E, N thẳng hàng.
0,25