Kì thi thử thpt quốc gia năm 2015 môn toán Thời gian làm bài : 180 phút

SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM Kè THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015
TRƯỜNG THPT CHUYấN MễN TOÁN 
NGUYỄN BỈNH KHIấM Thời gian làm bài : 180 phỳt 
ĐỀ CHÍNH THỨC:
Cõu 1) (2,0 điểm) Cho hàm số 3 23 2y x x= + - (1)
a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) hàm số 
b) Viết phương trỡnh tiếp tuyến với đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuụng gúc với đường thẳng y = 
1
9
x-
Cõu 2) (1,0 điểm) 
 a) Giải phương trỡnh: 2cos 2cos 3 0
3
xx + - =
 b) Tỡm số phức z thỏa món điều kiện 6z z+ = và 2 2 8z z i+ - là một số thực.
Cõu 3) (0,5 điểm) Giải phương trỡnh: 
2
4 4 1
4
log ( 7 10) log ( 2) log ( 5)x x x x- + - - = +
Cõu 4) (1,0 điểm) Giải hệ phương trỡnh:
2
2
( 6 4) 3 (3 4) 8 2( ) ( ) 4(1 ) 2
3 22 1 2 3
x x y y y x y x y xy
x xy y x y
ỡ + - + - + + + = + + - +ù
ớ
- + - - = - +ùợ
Cõu 5) (1,0 điểm) Tớnh tớch phõn I = 
4
2
0
( 2 tan )sinx x xdx
p
+ +ũ
Cõu 6) (1,0 điểm) Cho hỡnh lăng trụ ABC.A’B’C’, đỏy ABC cú AC = 3a , BC = 3a , ã 030ACB = . Cạnh 
bờn hợp với mặt phẳng đỏy gúc 060 và mặt phẳng (A’BC) vuụng gúc với mặt phẳng (ABC). Điểm H trờn 
cạnh BC sao cho BC = 3BH và mặt phẳng (A’AH) vuụng gúc với mặt phẳng (ABC). Tớnh thể tớch khối lăng 
trụ ABC.A’B’C ' và khoảng cỏch từ B đến mặt phẳng (A’AC). 
Cõu 7) (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giỏc ABC với A(– 3; – 4), tõm đường trũn nội tiếp 
I(2; 1) và tõm đường trũn ngoại tiếp J(
1 ;1
2
- ). Viết phương trỡnh đường thẳng BC.
Cõu 8) (1,0 điểm) Trong khụng gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(4; – 2; 11), B( – 2; – 10; 3) và mặt phẳng 
(P): x + y – z – 4 = 0 . Viết phương trỡnh mặt phẳng trung trực đoạn AB và tỡm điểm M trờn mặt phẳng (P) 
sao cho MA = MB = 13.
Cõu 9) (0,5 điểm) Một hộp đựng 3 xanh , 4 bi đỏ và 5 bi vàng . Lấy ngẫu nhiờn 5 bi từ hộp. Tớnh xỏc suất để 
trong 5 bi lấy ra cú đủ 3 màu và số bi xanh và số bi đỏ bằng nhau.
Cõu 10) (1,0 điểm) Cho hai số thực a, b thuộc khoảng (0, 1) thỏa món 3 3( )( ) ( 1)( 1) 0a b a b ab a b+ + - - - = .
Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức sau:
 P = 
4 4
2 2
12 3
36 (1 9 )(1 9 )
a bab
aba b
+
+ -
+ + +
1
 HƯỚNG DẪN CHẤM MễN TOÁN THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015
Cõu Đỏp ỏn Điểm
Cõu 1
(2,0đ)
Cõu1) 
a) 3 23 2y x x= + -
+ TXĐ D = R , limx yđ-Ơ = -Ơ , limx yđ+Ơ = +Ơ
+ 2' 3 6y x x= + , 
0 2
' 0
2 2
x y
y
x y
= ị = -ộ
= Û ờ = - ị =ở
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
+ BBT
 x -Ơ 2- 0 +Ơ
 y’ + 0 - 0 +
 y
Ơ
-Ơ 2-
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
+ Hàm ĐB trờn cỏc khoảng (-Ơ ; 2- ), (0; +Ơ ) và NB trờn khoảng ( 2- ; 0). Điểm cực đại đồ
thị ( 2- ; 2); điểm cực tiểu đồ thị (0; 2- )
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
+ Đồ thị 
4
2
-2
-4
-10 -5 5 10
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b)Tiếp tuyến vuụng gúc với đường thẳng y = 
1
9
x- nờn tiếp tuyến cú hệ số gúc bằng 9.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ta cú 0 020 0 0
0 0
1 2
'( ) 9 3 6 9
3 2
x y
y x x x
x y
= ị =ộ
= Û + = Û ờ = - ị = -ở
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
+ Phương trỡnh tiếp tuyến tại điểm (1, 2) là 9( 1) 2y x= - +
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
+Phương trỡnh tiếp tuyến tại điểm (– 3, – 2 ) là 9( 3) 2y x= + -
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
2
Cõu 2
(1,0đ)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cõu 2) 
a) 2cos 2cos 3 0
3
xx + - = Û 3 24cos 3cos 2cos 3 0
3 3 3
x x x
- + - =
Û 2(cos 1)(4cos 6cos 3) 0
3 3 3
x x x
- + + =
0,25
Cõu Đỏp ỏn Điểm
Cõu 3
(0,5đ)
Cõu 4
(1,0đ)
Û cos 1 2 6 ,
3 3
x x k x k k Zp p= Û = Û = ẻ
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b) Gọi z x yi= + . Ta cú 6 ( ) ( ) 6 3z z x yi x yi x+ = Û + + - = Û = (1)
2 2 8z z i+ - = 2 2 2( ) 2( ) 8 ( 2 ) (2 2 8)x yi x yi i x y x xy y i+ + - - = - + + - - là số thực nờn
2 2 8 0xy y- - = (2). 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Từ (1) và (2) ta giải được x = 3 và y = 2. Vậy z = 3 + 2i
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cõu 3) b)ĐK 
2 7 10 0 2 5
2 0 2 5
5 0 5
x x x x
x x x
x x
ỡ - + > ỡ
ù ù- > Û > Û >ớ ớ
ù ù+ > > -ợợ
Với ĐK trờn phương trỡnh tương đương : 24 4 4log ( 7 10) log ( 2) log ( 5)x x x x- + - - = - +
2
4 4log ( 7 10)( 5) log ( 2)x x x xÛ - + + = -
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2( 7 10)( 5) 2x x x xÛ - + + = -
( 5)( 5) 1x xÛ - + = 26xÛ = (vỡ x > 5)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cõu 4) 
2
2
( 6 4) 3 (3 4) 8 2( ) ( ) 4(1 ) 2(1)
3 22 1 2 3(2)
x x y y y x y x y xy
x xy y x y
ỡ + - + - + + + = + + - +ù
ớ
- + - - = - +ùợ
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
+Ta cú (1) 2 2( 3 2) 4 ( 3 2) ( ) 4 ( )x y x y y x y xÛ + - + + + - = - + + -
+ Xột hàm 2( ) 4f t t t= + + , t Rẻ . Ta cú 
2
2 2
4'( ) 1 0,
4 4
t t tf t t R
t t
+ +
= + = > " ẻ
+ +
Suy ra f(t) đồng biến trờn R. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
+ Ta cú (1) Û ( 3 2) ( )f x y f y x+ - = - 3 2 1x y y x y xÛ + - = - Û = -
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
+ Thế y = 1 – x vào (2) ta cú : 2 22 22 2 1x x x x x+ + - = + + (3) . Với ĐK x³ 0. ta cú
(3) 2 2( 2 22 5) ( 1) 2 3x x x x xÛ + + - - - = + - 
 Û
2
2
2 3 1 ( 1)( 3)
12 22 5
x x x x x
xx x
+ - -
- = - +
++ + +
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
3
 Û
2
1 1( 1) ( 3) 1 0
1 2 22 5
x x
x x x
ộ ựổ ử
- + + - =ờ ỳỗ ữ
+ + + +ờ ỳố ứở ỷ
Û x = 1 
Vỡ với x³ 0 thỡ 
2
1 1( 3) 1 0
1 2 22 5
x
x x x
ổ ử
+ + - >ỗ ữ
+ + + +ố ứ
 (phải giải thớch)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
x = 1 ị y = 0 .Vậy hệ cú nghiệm (x ; y) = (1 ; 0) 0,25
Cõu Đỏp ỏn Điểm
Cõu 5
(1,0đ)
Cõu 6
(1,0đ)
Cõu 5) I = 
4
2
0
( 2 tan )sinx x xdx
p
+ +ũ = 
4 4
2
0 0
sin( 1)sin
cos
xx xdx dx
x
p p
+ +ũ ũ
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
+ Đặt 
1
sin cos
u x du dx
dv xdx v x
= + =ỡ ỡ
ịớ ớ= = -ợ ợ
.
Ta cú 
4 4
4
0
0 0
( 1)sin ( 1)cos cosx xdx x x xdx
p p
p
+ = - + +ũ ũ = 40
2 2( 1) 1 sin 1
4 2 8
x
pp p- + + + = - +
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
+
4 4 4
2 2
00 0
sin (cos ) 1 2 1
cos cos cos
x d xdx
x x x
p p p
-
= = = -ũ ũ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
+ Vậy I = 2 2
8
p- +
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cõu 6) 
B C
A
A'
C'B'
H
( ' ) ( )
( ' ) ( )
' ( ' ) ( ' )
A BC ABC
A AH ABC
A H A BC A AH
^ỡ
ù ^ớ
ù = ầợ
' ( )A H ABCị ^
Suy ra ã 0' 60A AH =
----------------------------------------------------------
2 2 2 02 . .cos30AH AC HC AC HC= + - = 2a
ị AH = a
0' tan 60 3A H AH aị = =
2
. ' ' '
3 3. ' . 3
4ABC A B C ABC
aV S A H a= = = 
39
4
a
--------------------------------------------------------
Vỡ 2 2 2AH AC HC+ = ị HA AC^ ị 'AA AC^
2
'
1 1. . ' . 3.2 3
2 2A AC
S AC AA a a a= = =
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
4
Cõu 7
(1,0đ)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ị
3
'
2
'
9
3. 3 34( , ( ' ))
43
A ABC
A AC
aV ad B A AC
S a
= = =
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cõu 7) 
+ Phương trỡnh đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC : 2 2
1 125( ) ( 1)
2 4
x y+ + - = (1)
+ Phương trỡnh đường thẳng AI : 
3 4
2 3 1 4
x y+ +
=
+ +
1 0x yÛ - - =
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0,25
0,25
Cõu Đỏp ỏn Điểm
Cõu 8
(1,0đ)
 + Đường thẳng AI cắt đường trũn ngoại tiếp tại điểm thứ hai là D, trung điểm cung BC. 
Hoành độ điểm D là nghiệm khỏc – 3 của phương trỡnh :
2 2
3
1 125( ) ( 2) 92 4
2
x
x x
x
= -ộ
ờ+ + - = Û
ờ =
ở
. Suy ra D(
9 7;
2 2
)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
+ Ta cú ãBID = 2 2
A B
+ và ã ã ã
2 2
B AIBD IBC CBD= + = + suy ra ã ãBID IBD= ịDI = DB = DC
ịB, C nằm trờn đường trũn tõm D bỏn kớnh DI cú phương trỡnh : 
 2 2
9 7 50( ) ( )
2 2 4
x y- + - = (2)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
+ Tọa độ điểm B và C là nghiệm hệ phương trỡnh (1) và (2)
2 2
2 2
1 125( ) ( 1)
2 4
9 7 50( ) ( )
2 2 4
x y
x y
ỡ + + - =ùù
ớ
ù - + - =
ùợ
2 2
2 2
2 30 0
9 7 20 0
x y x y
x y x y
ỡ + + - - =ùÛ ớ
+ - - + =ùợ
2 2
10 5 50 0
9 7 10 0
x y
x y x y
+ - =ỡ
Û ớ
+ - - + =ợ
Suy ra phương trỡnh đường thẳng BC : 10 5 50 0x y+ - = hay 2 10 0x y+ - =
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
 Cõu 8)
+ Mp trung trực (Q) của đoạn AB qua trung điểm I(1; – 6; 7) của AB nhận ( 6; 8; 8)AB = - - -

làm VTPT 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Suy ra phương trỡnh mp(Q): 6( 1) 8( 6) 8( 7) 0x y z- - - + - - = 3 4 4 7 0x y zÛ + + - =
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
+ Gọi D= (Q)ầ (P). Đường thẳng D là tập hợp cỏc điểm thỏa hệ phương trỡnh:
3 4 4 7 0
4 0
x y z
x y z
+ + - =ỡ
ớ + - - =ợ
(1)
+ (P) cú VTPT (1;1; 1)Pn = -

, (Q) cú VTPT (3;4;4)Qn =

suy ra D cú VTCP [ , ] (8; 7;1)P Qu n n= = -
  
. Trong (1) cho x = 1 giải được y = 2; z = – 1 suy 
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
5
Cõu 9
(0,5đ)
Cõu 
10
(1,0đ)
ra D đi qua điểm I(1; 2; – 1). Vậy phương trỡnh tham số đường thẳng D
1 8
2 7
1
x t
y t
z t
= +ỡ
ù = -ớ
ù = - +ợ
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
+Mẻ D thỡ Mẻ(P) và MA = MB. Ta cú M(1 + 8t ; 2 – 7t ; – 1 + t)
MA = 13 2 2 2(8 3) (4 7 ) ( 12) 169t t tÛ - + - + - = 2114 128 0t tÛ - = 0tÛ = hoặc 64 / 27t =
Vậy cú hai điểm M thỏa bài toỏn : 1(1;2; 1)M - , 2
569 334 7( ; ; )
57 57 57
M -
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cõu 9) 
+ Cú 512 792C = cỏch chọn 5 bi từ hộp 12 biị W = 792
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
+ Gọi X là biến cố :’’ 5 bi lấy ra cú đủ 3 màu và số bi xanh và số bi đỏ bằng nhau’’
 TH1 : 1X, 1Đ, 3V ị cú 1 1 33 4 5 120C C C = cỏch chọn
 TH2 : 2X, 2Đ, 1Vị cú 2 2 13 4 5 90C C C = cỏch chọn
Suy ra XW = 120 + 90 = 210
Vậy P(X) = 
210 35
792 132
XW = =
W
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cõu 10) P = 
4 4
2 2
12 3
36 (1 9 )(1 9 )
a bab
aba b
+
+ -
+ + +
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
GT : 3 3( )( ) ( 1)( 1) 0a b a b ab a b+ + - - - =
3 3( )( ) (1 )(1 )a b a b a b
ab
+ +
Û = - - (*)
Vỡ 
3 3 2 2( )( ) ( ) 2 .2 4a b a b a b a b ab ab ab
ab b a
ổ ử+ +
= + + ³ =ỗ ữ
ố ứ
và (1 )(1 ) 1 ( ) 1 2a b a b ab ab ab- - = - + + Ê - + , khi đú từ (*) suy ra 4 1 2ab ab abÊ - +
, 
Đặt t = ab (t > 0) ta được 
2
10 12 1 3 03
94 (1 3 )
t
t t t
t t
ỡ < ÊùÊ - Û Û < Êớ
ù Ê -ợ
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ta cú 2 2(1 9 )(1 9 ) 36a b ab+ + ³ 2 2
12 2
136 (1 9 )(1 9 ) aba b
ị Ê
++ + +
và 
4 4
3 3 2a bab ab ab ab
ab
+
- Ê - = .
Suy ra 
2
1
P ab
ab
Ê +
+
. Dấu đẳng thức xảy ra 
1
3
a bÛ = = .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
6
. Xột hàm 
2( )
1
f t t
t
= +
+
 với 0 < t 
1
9
Ê ,
ta cú 
1 1'( ) 1 0, (0, ]
9(1 ) 1
f t t
t t
= - > " ẻ
+ +
ị f(t) đồng biến trờn (0, 
1 ]
9
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
f(t)
1 6 1( )
9 910
fÊ = + , dấu đẳng thức xảy ra 
1
1 3
9
a b
a b
t ab
=ỡ
ùÛ Û = =ớ
= =ùợ
Vậy MaxP = 
6 1
910
+ đạt được tại a = b = 
1
3
0,25
0,25
7